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微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
九年级数学
注意事项：
1．本试卷共7页，共两部分，28道题，满分100分．考试时间120分钟．
2．在试卷和答题纸上准确填写学校名称、姓名和准考证号．
3．试题答案一律填涂或书写在答题纸上，在试卷上作答无效．
4．在答题纸上，选择题用2B铅笔作答，其他题用黑色字迹签字笔作答．
第一部分 选择题
一、选择题（共16分，每题2分）
第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1. 我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．下图为部分“卦”的符号，其中是中心对称图形的是
（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查中心对称图形的识别，掌握把图形绕某点旋转180°后能和自身重合的图形是中心对称图
形是解题的关键．
【详解】A.是中心对称图形，符合题意；
B.不是中心对称图形，不符合题意；
C.不是中心对称图形，不符合题意；
D.不是中心对称图形，不符合题意；
故选A．
2. 抛物线 的顶点坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据二次函数的性质，利用顶点式即可得出顶点坐标.
【详解】∵抛物线 ，
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∴抛物线 的顶点坐标是： ，
故选A.
【点睛】此题主要考查了利用二次函数顶点式求顶点坐标，此题型是中考查重点，应熟练掌握.
3. 若关于 的一元二次方程 有一个根为1，则 的值为（ ）
A. 3 B. 0 C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】把 代入 ，转化为m的方程求解即可．本题考查了方程根的定义即使方程左
右两边相等的未知数的值，转化求解是解题的关键．
【详解】把 代入 ，
得 ，
解得 ，
故选A．
4. 在平面直角坐标系 中，抛物线 如图所示，则关于 的方程 的根的
情况为（ ）
A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 有实数根 D. 没有实数根
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了二次函数图象与一元二次方程的关系；依题意，关于 的方程 的根即
抛物线 与 的交点的横坐标，根据函数图象即可求解．
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【详解】解：依题意， 与 无交点，即关于 的方程 的根的情况为没有实
数根，
故选：D．
5. 如图，在 中， 为直径， ， 为圆上的点，若 ，则 的大小为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了圆周角定理，由直径所对的圆周角是 得出 ，根据直角三角形的两个
锐角互余结合圆周角定理计算即可．
【详解】∵在 中， 为直径，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故选D．
6. 如图， 的半径为2，将 的内接正六边形 绕点 顺时针旋转，第一次与自身重合时，
点 经过的路径长为（ ）
A. 2 B. C. D.
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【答案】C
【解析】
【分析】本题考查旋转对称图形，解题的关键是求出第一次重合的旋转角，然后根据弧长公式计算是解题
的关键．
【详解】解：∵ 的内接正六边形 绕点 顺时针旋转，第一次与自身重合时旋转角为 ，
∴点 经过的路径长为 ，
故选C．
7. 林业部门考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，统计数据如下：
移植总数 10 270 750 1500 3500 7000 14000
成活数 8 235 662 1335 3180 6292 12628
成活的频率
0.800 0.870 0.883 0.890 0.909 0.899 0.902
结果保留小数点后三位
下列说法正确的是（ ）
A. 若移植10棵幼树，成活数将为8棵
B. 若移植270棵幼树，成活数不会超过235棵
C. 移植的幼树越多，成活率越高
D. 随着移植总数的增加，幼树移植成活的频率总在0.900左右摆动，显示出一定的稳定性，可以估计该幼
树在同等条件下移植成活的概率为0.900
【答案】D
【解析】
【分析】题考查了利用频率估计概率，概率的意义．概率是大量重复实验的情况下，频率的稳定值可以作
为概率的估计值，即次数越多的频率越接近于概率．
【详解】解：∵概率是大量重复实验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值，即次数越多的频率
越接近于概率，
∴所以这种幼树移植成活率的概率约为 ，
故选D．
8. 如果一个圆的内接三角形有一边的长度等于半径，那么称其为该圆的“半径三角形”．给出下面四个结
论：
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①一个圆的“半径三角形”有无数个；
②一个圆的“半径三角形”可能是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形；
③当一个圆的“半径三角形”为等腰三角形时，它的顶角可能是 ， 或 ；
④若一个圆的半径为 ，则它的“半径三角形”面积最大值为 ．
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A. ①② B. ②③ C. ①②③ D. ①②④
