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八年级数学 3 月阶段检测试题
2023.3.8
一、选择题（每题3分，共24分）
1. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据最简二次根式的定义，逐一判断即可解答．
【详解】解：A、 ，故不符合题意；
B、 是最简二次根式，故符合题意；
C、 ，故不符合题意；
D、 ，故不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．
2. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用二次根式的加减法的法则，二次根式的乘除法的法则对各项进行运算，然后作出判断即可．
【详解】解：A、 与 不是同类二次根式，不能合并，故此选项不符合题意；
B、 ，故此选项符合题意；
C、 ，故此选项不符合题意；
D、 ，故此选项不符合题意．故选：B．
【点睛】本题考查二次根式的加减乘除运算．熟练掌握相应的运算法则是解题的关键．
3. 如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O， ， ，则矩形对角线的长为（
）
A. 4 B. 8 C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据等边三角形的性质首先证明 是等边三角形即可解决问题．
【详解】解： 四边形 是矩形，
， ， ，
，
，
是等边三角形，
，
，
故选：B．
【点睛】本题考查矩形的性质、等边三角形的判定等知识，解题的关键是发现 是等边三角形，属于
基础题．
4. 如图，在平行四边形 中， ， 分别为 的中点，求 的值（ ）
A. 4 B. 3 C. 2 D. 不确定
【答案】B
【解析】【分析】首先由平行四边形的对边相等的性质求得 ，然后利用三角形中位线定理求得
．
【详解】解：如图，在平行四边形 中，
∵ ，
∴ ，
∵ 分别为 的中点，
∴ 是 的中位线，
∴ ．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质和三角形中位线定理，解题关键是利用平行四边形的性质并结
合三角形中位线定理来求有关线段的长度．
5. 以下列长度的三条线段为边，能组成直角三角形的是（ ）
A. 1；1；1 B. 2；3；4 C. 1； ；2 D. ；3；5
【答案】C
【解析】
【分析】根据直角三角形斜边最长及勾股定理逆定理逐项分析即可求解
【
详解】A. ，不符题意；
B. ，不符题意；
C. ，符合题意；
D. ，不符题意故选 C
【点睛】本题考查了勾股定理逆定理，理解勾股定理逆定理是解题的关键．
6. 若 ，那么x的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由二次根式的性质可得， ，再根据绝对值的意义即可得出答案．
【详解】∵
当 ，即 时， ，
∴x的取值范围是： ，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次根式的性质以及绝对值的意义，合理运用性质进行计算是解决本题的关键．
7. 如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地0.5米，将它往前推3米时，踏板离地1.5米，此时秋千的
绳索是拉直的，则秋千的长度是（ ）
A. 3米 B. 4米 C. 5米 D. 6米
【答案】C
【解析】
【分析】设 米，用 表示出 的长，在直角三角形 中，利用勾股定理列出关于 的
方程，求出方程的解即可得到结果．
【详解】解：设 米，米， 米，
（米 ， 米，
在 中， 米， 米， 米，
根据勾股定理得： ，
解得： ，
则秋千的长度是5米．
故选：C．
【点睛】此题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．
8. 如图，分别在四边形ABCD的各边上取中点E，F，G，H，连接EG，在EG上取一点M，连接HM，过
F作 ，交EG于N，将四边形ABCD中的四边形①和②移动后按图中方式摆放，得到四边形
和 ，延长 ， 相交于点K，得到四边形 ．下列说法中，错误的是（
）
A. B.
C. 四边形 是平行四边形 D.
【答案】D
【解析】
【分析】 ，从而A正确；根据对称或全等得出B正确；根据 ，得出C正确； 得出D错误．
【详解】解：如图，
四边形 四边形 ，四边形 四边形 ，四边形 四边形 ，
，
故A正确；
顺次连接 ，连接 ，得 ，于是 ，
可得 ，所以 ，
故B正确；
由对称性可得： ，
，
，
四边形 是平行四边形，
故C正确；
四边形 是平行四边形，
，
不一定平行于 ，
不一定等于 ，
不一定等于 ，
故D不正确，
故答案为：D．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，中心对称及其性质的，全等图形判定等知识，解决问题的
关键是掌握有关知识．
二、填空题（每题3分，共24分）9. 若 在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】根据二次根式有意义的条件得到 ，解不等式即可得到答案．
【详解】解：∵ 在实数范围内有意义，
∴ ，
∴ ，
故答案为：
【点睛】此题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握被开方式为非负数是二次根式有意义的条件是解题
的关键．
的
10. 如图，在平行四边形 中， ， ， 平分线 交 于点 ，则平
行四边形 的周长为________．
【答案】32
【解析】
【分析】由平行四边形的性质可得 ， ，由平行线的性质和角平分线的性质可得
，即可求解．
【详解】∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∴平行四边形 的周长为： ，
故答案为：32．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、角平分线的性质，找到 并求出 的长是解决本题的
关键．
11. 已知直角三角形的两条边长分别为 和 ，则第三边长为______．
【答案】 或 ## 或
【解析】
【分析】分 是斜边长、 是直角边长两种情况，根据勾股定理计算即可．
【详解】解：当 是斜边长时，由勾股定理得：另一条直角边长 ，
当 是直角边长时，斜边长 ，
综上所述：第三边长为 或 ，
故答案为： 或 ．
【点睛】本题考查的是勾股定理，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．
12. 在Rt△ABC中，∠ACB=90°,AC=6,BC=8,则斜边AB上的高线长为____________.
