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微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
北京市第五十五中学 2023-2024 学年度第一学期
期中调研试卷
初三数学
本试卷共8页，共100分，调研时长120分钟
第一部分（选择题共16分）
1. 下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形，根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即
可，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把
一个图形绕着某一个点旋转 ，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称
图形，这个点就是它的对称中心．掌握中心对称图形与轴对称图形的判断是解题的关键．
【详解】解：A、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故不符合题意；
B、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故符合题意；
C、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；
D、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意．
故选：B．
2. 抛物线 的顶点坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据抛物线的顶点式 ，顶点为 即可求解．
【详解】解：抛物线 的顶点坐标为 ，
故选： ．
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【点睛】本题主要考查二次函数的顶点式，掌握和理解顶点式 中的 ， 是解题的关键．
3. 将抛物线 向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式为（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据函数平移法则：左加右减(x），上加下减(y)可知， 进而得出变化后的解析式．
【详解】 抛物线 的顶点坐标为 ，
将抛物线 左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度后的顶点坐标为 ，
得到的抛物线的解析式为 ，故A正确．
故选：A
【点睛】此题主要考查了二次函数图像与几何变换，熟记平移规律“左加右减，上加下减”，是解题的关
键．
4. 如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB,垂足为E,如果AB=10,CD=8,
那么线段OE的长为（ ）
A. 5 B. 4
C. 3 D. 2
【答案】C
【解析】
【详解】解：连接OC，
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在直角三角形OEC中，根据勾股定理得：OE2+CE2=OC2，
由垂径定理得：CE= CB=4，
∵OC= ，
∴OE= .
故答案为C．
5. 如图，在⊙O中，∠ACB＝34°，则∠AOB的度数是( )
A. 17° B. 34° C. 56° D. 68°
【答案】D
【解析】
【分析】欲求∠AOB，又已知一圆周角，可利用圆周角与圆心角的关系求解.
【详解】∠AOB、∠ACB是同弧所对的圆心角和圆周角，∠AOB＝2∠ACB＝68°，
故答案为：D.
【点睛】此题主要考查的是圆周角定理，解本题的要点在于熟知同弧所对的圆周角是圆心角的一半.
6. 如图， 是 绕点 顺时针旋转 后得到的图形．若点 恰好落在 上，且 的
度数为 ，则 的度数是（ ）
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A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查的是旋转的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．
根据旋转的性质求出 ，再计算出 的度数即可．
【详解】解：由题意得： ．
又∵ ，
∴ ．
故选B．
7. 函数y＝ax＋1与y＝ax2＋bx＋1（a≠0）的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
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【解析】
【分析】假设其中一个图象正确，然后根据图象得到系数的取值范围，然后根据系数的取值范围确定另一
个图象的位置，看是否和图象相符即可求解．
【详解】解：A、根据一次函数图象知道a＜0，与y轴的交点不是（0，1），故选项错误；
B、根据二次函数的图象知道a＜0，同时与y轴的交点是（0，1），但是根据一次函数的图象知道a＞0，
故选项错误；
C、根据图象知道两个函数图象与y轴的交点坐标为（0，1），同时也知道a＞0，故选项正确；
D、根据一次函数图象知道a＜0，根据二次函数的图象知道a＞0，故选项错误．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了二次函数的图象、一次函数的图象与系数的关系，首先根据一次函数的图象得到
系数的取值范围，然后利用系数的取值范围确定函数图象的大致位置即可求解．
8. 已知抛物线 上部分点的横坐标 与纵坐标 的对应值如表：
有以下几个结论：
… 0 1 2 3 …
… 3 0 3 …
①抛物线 的开口向上；
②抛物线 的对称轴为直线 ；
③方程 的根为0和 ；
④当 时， 的取值范围是 或 ．其中正确的是（ ）
A. ①④ B. ②④ C. ①③ D. ③④
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查抛物线与x轴的交点，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及二次函数
的图象和性质．
根据表格中的 、 的对应值，利用待定系数法求出函数解析式，再根据二次函数的图形与性质求解可得．
【详解】解：设抛物线的解析式为 ，
将 、 、 代入得：
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，
解得： ，
抛物线的解析式为 ，
由 知抛物线的开口向上，故①正确；
抛物线的对称轴为直线 ，故②错误；
当 时， ，解得 或 ，
方程 的根为0和2，故③错误；
当 时， ，由函数图像解得 或 ，故④正确；
故选：A．
第二部分（非选择题 共84分）
二．填空题（本题共16分，每小题2分）
9. 请举一个开口向下，且过点 的抛物线的函数解析式______．
【答案】 （答案不唯一）
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数的解析式求解，根据开口向下和过点 ，可知二次项系数小于0，与
y轴交于 ，即可写出解析式；准确判断是解题的关键．
【详解】根据函数开口向下且过点 ，可得： ；
故答案是： （答案不唯一）．
