文档内容
昌平区 2022-2023 学年第二学期初二年级期末质量抽测
数学试卷
一、选择题（共16分，每题2分）下列各题均有4个选项，其中只有一个
是符合题意的．
1．中国传统文化博大精深，下面四个图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（
）
A．京剧脸谱 B．剪纸对鱼
C．中国结 D．风筝燕归来
2．在平面直角坐标系中，若点P的坐标为 ，则点P所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．下列图象中，y不是x的函数的是（ ）
A． B．
C． D．
4．如表记录了甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近几次选拔赛成绩的平均数与方差：
试卷第1页，共3页甲 乙 丙 丁
平均数
185 180 185 180
（cm）
方差 3.6 3.6 7.4 8.1
根据表数据，从中选择一名成绩好且发挥稳定的参加比赛，应该选择（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
5．如果一个多边形的内角和等于一个三角形的外角和的两倍，那么这个多边形是（
）
A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
6．下列方程中有两个不相等的实数根的方程是（ ）
A． B． C． D．
7．初二某班第一次体育机考模拟测试平均分为95分，经过专业的体育指导和训练后，
在之后的第二次和第三次体育模拟测试中，班级平均分稳步提升，第三次体育模拟测
试平均分达到99分，设该班每次测试班级平均分较上次的增长率相同，均为x，则可
列方程为（ ）
A． B．
C． D．
8．如图， 三边的中点分别是D，E，F，则下列说法正确的是（ ）
①四边形 一定是平行四边形；
②若 ，则四边形 是矩形；
③若 ，则四边形 是菱形：；
④若 平分 ，则四边形 是正方形．
A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③④
二、填空题（共16分，每题2分）
9．方程 的解为 ．
试卷第2页，共3页10．某一次函数的图象经过点（0，-3），且函数 随 的增大而增大，请你写出一个
符合条件的函数解析式 ．
11．已知 、 是一次函数 的图象上的两点，则 ．
（填“ ”或“ ”或“ ”）
12．若菱形的两条对角线长分别为6和8，则该菱形的面积为 ．
13．如图，A，B两地被建筑物遮挡，为测量A，B两地的距离，在地面上选一点C，
连结CA，CB，分别取CA，CB的中点D，E，若DE的长为36m，则A，B两地距离
为 m．
14．如图，矩形 中，对角线 、 交于点O，如果 ，那么
的度数为 ．
15．某学校有一个矩形小花园，花园长20米，宽18米，现要在花园中修建人行通道，
如图所示，阴影部分为通道，其余部分种植花卉，同样宽度的通道有3条，其中两条
与矩形的宽平行，另外一条与矩形的宽垂直，计划花卉种植面积共为306平方米，设
通道的宽为x米，根据题意可列方程为 ．
16．在平面直角坐标系 中，已知 ， ， ，若以 ， ， ，
为顶点的四边形是平行四边形，则点 的坐标是 ．
三、解答题（本题共68分，17-22题每小题5分，23-26题每小题6分，
27、28题每小题7分）
试卷第3页，共3页17．解方程： ．
18．如图，在 中，E，F是 上的两点，且 ．求证 ．
19．已知一个一次函数的图象平行于直线 ，且经过点 ，与x轴交于点
B．
(1)求这个一次函数的表达式，并在平面直角坐标系中画出它的图象；
(2)求 的面积．
20．已知关于 的一元二次方程 ．
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)如果方程有一个根为正数，求 的取值范围．
21．如图， 的对角线 与 相交于点 ，将对角线 向两个方向延长，
分别至点 和点 ，且 ．
(1)求证：四边形 是平行四边形；
(2)若 ，求证：四边形 是菱形．
22．阅读以下材料，并按要求完成相应的任务：
试卷第4页，共3页三角形中位线定理的证明
如图1，△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，连接DE，像DE这样，连接三角
形两边的中点的线段叫做三角形的中位线．求证：DE∥BC，且DE＝ BC．
证明：如图2，延长DE到点F，使EF＝DE，连接FC，DC，AF．
∵AE＝EC，DE＝EF，
∴四边形ADCF是平行四边形（依据1）．
∴CF//DA，CF=DA．
∵DA＝BD，
∴CF//BD，CF=BD．
∴四边形DBCF是平行四边形（依据2）．
