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C21 级八上期末复习综合练习（二）
一．选择题（本题共24分，每题3分）
1. 随着自主研发能力的增强，我国在制造芯片最重要也是最艰难的技术上有了新突破——光刻机，将在
2021~2022年交付第一台28nm工艺的国产沉浸式光刻机．其中数据28nm（即0.000000028m）用科学记数
法可表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为 ，与较大数的科学记数法
不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】解：28nm＝ ＝ ．
故选：C．
【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为 ，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边
起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
2. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据平方根的性质：一个正数的平方根的平方等于这个数；一个正（负）数的平方的正平方根等
于这个数（这个数的相反数）．一一进行计算与判断即可．
【详解】解：A、 ，故此选项错误，不符合题意；
B、 ，故此选项错误，不符合题意；
C、 ，故此选项正确，符合题意；
D、 ，故此选项错误，不符合题意；
故选：C．【点睛】此题考查了平方根的性质，熟练掌握并运用平方根的性质是解答此题的关键．
3. 给出下列各式：① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥ ．其中二次根式的个
数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据二次根式的定义即可作出判断．
【详解】解：①∵ ，∴ 是二次根式；
②6不是二次根式；
②∵ ，∴ 不是二次根式；
④∵ ，∴ ，∴ 是二次根式；
⑤∵ ，∴ 是二次根式；
⑥ 是三次根式，不是二次根式．
所以二次根式有3个．
故选：B．
【点睛】本题考查的是二次根式的定义，解题时，要注意：一般地，我们把形如 的式子叫做二
次根式．
4. 已知 可以用完全平方公式进行因式分解，则k的值为（ ）
A. B. 3 C. 6 D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可求出k的值．
【详解】解：∵ 可以用完全平方公式进行因式分解，
∴ ，∴ ，
故选：D．
【点睛】此题考查了因式分解-运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
5. 小东一家自驾车去某地旅行，手机导航系统推荐了两条线路，线路一全程75km，线路二全程90km，汽
车在线路二上行驶的平均时速是线路一上车速的1.8倍，线路二的用时预计比线路一用时少半小时，如果
设汽车在线路一上行驶的平均速度为xkm/h，则下面所列方程正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设汽车在线路一上行驶的平均速度为xkm/h，则在线路二上行驶的平均速度为1.8xkm/h，根据线
路二的用时预计比线路一用时少半小时，列方程即可．
【详解】设汽车在线路一上行驶的平均速度为xkm/h，则在线路二上行驶的平均速度为1.8xkm/h，
由题意得： ，
故选A．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是，读懂题意，设出未知数，找出合适
的等量关系，列出方程．
6. 计算 的结果为（ ）
A. 1 B. C. 2 D.
【答案】D
【解析】
【分析】逆用积的乘方公式计算即可．
【详解】∵
= ，
故选D．
【点睛】本题考查了逆用积的乘方公式计算，熟练掌握公式是解题的关键．7. 下列各组数中，以它们为边长的线段不能构成直角三角形的是（ ）
A. 3，4，5 B. ， ， C. 5，12，13 D. 1， ，
【答案】B
【解析】
【分析】满足两边的平方和等于第三边的平方即可，即 ，可以构成直角三角形，据此进行判
断即可．
【详解】解：A. ，能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
B. ，不能构成直角三角形，故此选项符合题意；
C. ，能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
D. ，能构成直角三角形，故此选项不符合题意．
故选：B
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理,熟练掌握两边的平方和等于第三边的平方的三角形是直角三角形是
解题的关键．
8. 如图所示的一块地，已知∠ADC=90°，AD=12m，CD=9m，AB=25m，BC=20m，则这块地的面积为（
）平方米．
A. 96 B. 204 C. 196 D. 304
【答案】A
【解析】
【分析】连接AC，运用勾股定理逆定理可证 为直角三角形，可求出两直角三角形的面积，
此块地的面积为两个直角三角形的面积差．
【详解】连接AC，
则在 中， ，∴AC=15，在 中， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选：A．
【点睛】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理和三角形面积的应用，解题的关键是正确添加辅助线.
