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2022-2023 学年北京市第十三中学七年级（上）期末数学试卷
一、选择题
1. 有理数a、b、c、d在数轴上的对应的位置如图所示．下面有四个推断：①如果 ，则一定会有
；②如果 ，则一定会有 ；③如果 ，则一定会有 ；④如果 ，则
一定会有 ．所有合理推断的序号是（）
A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④
【答案】A
【解析】
【分析】利用数形结合思想，根据两数相乘同号得正，异号得负，数轴上靠近右边的数大于左边的数等知
识推理判断说明即可．
【详解】解：因为 ，
所以 同号，
因为 ，
所以 同号，
所以 ，
所以①正确；
因为 ，
所以 同号，
因为 ，
所以 可能同号，也可能异号，
所以②错误；
因为 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 异号，
因为 ，
所以 异号，
所以 ，
所以③正确；
因为 ，
所以 异号，
因为 ，
所以 可能同号，也可能异号，
所以④错误；
正确的为：①③．
故选：A
【点睛】本题考查了数形结合思想，根据两数相乘，同号得正，异号得负，数轴上靠近右边的数大于左边
的数，熟练掌握上述知识是解题的关键．
2. 截至2019年6月底，我国4G手机用户数大约达到5.74亿，将5.74亿这个数用科学记数法可表示为（
）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变
成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】将5.74亿这个数用科学记数法可表示为 ．
故选：C．
【点睛】本题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为
整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3. 如图，数轴上A、B、C三点所表示的数分别是a、6、c．已知AB＝8，a＋c＝0，且c是关于x的方程
（m－4）x＋16＝0的一个解，则m的值为（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. －4 B. 2 C. 4 D. 6
【答案】A
【解析】
【分析】先根据数轴求出a和c的值，再把c的值代入方程，求出m的值．
【详解】解：∵ ，
∴A表示的数是 ，即 ，
∵ ，
∴ ，
把 代入方程得 ，解得 ．
故选：A．
【点睛】本题考查数轴上两点之间的距离，一元一次方程的解，解题的关键是掌握一元一次方程解的定义
和解一元一次方程的方法．
4. 下列方程的变形中，不正确的是（ ）
A. 由 ，得 B. 由 ，得
C. 由 ，得 D. 由 ，得
【答案】A
【解析】
【分析】根据等式的基本性质，进行移项，合并同类项，系数化1，计算即可．
【详解】A：由 ，得 ，故A错误．
B，C，D的变形均正确．
故答案选：A．
【点睛】准确掌握等式的基本性质，移项变号，是解题的关键．
5. 双十一期间，“天猫”平台上一件标价为800元的上衣，按八折销售仍可获利40元，设这件上衣的成本
价为x元，列方程正确的为（ ）
A. 800×0.8﹣x＝40 B. 800×8﹣x＝40
C. 800×0.8＝x﹣40 D. 800×0.8＝40﹣x
【答案】A
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】利用利润＝售价−成本，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．
【详解】解：依题意得：800×0.8﹣x＝40．
故选：A．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关
键．
6. 《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中记载：今有共买物，人出八，盈三；人出
七，不足四．问人数、物价各几何？意思是：现有几个人共买一件物品，每人出8钱，多出3钱；每人出
7钱，还差4钱．问：人数、物价各是多少？若设物价是x钱，根据题意列一元一次方程，正确的是（
）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设物价是x钱，根据人数不变即可列出一元一次方程；由此即可确定正确答案．