∴CF//BC，CF=BC．
∵DE＝ DF，
∴DE∥BC，且DE＝ BC．
归纳总结：
上述证明过程中运用了“倍长线段法”，也有人称材料中的方法为“倍长法”（延长
了三角形中位线的一倍），该方法是解决初中数学几何题的一种常用方法．
任务（1）
上述材料证明过程中的“依据1”是指： ；
“依据2”是指： ；
类比探究
数学学习小组发现还可以用“倍长线段法”证明定理：直角三角形斜边上的中线等于
试卷第5页，共3页斜边的一半．
已知：如图3，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，E为AB边的中点，求证：CE＝ AB．
证明：延长CE到点F，使EF＝CE，连接BF，AF，如图4．
任务（2）请将证明过程补充完整．
23．如图，用 长的篱笆在墙边（墙长 米）田一个矩形草坪，当矩形面积是
时，它的长和宽应为多少？
24．菲尔兹奖是国际上享有崇高声誉的一个数学奖项，每4年评选一次，颁给有卓越
贡献并且年龄一般不超过40岁的2~4名年轻数学家，被视为数学界的诺贝尔奖．自
1936年以来，每次都在国际数学家大会上颁发菲尔兹奖．华裔数学家丘成桐、陶哲轩
分别在1982年、2006年获得菲尔兹奖．
下面的数据是从1936年至2022年共64位菲尔兹奖得主获奖时的年龄（岁）：
29 39 35 33 39 27 33 35 31 31 37 32 38 36 31 39 32 38 37
34 29 34 38 32 35 36 33 32 29 35 36 37 39 38 40 38 37 39
38 34 33 40 36 36 37 40 31 38 38 40 40 37 35 40 39 37 30
40 34 36 36 39 35 37
数据经分组整理，列出了如下的频数分布表，并绘制了频数分布直方图：
年龄x
频数
岁
a
16
29
b
合计 64
试卷第6页，共3页(1)截至2022年，最年轻的菲尔兹奖得主的年龄
是______岁；
(2) ______， ______；
(3)补全频数分布直方图；
(4)结合统计图表，请你描述这64位菲尔兹奖得主获奖时的年龄分布特征．
25．在平而直角坐标系 中，一次函数 的图象经过点 ， ，
(1)求这个一次函数的表达式；
(2)当 时，对于x的每一个值，函数 的值大于一次函数
的值，直接写出m的取值范围．
26．甲乙两人在一条长400米的直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步，先到
终点的人原地休息，已知甲先出发3秒；在跑步过程中，甲、乙两人间的距离y（米）
与乙出发的时间x（秒）之间的函数关系如图所示．
(1)甲的速度为______米/秒，乙的速度为______米/秒；
(2)离开起点后，甲、乙两人第一次相遇时，距离起点______米；
(3)乙到达终点时，甲距离终点还有______米；
(4)甲、乙两人之间的距离超过32米的时间范围是：______秒＜x＜______秒．
27．正方形 中，点E为射线 上一点（点E不与D，C重合），射线 交
于点P，交直线 于点F，点Q为 的中点，连接 ．
试卷第7页，共3页(1)如图1，当点E在线段 上时，直接写出 的度数， ______，并证明；
(2)如图2，当点E在线段 的延长线上时，过点D作 的垂线，交直线 于点
M．
①依题意补全图形；
②用等式表示线段 的数量关系，并证明．
28．对于点 和图形 ，若点 关于图形 上任意的一点的对称点为点 ，所有点
组成的图形为 ，则称图形 为点 关于图形 的“对称图形”．在平面直角坐标
系 中，已知点 ， ， ， ．
(1)①在点 ， ， 中，是点 关于线段 的“对称图形”上的
点有 ．
②画出点 关于四边形 的“对称图形”；
(2)点 是 轴上的一动点．
①若点 关于四边形 的“对称图形”与 关于四边形 的“对称图形”有
试卷第8页，共3页公共点，求 的取值范围；
②直线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，线段 上存在点 ，使得点 是
点 关于四边形 的“对称图形”上的点，直接写出 的取值范围
试卷第9页，共3页1．C
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直
线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个
图形绕着某一个点旋转 ，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫
做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可．
