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2021 北京八中初三（上）期中
数 学
一.选择题（本题共16分，每小题2分）（每题均有四个选项，符合题意的选项只有一个）
1. 抛物线 的对称轴是（ ）
A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线
的
2. 围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有4000多年 历史．2017年5月，世界围棋冠军柯
洁与人工智能机器人 进行围棋人机大战．截取首局对战棋谱中的四个部分，由黑白棋子摆成的
图案是中心对称的是（ ）
A B. C.
.
D.
的
3. 将抛物线 先向右平移 个单位，再向上平移 个单位，得到 抛物线是（ ）
A. B.
.
C D.
4. 如图，香港特别行政区标志紫荆花图案绕中心旋转 °后能与原来的图案互相重合，则 的最小值为（
）A. 45 B. 60 C. 72 D. 144
5. 已知函数 ，其中 ，此函数的图象可以是（ ）
A. ． B. ． C. ．
D.
6. 已知二次函数 的部分图象如图所示，则使得函数值 大于 的自变量 的取值可以是（
）
A. B. C. D.
7. 某电视机厂计划用两年的时间把某型号的电视机成本降低 ，若每年下降的百分数相同，则这个百分
数是（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，抛物线 与 轴交于 两点， 是以点 为圆心， 为半径的圆上的动点，
是线段 的中点，连接 ，则线段 的最小值是（ ）A. B. C. D.
二.填空题（本题共16分，每小题2分）
9. 已知 是关于x的二次函数，那么m的值为______
10. 已知 是关于 的一元二次方程 的一个根，则 ___________
11. ⊙O的半径为3，点P 在⊙O外，点P到圆心的距离为d，则d需要满足的条件____________．
12. 如图，在⊙O中，OC⊥AB，∠ADC=32°，则∠OBA的度数是__________
13. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=3，点D在AC上，且AD=2，将点D绕着点A顺时针方
向旋转，使得点D的对应点E恰好落在AB边上，则旋转角的度数为________，CE的长为_______．
14. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，-3），半径为1的动圆⊙A沿y轴正方向运动，若运
动后⊙A与x轴相切，则点A的运动距离为____________．15. 若关于x的一元二次方程 有两个相等的实数根，则c的最小值是___________．
16. 如图1，在 中， ， 是边 上一动点，设 ， 两点之间的距离为 ， ， 两点
之间的距离为 ，表示 与 的函数关系的图像如图2所示．则线段 的长为___________，线段 的
长为___________．
三.解答题（本题共68分，17题4分，18—21题5分，22—23每题6分，24题7分，25题5
分，26题6分，27—28每题7分）
17. 解关于x的方程：
18. 若二次函数 的x与y的部分对应值如下表：
x … -4 -3 -2 -1 0 1 …
y … -5 0 3 4 3 0 …
（1）求此二次函数的解析式；
（2）画出此函数图象 （不用列表） ；（3）结合函数图象，当y>0时，直接写出自变量x的取值范围．
19. 已知关于 的一元二次方程 ．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程两个根的绝对值相等，求此时 的值．
20. 如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分．如果M是⊙O中弦CD的中点，
EM经过圆心O交⊙O于点E，CD=10，EM=25．求⊙O的半径．
21. 已知：如图， ABC为锐角三角形，AB=AC，CD∥AB．
求作：线段BP，使得点P在直线CD上，且∠ABP= ．
作法：①以点A为圆心，AC长为半径画圆，交直线CD于C，P两点；②连接BP．线段BP就是所求作线
段．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明．
证明：∵CD∥AB，
∴∠ABP= ．∵AB=AC，
∴点B在⊙A上．
又∵∠BPC= ∠BAC（ ）（填推理依据）
∴∠ABP= ∠BAC
22. 如图，△ABC为等边三角形，将BC边绕点B顺时针旋转30°，得到线段BD，连接AD，CD，求
∠ADC的度数．
23. 体育测试时，九年级一名学生，双手扔实心球．已知实心球所经过的路线是某个二次函数图象的一部
分，如果球出手处 点距离地面的高度为 ，当球运行的水平距离为 时，达到最大高度 的 处
（如图），问该学生把实心球扔出多远？（结果保留根号）
24. 已知四边形 内接于 ， ．（1）如图1，连接 ，若 的半径为6， ，求 的长；
（2）如图2，连接 ，若 ， ，对角线 平分 ，求 的长．
25. 阅读理解：
某“数学兴趣小组”根据学习函数的经验，对函数 的图象和性质进行了探究，探究过程如
下，请补充完整：
（1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应数值如下表：
… …
… …
其中 ______；
的
（2）在平面直角坐标系 中，描出以上表中各对对应值为坐标 点，根据描出的点，画出该函数
的图象；
（3）根据函数图象，回答下列问题：
①当 时，则y的取值范围为______．②直线 经过点 ，若关于x的方程 有4个互不相等的实数根，则b的取
值范围是______．
26. 在平面直角坐标系 中，点A是抛物线 的顶点．
（1）求点A的坐标（用含 的代数式表示）；
（2）若射线 与 轴所成的锐角为 ，求 的值；
（3）将点 向左平移4个单位得到点 ，若抛物线与线段 只有一个公共点，求出 的取值范围．
27. 如图，已知：过 上一点 作两条弦 、 ，且 ， ， 都不经过 过
作 的垂线 交 于 ，直线 ， 交于点 ，直线 ， 交于点 ．
（1）证明： ；
（2）探索线段 、 、 的数量关系，并证明你的结论．
28. 对于平面直角坐标系 中第一象限内的点 和图形 ，给出如下定义：
过点 作 轴和 轴的垂线，垂足分别为M，N，若图形 中的任意一点 满足 且 ，则称四边形 是图形 的一个覆盖，点 为这个覆盖的一个特征点．
例： 已知 ， ，则点 为线段 的一个覆盖的特征点．
（1）已知： ， ，点 ，
① 在 ， ， 中，是 的覆盖特征点的为___________；
② 若在一次函数 的图像上存在 的覆盖的特征点，求 的取值范围．
（2）以点D（3，4）为圆心，半径为 作圆，在抛物线 上存在⊙ 的覆盖的特
征点，直接写出 的取值范围__________________．