10. 将二次函数 用配方法化成 的形式为______．
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【答案】
【解析】
【分析】将5裂项为 ，再根据完全平方公式进行配方，即可解答．
【详解】解： ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了将二次函数表达式化为顶点式，解题的关键是掌握完全平方公式
．
11. 在平面直角坐标系中，点 关于原点对称的点的坐标是____________．
【答案】（-3，4）
【解析】
【分析】关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，据此可得答案．
【详解】解：点（3，-4）关于原点对称的点的坐标为（-3，4），
故答案为：（-3，4）．
【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标，两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P
（x，y）关于原点O的对称点是P′（-x，-y）．
12. 由于成本上涨，某商品经过两次连续涨价，每件售价由原来的60元涨到了72元．设平均每次涨价的
百分率为 ，则由题意可列方程为_______．
【答案】
【解析】
【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是掌握平均变化率的方法，若设变化前的
量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为 ．
可先表示出第一次涨价后的价格，然后可得第二次涨价后的价格，根据两次连续涨价，每件售价由原来的
60元涨到了72元列方程即可．
【详解】解：设平均每次涨价的百分率为x，
则第一次涨价后的价格为 ，第二次涨价后的价格为 ，
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∴可列方程为 ，
故答案为： ．
13. 若抛物线 与x轴只有一个公共点，则m的值是___________．
【答案】﹣1
【解析】
【分析】根据抛物线 与x轴只有一个公共点，可以得到当y＝0时，一元二次方程
，有两个相等实数根，即 ＝（﹣2）2﹣4×1×（m＋2）＝0，从而可以得到m的值．
△
【详解】解：∵抛物线 与x轴只有一个公共点，
∴当y＝0时，一元二次方程 有两个相等的实数根
∴ ＝（﹣2）2﹣4×1×（m＋2）＝0，
解△得，m＝﹣1，
为
故答案 ：﹣1．
【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用抛物线与x
轴交点的个数即是一元二次方程根的个数进行解答．
14. 如图，圆的两条弦 ， 相交于点E，且 ， ，则 的度数为 ________．
【答案】80°##80度
【解析】
【分析】根据圆周角定理的推论得到 ，再由三角形外角的性质即可得到结论．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
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∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了圆周角定理的推论，熟记圆周角定理的推论是解题的关键．
15. 我国古代数学名作《九章算术》中记载了“圆材埋壁”问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以
锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”其大意为：如图，现有圆柱状的木材埋在墙壁里，不知道其
宽的大小，于是用锯子（沿横截面）锯它，当量得深度 寸的时候，锯开的宽度． 尺（1尺
寸），问木材的直径 的长是_______寸．
【答案】26
【解析】
【分析】设圆心为O，连接 ，设 寸，则 ，利用勾股定理构建方程解题即可．
【详解】解：设圆心为O，连接 ，设 寸，则 ，
∵ 是直径， ，
∴ 寸，
在 中， ，
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∴ ，
∴ ，
∴ 寸，
为
故答案 ：26．
【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理，作出辅助线构建直角三角形是解题的关键．
16. 已知抛物线 经过 ， 两点．若 ， 是抛物线上
的两点，且 ，则 的取值范围是_______．
【答案】 或
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数的性质，掌握二次函数的对称性和增减性是解答本题的关键．
根据抛物线 经过点 ， ，求出对称轴 ，再根据抛物线性质
即可解答．
【详解】解：∵抛物线 经过点 ， ，
∴对称轴为 ，
∵ ，
∴当 时，y随x增大而减小，当 时，y随x增大而增大，
∵ ， 是抛物线上的两点是该抛物线上的两点，且 ，
∴根据对称性可得P点对称点 ，
∴ 或 ．
故答案为： 或 ．
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三、解答题（本题共68分，17题8分，18-25题，每题5分，26题6分，27题7分，28题7
分）
17. 解下列一元二次方程
（1）
（2）
【答案】（1） ，
（2） ，
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的解法，
（1）利用配方法解一元二次方程即可；
（2）利用公式法解一元二次方程即可；
解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等．
【小问1详解】
∴
解得 ， ；
【小问2详解】
， ，
∴
∴
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解得 ， ．
18. 已知二次函数的图象顶点为 ，且经过点 ．求这个二次函数的表达式．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了用定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题
目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选
择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶
点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求．
由于已知抛物线的顶点坐标，则可设顶点式 ，然后把 代入求出a的值即可．
【详解】解：设抛物线解析式为 ，
把 代入得 ，
解得 ，
所以抛物线解析式为 ．
19. 如图，点O、B坐标分别为（0，0）、（3，0），将△OAB绕O点按逆时针方向旋转90°到OA′B′．
（1）画出△OA′B′；
（2）写出点A′的坐标；
（3）求BB′的长．
【答案】（ ）如图所示见解析；（ ）（ ， ）；（ ） ．
1 2 -2 4 3 BB′=3
【解析】
【分析】(1)根据旋转角度、旋转中心、旋转方向可确定各点的对应点,顺次连接即可得出.