【详解】解：A、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
B、该图形不是轴对称图形，是中心对称图形，不符符合题意；
C、该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意；
D、该图形是既不是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，解题的关键在于能够熟练掌握轴对
称图形和中心对称图形的定义．
2．D
【分析】根据各象限内点的坐标特征解答即可．
【详解】若点P的坐标为 ，
因为 ， ，
所以点P所在的象限是第四象限．
故选：D．
【点睛】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号特征是
解题的关键；四个象限内点的坐标的符号特征分别是：第一象限 ，第二象限 ，
第三象限 ，第四象限 ．
3．D
【分析】根据函数的定义，自变量 在一定的范围内取一个值，因变量 有唯一确定的值
与之对应，则 叫 的函数，即可得出答案．
【详解】解：自变量 在一定的范围内取一个值，因变量 有唯一确定的值与之对应，则
叫 的函数，
A、B、C选项均满足取一个 的值，有唯一确定的 值和它对应， 是 的函数，
而D选项中，对一个 的值，与之对应的可能有两个 的值，故 不是 的函数，
答案第1页，共2页故选：D．
【点睛】本题考查函数定义，解题的关键是理解掌握自变量 在一定的范围内取一个值，
因变量 有唯一确定的值与之对应，则 叫 的函数．
4．A
【分析】首先比较平均数，平均数相同时选择方差较小的运动员参加．
【详解】∵ = > = ，
∴从甲和丙中选择一人参加比赛，
∵ = < < ，
∴选择甲参赛，
故选A．
【点睛】此题主要考查了平均数和方差的应用，解题关键是明确平均数越高，成绩越高，
方差越小，成绩越稳定.
5．D
【详解】任何多边形的外角和是 ，内角和等于外角和的2倍则内角和是 ．n边形
的内角和是 ，如果已知多边形的内角和，就可以得到一个关于边数的方程，解
方程就可以求出多边形的边数．
【分析】解：根据题意得，
，
解得 ，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了多边形的内角和以及外角和，已知多边形的内角和求边数，可以
转化为方程的问题来解决，难度适中．
6．B
【分析】分别求出每一个方程的判别式Δ的值，找出 的方程即可．
【详解】解：A、 ，∴方程有两个相等的实数根，故本选项不符合题意；
B、 ，∴方程有两个不相等的实数根，故本选项符合题意；
C、 ，∴方程没有实数根，故本选项不符合题意；
D、 ，∴方程没有实数根，故本选项不符合题意；
答案第2页，共2页故选：B．
【点睛】本题考查了根的判别式，一元二次方程 的根与 有
如下关系：①当 时，方程有两个不相等的实数根；②当 时，方程有两个相等的
实数根；③当 时，方程无实数根．
7．C
【分析】利用第三次体育模拟测试平均分=第一次体育模拟测试平均分 该班每次测试
班级平均分较上次的增长率 ，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：根据题意得： ．
故选：C．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次
方程是解题的关键．
8．B
【分析】①由三角形的中位线定理可以判定结论正确；② ，则根据①的结论可
得四边形 是矩形；③利用斜边上的中线等于斜边的一半可得出 ，从而得出
四边形 是菱形；④利用 平分 可以判定四边形 是菱形而非正方形，
可得④的结论错误．
【详解】解：①∵E是 的中点，D是 的中点，
∴ ，
∵E是 的中点，F是 的中点，
∴ ．
∴四边形 是平行四边形．
∴①正确；
②若 ，如图，
答案第3页，共2页由①知：四边形 是平行四边形，
∵ ，
∴四边形 是矩形，
∴②正确；
③如图，
若 ，
∵E是 的中点，
∴ 是 的垂直平分线，
∴ ．
∵ ，D是 的中点，
∴ ．
同理： ，
∴ ．
由①知：四边形 是平行四边形，
∴四边形 是菱形．
∴③正确；
④如上图，
由①知： ，
答案第4页，共2页∴ ．
若 平分 ，则 ，
∴ ，
∴ ，
∵四边形 是平行四边形，
∴四边形 是菱形．
∴④不正确；
综上可得，正确的结论有：①②③，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了三角形的中位线，平行四边形的判定与性质，菱形的判定，矩形
的判定，直角三角形斜边上的直线的性质，等腰三角形的判定等知识．利用三角形的中位
线定理得出平行线是解题的关键．
9．
【分析】用因式分解法求解即可.
