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微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
2023-2024-3 数学练习
学生须知
1、本练习卷共7页，共两部分，满分100分．作答时长120分钟．
2、在试卷上准确填写班级、姓名和考号．
3、试题答案一律书写在答题卡上，在试卷上作答无效，用黑色字迹笔作答．
4、结束只上交答题卡．
第一部分选择题
一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1. 下列事件中，属于必然事件的是（ ）
A. 在一个只装有黑球的箱子里摸到白球
B. 蒙上眼睛射击正中靶心
C. 打开电视机，正在播放综艺节目
D. 在1个标准大气压下，水加热到100摄氏度沸腾
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查随机事件，解题的关键是根据事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件判断即可．
【详解】解：A、在一只装有黑球的箱子里不可能摸到白球，故不符合题意；
B、蒙上眼睛射击正中靶心是随机事件，故不符合题意；
C、打开电视剧，正在播放综艺节目是随机事件，故不符合题意；
D、在1个标准大气压下，水加热到100摄氏度沸腾是必然事件，符合题意；
故选：D．
2. 在一个不透明的袋中有2个红球和1个白球，这些球除颜色外部相同．搅匀后，随机从中摸出一个球．
记下颜色后放回袋子中，充分摇匀后，再从中随机摸出一个球，两次都摸到红球的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】首先根据题意画出树状图，由树状图求得所有等可能的结果与两次都摸到黄球的情况，然后利用
概率公式求解即可求得答案．注意此题属于放回实验．
【详解】画树状图如下：
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由树状图可知，共有9种等可能结果，其中两次都摸到红球的有4种结果，
∴两次都摸到红球的概率为 ，
故选：D．
【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率的知识．注意画树状图与列表法可以不重复不遗漏的列
出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要
注意此题是放回实验还是不放回实验．
3. 如图，在 正方形网格中，一条圆弧经过A、B、C三点，那么 所对的圆心角的大小是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，分别作 ， 的垂直平分线即可得到圆心，
进而解答即可．
【详解】解：作 的垂直平分线，作 的垂直平分线，如图，
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它们都经过 ，所以点 为这条圆弧所在圆的圆心．
连接 ， ，
在 与 中
，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
即 所对的圆心角的大小是 ，
故选：D．
【点睛】本题考查了垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心．这也常用来确定圆心的方法．
4. 如图，抛物线 与 轴交于点 ，对称轴为直线 ，则下列结论中正确的是（
）
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A. B. 当 时， 随 的增大而增大
C. D. 是一元二次方程 的一个根
【答案】D
【解析】
【分析】由抛物线的开口方向可以判断A，由二次函数的增减性可以判断B，由抛物线与 轴的交点可以
判断C，由抛物线与 的交点和对称轴可以求出另一个交点，可以判断D，从而得到答案．
【
详解】解：A.根据图象可得，二次函数开口方向向下，
，故本选项错误，不符合题意；
B.根据图象可得，当 时， 随 的增大而减小，故本选项错误，不符合题意；
.