【详解】解：设物价是 钱，则根据可得：
故选B．
【点睛】本题主要考查了列一元一次方程，正确审题、发现隐藏的等量关系成为解答本题的关键．
7. 下列四个几何体中，是四棱锥的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据立体几何的识别选出正确选项．
【详解】A选项是四棱锥；
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学科网（北京）股份有限公司B选项是圆柱；
C选项是四棱柱；
D选项是三棱柱．
故选：A．
【点睛】本题考查立体几何的识别，解题的关键是掌握四棱锥的定义．
8. 用如图所示的纸片折成一个长方体纸盒，折得的纸盒是( )．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】分别找出长方体的对面，进而可得答案．
【详解】解：如图所示：
根据题意可知， 的对面是 ， 的对面是 ， 的对面是 ， 面阴影的短边与 面阴影的一边重
合．
故用如图所示的纸片折成一个长方体纸盒，折得的纸盒是C．
故选：C．
【点睛】本题考查了长方体的展开图，属于常见题型，注意从相对面入手是解题的关键．
9. 由5个大小相同的正方形拼成如图所示的图形（阴影部分），在图中 ， ， ， 四个位置中再选
择一个正方形，使新拼接成的图形折叠后成为一个封闭正方体的位置有（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】C
【解析】
【分析】根据分别探讨在A、B、C、D位置时，能够通过该图形复原成一个完整的正方体即可．
【详解】解：利用空间想象能力，可以发现除了位置C以外的其他三个位置都可以．
故选：C．
【点睛】本题主要是考查了正方体的侧面展开图的复原，利用空间想象能力，把不同的侧面展开图成功复
原成正方体，这是解决本题的关键．
10. A，B，C三点在同一直线上，线段AB＝5cm，BC＝4cm，那么A，C两点的距离是（ ）
A. 1cm B. 9cm C. 1cm或9cm D. 以上答案都不对
【答案】C
【解析】
【分析】由已知条件知A，B，C三点在同一直线上，做本题时应考虑到A、B、C三点之间的位置，分情
况可以求出A，C两点的距离．
【详解】第一种情况：C点在线段AB上时，故AC=AB－BC=1cm；
第二种情况：当C点在线段AB的延长线上时，AC=AB+BC=9cm，
故选C．
【点睛】本题考查两点间的距离，渗透了分类讨论的思想，体现了思维的严密性，在今后解决类似的问题
时，要防止漏解．
二、填空题
11. 的倒数是________．
【答案】－2
【解析】
【详解】解： 的倒数是： ，
故答案为：-2．
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学科网（北京）股份有限公司【点睛】本题考查了倒数的概念，即当a≠0时，a与 互为倒数．特别要注意的是：负数的倒数还是负数，
此题难度较小．
12. 计算： ______．
【答案】
【解析】
【分析】根据有理数的减法进行计算即可．
【详解】解：
故答案为：
【点睛】本题考查了有理数的减法，根据有理数减法法则转化为加法计算是解题的关键．
13. 若多项式 中不含 项，则 __________，化简结果为__________．
【答案】 ①. 2 ②.
【解析】
【分析】根据整式的运算法则即可求出答案．
【详解】解：原式
由题意可知： 时，此时多项式不含 项，
，化简结果为：
故答案为：2， ．
【点睛】本题考查整式的运算法则，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型．
14. 关于x的方程 的解是 ，则a的值是______．
【答案】1
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】根据关于x的方程 的解是 ，可得 ，解出即可求解．
【详解】解：∵关于x的方程 的解是 ，
∴ ，解得： ．
故答案为：1
【点睛】本题主要考查了一元一次方程解的定义，解一元一次方程，熟练掌握使方程左右两边同时成立的
未知数的值是方程的解是解题的关键．
15. 有两根木条,一根AB长为100cm,另一根CD长为150cm,在它们的中点处各有一个小圆孔MN(圆孔直径
忽略不计,MN抽象成两个点),将它们的一端重合,放置在同一条直线上,此时两根木条的小圆孔之间的距离
MN是____________cm.
