文档内容
2022-2023 学年度北京市师达中学第一学期阶段练习
初二数学
考生须知：
1．本试卷共5页，共三道大题，26道小题，满分100分，考试时间90分钟；
2．试卷答案除选择题外，一律书写在答题卡上，在试卷上作答无效；
3．答题卡上用2B铅笔作图，用黑色字迹签字笔作答；
4．考试结束后，请于30分钟内，在小程序中输入选择题答案，并按板块上传答题卡．
一、选择题（本题共20分，每小题2分）以下各题选项中，只有一个满足题意．
1. 熊猫“冰墩墩”和灯笼“雪容融”是2022年北京冬奥会和冬残奥会的吉祥物，以下“冰墩墩”和“雪
容融”简笔画是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据轴对称图形的概念逐一判断即可．
【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
C、是轴对称图形，故此选项符合题意；
D、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
故选：C
【点睛】本题主要考查轴对称图形，解题的关键是掌握轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，
直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这
个图形关于这条直线（成轴）对称．
2. 下列运算结果正确的是（ ）
A. a2•a4＝a8 B. （3b2）2＝3b4 C. （a4）2＝a8 D. a6÷a2＝a3
【答案】C
【解析】
【分析】根据同底数幂的除法，底数不变指数相减；同底数幂的乘法，底数不变指数相加；幂的乘方，底
数不变指数相乘，对各选项计算后利用排除法求解．
【详解】解：A、a2•a4＝a6，故本选项错误；
B、（3b2）2＝9b4，故本选项错误；C、（a4）2＝a8，故本选项正确；
D、a6÷a2＝a4，故本选项错误；
故选：C．
【点睛】本题考查同底数幂的除法，同底数幂的乘法，幂的乘方很容易混淆，一定要记准法则才能做题．
3. 如图，点 ， 在 的边 上， ≌ ，其中 ， 为对应顶点， ， 为对应顶
点，下列结论不一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据全等三角形的性质，即可求解．
【详解】解：∵ ≌ ，
∴AC=AB，BD=CE，∠ADB=∠AEC，∠BAD=∠CAE，
∴ ， ， ，
故结论一定成立的有B、C、D．
故选：A
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的对应边相等，对应角相等是解题的关
键．
4. 下列各式从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式
分解，也叫做分解因式，对选项逐个判断即可．【详解】解：A、 ，等式的左边不是多项式，不是因式分解，故本选项不符合题意；
B、 ，从左边到右边变形是整式乘法，不是因式分解，故本选项不符合题意；
C、 ，右边不是积的形式，不是因式分解，故本选项不符合题意；
D、 ，从左边到右边变形是因式分解，故本选项符合题意．
故选：D
【点睛】本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义是解本题的关键．
5. 将多项式 分解因式时，应提取的公因式是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】分别找出系数的最大公约数和相同字母的最低指数次幂，即可确定公因式．
【详解】解： ；
多项式 的公因式为
故选B
【点睛】本题主要考查公因式的确定，解决本题的关键是掌握找公因式的要点：（1）公因式的系数是多
项式各项系数的最大公约数；（2）字母取各项都含有的相同字母；（3）相同字母的指数取次数最低的．
6. 如图，在 中，D 为 上一点， ，则 的度数为（
）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】【分析】设 ，然后利用三角形内角和定理与三角形的外角性质求出 ，再根据已知条
件列式计算即可．
【详解】解：设 ，
，
，
，
，
，
，
，
故选：D．
【点睛】此题考查了三角形的内角和定理与三角形的外角性质，熟练掌握三角形的内角和为 与三角形
的外角性质是解答此题的关键．
7. 若 展开合并后的一次项系数为 ，则m的值为（ ）