C根据图象可得，抛物线与 轴交于正半轴，
，故本选项错误，不符合题意；
D. 抛物线 与 轴交于点 ，对称轴为直线 ，
设另一个交点为 ，
，
，
另一个交点为 ，
是一元二次方程 的一个根，故本选项正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，二次函数的增减性，二次函数与 轴的交点问题，熟
记二次函数的图象与性质，采用数形结合的思想解决问题，是解此题的关键．
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5. 小明以二次函数 的图象为灵感为“2017北京 房山国际葡萄酒大赛”设计了一款杯子，
如图为杯子的设计稿，若 ， ，则杯子的高 为（ ）
A. 14 B. 11 C. 6 D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】首先由y=2x2-4x+8求出D点的坐标为（1，6），然后根据AB=4，可知B点的横坐标为x=3，代入
y=2x2-4x+8，得到y=14，所以CD=14-6=8，又DE=3，所以可知杯子高度．
【详解】解： ，
抛物线顶点 的坐标为 ，
，
点的横坐标为 ，
把 代入 ，得到 ，
，
．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，求出顶点D和点B的坐标是解决问题的关键．
6. 某超市一种干果现在的售价是每袋30元，每星期可卖出100袋．经市场调研发现，如果在一定范围内
调整价格，每涨价1元，每星期就少卖出5袋．已知这种干果的进价为每袋20元，设每袋涨价x（元），
每星期的销售量为y（袋），每星期销售这种干果的利润为z（元）．则y与x，z与x满足的函数关系分别
是（ ）
A. 一次函数关系，一次函数关系 B. 一次函数关系，二次函数关系
C. 二次函数关系，二次函数关系 D. 二次函数关系，一次函数关系
【答案】B
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【解析】
【分析】根据题意列出y与x，z与x的函数关系式，再根据一次函数、二次函数的定义判断即可．
【详解】由题意得 ，
∴y是x的一次函数。
，
∴z是x的二次函数．
故选：B
【点睛】本题主要考查了一次函数、二次函数的定义，熟练掌握一次函数和二次函数的定义并且正确的列
出函数关系式是解题的关键．
7. 不透明的盒子中装有红、黄色的小球共20个，除颜色外无其他差别，随机摸出一个小球，记录颜色后
放回并摇匀，再随机摸出一个．下图显示了某数学小组开展上述摸球活动的某次实验的结果．
下面有四个推断：
①当摸球次数是300时，记录“摸到红球”的次数是99，所以“摸到红球”的概率是0.33；
②随着试验次数的增加，“摸到红球”的频率总在0.35附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“摸到
红球”的概率是0.35；
③可以根据本次实验结果，计算出盒子中约有红球7个；
④若再次开展上述摸球活动，则当摸球次数为500时，“摸到红球”的频率一定是0.40．
所有合理推断的序号是（ ）
A. ①② B. ②③ C. ①②③ D. ②③④
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了利用频率估计概率，一般地，随着试验次数的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即
事件发生的频率会逐渐稳定于事件发生的概率，我们称频率的这个性质为频率的稳定性，据此即可求解．
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【详解】解：①当摸球次数是300时，记录“摸到红球”的次数是99，所以“摸到红球”的频率是0.33；
故①错误；
②根据频率的稳定性可知②正确；
③可以根据本次实验结果，计算出盒子中约有红球 个；故③正确；
④由于每次试验的频率会发生变化，故若再次开展上述摸球活动，则当摸球次数为500时，“摸到红球”
的频率不一定是0.40．故④错误；
故选：B
8. 如图，抛物线 与x轴交于A、B两点，P是以点 为圆心，1为半径的圆上的动点，
Q是线段 的中点，连接 ．则线段 的最大值是（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查圆的基本性质，抛物线与x轴的交点坐标，勾股定理，三角形中位线的性质等．当B、
C、P三点共线，且点C在 之间时， 最大，而 是 的中位线，据此求解即可．
【详解】解：令 ，解得 ，
故点 ， ，
设圆的半径为r，则 ，
连接 ，而点Q、O分别为 、 的中点，
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故 是 的中位线，
当B、C、P三点共线，且点C在 之间时， 最大，此时 最大，
， ，
， ，
则 ，
故选：C．
第二部分 非选择题
二、填空题（共16分，每题2分）
9. 若一个扇形的半径为3，圆心角是120°，则它的面积是 _____．