【答案】125或25
【解析】
【分析】本题没有给出图形，在画图时，应考虑到A、B、M、N四点之间的位置关系的多种可能，再根据
题意正确地画出图形解题．
【详解】本题有两种情形：
（1）当A、C（或B、D）重合，且剩余两端点在重合点同侧时，
MN=CN-AM= CD- AB，
=75-50=25cm；
（2）当B、C（或A、C）重合，且剩余两端点在重合点两侧时，
MN=CN+BM= CD+ AB，
=75+50=125cm．
故两根木条的小圆孔之间的距离MN是25cm或125cm．
【点睛】此题考查两点之间的距离问题，在未画图类问题中，正确画图很重要，本题渗透了分类讨论的思
想，体现了思维的严密性，在今后解决类似的问题时，要防止漏解．
16. 将正方体骰子（相对面上的点数分别为1和6、2和5、3和4）放置于水平桌面上，如图1．在图2中，
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学科网（北京）股份有限公司将骰子向右翻滚90°，然后在桌面上按逆时针方向旋转90°，则完成一次变换．若骰子的初始位置为图1
所示的状态，那么按上述规则连续完成14次变换后，骰子朝上一面的点数是_____________________．
【答案】6
【解析】
【分析】先向右翻滚，然后再逆时针旋转叫做一次变换，那么连续3次变换是一个循环．本题先要找出3
次变换是一个循环，然后再求14被3整除后余数是1，从而确定第1次变换的第1步变换．
【详解】解：根据题意可知连续3次变换是一循环，
所以14÷3=4…2所以是第1次变换后的图形，即按上述规则连续完成14次变换后，骰子朝上一面的点数是
6.
故答案为：6
【点睛】考查了正方体向对面上的文字，是一道找规律的题目，找出哪些部分发生的变化，按照什么规律
变化是解题的关键.
三、解答题
17. （1）
（2）
【答案】（1）26；（2）-2
【解析】
【分析】（1）利用乘方分配律进行计算即可解答；
（2）先算乘方，再算乘除，即可解答．
【详解】解：（1）
=26；
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学科网（北京）股份有限公司（2）
=-2．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．进行有理数的混合运算时，
注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．
18. 解方程：
（1） ；
（2） ．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先去分母，再移项合并同类项，即可求解；
（2）先去分母，再去括号，然后移项合并同类项，即可求解．
【小问1详解】
解：
去分母得： ，
移项合并同类项得： ，
解得： ；
【小问2详解】
解： ，
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学科网（北京）股份有限公司去分母得： ，
去括号得： ，
移项合并同类项得： ，
解得： ．
【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的基本步骤，并注意移项要变号，去
括号时括号前面是负号，去掉括号和负号，里面各项都变号是解题的关键．
19. 某公司门口有一个长为 的长方形电子显示屏，如图所示，公司的有关活动都会在电子显示屏播
出，由于各次活动的名称不同，字数也就不等，为了制作及显示时方便美观，负责播出的员工对有关数据
作出了如下规定:边空宽:字宽:字距 ，请用列方程的方法解决下列问题:某次活动的字数为 个，
求字距是多少？
【答案】字数为17个，字距是10cm
【解析】
【分析】根据总长度=16个字距宽+2个边距宽+17个字宽,由边空宽:字宽:字距 ，列方程求解.
【详解】解:设字距为 ，则边空宽为 ，字宽为 ，
根据题意得 ，
解得 .
经检验， 符合题意.
答:这次活动的字数为 个，字距是 .
【点睛】本题考查一元一次方程的实际应用，图形长度问题，找到长度和边空宽、字宽和字距之间的关系，
即等量关系是列方程的关键.
20. 根据下列语句画图：
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学科网（北京）股份有限公司（1）连接AB两点，延长线段AB到点C，使BC＝2AB，点P在线段AB上，点Q在线段AB的反向延长线上．
（2）利用无刻度直尺和圆规作线段等于2a﹣b保留痕迹，写出作图结论．
【答案】（1）见解析；（2）见解析.