二．填空题（本题共16分，每题2分）
9. 因式分解 结果是_____________．
【答案】（a-1）2（a+1）
【解析】
【分析】原式变形后，提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
【详解】原式＝a2(a−1)-(a-1)=（a−1）（a2−1）＝（a−1）2（a+1）．
故答案为：（a−1）2（a+1）．
【点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
10. 如果分式 的值为零，那么x＝_____．
【答案】
【解析】
【分析】根据分式的值为零的条件可得 ，且 ，即可求解．
【详解】解：∵分式 的值为零，
∴ ，且 ，
解得 ．故答案为： ．
【点睛】本题考查了分式的值为0的条件，解一元二次方程，掌握以上知识是解题的关键．
11. 若二次根式 在实数范围内有意义，则x的取值范围是________．
【答案】 ##
【解析】
【分析】根据二次根式被开方数为非负数列不等式求解即可．
【详解】解：∵二次根式 在实数范围内有意义，
∴ ，
解得 ，
故答案为：
【点睛】此题考查了二次根式，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．
12. 若 ，则 的值为________．
【答案】11
【解析】
【分析】把 利用完全平方公式变形为 ，再把 整体代入进行计算即可．
【详解】解：∵ ，
∴
故答案为：11【点睛】此题考查了二次根式的运算、代数式的求值，利用完全平方公式变形是解题的关键．
13. 若y＝ ，则 的平方根为 _____．
【答案】
【解析】
【详解】由二次根式有意义可得 ，代入得 ，再求出 即可得出 的平方根．
【解答】解：由二次根式有意义可得， ， ，
解得 ，
∴ ，
把 代入 得， ，
所以 的平方根为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件及平方根，解题的关键是利用二次根式有意义求出x的
值．
14. 若关于 的分式方程 有正整数解，则整数 为____________．
【答案】0或3
【解析】
【分析】方程两边都乘以最简公分母（x-2），把分式方程化为整式方程求出x的表达式，再根据x是正整
数且k是整数，求出k，然后进行检验即可．
【详解】解：方程两边都乘以（x-2）得，
x-4=-kx，
整理得，（1+k）x=4，
所以 ，
∵分式方程有正整数解，k是整数，
∴1+k=1或1+k=2或1+k=4，
解得k=0或k=1或k=3，检验：当k=0时，x=4，此时x-2≠0，符合题意；
当k=1时，x=2，此时x-2=0，不合题意，舍去；
当k=3时，x=1，此时x-2≠0，符合题意；
所以k=0或3．
故答案为：0或3．
【点睛】本题考查了分式方程的解，难点在于对所求出的k的值进行检验，必须使分式方程有意义．
15. 如图，在四边形 中，对角线分别为 ， ，且 于点 ，若 ， ，
则 _______．
【答案】
【解析】
【分析】 、 分别是两个直角三角形的斜边。
在 中， ，
在 中， ，
进而求解．
【详解】在 中和 中， ， ，故答案为：40．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键．
16. 如图1，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是一个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在
注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．连接图 2中四条线段得到如图3的新图案，如果
图1中的直角三角形的长直角边为5，短直角边为2，图3中阴影部分的面积为 ，那么 的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】阴影部分由四个全等的三角形和一个小正方形组成，分别求三角形和小正方形面积即可．
【详解】由题意作出如下图，阴影部分由四个与 全等的三角形和一个边长为 的正方形组成
由题意得： ， ，
∴ ，
∴
故答案为： ．
【点睛】本题考查了勾股定理的证明，根据正方形的面积公式和三角形形的面积公式得出它们之间的关系
是解题的关键．三．解答题（本题共60分，第17题8分，第18题9分，第19题6分，第20题8分，第21
题4分，第22题5分，第23，24题每题6分，第25题8分）
17. 计算：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据零指数幂、负整数指数幂、二次根式化简、绝对值进行化简后，再进行加减运算即可；
（2）按照幂的乘方、积的乘方、单项式乘法、负整数指数幂进行计算即可
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
.