【答案】
【解析】
【分析】根据扇形的面积公式，即可求解．
【详解】解：根据题意得：扇形的面积为 ．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了求扇形的面积，熟练掌握扇形的面积等于 （其中 为圆心角， 为半
径）是解题的关键．
10. 关于 的方程 的两个根分别为 ，则 的值为________________．
【答案】2
【解析】
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【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，代数式求值．熟练掌握 的
两个实数根 和 满足 是解题的关键．
由题意知， ，代入求解即可．
【详解】解：由题意知， ，
∴ ，
故答案为：2．
11. 如图，圆的两条弦 ， 相交于点E，且 ， ，则 的度数为 ________．
【答案】80°##80度
【解析】
【分析】根据圆周角定理的推论得到 ，再由三角形外角的性质即可得到结论．
【
详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了圆周角定理的推论，熟记圆周角定理的推论是解题的关键．
12. 在平面直角坐标系xOy中，已知点 ， ， 在抛物线
上，若 ，则 ， ， 的大小关系为_____（用“<”表示）
【答案】
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【解析】
【分析】根据二次函数的图象与性质，将三点转化到对称轴的一侧，根据二次函数的性质进行比较大小即
可．
【详解】解：∵ ，
∴抛物线的对称轴为直线 ，
∵ ，
∴ ，
令 关于直线 对称的点坐标为 ，
则 ，
∴ ，
∵ ，
∴当 时， 随 的增大而增大，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
13. 如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx+m（k≠0）的抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）交于点A
1 2
（0，4），B（3，1），当y≤y 时，x的取值范围是 ___．
1 2
【答案】0≤x≤3
【解析】
【分析】根据函数图象以及点A、B的坐标，写出抛物线在直线上方部分的x的取值范围即可．
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【详解】解：∵两函数图象交于点A（0，4），B（3，1），
∴当 y≤y 时，x的取值范围是0≤x≤3．
1 2
故答案为：0≤x≤3．
【点睛】本题考查了二次函数与不等式，数形结合是数学中的重要思想之一，解决函数问题更是如此．
14. 如图，在 中， ，将 绕点 逆时针旋转，得到△ ，连接 ．若
，则 ______ ．
【答案】50
【解析】
【分析】根据旋转的性质得AC′=AC，∠B′AB=∠C′AC，再根据等腰三角形的性质得∠AC′C=∠ACC′，然后
根据平行线的性质由CC′∥AB得∠ACC′=∠CAB=65°，则∠AC′C=∠ACC′=65°，再根据三角形内角和计算
出∠CAC′=50°，所以∠B′AB=50°．
【详解】解： 绕点 逆时针旋转到 的位置，
△
， ，
，
// ，
，
，
，
，
故答案为50．
【点睛】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中
心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了平行线的性质．
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15. 如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E．若∠B＝60°，CD＝6，则AC的长为___．
【答案】6
【解析】
【分析】根据垂径定理和∠B等于60°求出BC和AB，再用勾股定理求出AC长度．
【详解】∵DC⊥AB
∴EC=6÷2=3
又∠B=60°
∴BC=
又∠B=60°；OB=OC
∴△OBC为等边三角形
∴OB=CB=
∴AB=
又AB过圆心O
∴∠C=90°
∴AC=
为
故答案 6
【点睛】本题考查垂径定理、锐角三角函数的应用，掌握上述知识是解题的关键．
16. 如图，双骄制衣厂在厂房O的周围租了三幢楼A、B、C作为职工宿舍，每幢宿舍楼之间均有笔直的公
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路相连，并且厂房O与每幢宿舍楼之间也有笔直公路相连，且 ．已知厂房O到每条公路
的距离相等．
（1）则点O为 三条_____的交点（填写：角平分线或中线或高线）；
（2）如图，设 ， ， ， ， ， ，现要用汽车每天接送职工
上下班后，返回厂房停放，那么最短路线长是_____．
【答案】 ①. 角平分线 ②.