【答案】C
【解析】
【分析】根据圆的“半径三角形”的概念判断①②；根据圆周角定理、等腰三角形的概念判断③；根据垂
径定理求出 ，根据勾股定理求出 ，求出 的最大面积，判断④．
的
【详解】如图， ，即 长度等于半径，
，即 的长度等于半径，
以 为边的圆的内接三角形有无数个，故①结论正确；
为等边三角形，
，
当点 在优弧 上时， ，
当点 在劣弧 上时， ，
当点 在圆上移动时， 可能是 ，
一个圆的“半径三角形”可能是锐角三角形，直角三角形或钝角三角形，故②正确；
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由以上可知， 可以是 或 ，
当 ， 时，
，
当一个圆的“半径三角形”为等腰三角形时，它的顶角可能是 ， 或 ，
故③正确；
过 作 于 ，
，
，
当点 为优弧 的中点时， 的面积最大，
，
故④错误；
故选：C
【点睛】本题主要考查了三角形的外接圆，圆周角定理，等腰三角形的性质，灵活运用分情况讨论思想是
解本题的关键．
第二部分 非选择题
二、填空题（共16分，每题2分）
9. 在平面直角坐标系 中，将抛物线 向下平移1个单位，得到的抛物线表达式为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，函数图象平移规律是：左加右减，上加下减．
【详解】解：抛物线 向下平移1个单位，得到的抛物线表达式为 ，
故答案为： ．
10. 如图，由 个相同的正方形组成的十字形纸片沿直线 和 剪开后重组可得到矩形 ，那么
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②可看作①通过一次________得到（填“平移”“旋转”或“轴对称”）．
【答案】旋转
【解析】
【分析】本题考查几何变换类型，解题的关键是利用旋转变换的性质判断即可．
【详解】解：观察图形可知，②可看作①绕着点 顺时针旋转 得到，
为
故答案 ：旋转．
11. 若关于 的一元二次方程 有整数根，则整数 的值可以是________（写出一个即可）．
【答案】 （答案不唯一）
【解析】
【分析】本题考查了直接开平方法解方程，答案不唯一，
【详解】一元二次方程 有整数根，
则整数 ，
故答案为：1（答案不唯一）．
12. 已知 是 的二次函数，表中列出了部分 与 的对应值：
0 1 2
0 1
则该二次函数有________（填“最小值”或“最大值”）．
【答案】最大值
【解析】
【分析】本题考查了待定系数法求解析式，抛物线的最值判断，设抛物线解析式为 ，根据
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题意，得 ，解得 ，根据解析式判断即可．
【详解】，设抛物线解析式为 ，
根据题意，得 ，
解得 ，
故解析式为 ，
∵ ，
∴抛物线有最大值，
故答案为：最大值．
13. “青山绿水，畅享生活”，人们经常将圆柱形竹筒改造成生活用具，图1所示是一个竹筒水容器，图
为该竹筒水容器的截面．已知截面的半径为 ，开口 宽为 ，这个水容器所能装水的最大深
度是________ ．
【答案】
【解析】
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【分析】连接 ，过点O作 于点D，交 于点C，先由垂径定理求出 的长，再根
据勾股定理求出 的长，进而可得出 的长．本题考查的是垂径定理的应用和勾股定理，根据题意作
出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
【详解】解：连接 ，过点O作 于点D，交 于点C，如图所示：
∵ ，
∴ ，
由题意得： ，
在 中，
，
∴ ，
即水的最大深度为 ，
故答案为： ．
14. 如图， ， 是 的两条切线，切点分别为 ， ， ．若 的半径为3，则图中阴
影部分的面积为________（结果保留 ）．
【答案】
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【解析】
【分析】题考查了切线的性质，四边形的内角和，扇形的面积．先根据切线的性质得到
，然后根据四边形的内角和得到 ，再根据扇形面积公式计算是解题
的关键．
【详解】解：∵ ， 是 的两条切线，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
15. 如图，将面积为25的正方形 的边 的长度增加 ，变为面积为22的矩形 ．若正方形
和矩形 的周长相等，则 的值是________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了矩形、正方形的性质，一元二次方程的解法等．根据正方形的面积可得正方形
的边长为 ，再根据正方形 和矩形 的周长相等，可得 ，再由矩形的面积
建立方程求解即可得出答案．
【详解】∵正方形 的面积为 ，
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的
∴正方形 边长为 ，
由题意得： ，
∵正方形 和矩形 的周长相等，
，
，
∵矩形 的面积为 ，
，即 ，
解得： ，
，
，
故答案为：
16. 小云将9张点数分别为 的扑克牌以某种分配方式全部放入 ， 两个不透明的袋子中（每个袋子
至少放一张扑克牌），从两个袋子中各随机抽取一张扑克牌，将两张扑克牌的点数之和为 这一事件的概
率记为 ．
（1）若将点数为1和2的扑克牌放入 袋，其余扑克牌放入 袋，则 ________；
（2）对于所有可能的分配方式以及所有的 ， 的最大值是________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】本题考查列表法或树状图法求简单随机事件发生的概率，列举出所有等可能出现的结果是正确解
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答的关键.