【点睛】此题考查了实数的混合运算、幂的混合运算、二次根式的加减运算、单项式的乘法等知识，熟练掌握运算法则是解题的关键．
18. 分解因式：
（1）
（2）
（3）
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）先提取公因式 ，再利用完全平方公式进行因式分解即可；
（2）先利用平方差公式分解为 ，再利用完全平方公式分解因式即可；
（3）把 看作整体利用完全平方公式进行因式分解即可．
【小问1详解】
．
【小问2详解】
．
【小问3详解】．
【点睛】此题考查了因式分解，注意因式分解要彻底，熟练掌握因式分解并灵活选择方法是解题的关键．
19. 计算：
（1） ；
（2） ．
【答案】（1）0 （2）
【解析】
【分析】（1）先计算分式的乘方，再计算分式的乘除法，最后计算分式的减法即可；
（2）先计算括号里的分式加减法，再计算除法即可．
【小问1详解】
【小问2详解】
解：【点睛】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键．
20. 解方程：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）方程无解
【解析】
【分析】（1）通过去分母，合并同类项，移项，合并同类项，未知数系数化为1，检验，即可求解；
（2）通过去分母，合并同类项，移项，合并同类项，未知数系数化为1，检验，即可求解．
【小问1详解】
解：
，
的
经检验： 是方程 解；
【小问2详解】解：
，
经检验： 是增根，舍去，
∴方程无解．
【点睛】本题主要考查解分式方程，熟练掌握解分式方程的基本步骤是关键．
21. 已知 ， ，试求代数式 的值；
【答案】
【解析】
【分析】先计算 和 的值，再把 变形为 ，整体代入进行求值即可．
【详解】解：当 ， 时，
， ，
∴
.
的
【点睛】此题考查了二次根式 混合运算、代数式的求值，利用完全平方公式把 变形为
是解题的关键．22. 先化简，再求值： ，其中 ．
【答案】 ，
【解析】
【分析】先对分式通分、因式分解、约分等化简，化成最简分式，后代入求值．
【详解】解：
=
=
=
= ，
当 时，
= ．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，运用因式分解，通分，约分等技巧化简是解题的关键．
23. 王嘉和张淇两位同学进行100米长跑比赛，王嘉同学在比赛时不小心摔了一跤，浪费了5秒钟．事后，
王嘉说：“我俩所用时间的和为60秒．”张淇同学说：“如果不算王嘉摔跤所浪费的时间，他跑完全程的平
均速度是我跑完全程平均速度的 倍．”据此信息，请你判断哪位同学获胜？两人跑完全程的时间相差
多少秒？
【答案】王嘉同学获胜，两人跑完全程的时间相差 秒【解析】
【分析】设王嘉同学跑完全程的时间是x秒，则张淇同学跑完全程的时间是 秒，利用速度=路程÷
时间，结合“如果不算王嘉摔跤所浪费的时间，他跑完全程的平均速度是淇淇跑完全程平均速度的 倍”，
即可得出关于x的分式方程，解之经检验后，即可得出王嘉同学跑完全程的时间，及张淇同学跑完全程的
时间，二者比较做差后，即可求出结论．
【详解】解：设王嘉同学跑完全程的时间是x秒，则张淇同学跑完全程的时间是 秒，
根据题意得： ，
解得： ，
经检验， 是所列方程的解，且符合题意，
．
， （秒），
∴王嘉同学获胜，两人跑完全程的时间相差 秒．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
24. 在分式 中，若M，N为整式，分母M的次数为a，分子N的次数为b（当N为常数时， ），
则称分式 为 次分式．例如， 为三次分式．
（1）请写出一个只含有字母 的二次分式_________；
（2）已知 ， （其中m，n为常数）．
①若 ， ，则 ， ， ， 中，化简后是二次分式的为________；②若A与B的和化简后是一次分式，且分母的次数为1，求 的值．
【答案】（1） （不唯一）；（2）① ， ；② 或
【解析】
【分析】（1）理解新定义，直接根据作答即可；
（2）①把 ， 代入计算，化简后根据新定义进行判断即可；②先求解 根据和为一次分
式且分母的次数为1，可得分子是一次多项式，且含有 或 的因式，从而可列方程再解方程求解
的值，于是可得答案.
【详解】解：（1）根据定义可得：这个二次分式为： （不唯一）
（2）① ， ， ， ，
化简后是二次分式；
所以 不是二次分式；所以 不是二次分式；
所以 是二次分式；
② ， ，
A与B的和化简后是一次分式，且分母的次数为1，
且 或 且
解得： 或
或
【点睛】本题考查的是分式的加减法，乘法以及乘方运算，新定义运算，理解新定义，按照新定义的规定
进行判断是解本题的关键.