【解析】
【分析】（1）根据角平分线上的点到角两边的距离相等，进行作答即可；
（2）根据题意，得到三条路线，在 上截取 ，连接 ，证明 ，利用
三角形的三边关系，即可得到最短路径．
【详解】解：（1）∵厂房O到每条公路的距离相等，
∴点O为 三条角平分线的交点；
故答案为：角平分线．
（2）如图：
有三条路线可走： ，
在 上截取 ，连接 ，
∵点O为 三条角平分线的交点，
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∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ， ，
在 中， ，
∴ ，
同理 ，
∴ 最短，
即最短路线长为： ；
故答案为： ．
【点睛】本题考查角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系．熟练掌握相关知识点
并灵活运用，是解题的关键．
三、解答题（共68分，第17-22题，每题5分；第23-26题，每题6分；第27-28题，每题7
分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
17. 解方程： ．
【答案】 ， ．
【解析】
【分析】利用因式分解法解一元二次方程即可．
【详解】解： ，
方程整理得， ，
∴ ，
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∴ 或 ，
解得 ， ．
【点睛】本题考查了解一元二次方程－因式分解法，先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为
两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这
样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
18. 若 是关于x的一元二次方程 的根，求代数式 的值．
【答案】2
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的解，先利用乘法公式展开、合并得到原式 ，利用一元二
次方程根的定义得到 ，然后利用整体代入的方法计算．
【详解】解：
，
∵ 是关于x的一元二次方程 的根，
∴ ，即 ，
∴原式 ．
19. 若关于x的一元二次方程x2-3x+a-2＝0有实数根．
（1）求a的取值范围；
（2）当a为符合条件的最大整数，求此时方程的解．
【答案】（1）a≤ ；（2）x＝1或x＝2．
【解析】
【分析】（1）根据韦达定理列出关于a的不等式，解不等式即可得到a的取值范围；
（2）由（1）求出a的值，代入原方程即可得到一个新的方程，解新方程可以得到解．
【详解】（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣3x+a﹣2＝0有实数根，
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∴△≥0，即（﹣3）2﹣4（a﹣2）≥0，
解得a≤ ；
（2）由（1）可知a≤ ，
∴a的最大整数值为4，
此时方程为x2﹣3x+2＝0，
解得x＝1或x＝2．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用，熟练掌握根的判别式应用及一元二次方程的求解是解题关键 ．
20. 已知： 和圆外一点P，求作：过点P的 的切线．
作法：①连接 ；
②分别以O，P为圆心，大于 长为半径画弧，两弧交于M，N两点，连接 ，交 于点C．
③以C为圆心， 长为半径作 ，交 于点A，B；
④作直线 ．
所以直线 为 的切线．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：连接 ， ．
∵ ， ，
∴MN是线段OP的垂直平分线（__________）（填推理的依据）．
∴ ．
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∵OP为 的直径，A，B在 上
∴ （__________）（填推理的依据）．
∴半径 ，半径 ．
∴直线 ， 为 的切线（__________）（填推理的依据）．
【答案】（1）见解析 （2）到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；直径所对的
圆周角是直角；经过半径的外端，且垂直于这条半径的直线是圆的切线
【解析】
【分析】（1）根据作图步骤补充完成作图即可；
（2）连接 ， ．由 ， ，得到 是线段 的垂直
平分线．则 ．由 为 的直径，A，B 在 上，则 ．由半径
，半径 ，即可得到结论．