（1）用列表法表示将点数为 和 的扑克牌放入 袋，其余扑克牌放入 袋，从两个袋子中各随机抽取一
张扑克牌，将两张扑克牌的点数之和为 的所有等可能出现的结果，再根据概率的定义进行计算即可；
（2）列举出所有可能出现的结果，再由概率的定义进行计算即可.
【详解】（1）用列表法表示将点数为 和 的扑克牌放入 袋，其余扑克牌放入 袋，从两个袋子中各随
机抽取一张扑克牌，将两张扑克牌的点数之和为 的所有等可能出现的结果如下：
3 4 5 6 7 8 9
1
1 4 5 6 7 8 9
0
1 1
2 5 6 7 8 9
0 1
共有 种等可能出现的结果，其中两张扑克牌的点数之和为 的有 种，
所以两张扑克牌的点数之和为8的概率，即 ，
故答案为： ；
（2）当 的值最大时， 袋中、 袋中各含有 个数、 个数，此时共有 种等可能出现的结果,两张
扑克牌的点数之和为 出现的次数最多为 次,
因此 的最大值为 ，
故答案为： ．
三、解答题（共68分，第17-19题，每题5分，20题6分，第21-23题，每题5分，第24-26
题，每题6分，第27-28题，每题7分）
解答写出文字说明、演算步骤或证明过程．
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17. 解方程： ．
【答案】
【解析】
【分析】利用公式法求解即可．本题考查了解方程，选择适当解方程的方法是解题的关键．
【详解】∵ ，
∴ ，
∴ ，
解得 ．
18. 已知 ，求代数式 的值．
【答案】8
【解析】
【分析】本题考查了已知式子的值，求代数式的值及完全平方公式，正确变形，整体代入计算即可．
【详解】∵ ，
∴ ，
∴
．
19. 如图，在 中， ，将 绕点 逆时针旋转得到 ，使点 在 的延长
线上．求证： ．
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【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查旋转的性质，等边对等角，根据旋转得到 ，即可得到 ，
，根据等边对等角得到 是解题的关键．
【详解】证明：∵ 绕点 逆时针旋转得到 ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
20. 已知关于 的方程 有两个不相等的实数根．
（1）求 的取值范围；
（2）若 为符合条件的最小整数，且该方程的较大根是较小根的2倍，求 的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据方程的根的判别式 即可．
（2）根据根的判别式，结合根的整数性质，根与系数关系定理，解答即可，熟练掌握根的判别式和根与
系数关系定理是解题的关键．
【小问1详解】
∵方程 ， ，
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∴ ，
∴ ，
解得 ．
【小问2详解】
∵ 的两个实数根分别是 ， ，且 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 为符合条件的最小整数，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得 ，
∴ 或 ，
∴ 或 （舍去），
故 ．
21. 如图， 是 外一点， 与 相切，切点为 ．画出 的另一条切线 ，切点为 ．小云
的画法是：
①连接 ，过点 画出 的垂线交 于点 ；
②画出直线 ．
直线 即为所求．
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（1）根据小云的画法，补全图形；
（2）补全下面的证明．
证明：连接 ， ．
， ，
垂直平分 ， ．
．
．
．
是 的切线， 为切点，
．
．
．
于点 ．
是 的半径，
是 的切线（ ）（填推理的依据）．
【答案】(1) 见解析(2) ， ，过半径的外端点并垂直于半径的直线是圆的切线
【解析】
【分析】本题考查了切线的基本作图，切线的证明．
(1)根据垂线的基本作图，作图即可．
(2)根据切线的判定证明即可．
【详解】(1)根据垂线的基本作图，作图如下：
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直线 即为所求．
(2)证明：连接 ， ．
， ，
垂直平分 ， ．
．
．
．
的
是 切线， 为切点，
．
．
．
于点 ．
是 的半径，
是 的切线（过半径的外端点并垂直于半径的直线是圆的切线）．
故答案为： ， ，过半径的外端点并垂直于半径的直线是圆的切线．
22. 不透明袋子中装有1个红球，1个绿球和2个黄球，这些球除颜色外无其他差别．
（1）从袋子中随机摸出1个球，摸出的球是黄球的概率为________；
（2）从袋子中随机摸出一个球后，不放回，再从剩余的球中随机摸出一个．请利用列表或画树状图的方
法，求摸出的两个球恰好是一个红球和一个黄球的概率．