【解析】
【分析】（1）根据作一条线段等于已知线段的尺规作图可得；（2）利用基本作图，作一条线段等于已知
线段即可作出．
【详解】解：（1）如图1所示，BC即为所求．
（2）如图2所示，线段AC即为所求，AC＝2a﹣b．
【点睛】本题考查有关线段的基本作图，正确掌握利用已知线段作出相等线段是解题关键．
21. 如图，已知点C在线段AB上，线段AC=12厘米，BC=8厘米，点M，N分别是AC，BC的中点．
（1）求线段MN的长；
（2）根据第（1）题的计算过程和结果，设 ，其它条件不变，直接写出MN的长度；
（3）动点P、Q分别从A，B同时出发，点P以2cm/s的速度沿AB向右运动，终点为B，点Q以1cm/s的
速度沿BA向左运动，终点为A，当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动，设运动时间为 秒，是否
存在某一时刻，使得C、P、Q这三个点中，有一个点恰为另外两点所连线段的中点？若存在，求出所有满
足条件的 的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）10cm
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学科网（北京）股份有限公司（2）
（3）存在，当 为4或6.4或7时，C、P、Q这三个点中，有一个点恰为另外两点所连线段的中点
【解析】
的
【分析】（1）根据线段中点 定义分别求出MC，CN，即可得到答案；
（2）同（1）求解即可；
（3）分三种情况：当C为PQ的中点时，当P为CQ的中点时，当Q为PC的中点时，三种情况讨论求解
即可．
【小问1详解】
解：∵M是AC的中点，
∴ ，
又∵N是BC的中点，
∴ ，
∴ （厘米）
【小问2详解】
解：∵M是AC的中点，
∴ ，
又∵N是BC的中点，
∴ ，
；
【小问3详解】
解：如图所示：①当C为PQ的中点时，
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学科网（北京）股份有限公司解得： ；
②当P为CQ的中点时，如图所示：
解得： ；
③当Q为PC的中点时，如图所示：
解得：
的
综上所述，当 为4或6.4或7时，C、P、Q这三个点中，有一个点恰为另外两点所连线段 中点．
【点睛】本题主要考查了与线段中点有关 的计算，一元一次方程的应用，正确理解线段中点的定义是解题
的关键．
22. 列一元一次方程解应用题：国家速滑馆“冰丝带”，位于北京市朝阳区奥林匹克公园林萃路2号，是
2022年北京冬奥会北京主赛区标志性、唯一新建的冰上竞赛场馆．某大学冬奥志愿者负责本场馆的对外联
络和文化展示服务工作，负责对外联络服务工作的有17人，负责文化展示服务工作的有10人，现在另调
20人去两服务处支援，使得在对外联络服务工作的人数比在文化展示服务的人数的2倍多5人，问应调往
对外联络、文化展示两服务处各多少人？
【答案】应调往对外联络、文化展示两服务处各16人、4人
【解析】
【分析】设应调往对外联络x人，则应调往文化展示两服务处 人，然后根据负责对外联络服务工
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学科网（北京）股份有限公司作的有17人，负责文化展示服务工作的有10人，现在另调20人去两服务处支援，使得在对外联络服务工
作的人数比在文化展示服务的人数的2倍多5人，列出方程求解即可．
【详解】解：设应调往对外联络x人，则应调往文化展示两服务处 人，
由题意得： ，
∴ ，
解得 ，
∴应调往对外联络16人，则应调往文化展示两服务处4人，
答：应调往对外联络、文化展示两服务处各16人、4人．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，正确根据题意列出方程是解题的关键．