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(2)根据图形即可写出A点的坐标.
(3)利用勾股定理求解即可.
【详解】（1）如图所示；
（2）（-2，4）；
（3）∵OB=OB'，∠BOB'=90°，
∴BB'2=OB2+OB'2=2OB2=2×32=18．
∴BB′=3 ．
【点睛】本题考查旋转作图及勾股定理的应用,难度不大,关键是根据旋转的性质准确作出图形.
20. 已知关于 的一元二次方程 ．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程的两个实数根都是整数，求整数 的值．
【答案】（1）见解析 （2）整数m的值为 ，
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程的根的判别式和解一元二次方程，记住一元二次方程
的根与 有如下关系：①当 时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当 时，方程有两个相等的两个实数根；③当 时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．
（1）利用一元二次方程根的判别式 判断方程的根的情况即可；
（2）首先利用因式分解法求出 的两个根为 ， ，然后根据题意求解即
可．
【小问1详解】
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证明：∵ ，
∴
，
∴方程有两个实数根；
【小问2详解】
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵方程的两个实数根都是整数，
∴ 是整数，
∴整数m的值为 ， ．
21. 已知二次函数 ．
（1）求出这个二次函数图象的对称轴和顶点坐标；
（2）求出这个二次函数的图象与 轴的交点；
（3）写出图象 随 增大而增大时， 的取值范围是_______．
【答案】（1）对称轴是直线 ，顶点坐标为 ；
（2）与x轴的交点坐标为 ， ；
（3）
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【解析】
【分析】（1）将题目中的函数解析式化为顶点式即可求得二次函数图像的对称轴和顶点坐标；
（2）令 ，可求出与x轴的交点坐标；
（3）根据二次函数 的图像开口向下，以及对称轴是直线 可得x的取值范围．
【小问1详解】
解：∵二次函数 ，
∴这个二次函数图像的对称轴是直线 ，顶点坐标为 ；
【小问2详解】
解：当 时，即 ，
解得： ， ，
与x轴的交点坐标为 ， ；
【小问3详解】
解：∵
∴二次函数 的图像开口向上，
∵对称轴是直线 ，
的
∴图象 随 增大而增大时， 取值范围是 ．
【点睛】本题考查了二次函数的顶点式，与坐标轴的交点问题、二次函数的性质，解答本题的关键是明确
题意，利用二次函数的性质解答．
22. 商场经销一种商品，进价为每件40元，售价是每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：如
果调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件．
（1）要想获得6000元的利润，该商品应定价为多少元？
（2）该商品应定价为多少元时，商场能获得最大利润？
【答案】（1）70元；
（2）每件商品定价为65元时利润最大，最大利润为6250元
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用和二次函数的实际应用，准确理解题意，找到等量关系是解
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题的关键．
（1）设涨价x元时，根据总利润等于单件利润乘以数量列方程求解即可；
（2）设涨价x时，每周售出商品的利润为y元，根据总利润等于单件利润乘以数量可得函数关系式，再求
二次函数的最值即可求解．
【小问1详解】
设涨价x元时，由题意得
解得 （舍去）， ，
∴ （元），
答：要想获得6000元的利润，该商品应定价为70元；
【小问2详解】
设涨价x时，每周售出商品的利润为y元，
，
∴当 时，y有最大值，最大值为6250，
∴定价为 元，
答：每件商品定价为65元时利润最大，最大利润为6250元．
23. 如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分．如果M是 中弦 的中点，
EM经过圆心O交 于点E， ， ，求 的半径．
【答案】
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【解析】
【分析】本题主要考查了垂径定理，构造直角三角形是解题的关键．连接 ，由垂径定理得出
，则 ，根据勾股定理求解即可．
【详解】解：连接 ，
M是 中弦 的中点，EM经过圆心O，
，
，
，
，
设 ，则 ，
在 中，根据勾股定理可得，
，
解得 ．
故 的半径为 ．
24. 如图，是抛物线形拱桥，当拱顶离水面 ，水面宽 ，水面下降 ，水面宽度增加多少？
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【答案】水面下降1m,水面宽度增加（ ）m．
【解析】
【分析】首先建立直角坐标系，设抛物线 为，把点（2，-2）代入求出解析式可解．
【详解】解：如图，建立直角坐标，
可设这条抛物线为 ，
把点（2，-2）代入，得
，
∴ ，
当y=-3时， ．
∴水面下降1m,水面宽度增加（ ）m．
【点睛】本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问