【答案】（1）
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（2）
【解析】
【分析】本题考查了概率公式计算，画树状图法计算，正确选择方法是解题的关键．
(1)利用公式计算即可．
(2) 不放回型的概率计算，利用画树状图法计算即可．
【小问1详解】
一共有4种等可能性，摸出的球是黄球有2种等可能性，
故摸出的球是黄球的概率为 ，
故答案为： ．
【小问2详解】
根据题意，画树状图如下：
一共有12种等可能性，其中，摸出的两个球恰好是一个红球和一个黄球的等可能性有4种．
故摸出的两个球恰好是一个红球和一个黄球的概率是 ．
23. 在平面直角坐标系 中，抛物线 经过点 ， ．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）过点 与 轴垂直的直线 与抛物线交于点 ， ，其中 ，与直线 交
于点 ．若 ，直接写出 的取值范围．
【答案】（1）
（2）
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【解析】
【分析】本题考查了待定系数法求解析式，抛物线的性质求字母的范围．
（1）把点 ， 分别代入解析式，联立构成方程组，解答即可．
（2）利用数形结合思想，解答即可．
【小问1详解】
把点 ， 分别代入 ，得
，
解得 ，
故抛物线的解析式为 ．
【小问2详解】
根据题意，得点N在A，B之间运动时，满足了 ，
此时函数值 ，
故 ．
24. 如图，在边长为 的正方形 各边上取点 ， ， ， （可与 ， ， ， 重合），
使得四边形 为正方形．设 为 ，正方形 的面积为 ．
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（1） 关于 的函数表达式是________，自变量 的取值范围是________；
的
（2）在下面 平面直角坐标系 中，画出（1）中函数的图象；
（3）当 ________ 时，正方形 面积有最小值________ ．
【答案】（1） ，
（2）见解析 （3）2；8
【解析】
【分析】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，二次函数的应用，全等三角形的性质与判定：
（1）由正方形的性质得到 ，证明 ，得到
，则 ，利用勾股定理得到 ，则
；
（2）根据（1）所求画出对应的函数图象即可；
（3）根据二次函数的性质求解即可．
【小问1详解】
解：∵四边形 为正方形，四边形 为正方形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
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∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
故答案为： ， ；
【小问2详解】
解；如图所示函数图象即为所求；
【小问3详解】
解： ，
∴当 时， 最小，最小值为8，
∴当 时，正方形 面积有最小值 ，
故答案为：2；8．
25. 如图， 为半圆 的直径，点 ， 在半圆 上，直线 与半圆 相切于点 ， ．
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（1）若 ，求 的大小（用含 的式子表示）；
（2）过点 作 交 于点 ，交 于点 ，若 ， ，求 的长．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】(1) 根据 得 ，结合圆周角定理，得到 ，
求解即可．
(2) 根据 得 ，结合圆周角定理，得到 ，根据特殊角的三角函数求解即可．
【小问1详解】
∵ ，
∴ ，
∴ ．
【小问2详解】
根据(1)的证明，得 ，
∵ ， ，
∴ ，
∵直线 与半圆 相切于点 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得 ，
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∵ ，
∴ ，
∵ ，
解得 ．
【点睛】本题考查了切线的性质，平行线的性质，圆周角定理，垂径定理，特殊角的正切值，熟练掌握切
线的性质，圆周角定理，垂径定理，特殊角的函数值是解题的关键．
26. 在平面直角坐标系 中，点 ，点 在抛物线
上．设抛物线的对称轴为直线 ．
（1）当 时，
①直接写出 与 满足的等量关系；
②比较 ， 的大小，并说明理由；
（2）已知点 在该抛物线上，若对于 ，都有 ，求 的取值范围．
【答案】（1）① ②
（2）
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握二次函数的性质．
（1）①利用对称轴公式求得即可；②利用二次函数的性质判断即可；
（2）由题意可知点 在对称轴的左侧，点 在对称轴的右侧，点 到对称轴的距