A. B. 4 C. D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】根据多项式乘以多项式展开得到 ，再由展开合并后的一次项
系数为 ，可得到 ，即可求解．
【详解】解： ，
∵展开合并后的一次项系数为 ，
∴ ，
解得： ．
故选：A
【点睛】本题主要考查了多项式乘以多项式，熟练掌握多项式乘以多项式法则是解题的关键．
8. 如图， 中， ， ，要求用圆规和直尺作图，把它分成两个三角形，其中一个三角形是等腰三角形．其作法错误的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由作法知 ，可判断A；由作法知所作图形是线段 的垂直平分线，可判断B；由作
法知，所作图形是线段 的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质得到 ，可判断C；由作
法知 是 的平分线，根据角平分线的定义和等腰三角形的判定得到 ，可判断D．
【详解】解：A．由作法知 ，
∴ 是等腰三角形，故选项A不符合题意；
B．由作法知所作图形是线段 的垂直平分线，
∴不能推出 和 是等腰三角形，故选项B符合题意；
C．由作法知，所作图形是线段 的垂直平分线，
∴ ，
∴ 是等腰三角形，故选项C不符合题意；
D．∵ ， ，
∴ ，
由作法知 是 的平分线，
∴ ，∴ ，
∴ 是等腰三角形，故选项D不符合题意；
故选B．
【点睛】本题主要考查了尺规作图，等腰三角形的判刑，线段垂直平分线的性质，交平分线的定义等知识，
熟练掌握尺规作图的五个基本图形是解决问题的关键．
9. 如图，在3×3的正方形网格中有四个格点A，B，C，D，以其中一个点为原点，网格线所在直线为坐
标轴，建立平面直角坐标系，使其余三个点中存在两个点关于一条坐标轴对称，则原点可能是（ ）
A. 点A B. 点B C. 点C D. 点D
【答案】D
【解析】
【分析】直接利用已知网格结合三个点中存在两个点关于一条坐标轴对称，可得出原点位置．
【详解】如图所示：
原点可能是D点．
故选D．
【点睛】此题主要考查了关于坐标轴对称点的性质，正确建立坐标系是解题关键．
10. 如图， 中，若存在点 、 、 分别在 、 、 上，使得 ， ，
，则称 为 的“反射三角形”．下列关于“反射三角形”的说法中，错误的是（
）A. 钝角三角形不存在它的“反射三角形”
B. 等边三角形的“反射三角形”必为等边三角形
C. 等腰直角三角形存在它的“反射三角形”
D. 若等腰 存在它的“反射三角形”，则它的“反射三角形”也必为等腰三角形
【答案】C
【解析】
【分析】根据反射三角形的定义及三角形内角和定理求出 ， ，
，再逐个判断即可.
【详解】解：∵ ， ， ，
∴ ， ，
∵
∴
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
当 时， ，
∴钝角三角形不存在反射三角形，直角三角形也不存在反射三角形，
故A正确，不符合题意，C错误，符合题意；当 为等边三角形时，可得 ，
∴ ，
∴ 为等边三角形，B选项正确，不符合题意；
当 为等腰三角形时，假设 ， ，
可得： ，
∴
∴ ，
∴ 为等腰三角形，D选项正确，不符合题意；
故选：C
【点睛】本题主要考查了“反射三角形”，属于新定义问题，还涉及到三角形内角和定理，读懂题意，合
理利用三角形内角和定理是解决问题的关键．
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
11. 计算： _________．
【答案】
【解析】
【分析】根据整式的除法法则计算可得解.
【详解】
故答案是： .
12. 若多项式 是完全平方式，则 ________．【答案】
【解析】
【分析】根据完全平方式的结构特点进行解答即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式的结构特点是解本题的关键．
13. 已知 ， ，则 ________．
【答案】12
【解析】
【分析】根据同底数幂乘法的逆运算可知 ，由幂的乘方的逆运算可知 ，
再将 ， 代入求解．
【详解】解：
故答案为12．
【点睛】本题考查了幂的运算，同底数幂的乘法逆运算 ，幂的乘方的逆运算
，灵活利用幂的逆运算将所求式转化为已知式是解题的关键．
14. 因式分解： _________.
【答案】
【解析】
【分析】将式子改写为 采用平方差公式分解即可，注意分解彻底.