题．
25. 如图，已知正方形 的边长为 ， 是 边上的点，将 绕点 逆时针旋转 得到
．
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（1）画出旋转后的图形， ______ ．
（2）若 ，求 的面积．
【答案】（1）画图见解析，
（2）
【解析】
【分析】（1）根据旋转是性质作图即可，同时可得 ，即可得出 ；
（2）先根据勾股定理求出 ，从而得出 的长，再利用面积公式即可求解．
【小问1详解】
作图如下：
由旋转的性质可得出 ， ，
即 是等腰直角三角形，
．
故答案为： ；
【小问2详解】
解：∵ ，
∴ ，
由旋转的性质可得出 ，
∴ ，
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∵ 是等腰直角三角形，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，正方形的性质以及三角形的面
积公式，掌握相关的知识是解题的关键．
26. 在平面直角坐标系 中，点 ， 在抛物线 上．
（1）若 ，求该抛物线的对称轴；
（2）已知点 在该抛物线上，设该抛物线的对称轴为 ．若 ，且 ，求 的取
值范围．
【答案】（1）直线
（2）
【解析】
【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是根据数形结合求解．
（1）根据抛物线的对称性直接求对称轴即可；
（2）根据 ，可知抛物线过原点，再根据 ， 且 ， 可知抛物线与 轴的另一交点在
和 之间，从而确定出对称轴的取值范围．
【小问1详解】
解：∵ ，
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∴抛物线的对称轴为直线 ；
【小问2详解】
∵ ，
∴抛物线开口向上且经过原点，
∵ ，且 ，
∴ ， ，
∴抛物线和 轴的2个交点，一个为 ，另外一个点为 ，
∴ ，
∴ ，
∵点 ，
点 关于对称轴的对称点为 ，
∵ ，
∴ ，
，
综上所述， 的取值范围为
27. 在等腰直角 中， ， ，过点 垂的线 ．点 为直线 上的一个
动点（不与点 重合），将射线 绕点 顺时针旋转90°交直线 于点 ．
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（1）如图1，点 在线段 上，依题意补全图形；
①求证： ；
②用等式表示线段 之间的数量关系，并证明．
（2）点 在线段 的延长线上，直接写出线段 之间的数量关系．
【答案】（1）见解析；①见解析；② ；见解析
（2） ＝
【解析】
【分析】（1）根据题意补全图形即可：
①设 与 的交点为 ，根据三角形内角和定理可求解；
②过点 作 交 于点 ．证明 ，即可得到结论；
（2）过点 作 交 的延长线于点 ，证明 即可．
【小问1详解】
解：（1）补全图形，如图．
①证明：如图①，设 的交点为 ．
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根据题意可知， ．
∵ ，
∴ ．
∴ ， ．
∵
∴ ．
② ．
证明：如图②，过点 交 ．
∵ ， ，
∴ ．
∴ ， ．
∴ ．
∴ ．
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∴ ．
∵ ，
∴ ．
【小问2详解】
过点 作 交 的延长线于点 ，如图③，
∵ ，
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴
∴
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又
∴ ，
在 中，
∴
∴ ＝
∴ ＝ ．
【点睛】此题主要考查了三角形全等的判定与性质，以及等腰直角三角形的性质运用和勾股定理的应用，
熟练掌握相关定理与性质是解答此题的关键．
28. 在平面直角坐标系 中，已知点 ， ；对于点 给出如下定义：将点 向右 或向
左 平移 个单位长度，再向上 或向下 平移 个单位长度，得到点 ，点 关于
点 的对称点为 ，称点 为点 的“对应点”．
（1）如图，点 ，点 在线段 的延长线上，若点 ，点 为点 的“对应点”．
①在图中画出点 ；
②连接 ，交线段 于点 ．求证： ；
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（2） 的半径为 ， 是 上一点，点 在线段 上，若点 与点 重合， 为 外一点，
点 为点 的“对应点”．当点 在 上运动时，直接写出点 所构成的图形的面积（用含 的式子
表示）．
【答案】（1） 见详解； 见详解
（2）
【解析】
【分析】（1） 根据题干中的定义确定 的位置即可； 构造平行四边形 即可得出结论；
（2）根据定义可知 ；利用中心对称的性质可知 ，从而确定了 的轨迹是一个圆，
根据圆的面积公式求解即可；
【小问1详解】
解： 点 如下图所示：
是由点 向右平移 个单位长度，再向上平移 个单位长度得到的；
的横坐标为： ；纵坐标为：
证明：连接 ；
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轴 ； 轴
∴四边形 为平行四边形
【小问2详解】
解：连接 并延长至点 ，使 ，连接 ，如图：
由 的定义可知：
关于点 对称
点 的轨迹是以点 为圆心，半径为 的圆
点 的轨迹构成的图形的面积为：
【点睛】本题考查了平面直角坐标系中点的平移与对称、主从联动问题；熟练掌握平移与中心对称的性质
是解题的关键．
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