【详解】
或
x＝0，x＝4
1 2
故答案是： ．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分
解法、求根公式法，熟练掌握各种方法是解答本题的关键．
10． （答案不唯一）
【分析】根据题意，写出一个 且经过 的解析式即可．
【详解】解： 函数y随x的增大而增大，
，
图象经过点(0，-3)，
∴函数图象与y轴的交点为-3，及 ，
∴符合条件的函数解析式可以是 （答案不唯一）．
故答案为： （答案不唯一）．
答案第5页，共2页【点睛】本题主要考查了一次函数的性质，一次函数的定义，理解一次函数的性质是解题
的关键．
11．
【分析】根据一次函数的增减性即可得．
【详解】解： 一次函数 中的 ，
随 的增大而增大，
、 是一次函数 的图象上的两点，且 ，
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数的增减性是解题关键．
12．24
【分析】由菱形的性质得到 ，再通过 的面积 ， 的面积
得到菱形的面积．
【详解】解：如图：菱形 中 ， ，
四边形 是菱形，
，
的面积 ， 的面积 ，
菱形 的面积 的面积 的面积
．
故答案为：24．
答案第6页，共2页【点睛】本题考查菱形的性质，三角形面积，由三角形的面积得到菱形的面积 的
面积 的面积是解题的关键．
13．72
【分析】根据三角形中位线定理AB＝2DE，计算即可．
【详解】解：∵点D，E分别为CA，CB的中点，
∴AB＝2DE＝72m，
故答案为72
【点睛】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第
三边的一半是解题的关键．
14． ##40度
【分析】根据矩形的性质，证明 ，根据等腰三角形的性质和三角形外角的
性质，可得答案．
【详解】解：∵ 是矩形，
∴ ， ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，熟记矩
形的对角线相等且互相平分是解本题的关键．
15．
【分析】由花园的长、宽及雨道的宽，可得出种植花卉的部分可合成长为 米，宽
为 米的矩形，结合花卉种植面积共为306平方米，即可列出关于x的一元二次方程，
此题得解．
【详解】解：∵花园长20米，宽18米，且雨道的宽为x米，
∴种植花卉的部分可合成长为 米，宽为 米的矩形．
答案第7页，共2页根据题意得： ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次
方程是解题的关键．
16． 、 、
【分析】分三种情况：① 为对角线，② 为对角线，③ 为对角线，利用点坐标的
平移变换规律和平行四边形的性质即可得．
【详解】解：如图，
①当 为对角线时，
， ，
先将点 向左平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度可得到点 ，
以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，
先将点 向左平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度可得到点 ，
，
，即 ；
②当 为对角线时，同理可得： ；
答案第8页，共2页③当 为对角线时，同理可得： ；
综上所述，点 的坐标是 、 、
故答案为： 、 、
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、点坐标的平移变换规律，正确分三种情况讨论是
解题关键．
17． ．
【分析】利用配方法解方程即可．
【详解】解：移项，得
，
∴ ，
∴ ，
两边开平方，得
，
∴ ．
【点睛】本题考查用配方法解一元二次方程，解答关键是根据方程特征选择适当方法解方
程．
18．见解析
【分析】由 ，可得 ， ，证明四边形 是平行四边形，则
，进而结论得证．
【详解】证明：∵ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质．解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定
答案第9页，共2页和性质．
19．(1) ，图见解析.