【详解】解：原式=
【点睛】本题考查因式分解，熟练掌握平方差公式是解题的关键，注意因式分解要分解彻底.
15. 已知 的结果中不含 项，则m=__________．【答案】6
【解析】
【分析】利用多项式乘多项式的法则进行运算，再结合不含 项，即其系数为0，即可求出 的值．
【详解】
∵ 的结果中不含 项，
∴
解得：
故答案为：6
【点睛】本题考查多项式乘多项式，明确不含 项，则其系数为0是解题的关键．
16. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，且DA＝DB．若CD＝3，则BC＝
_____．
【答案】9
【解析】
【分析】AD平分∠BAC，交BC于点D，且DA=DB, 可得∠B=∠BAD=∠CAD=30 ，可得AD与BD的长，可
得答案.
【详解】解：由题意得： AD平分∠BAC，交BC于点D，且DA=DB
∠B=∠BAD=∠CAD，且∠B+∠BAD+∠CAD=90
∠B=∠BAD=∠CAD=30 ，
在RT△ACD中，∠CAD=30 ，CD=3， AD=6,
BD=AD=6,BC=BD+CD=6+3=9.
【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，及直角三角形中，30度角所对的直角边是斜边的一半.
17. 已知 ， ，则 ________．
【答案】
【解析】
【分析】根据完全平方和与完全平方差之间 的关系即可得到答案．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为 ．
【点睛】本题考查全平方和与完全平方差之间的关系，解题关键是知道 ．
18. 若 是 的一个因式，则 的值为________， 的值为________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【 分 析 】 根 据 三 次 项 系 数 和 常 数 项 可 得 ， 的另 一 个 因 式 为 ， 即
，展开，对应系数相等，求解即可．
【详解】解：根据三次项系数和常数项可得， 的另一个因式为 ，
即 ，
，即 ，解得 ；
故答案为： ， ；
【点睛】此题考查了整式的因式分解，解题的关键是根据题意，确定出 的另一个因式．
三、解答题（本题共64分，第19-21题每小题4分，第22-24题每题4分，第25-26题每题6
分）
19. 计算：
（1）
（2）
（3）
（4）
【答案】（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ．
【解析】
【分析】（1）根据单项式的乘法运算求解即可；
（2）根据多项式的乘法，求解即可；
（3）根据积的乘方、单项式的乘除运算求解即可；
（4）根据完全平方公式以及整式的加减运算求解即可．
【小问1详解】
解： ；
【小问2详解】
解： ；
【小问3详解】解： ；
【小问4详解】
解： ．
【点睛】此题考查了整式的四则运算，涉及了积的乘方，完全平方公式等，解题的关键是熟练掌握整式的
四则运算法则．
20. 因式分解：
（1）
（2）
（3）
（4）
【答案】（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ．
【解析】
【分析】（1）用提公因式法进行因式分解求解即可；
（2）综合利用提公因式法和完全平方公式，进行因式分解求解即可；
（3）利用提公因式法和平方差公式进行因式分解即可；
（4）利用平方差公式进行因式分解，求解即可．
【小问1详解】
解： ；
【
小问2详解】
解： ；
【小问3详解】解： ；
【小问4详解】
解：
；
【点睛】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握提公因式法和公式法进行因式分解．
21. 先化简，再求值：
（1）已知 ，求代数式 的值．
（2） ，其中 ， ．
【答案】（1） ， ；
（2） ， ．
【解析】
【分析】（1）根据完全平方公式、平方差公式以及整式的运算，对式子进行化简，代入求解即可；
（2）根据整式的运算以及平方差公式进行化简，然后代入求解即可．
【小问1详解】
解：
，
由 可得 ，
代入原式可得：原式 ；
【小问2详解】解：
，
将 ， 代入得，原式 ．
【点睛】此题考查了整式的化简求值，涉及了整式的四则运算、完全平方公式、平方差公式，解题的关键
是熟练掌握整式的四则运算．
22. 已知a、b、c是△ABC的三边长，且a2+2b2+c2﹣2b（a+c）=0，试判断△ABC的形状，并证明你的结
论．
【答案】△ABC是等边三角形．证明见解析
【解析】
【分析】直接利用因式分解法将原式变形进而分解因式即可.