【答案】
【解析】
【分析】首先根据题意推出 AB的长度，然后根据斜边 AB上的高线长为 a，根据三角形面积可得：
ACBC=ABa，即可推出a的长度，便可推出结论．
∙ ∙ 在
【详解】∵ Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，
∴AB= 10，
∴根据三角形面积可得：ACBC=ABa，
∙ ∙∴a= 4.8，
故答案为4.8
【点睛】本题主要考查勾股定理，直角三角形斜边上的中线的性质，关键在于求出a和b的值．
13. 如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点A，C的坐标分别是（4，-2），（1，2），点B
在x轴上，则点B的横坐标是________．
【答案】5
【解析】
【分析】由两点距离公式可求AC的长，由矩形的性质可求OB＝AC＝5，即可求解．
【详解】解：连接AC，
∵点A（4，﹣2），点C（1，2），
∴AC＝ ，
∵四边形ABCO是矩形，
∴OB＝AC＝5，
∴点B的横坐标为5，
故答案为：5．
【点睛】本题考查了矩形的性质，坐标与图形的性质，掌握矩形的对角线相等是解题的关键．
14. 如图，在 中，点D，点E分别是 ， 的中点，点F是 上一点，且 ，若， ，则 的长为________．
【答案】2
【解析】
【分析】根据三角形中线定理求出 ，再根据直角三角形的性质求出 ，再进行计算即可．
【详解】解： 点D、E分别是 、 的中点，
∵
是 的中线，
，
，
，
在 中， ，点E是 的中点， ，
，
，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了三角形中线定理和直角三角形的性质，熟练掌握三角形的中线平行于第三边，且等于
第三边的一半是解题的关键．
15. 如图，在矩形ABCD中，点E在边AD上，EF平分∠AEC交BC于点F．若AD＝7，AE＝CD＝3，则
BF的长为____．【答案】2
【解析】
【分析】由已知易得∠AEF=∠FEC=∠EFC，进而可得EC＝FC，再由勾股定理求出EC即可解答．
【详解】解：∵在矩形ABCD中， ， ， ；
∴∠AEF=∠EFC，
又∵∠AEF=∠FEC
∴∠FEC=∠EFC，
∴EC＝FC，
∵AD＝7，AE＝CD＝3，
∴ED＝AD-AE=4，
∴ ，
∴BF=BC-FC=7-5=2，
故答案为2．
【点睛】本题考查了矩形的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握矩形的性质，并能利用
勾股定理进行推理计算是解决问题的关键.
16. 用4张全等的直角三角形纸片拼接成如图所示的图案，得到两个大小不同的正方形．若正方形ABCD
的面积为10，AH＝3，则正方形EFGH的面积为____．
【答案】4
【解析】
【分析】根据正方形的面积，可得AD2=10，再根据勾股定理求出DH的值，从而得四个直角三角形的面积
之和，进而即可求解．
【详解】解：∵正方形ABCD的面积为10，AH＝3，
∴AD2=10，
∴在 中，DH= ，∴ ，
∵四个直角三角形全等，
∴正方形EFGH的面积=10- =4，
故答案是：4．
【点睛】本题主要考查勾股定理和勾股弦图，掌握勾股定理，是解题的关键．
三、解答题（共52分，其中17，18，20，21每题5分，19，22－24每题6分，25题8分）
17. 计算： ．
【答案】2
【解析】
【分析】先将二次根式化成最简二次根式、化简绝对值，再计算二次根式的乘法与加减法即可得．
【详解】解：原式 ，
，
．
【点睛】本题考查了二次根式的乘法与加减法，熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键．
18. 已知 ，求代数式 的值．
【答案】
【解析】
【分析】先将式子化成 ，再把 代入，可求得结果.