此题考查了基本作图、切线的判定等知识，熟练掌握切线的判定和基本作图步骤是解题的关键．
【小问1详解】
解：如图， 即为所作，
；
【小问2详解】
证明：连接 ， ．
∵ ， ，
∴ 是线段 的垂直平分线（到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上）．
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∴ ．
∵ 为 的直径，A，B在 上
∴ （直径所对的圆周角是直角）．
∴半径 ，半径 ．
∴直线 为 的切线（经过半径的外端，且垂直于这条半径的直线是圆的切线
）．
故答案为：到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；直径所对的圆周角是直角；经过
半径的外端，且垂直于这条半径的直线是圆的切线
21. 已知二次函数 ．
（1）把二次函数化成 的形式；
（2）在平面直角坐标系xOy中画出该函数的图象；
（3）当0≤x≤3时，y的取值范围是______．
【答案】（1）y＝（x﹣2）2﹣1
（2）见解析 （3）﹣1≤y≤3
【解析】
【分析】（1）用配方法即可求解；
（2）先求出该函数图像上点的坐标，再用描点法画出图象即可；
（3）根据函数图象，找出函数图象在x轴下方的时候x是取值范围即可．
【小问1详解】
解： ，
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【小问2详解】
由（1）可知： ，
∴函数的顶点坐标为（2，-1），
当x=1时，y=0，
当x=0时，y=3，
当x=3时，y=0，
当x=4时，y=3，
∴该函数经过（1，0），（0，3），（2，-1），（3，0），（4，3），
如图：
【小问3详解】
由（2）中函数图象可知，当0≤x≤3时，﹣1≤y≤3，
∴当﹣1≤y≤3时，x的取值范围是0≤x≤3．
故答案为：0≤x≤3．
【点睛】本题主要考查了画二次函数的图象，把二次函数的一般式化为顶点式，熟练掌握利用配方法把二
次函数的一般式化为顶点式，二次函数图象的画法是解题的关键．
22. 如图， 内接于 ， 为 的直径， 为 的弦， 与 交于点 ，若
；延长 至 ，使 ．
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（1）求证： 与 相切；
（2）若 ， ，求 的长．
【答案】（1）见解析 （2）2
【解析】
【分析】本题考查了切线的判定与性质、圆周角定理、含 角的直角三角形的性质、三角形内角和定理
等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键．
（1）由圆周角定理可得 ，从而得到 ，由 可得 ，
从而得到 ，再由 可得 ，由三角形内角和定理得出
，即可得证；
（2）连接 ，先求出 ，得到 ， ，由圆周
角定理可得 ，设 ，则 ，由含 角的直角三角形的性质可得
，由此得出方程，解方程得出 ，即可得出答案．
【小问1详解】
证明： 为 的直径，
，即 ，
，
，
，
，
，
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，
，即 ，
为 的直径，
与 相切；
【小问2详解】
解：如图，连接 ，
，
，
，
由（1）可得 ， ，
，
，
，
，
， ，
为 的直径，
，
设 ，则 ，
在 中， ， ，
，
，
解得： ，
，
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在 中， ， ，
．
23. 2023年9月23日，第19届亚运会在杭州开幕，电子竞技首次成为亚运会正式比赛项目．张琪和李荷
是电竞游戏的爱好者，她们相约一起去现场为中国队加油，现场的观赛区分为 、 、 、 四个区域，
购票以后系统随机分配观赛区域．
（1）张琪购买门票在 区观赛的概率为___________；
（2）求张琪和李荷在同一区域观看比赛的概率．（请用画树状图或列表等方法说明理由）
【答案】（1）
（2） ，见解析
【解析】
【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的
关键．
（1）直接利用概率公式可得答案．
（2）画树状图得出所有等可能 的结果数以及小明和小张在同一区域观看比赛的结果数，再利用概率公式
可得出答案．
【小问1详解】
由题意得，小明购买门票在 区观赛的概率为 ．
故答案为： ．
【小问2详解】
画树状图如下：
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共有16种等可能的结果，其中小明和小张在同一区域观看比赛的结果有4种，
小明和小张在同一区域观看比赛的概率为 ．
24. 一个抛物线形拱桥，桥底水平面宽度（跨度）是12米，拱桥最顶端到水平面的距离（拱高）是4米，
