文档内容
2024—2025 学年高三（上）质检联盟第一次月考
数 学
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在
本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．本试卷主要考试内容：集合、逻辑用语、不等式、函数、导数、概率统计、三角函数、平
面向量。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1．已知集合 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
2．曲线 的一条对称轴的方程可以为（ ）
A． B．
C． D．
3．已知向量 不平行，向量 与 平行，则 （ ）
A． B． C． D．
4．若 ，则 （ ）
A． B．
C． D．5．若甲、乙、丙、丁四人同上一辆有12节车厢的动车，则这4人恰有3人上同一节车厢的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．若函数 在 上单调递增，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
7．已知函数 对任意 ，都有 的图象关于点 对称，且
，则 （ ）
A． B． C． D．
8．已知函数 ，若关于 的不等式 有
实数解，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．某日，分针长为 的时钟从 走到 ，分针转动的弧度为 ，分针的针尖走过的弧长为 ，
则（ ）
A． B．
C． D．
10．已知一组数据为 ，其中 ，则（ ）
A．这组数据的中位数不可能为3
B．当这组数据的众数为1时，C．当 时，这组数据的方差为1.25
D．当这组数据的平均数为2.2时， 的最小值为
11．已知 ，则
A． B． C． D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．若 是定义在 上的奇函数，当 时， ，则 ______．
13．一质点沿着正西方向从点 到达点 ，在点 处测得点 在其北偏西 方向，且
，则 ______ ．
14．若函数 的部分图象如图所示，且 ，则 的最小
正周期为______， 在 上的零点个数为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）
已知函数 的导函数为 ．
（1）求函数 的最小值；
（2）求 在 上的单调区间与最值．
16．（15分）
在锐角 中，内角 所对的边分别为 ．
（1）求 ；（2）若 ，求 的周长．
17．（15分）
贵妃杏是河南省灵宝市黄河沿岸地区的一种水果，其果实个大似鹅蛋，外表呈橙黄色，阳面有晕．贵妃杏
口感甜美，肉质实心鲜嫩多汁，营养丰富，是河南省的知名特产之一．已知该地区某种植园成熟的贵妃杏
（按个计算）的质量 （单位：克）服从正态分布 ，且
．从该种植园成熟的贵妃杏中选取了10个，它们的质量
（单位：克）为 ，这10个贵妃杏的平均质量恰等于 克．
（1）求 ．
（2）求 ．
（3）甲和乙都从该种植园成熟的贵妃杏中随机选取1个，若选取的贵妃杏的质量大于100克且不大于104
克，则赠送1个贵妃杏；若选取的贵妃杏的质量大于104克，则赠送2个贵妃杏．记甲和乙获赠贵妃杏的
总个数为 ，求 的分布列与数学期望．
18．（17分）
已知函数 ．
（1）若 的终边经过点 ，求 的值；
（2）将 的图象向左平移 个单位长度后得到一个偶函数的图象，求 的最小值；
（3）若函数 在 上的最大值为整数，求 的值．
19．（17分）
当一个函数值域内任意一个函数值 都有且只有一个自变量 与之对应时，可以把这个函数的函数值 作
为一个新的函数的自变量，而这个函数的自变量 作为新的函数的函数值，我们称这两个函数互为反函数．