【详解】 ＝
当 时， ，
∴ ＝
＝ ．
【点睛】本题主要考核了求代数式的值，解题关键是熟练掌握完全平方公式，将式子先变形再代入求值．19. 阅读下面材料：
在数学课上，老师提出如下问题：
已知：如图，在 中， ．
求作：矩形 ．
小明的思考过程是：
（1）由于求作矩形，回顾了矩形的定义和判定：
矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形；
矩形判定1：对角线相等的平行四边形是矩形；
矩形判定2：有三个角是直角的四边形是矩形．
（2）条件给出了 ，可以选矩形的定义或者矩形判定2；经过思考，小明选
择了“矩形定义”．
（3）小明决定通过作线段AC的垂直平分线，作出线段 的中点O，再倍长线段
，从而确定点D的位置．
小明的作法如下：
作法：（1）分别以点A，C为圆心，大于 的同样长为半径作弧，两弧分别交于点
E，F；
（2）作直线 ，直线 交 于点O；
（3）作射线 ，在 上截取 ，使得 ；
（4）连接 ， ．
∴ 四边形 就是所求作的矩形．
请你根据小明同学设计的尺规作图过程：
（1）使用直尺和圆规，依作法在图1中补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明：
证明：∵直线 是 的垂直平分线，
∴ ，∵ ，
∴四边形 是平行四边形（ ① ）（填推理的依据）．
∵ ，
∴四边形 是矩形（ ② ）（填推理的依据）．
（3）参考小明的作图思路，另外设计一种作法，利用直尺和圆规在图2中完成．
（温馨提示：保留作图痕迹，不用写作法和证明）
【答案】（1）见解析 （2）①对角线互相平分的四边形是平行四边形； ②有一个角是直角的平行四边
形叫做矩形
（3）见解析（方法不唯一）
【解析】
【分析】（1）根据小明同学设计的尺规作图过程作图即可；
（2）根据平行四边形、矩形的判定定理，结合所给证明过程，即可写出依据；
（3）利用直尺和圆规作 ， ，通过两组对边分别相等的四边形是平行四边形可知四边
形 是平行四边形，结合 可知四边形 是矩形．
【小问1详解】
解：如图：
【小问2详解】
解：补充后的证明过程如下：
证明：∵直线 是 的垂直平分线，∴ ，
∵ ，
∴四边形 是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）．
∵ ，
∴四边形 是矩形（有一个角是直角的平行四边形叫做矩形）．
故答案为：①对角线互相平分的四边形是平行四边形； ②有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．
【小问3详解】
解：作图如下：
作图方法：
以C点为圆心，AB长为半径作弧，以A点为圆心，BC长为半径作弧，两弧交于D点，连接AD，CD即可；
证明：由作图方法可知， ， ，
∴四边形 是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）．
∵ ，
∴四边形 是矩形（有一个角是直角的平行四边形叫做矩形）．
【点睛】本题考查尺规作图、平行四边形的判定、矩形的判定等知识点，熟练掌握几种基本的尺规作图方
法是解题的关键．
20. 绿都农场有一块菜地如图所示，现测得AB＝12m，BC＝13m，CD＝4m，AD＝3m，∠D＝90°，求这块
菜地的面积．
【答案】24m2
【解析】
【分析】连接AC，在Rt△ABC中，利用勾股定理求出AC的长，再利用勾股定理的逆定理证明△CAB为
直角三角形，然后根据菜地的面积=S -S 进行计算即可解答．
△CAB △ADC【详解】解： 如图，连接AC，
∵CD＝4m，AD＝3m，∠D＝90°，
∴AC＝
＝
＝5m．
∴S ＝ ＝6m2．
Rt△ADC
在△CAB中，AC＝5m，AB＝12m，BC＝13m，
∴ ，
∴△CAB为直角三角形，且∠CAB＝90°，
∴S ＝ ＝30m2，
Rt△CAB
∴菜地的面积＝S －S ＝24 m2．
△CAB △ADC
【点睛】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理，以及勾股定理的逆定理是解题的
关键．
21. 如图，在 中，点E，F分别在AD，BC上，且 ．求证： ．
【答案】见解析
【解析】
【分析】先得到AE∥FC，而AE=CF，所以AFCE是平行四边形，即可证明．
【详解】解：证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AE∥CF，又∵AE=CF，
∴四边形AFCE是平行四边形，
∴AF=CE．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握性质定理和判定定理是解题的关键．平行四边形
的五种判定方法与平行四边形的性质相呼应，每种方法都对应着一种性质，在应用时应注意它们的区别与
联系．
22. 如图，在 的正方形网格中，每个小方格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形
．
（1）在图①中，画一个直角三角形，使它的三边长都是有理数；
（2）在图②中，画一个直角三角形，使它的两边长是有理数，另外一边长是无理数；
（3）在图③中，画一个直角三角形，使它的一边长是有理数，另外两边长是无理数．