25. 在 中， ， 为 内一点，连接 ， ，延长 到点 ，使得 ．（1）如图1，延长 到点 ，使得 ，连接 ， ．若 ，求证： ；
（2）连接 ，交 的延长线于点 ，连接 ，依题意补全图2．若 ，试探究
， ， 这三条线段之间的数量关系，并证明你的结论．
【答案】（1）见详解 （2） ，证明过程见详解
【解析】
【分析】（1）证明 由全等三角形的性质得出 ，证出 ，即可得
出结论；
（2）由题意画出图形，延长 到 ，使 ，连接 ， ，由（1）得 ，
，由勾股定理的逆定理证出 ，得出 ，再由勾股定理得出结论．
【小问1详解】
在 和 中，
，
，
，
，
．
【小问2详解】
由题意补全图形如下：延长 到 ，使 ，连接 ， ，
， ，
，
由（1）得 ， ，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形和直角三角形的性质，勾股定理和它的逆定理，
证出 是解本题的关键．
四、附加题（本题共20分，第26-29每题3分，第30题8分）
26. 已知 ．若整数 满足 ．则 =_________．
【答案】2
【解析】
【分析】根据题意可知m-3≤0，被开方数是非负数列不等式组可得m的取值，又根据 ，表示
m的值代入不等式的解集中可得结论．
【详解】解： ，∴
解得： ．
∵ 为整数，
．
∴
∴
故答案为：2；
【点睛】本题考查了二次根式的性质和估算、不等式组的解法，有难度，能正确表示m的值是本题的关键．
27. 若数a使关于x 的分式方程 的解为非负数，且使关于y的不等式组
的解集为 ，则符合条件的所有整数a的和为________．
【答案】
【解析】
【 分 析 】 分 别 根 据 关 于 的 分 式 方 程 的 解 为 非 负 数 和 关 于 的 不 等 式 组
的解集为 ，求出整数 的取值范围，进而求出满足条件的 的值，然后相加即可．
【详解】解：原分式方程可化为：
，等式两边同乘 得： ，
解得： ，
由题意可知： ，且 ，
解得： 且 ；
解不等式组： 得： ，
∵关于 的不等式组的解集为 ，
∴ ，
解得： ，
∴ ，且 ；
∵ 为整数，
∴ 为 、 、 、 ，
∴符合条件的所有整数 的和为： ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了分式方程、不等式组等知识点；综合运用上述知识求出整数 的取值范围是解题的关
键．
28. 已知当 时， ．请利用这个结论求：若 ，则 ________
【答案】4045
【解析】
【分析】利用 得到 ，利用平方差公式再求得 ，即可
得到答案．
【详解】解：∵ ，∴
∴
∴ ．
故答案为：4045．
【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简、平方差公式的应用等知识，熟练利用平方差公式进行变形是
解题的关键．
29. 如图，在等腰 中， ． ．垂足为D．已知 ， ．点P是线段
的
上 一动点，若 为等腰三角形，则 的值为________．
【答案】 或 或
【解析】【分析】先求出 ，再分 三种情况讨论即可求解．
【详解】解：在 中， ， ， ．
又∵ ， ，
∴ ，
解得： ，
为等腰三角形有三种情况，
①当 时，如图（1）， ；
②当 时，如图（2），过 点作 于点H，
∴ ，
∵ ， ， ， ，
∴ ，在 中， ，
∴ ；
③当 时，如解图（3），
∴ ，
又∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
综上所述：当 为等腰三角形时， 或 或 ．
故答案为： 或 或
【点睛】本题考查了勾股定理解直角三角形，等腰三角形的性质和判定，解题关键是正确画出图形．
30. 在平面直角坐标系中，已知点 ，点 （其中m为常数，且 ），则称点
B是点A的“m级共享点”．例如：点 的“3级共享点”B的坐标为 ，即 ．
（1）点 的“2级共享点”的坐标为 ；
（2）若点 的“5级共享点”B的坐标是 ，求出a，b的值；（3）若点 （其中 ），点A的“m级共享点”为点B，且 ，求m的值．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用“m级共享点”的定义可求解；
（2）由于点A坐标为 ，B的坐标是 ，利用“5级共享点”的定义列出方程组，即可求解；
（3）先求出点A的“m级共享点“为点 ，由 ，可求解．
【小问1详解】
解：点 的“2级共享点”的坐标为 ，即 ，
故答案为： ；
【小问2详解】
解：∵点 的“5级共享点”B的坐标是 ，
由题意可得： ，
∴ ；
【小问3详解】
解：∵点 ，
∴点A的“m级共享点“为点 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∴ ．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法，坐标与图形的性质，理解“m级共享点”的定义并能运用是
本题的关键．