(2) ．
【分析】（1）根据互相平行的两直线解析式k值相等，设出一次函数的解析式，再把点A
坐标代入解析式求解即可；
（2）令 ，求出点B的坐标，即可求解．
【详解】（1）设一次函数的解析式为： ,
∵一次函数的图象平行于直线 ，
∴ ，
∵一次函数的图象经过点 ，
∴ ，
∴ ，
∴一次函数的解析式为 ，
令 ，则 ，
解得： ，
图象如图所示：
（2）由一次函数的解析式为 ，
答案第10页，共2页令 ，则 ，
解得： ，
∴一次函数的图象与x轴的解得为 ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了两条直线相交或平行问题，掌握平行两直线k值相等，求出一次函数
的解析式是本题的关键．
20．(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式及完全平方式的非负性，即可证得结论；
（2）首先解一元二次方程，再根据根的情况，利用不等式，即可求解．
【详解】（1）证明：
无论m取何值， ，
∴方程总有两个实数根．
（2）解：由原方程得： ，
解得 ， ，
∵方程有一个根为正数， ，
，
．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式及根据根的情况求参数，完全平方式的非负
性，熟练掌握和运用一元二次方程根的判别式及解方程的方法是解决本题的关键．
21．(1)见解析；
(2)见解析．
【分析】(1)由平行四边形的性质得到 ， ，又 ，得到 ，
即可证明四边形 是平行四边形；
答案第11页，共2页(2)由 ，得到 ，又 ，因此 ，得到
，即可证明平行四边形行 是菱形．
【详解】（1）解：∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ．
∵ ，
∴ ，
即： ．
∴四边形 是平行四边形．
（2）证明：∵四边形 是平行四边形，
∴ ．
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ．
∴平行四边形行 是菱形．
【点睛】此题考查了菱形的判定，平行四边形的判定和性质，解题的关键是由平行四边形
的性质得到 ； 由平行线的性质，等腰三角形的判定得到 ．
22．（1）对角线互相平分的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四
边形．（2）见解析．
【分析】（1）由平行四边形的判定方法可得出答案；
（2）延长CE到点F，使EF=CE，连接BF，AF，证明四边形ACBF是平行四边形，由矩
形的判定方法可得出四边形ACBF是矩形，由矩形的性质得出AB=CF，则可得出结论．
【详解】解：（1）对角线互相平分的四边形是平行四边形，
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
故答案为对角线互相平分的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四
边形．
（2）延长CE到点F，使EF=CE，连接BF，AF，
答案第12页，共2页∵E为AB的中点，
∴AE=BE，
∴四边形ACBF是平行四边形，
∵∠ACB=90°，
∴平行四边形ACBF是矩形，
∴AB=CF，
∵CE= CF，
∴CE= AB．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，三
角形中位线定理，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．
23．矩形草坪的宽AB为25米，长BC为30米．
【分析】设 边的长为 米，则 边的长为 米，根据矩形草坪的面积是 ，
可列出关于 的一元二次方程，解之可求出 的值，再结合墙长 米，即可得出结论．
【详解】解：设矩形的宽 为 米，那么长 为 米．
据题意，可得方程整理，得： ．
整理，得： ，
解得： ， ，
当 时， ，符合题意；
当 时， ，不符合题意；
∴ 不符合题意舍去，
答案第13页，共2页∴ 米， 米，
答：矩形草坪的宽 为 米，长 为 米．
【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元二
次方程．
24．(1)27；
(2) ， ；
(3)见解析
(4)35至39岁的人获得菲尔兹奖的人数最多．（答案不唯一）
【分析】（1）根据数据得出答案即可；
（2）根据所给的数据得出答案即可；
（3）根据a、b的值补全频数分布直方图即可；
（4）根据数据说出一条描述这64位菲尔兹奖得主获奖时的年龄分布特征即可．
【详解】（1）解：截至2022年，最年轻的菲尔兹奖得主的年龄是27岁；
故答案为：27．
（2）解： 的有5人，即 ，
的有14人，即 ．
故答案为：5；14．
（3）解：补全频数分布直方图，如图所示：
（4）解：这64位菲尔兹奖得主获奖时的年龄分布特征为：