【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析；（3）答案见解析
【解析】
的
【分析】（1）作出边长分别为3，4，5 三角形即可．
（2）根据要求作出图形即可．
（3）根据要求作出图形即可．
【详解】解：（1）如图1中，△ABC即为所求（答案不唯一）．
（2）如图2中，△ABC即为所求（答案不唯一）．
（3）如图3中，△ACB即为所求（答案不唯一）．
【点睛】本题考查作图-应用与设计作图，勾股定理，勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题．
23. 如图，在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，DF＝BE，连接AF，
BF．
（1）求证：四边形BFDE是矩形；
（2）若AF平分∠DAB，CF＝3，BF＝4，求DF长．
【答案】（1）见详解；（2）5
【解析】
【分析】（1）先求出四边形BFDE是平行四边形，再根据矩形的判定推出即可；
（2）根据勾股定理求出BC长，求出AD＝DF，即可得出答案．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，
∵DF＝BE，
∴四边形BFDE是平行四边形，
∵DE⊥AB，
∴∠DEB＝90°，
∴四边形BFDE是矩形；
（2）解：∵四边形BFDE是矩形，
∴∠BFD＝90°，
∴∠BFC＝90°，
在Rt△BCF中，CF＝3，BF＝4，
∴BC＝5，
∵AF平分∠DAB，
∴∠DAF＝∠BAF，
∵AB∥DC，
∴∠DFA＝∠BAF，
∴∠DAF＝∠DFA，
∴AD＝DF，
∵AD＝BC，
∴DF＝BC，∴DF＝5．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，矩形的性质和判定，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，能综
合运用定理进行推理是解此题的关键．
24. 在数学课上，老师说统计学中常用的平均数不是只有算术平均数一种，好学的小聪通过网络搜索，又
得到了两种平均数的定义，他把三种平均数的定义整理如下：
对于两个数a，b，
称为a，b这两个数的算术平均数，
称为a，b这两个数的几何平均数，
称为a，b这两个数的平方平均数．
小聪根据上述定义，探究了一些问题，下面是他的探究过程，请你补充完整：
（1）若a = -1，b = -2，则M = ，N = ，P = ；
（2）小聪发现当a，b两数异号时，在实数范围内N没有意义，所以决定只研究当a，b都是正数时这三种
平均数的大小关系．结合乘法公式和勾股定理的学习经验，他选择构造几何图形，用面积法解决问题：
如图，画出边长为a+b的正方形和它的两条对角线，则图1中阴影部分的面积可以表示N2．
①请分别在图2，图3中用阴影标出一个面积为M2，P2的图形；
②借助图形可知当a，b都是正数时，M，N，P的大小关系是： （把M，N，P从小到大排列，并用
“＜”或“≤”号连接）．
【答案】（1） ， ， ；（2）①见解析；② ．
【解析】
【分析】（1）将 分别代入 求值即可得；
（2）①分别求出 ，再根据正方形的性质、矩形和直角三角形的面积公式即可得；②根据（2）①中的所画的图形可得 ，由此即可得出结论．
【详解】解：（1）当 时，
，
，
，
故答案为： ， ， ；
（2）① ，
则用阴影标出一个面积为 的图形如下所示：
，
则用阴影标出一个面积为 的图形如下所示：②由（2）①可知， ，当且仅当 ，即 时，等号成立，
都是正数，
都是正数，
，
为
故答案 ： ．
【点睛】本题考查了二次根式的应用、完全平方公式、正方形的性质等知识点，较难的是题（2）①，正
确利用完全平方公式进行变形运算是解题关键．
25. 如图，在平行四边形 中，对角线 ， 相交于点 ，若 ， 是 上的两个动点，分别
从 ， 两点以相同的速度向 ， 运动，速度为2cm/s．
（1）当E与F不重合时，四边形 是平行四边形吗？说明理由．
（2）若 ， ，当运动时间 为何值时，以 ， ， ， 为顶点的四边形是矩形？
说明理由．
【答案】（1）四边形 是平行四边形，理由见解析
（2） 或
【解析】
【分析】（1）根据平行四边形的性质得出 ， ，求出 、 互相平分，根据平行
四边形的判定得出即可；
(2)根据矩形的性质求出 ， ， ，即可得出答案．
【小问1详解】
当 与 不重合时，四边形 是平行四边形，理由如下：∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
∵ ， 是 上的两个动点，分别从 ， 两点以相同的速度向 ， 运动，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ 、 互相平分，
∴四边形 是平行四边形；
【小问2详解】
∵四边形 是平行四边形，
∴当 时四边形 是矩形，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 或 ，
∵ 、 两边动点的速度都是2cm/s，
∴ 或 ，
∴当运动时间 或 时，以 ， ， ， 为顶点的四边形是矩形．
【点睛】本题考查了矩形的判定，平行四边形的性质和判定的应用，能熟记矩形和平行四边形的性质和判
定是解此题的关键．