【详解】△ABC是等边三角形，
理由：∵a2+2b2+c2﹣2b（a+c）=0
∴a2+b2+c2﹣2ba﹣2bc+b2=0，
∴（a﹣b）2+（b﹣c）2=0，
则a=b，b=c，
故a=b=c，
则△ABC是等边三角形．
【点睛】此题主要考查了因式分解的应用，正确分解因式是解题关键．
23. 如图， 与 都是等边三角形，连接 ，求证： ．
【答案】见解析
【解析】
【分析】根据 ABC与 AED都是等边三角形，由等边三角形的性质得到AC=AB，AD=AE，
△ △∠CAB=∠DAE，从而可证利用SAS证 CAD≌△BAE，即可由全等三角形的性质得出结论．
【详解】证明：∵△ABC与 AED都是△等边三角形，
∴AC=AB，AD=AE，∠CAB=△∠DAE，
∴∠CAB-∠DAB=∠DAE-∠DAB，即∠CAD=∠BAE，
∴△CAD≌△BAE(SAS)，
∴CD=BE．
【点睛】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握等边三角形的性质和全等三角
形的判定与性质是解题的关键．
24. 对于代数式，不同的表达形式能表现出它的不同性质．例如代数式 ，若将其写成
的形式，就能看出无论字母 取何值，它都表示正数；若将它写成
的形式，就能与代数式 建立联系．下面我们改变 的值，研究
一下 ， 两个代数式取值的规律：
___
__ ___ ___
（1）补全上表中的数据；
（2）观察表格可以发现：当 时， ，则当 时，
.我们把这种现象称为代数式 参照代数式 取值延后，此时延后值为
①若代数式 参照代数式 取值延后，相应的延后值为 ，求代数式 ；
②已知代数式 参照代数式 取值延后，请直接写出 的值
【答案】（1）2，2，1，2；
（2）①x2-6x+10；②7．
【解析】
【分析】（1）分别将x代入即可求得；
（2）①D=（x-2）2-2（x-2）+2=x2-6x+10；②由①可得a=3，设延后值为k，3m2-4m+c=3（m+k）2-10（m+k）+b，则可求b-c=7．
【小问1详解】
解：（1）将x=2代入B=x2-2x+2中，得B=4-4+2=2，
将x=1代入A=（x-1）2-2（x-1）+2得，A=2，
将x=2代入A=（x-1）2-2（x-1）+2得，A=1，
将x=3代入A=（x-1）2-2（x-1）+2得，A=2，
故答案为2，2，1，2；
【小问2详解】
①∵代数式D参照代数式B取值延后，相应的延后值为2，
∴D=（x-2）2-2（x-2）+2=x2-6x+10；
②由①可得a=3，
∴ax2-10x+b=3x2-10x+b，
∵代数式ax2-10x+b参照代数式3x2-4x+c取值延后，
设延后值为k，
∵x=m时，3x2-4x+c=3m2-4m+c，x=m+k时，ax2-10x+b=3（m+k）2-10（m+k）+b，
∴3m2-4m+c=3（m+k）2-10（m+k）+b，
∴6k-10=-4，
∴k=1，
∵c=3k2-10k+b，
∴b-c=7．
【点睛】本题考查代数式求值和数字的变化规律；理解题意，能够准确地列出代数式，并进行求解即可．
25. 如图，在等边 中， 是 边上一点， ，点 是点 关于直线
的对称点，点 在直线 上（点 不与点 重合），且 ．
（1）依题意补全图形，直接写出 的度数（用含有 的代数式表示）；
（2）探究 、 、 满足的等量关系，并证明；（3）若点 在 的延长线上，其余条件不变，直接写出 、 、 满足的等量关系．
【答案】（1）图见解析， ；
（2） ，证明见解析；
（3） ，证明见解析．
【解析】
【分析】（1）利用折叠的性质得 ， ，结合 ，可得 ，
进而可得 ；
（2）在 上取 ，连接 ．先证 ，推出 ，
，再利用 证明 ，推出 ，即可得出 ；
（3）连接 ， ，作 交 于点G．先证四边形 是平行四边形，得出 ，