如图，以水平直线为 轴，以过桥的顶点且垂直于水平线的直线为 轴，坐标原点为 建立直角坐标系.一
艘货船宽度为 米，装载集装箱后高出水面2米.一场大雨后，水面比下雨前上升了1米，此时这艘货船
还可以安全通过拱桥吗？请通过计算进行说明．
【答案】货船不能安全通过拱桥，理由见解析
【解析】
【分析】先理由待定系数法求出抛物线的解析式，当 时，求得 ，
【详解】解：由题意可知，抛物线顶点为 ，
抛物线函数关系式为 ，
将 代入函数式中，得 ，
抛物线函数关系式为 ，
当 时， ，
解得： ，
此时，可行船的宽度为 ，而船的宽度为 ，
∴该货船不能安全通过拱桥．
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【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法，求出抛物线的解析式．
25. 如图，AB为 的直径，点C在 上，连接AC，BC，过点O作 于点D，过点C作
的切线交OD的延长线于点E．
（1）求证： ；
（2）连接AD．若 ， ，求AD的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）AD=4
【解析】
【分析】（1）连接OC通过垂径定理和等腰三角形性质证明∠E=∠B
（2）连接AD通过计算发现BC=EC，再通过证明△CED≌△ABC得到AC=DC=4．
【详解】（1）证明：连接OC如图：
OD⊥CB
∴OB=OC，∠B=OCD
又CE为圆O的切线
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∴OC⊥CE
∴∠ECD+∠DCO=∠ECD+∠E=90°
∴∠E=∠DCO=∠B
∴∠E=∠B
（2）连接AD如图
∵△EDC为Rt△
∴DE= =8
由（1）得∠E=∠B
又AB为直径
∴∠BCA=90°
在△CED和△ABC中
∵
∴△CED≌△ABC（AAS）
∴AC=DC= =4
∴
【点睛】本题考查垂径定理和全等三角形的判定与性质，掌握这些是本题解题关键．
26. 在平面直角坐标xOy中，点 在抛物线 上．
（1）求抛物线的对称轴；
（2）抛物线上两点 ， ，且 ， ．
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①当 时，比较 ， 的大小关系，并说明理由；
②若对于 ， ，都有 ，直接写出t的取值范围．
【答案】（1）
（2）① ，理由见详解；② 或
【解析】
【分析】（1）对于抛物线 ，令 ，可得 ，可知点（0，2）在抛物线上，根据点
也在抛物线上，由抛物线的对称性，可知该抛物线的对称轴为 ；
（2）根据题意，大致画出抛物线图象．①当 时，根据题意可计算 、 的取值范围，再结合抛物
线图象判断 ， 的大小即可；②分情况讨论，当 、 、 三种情况下， 区域和 区域的
位置及移动方向，确定满足条件的t的取值范围．
【小问1详解】
解：对于抛物线 ，令 ，可得 ，
即该抛物线与y轴的交点为点（0，2），
又∵点 也在抛物线上，
∴根据抛物线的对称性，可知该抛物线的对称轴为 ；
【小问2详解】
根据题意，大致画出抛物线图象，如下图，
①当 时，根据题意可知， ， ， ，
即有 ， ，
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由图象可知， ；
②若对于 ， ，都有 ，可分情况讨论，如下图：
当 时， ， ，由图象对称性可知， 成立；
当 时， 区域向左移动， 区域向右移动且都移动t个单位，由图象对称性可知， 成立；
当 时， 区域、 区域相向移动，
两区域相遇时，有 ，解得 ，在 时， 成立；
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相遇后，再继续运动，两区域分离时，有 ，解得 ；
分离后，即 时，随着t的增大，由图象对称性可知， 成立；
综上所述，满足条件的t的取值范围为： 或 ．
【点睛】本题主要考查了二次函数图象与性质及二次函数的综合应用，解题关键是根据题意画出图形，用
数形结合和分情况讨论的数学思想分析问题．
27. 在 中， ， ，过点A作 的垂线 ，垂足为D，E为射线 上一动
点（不与点C重合），连接 ，以点A为中心，将线段 逆时针旋转 得到线段 ，连接 ，
与直线 交于点G．
（1）如图1，当点E在线段 上时，
①依题意补全图形；
②求证：点G为 的中点．
（2）如图2，当点E在线段 的延长线上时，用等式表示 之间的数量关系，并证明．
【答案】（1）①见解析；②见解析
（2） ，理由见解析
【解析】
【分析】（1）①根据题意画图即可；②由条件可证 ,得到 ,