35至39岁的人获得菲尔兹奖的人数最多．（答案不唯一）
【点睛】本题主要考查了频数分布表，频数分布直方图，解题的关键是根据数据准确填写
频数分布表．
25．(1) ；
(2) ．
答案第14页，共2页【分析】（1）把两点坐标代入 ，可得关于k、b的方程组，解得k、b的值，进而
可得函数解析式；
（2）当 时，求出 的值，然后根据题意，结合图象，即可求出m的取值范
围．
【详解】（1）解：∵一次函数的图象经过点 和点 ，
∴把点 ， 代入 得：
，
解得：
∴一次函数的表达式为 ．
（2）把 代入 ，求得 ，
把点 代入 ，得 ，
解得 ，
∵当 时，对于x的每一个值，函数 的值大于一次函数 的值，
∴ ．
答案第15页，共2页【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，一
次函数与系数的关系，数形结合是解题的关键．
26．(1)4，5
(2)60
(3)68
(4)44，89．
【分析】①由 （米/秒）即得甲的速度，乙速度为 （米/秒）；②求出
乙用12秒追上甲，即甲、乙两人第一次相遇，即知此时距离起点 （米）；③列
式计算可得乙到达终点时，甲距离终点还有68米；④乙用12秒追上甲，再过32秒两人相
距32米，故从 时起，两人距离超过32米，当乙用80秒到达终点时，甲距离终点还
有68米，甲再跑36米，两人相距32米，故当 时，两人距离超过32米，即可得到答
案．
【详解】（1）由图象可知，乙出发时，甲，乙之间距离为12米，即甲先出发3秒跑了12
米，
∴甲的速度为 （米/秒），
∵乙80秒到达终点，
∴乙的速度为 （米/秒），
故答案为：4，5；
（2）∵ （秒），
∴乙出发后，用12秒追上甲，即甲、乙两人第一次相遇，
此时距离起点 （米），
故答案为：60；
（3）∵ （米），
∴乙到达终点时，甲距离终点还有68米，
故答案为：68；
（4）当乙用12秒追上甲后，因每秒比甲多跑1米，
∴再过32秒两人相距32米，即从 时起，两人距离超过32米，
当乙用80秒到达终点时，甲距离终点还有68米，
∴甲再跑36米，两人相距32米，所需时间为 （秒），
答案第16页，共2页∴当 时，两人距离超过32米，
∴甲、乙两人之间的距离超过32米的时间范围是44＜x＜89；
故答案为：44，89．
【点睛】本题考查函数的应用，解题的关键是读懂题意，能从函数图象中获取有用的信息．
27．(1) ，证明见解析
(2)①补全图形见解析；② ，证明见解析
【分析】（1）证明 ，得 ，再根据直角三角形的斜边
性质和正方形的性质即可解决问题；
（2）①根据题意画出图形即可；②证明 得 ，再利用正方形的性
质即可解决问题．
【详解】（1） ，
证明：∵四边形 是正方形，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵点Q为 的中点，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ；
答案第17页，共2页（2）①如图2，即为补全的图形；
② ，
证明：∵ 是正方形四边形 的对角线，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
由（1）知： ，则 ，
∴ ，又 ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，
等腰三角形的性质，解决本题的关键是得到 ．
28．(1)①点E，点F，②图见解析．
答案第18页，共2页(2)① ，② 或
【分析】根据点 关于图形 的“对称图形”的定义，可以在图形 上找几个特殊点（线
段的端点），作出点 关于这些特殊点的对称点，大体描绘图形 的形状．
（1）①作出点 关于点 、 的对称点 、 ，得到点 关于线段 的“对称图形”是
一条线段；
②先画出点 关于四边形 的四个顶点中心对称的对应点，再顺次连接可以得到点
关于四边形 的“对称图形”是一个正方形；
（2）①点 关于四边形 的“对称图形”也是一个正方形，与 关于四边形 的
“对称图形”大小一样，只是随 的变化左右移动，可以用数形结合求解；
②是动线段与动正方形的交点问题，沿用数形结合求解．
【详解】（1）解：①根据点 关于图形 的“对称图形”的定义，点 关于线段 的
“对称图形”是线段 ，如图所示其中点 ， ．故点 ， 在
线段 上．
故答案为：点 ，点 ；
②点 关于四边形 的“对称图形”为四边形 ．
答案第19页，共2页（2）①动点 关于四边形 的“对称图形”为四边形 ，如图所示．利用中点坐
标公式可得到点 ， ， ， ．四边形 随 的变化左
右移动，当四边形 与四边形 有公共点时，应满足：
，
，
②要使得点 是四边形 上的点，需满足：
或 ，
或 ．
答案第20页，共2页【点睛】这道题在新定义下考察点的对称，数形结合的思想，以及运动的观点，建立不等
式解决交点问题，是一道很不错的综合题．
答案第21页，共2页