例如，由 ，得 ，通常用 表示自变量，则写成 ，我们称
与 互为反函数．已知函数 与 互为反函数，若 两点在曲线
上， 两点在曲线 上，以 四点为顶点构成的四边形为矩形，且该矩形的其中一条边与直线 垂直，则我们称这个矩形为 与 的“关联矩形”．
（1）若函数 ，且点 在曲线 上．
（i）求曲线 在点 处的切线方程；
（ii）求以点 为一个顶点的“关联矩形”的面积．
（2）若函数 ，且 与 的“关联矩形”是正方形，记该“关联矩形”的面积为S．证
明： ．（参考数据： ）2024—2025 学年高三（上）质检联盟第一次月考
数学参考答案
1．C 因为 ，所以 ．
2．B 令 ，得 ，所以曲线 的一条对称轴的方程
可以为 ．
3．A 因为向量 与 平行，所以 ．因为向量
不平行，所以 解得 ．
4．D 因为 ，
所以 ，所以 ．
5．A 依题意可得这4人恰有3人上同一节车厢的概率为 ．
6．D ，依题意可得 ，当 时， ，则
，所以 ．
7．B （方法一）因为 的图象关于点 对称，所以 ，又
，所以 ，所以 是周期为 的周期函数，所以（方法二）取 满足题意，得
．
8．A 令 ，则 ，则 在
上单调递增，因为 ，所以 是奇函数．
因为 ，
所以 等价于 ，
则 ，所以 ，
即 ，所以 ．
9．AC 因为分针是按照顺时针旋转的，所以转动的弧度为负数，所以
10．BCD 当 时，这组数据的中位数为 ，A错误．当这组数据的众数为1时，若 ，则这组数
据的众数为3，这与这组数据的众数为1矛盾，所以 ，B正确．
当 时， ，C正确．
当这组数据的平均数为2.2时， ，则
，当且仅当 ，即
时，等号成立，D正确．
11．ACD ．令，则 在 上单调递减，所以
，即 ．因为 ，所以 ．令
，则
在 上单调递减，所以 ，即 ．
12．2 因为 ，所以 ．又 ，故
．
13． 由题可知 ，在 中，由余弦定理可得
14． 令 ，得 ，则 ．令 ，得 ，则
．令 ，得 ，则 ．因为 ，所以
，解得 ．所以 的最小正周期为 ．当
时， ，令 ，得 ，所以
在 上的零点个数为350．
15．解：（1） ，当且仅当 ，即 ，即 时，等号成立，
所以 的最小值为 ．
（2）令 ，得 或 ．
当 时， 的单调递减区间为 ．
当 或 时， 的单调递增区间为 ．
因为 ，
所以 在 上的最大值为5，最小值为-27．
16．解：（1）因为 ，所以 ．
因为 ，所以 ．
因为 为锐角，所以 ．
（2） ．
在锐角 中， ，即 ，
解得 或 ．
当 时， 为钝角，不符合题意．
当 时，经验证，符合题意．
故 的周长为 ．
17．解：（1） ．（2）因为 ，所以 ，
所以 ．
（3）设1人获赠贵妃杏的个数为 ，则 ．
依题意可得 的可能取值为 ，
，
，
，
，
则 的分布列为
0 1 2 3 4
0.25 0.3 0.29 0.12 0.04
所以 ．
18．解：（1）因为 的终边经过点 ，所以 ，
又 ，所以 ，
所以 ．
（2）
，则．
将 的图象向左平移 个单位长度后得到 的图象，
依题意可得 ，
则 ，因为 ，所以 ．
（3）若 ，则 ，
则 ．
设 ，则 ．
因为 ，所以 为减函数，
所以 ，
又 的最大值为整数，所以 ，即 ．
19．（1）解：（i）因为点 在曲线 上，所以 ．
由 ，得 ，则 ，
则曲线 在点 处的切线方程为 ．
（ii）由 ，得 ．
根据对称性可设 关于直线 对称，可得 ，则 ．
若 ，则直线 的方程为 ，与曲线 相切，不符合题意．
若 ，则直线 的方程为 ，联立方程组 解得 或
（舍去），
则 ，
则该“关联矩形”的面积 ．
（2）证明：由 ，得 ．
显然 ，根据对称性可设 关于直线 对称， 关于直线 对称，且
．设 ，其中 ，且
．
因为“关联矩形”是正方形，所以 ，
．由 ，得 ．
由 ，可得 ．
令 ，则 ，则 在 上单调递增．由
，可得 ．令 ，则 ，当 时， 单调递增，则
从而 ．