；再利用 证明 ，得出 ，进而得出
．
【小问1详解】
解：补全图形，如下：
∵ 是等边三角形，
∴ ， ，
∵点 是点 关于直线 的对称点，
∴ ， ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，∵ ，
∴ ；
【小问2详解】
解： ．证明如下：
如图所示，在 上取 ，连接 ．
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ．
由（1）知 ，
∴ ．
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
【小问3详解】
解： ．证明如下：如图所示，连接 ， ，作 交 于点G．
由折叠的性质得 ， ， ， ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
∴ ．
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴在 和 中，
，
∴ ，∴ ．
∴ ．
即 ．
【点睛】本题考查折叠的性质、等边三角形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、平行
四边形的判定与性质、线段的和差关系等知识点，综合性质较强，难度较大，正确添加辅助线构造全等三
角形是解题的关键．
26. 对于 及其边上的一点 ，给出如下定义：如果点 ， ， … 都在 的边上，
且 ，那么称点 ， ， … 为 关于点 的等距点，线
段 ， ， …… 为 关于点 的等距线段．
（1）如图1， 中， ， ，点 是 的中点．
①点 ，C ________ 关于点 的等距点，线段 ， ________ 关于点 的等距线段；
（填“是”或“不是”）
② 关于点 的两个等距点 ， 分别在边 ， 上，当相应的等距线段最短时，在图1中
画出线段 ， ；
（2）如图2， 是边长为4的等边三角形，点 在 上，点 ， 是 关于点 的等距点，
且 ，直接写出线段 的长；（3）如图3，在 中， ， ，点 在 上， 关于点 的等距点恰好
有两个，且其中一个是点 ，若 ，直接写出 长的取值范围（用含 的式子表示）．
【答案】（1）①是，不是；②见解析；
（2） 或2；
（3） ．
【解析】
【分析】（1）①由新定义“ 关于点 的等距点”即可得出答案；②作 于 ，
于 ，由垂线段最短即可得到答案；
（2）根据等边三角形的性质和等距离点的定义求解即可；
（3）分别求出当 时，当 时， ABC关于点P的等距离点，即可求
△
解；
【小问1详解】
解：①∵ 时 的中点，
∴ ，
∴ 是 关于点 的对等点，
∵ ，
∴ ， ，
∴线段 不是 关于点 的等距线段；
故答案是：是，不是；
②作 于 ， 于 ，则 ， 即为所求，如下图所示：【小问2详解】
解：显然，点 不可能在 边上，若点 在 边上，如下图所示，
∵ 是等边三角形，∴ ，
∵点 ， 是 关于点 的等距点，∴ ，
∴ 是等边三角形，∴ ；
若点 在 边上，如图5所示，∵点 ， 是 关于点 的等距点，
∴ ，∴ ；
∴综上所述， 或2；
【小问3详解】
当 时，
当 为 的中点，则 ，
∴ 是 关于点 的对等点，
作 于 ，截取 ，连接 ，
则 ，
∵ ，
∴ ，
∴ 边上存在2个 关于点P的等距离点，
∵ 关于点 的等距离点恰好有四个，且其中一个点是点 ，
∴ ，即 ，当 时，
， ，
则 关于点 的等距离点有2个在 上，有1个在 上，，
的
∵ 关于点 等距离点恰好有四个，且其中一个点是点
∴ ，即
综上
故答案是 ．
【点睛】本题是新定义问题，考查了对等距点和等距线段的理解与应用、等腰三角形的性质、等边三角形
的判定与性质和30度角的直角三角形的性质等知识，正确理解题意、熟练掌握等边三角形和直角三角形的
性质是解题关键．