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从而有 ，再通过平行线分线段成比例即可证出 为 的中点；
（2）由(1)知 ,可得 为 的中点仍然成立,设 ,表示
出 即可发现它们之间的数量关系．
【小问1详解】
解：①如图，
②如图，连接 ，
，
，
在 和 中， ，
，
，
，
，
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，
，
，
， ，
，
，
G为 的中点．
【小问2详解】
解： ．
理由如下：如图，连接 ，
由（1）可知： ，
，
为 的中点仍然成立，且 ，
设 ， ，则 ，
，
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，
在 中，由勾股定理可得： ，
， ， ，
．
【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定与性质，等腰三角形的性质，以及勾股定理等知识，表示出
的长度是解决问题的关键．
28. 在平面直角坐标系 中，对于线段 ，点 和图形 定义如下：线段 绕点 逆时针旋转
得到线段 （ 和 分别是 和 的对应点），若线段 和 均在图形 的内部（包括边界），
则称图形 为线段 关于点 的旋垂闭图．
（1）如图，点 ， ．
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①已知图形 ：半径为3的 ；
：以 为中心且边长为6的正方形；
：以线段 为边的等边三角形．
在 ， ， 中，线段 关于点 的旋垂闭图是 ．
②若半径为5的 是线段 关于点 的旋垂闭图，求 的取值范围；
（2）已知长度为4的线段 在 轴负半轴和原点组成的射线上，若存在点 ，使得对半径
为2的 上任意一点 ，都有线段 满足半径为 的 是该线段关于点 的旋垂闭图，直接写出
的取值范围．
【答案】（1）① ， ；②
（2）
【解析】
【分析】（1）①分别在坐标系中画出 ， ， ，再画出线段 绕点 逆时针旋转 的线段
即可得到答案；
②如图1所示，当点 在点 左侧，且此时刚好点 落在 上时，如图2所示，当点 在点 右侧，
且此时刚好点 落在 上时，求出这两种临界情形下 的值，即可得到答案；
（2）先求出点 在直线 上运动；不妨设点 在点 的左侧，如图 所示，连接 并延长
交 于P，点 绕点P逆时针旋转 后的对应点为 ， ，由旋转的性质可得 ，
，则 ，由于点 到 上任意一点的距离的最大值是 ，则只需要找到
值最小时，则此时 半径有最小值；故当 与直线 垂直时， 有最小值，即 有最小
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值，如图 所示，当点 的坐标为 且 与直线 垂直时， 有最小值，即 有
最小值，利用等腰直角三角形的性质即可求解．
【小问1详解】
解：①由下图可知，在 ， ， 中，线段 关于点 的旋垂闭图是 ， ，
故答案为： ， ；
②如图1所示，当点 在点 左侧，且此时刚好点 落在 上时，
由旋转的性质可得 ， ，
， ，
，
，
在 上，
，
，
，
解得 或 （不符合题意，舍去）；
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如图2所示，当点 在点 右侧，且此时刚好点 落在 上时，
由旋转的性质可得 ， ，
， ，
，
，
在 上，
，
，
，
解得 或 （不符合题意的值舍去）；
当 时，半径为5的 是线段 关于点 的旋垂闭图；
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；
【小问2详解】
解： ，
，
，
点 在直线 上运动；
长度为4的线段 在 轴负半轴和原点组成的射线上，
不妨设点 在点 的左侧，
如图 所示，连接 并延长交 于P，点 绕点P逆时针旋转 后的对应点为 ，
由旋转的性质可得 ， ，
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，
点 到 上任意一点的距离的最大值是 ，
由于A、Q都是动点，
只需要找到 值最小时，则此时 半径有最小值；
点到直线的距离，垂线段最短，
当 与直线 垂直时， 有最小值，即 有最小值，
如图 所示，当点 的坐标为 且 与直线 垂直时， 有最小值，即 有最小
值，
此时， ，
，
，
，
则
∴
∴ ．
【点睛】本题是圆的综合题，主要考查了坐标与图形，一次函数与几何综合，坐标与图形变化——旋转，
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勾股定理，圆外一点到圆上一点的最值问题等等，正确画出示意图，利用数形结合的思想求解是解题的关
键．
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