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离大于点 到对称轴的距离，据此即可得到 ，解得
【小问1详解】
① ，
∴ ；
②∵抛物线 中， ，
∴抛物线开口向上，
∵点 点 在抛物线 上，对称轴为直线 ，
∴点 到对称轴的距离大于点 到对称轴的距离，
∴ ；
【小问2详解】
由题意可知，点 )在对称轴的左侧, 点 在对称轴的右侧，
，都有 ，
∴点 到对称轴的距离大于点 到对称轴的距离，
，解得 ，
∴ 的取值范围是 ．
27. 如图，在 中， ，点 ， 分别在边 ， 上，连接 ， ．
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（1）求证： ；
（2）连接 ，点 为 的中点，连接 ， ．
①依题意补全图形；
②若 ，求 的大小．
【答案】（1）见解析 （2）①见解析 ②
【解析】
【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，作辅
助线构造全等三角形是解题的关键．
（1）根据等边对等角得到 ，进而得到 再根据等校对等边即可得到结论；
（2）①根据题意补图即可；
②延长 至点 ，使 ，连接 ，则四边形 是平行四边形，然后推导
， 得 到 ， 然 后 得 到 ，
即可得到结论．
【小问1详解】
证明：∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴
∴ ；
【小问2详解】
①如图所示,
②延长 至点 ，使 ，连接 ，
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∵点 为 的中点，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ 垂直平分 ，
∴ ，
由（1）得: ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
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又∵ ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
28. 在平面直角坐标系 中，将中心为 的正方形记作正方形 ，对于正方形 和点 （不与 重
合）给出如下定义：若正方形 的边上存在点 ，使得直线 与以 为半径的 相切于点 ，则称
点 为正方形 的“伴随切点”．
（1）如图、正方形 的顶点分别为点 ， ， ， ．
①在点 ， ， 中，正方形 的“伴随切点”是 ；
②若直线 上存在正方形 的“伴随切点”，求 的取值范围；
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（2）已知点 ，正方形 的边长为 ．若存在正方形 的两个“伴随切点” ， ，使得
为等边三角形，直接写出 的取值范围．
【答案】（1）① ；② 或
（2） 或
【解析】
【分析】（1）①根据新定义，即可求解；
②分 ， 时，分别讨论，设直线 与坐标轴分别交于点 ，作 交 轴于点
，过点 作 于点 ，则 ，根据 ，即可得出 的范围；
（2）依题意， ，进而得出 ，即 ，解一元二次方程，结合
图形，即可求解．
【小问1详解】
解：①正方形 的顶点分别为点 ， ， ，
∴ ，
则正方形 的边长为 ，对角线长为
∴ ，
∵ ，即 到 的距离为 ，
而 到 的距离小于 ，
∴在点 ， ， 中，正方形 的“伴随切点”是 ，
故答案为： ．
②解：由①可得 ，
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如图所示，当 时
设直线 与坐标轴分别交于点 ，作 交 轴于点 ，过点 作 于点
∴ ， ，
∵ ，
∴
∴
当 时，
∴
解得： 或 （舍去）
当 时，则 ，解得： ，
∵
∴
当 时，如图所示，过点 作 于点 ，
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∵ ，
∴
∴
当 时，
∴
解得：
当 时，则 ，解得： ，
∴ ；
综上所述， 或 ；
【小问2详解】
解：∵点 ，正方形 的边长为 ．
∴
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`
∴ ，当点 在 上时取得等于号，
∵ 为等边三角形， 为正方形的中心，则
∴
∴ ，则
∴
∵ ，即
∴当 ，解得： 或
当 ，解得： 或
∴ 的解集为： 或 ．
∴ 或 ．
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【点睛】本题考查了新定义，相似三角形的性质与判定，切线的性质，正方形的性质，勾股定理，解一元
二次方程，理解新定义是解题的关键．
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