23. 探索发现：如图是一种网红弹弓的实物图，在两头上系上皮筋，拉动皮筋可形成平面示意图如下图①，
弹弓的两边可看成是平行的，即AB∥CD，各活动小组探索∠APC与∠A，∠C之间的数量关系．
在
已知AB∥CD，点P不 直线AB和直线CD上，在图①中，智慧小组发现：∠APC＝∠A+∠C．
智慧小组是这样思考的：过点P作PQ∥AB
请你按照智慧小组作的辅助线补全推理过程⋯．
类比思考：
①在图②中，∠APC与∠A、∠C之间的数量关系为______；
②如图③，已知AB∥CD，则∠α、∠β、∠γ之间的数量关系为______．
解决问题：善思小组提出：如图④⑤，AB∥CD，AF、CF分别平分∠BAP、∠DCP．请分别求出图④、图
⑤中，∠AFC与∠APC之间的数量关系，并说明理由．
【答案】探索发现见解析；
①∠APC+∠A+∠C＝360°；
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学科网（北京）股份有限公司②α+β﹣γ＝180°；
解决问题：如图④，∠AFC ∠APC；如图⑤，∠AFC＝180° ∠APC；理由见解析
【解析】
【分析】探索发现：由PQ∥AB，AB∥CD，推出PQ∥CD，得出∠APQ＝∠A，∠CPQ＝∠C，推出
∠APQ+∠CPQ＝∠A+∠C，即可得出结论；
类比思考：①过点P作PQ∥AB，由平行线的性质得出∠APQ＋∠A＝180°，由PQ∥AB，AB∥CD，得到
PQ∥CD，由平行线的性质得出∠CPQ＋∠C＝180°，则∠APQ+∠A+∠CPQ+∠C＝360°，即可得出结果；
②过点M作MQ∥AB，由平行线的性质得出α+∠QMA＝180°，由MQ∥AB，AB∥CD，推出MQ∥CD，得
出∠QMD＝γ，即可得出结果；
解决问题：如图④，过点P作PQ∥AB，过点F作FM∥AB，由平行线的性质得出∠APQ＝∠BAP，
∠AFM＝∠BAF，由角平分线的定义得出∠BAF＝∠PAF，即∠AFM ∠BAP，由PQ∥AB，FM∥AB，
AB∥CD，推出PQ∥CD，FM∥CD，得出∠CPQ＝∠DCP，∠CFM＝∠DCF，由角平分线的定义得出
∠DCF＝∠PCF，即∠CFM ∠DCP，推出∠APC＝∠BAP+∠DCP，∠AFC （∠BAP+∠DCP），
即可得出结果；
如图⑤，过点P作PH∥AB，过点F作FQ∥AB，由平行线的性质得出∠APH＝∠MAP，∠AFQ＝∠BAF，
由角平分线的定义得出∠BAF＝∠PAF，即2∠AFQ＝∠BAP，由PH∥AB，FQ∥AB，AB∥CD，推出
PH∥CD，FQ∥CD，得出∠CPH＝∠NCP，∠CFQ＝∠DCF，由角平分线的定义得出∠DCF＝∠PCF，即
2∠CFQ＝∠DCP，由∠BAP+∠MAP＝180°，∠DCP+∠NCP＝180°，得出2∠AFQ+∠APH＝180°，
2∠CFQ+∠CPH＝180°，即可得出结果．
【详解】解：探索发现：过点P作PQ∥AB，
∵PQ∥AB，AB∥CD，
∴PQ∥CD，
∴∠APQ＝∠A，∠CPQ＝∠C，
∴∠APQ+∠CPQ＝∠A+∠C，
∴∠APC＝∠A+∠C；
类比思考：①∠APC+∠A+∠C＝360°；理由如下：
过点P作PQ∥AB，如图②所示：
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学科网（北京）股份有限公司∴∠APQ＋∠A＝180°，
∵PQ∥AB，AB∥CD，
∴PQ∥CD，
∴∠CPQ＋∠C＝180°，
∴∠APQ＋∠A＋∠CPQ＋∠C＝180°+180°＝360°，
∴∠APC+∠A+∠C＝360°，
故答案为：∠APC+∠A+∠C＝360°；
②α+β﹣γ＝180°；理由如下：
过点M作MQ∥AB，如图③所示：
∴α+∠QMA＝180°，
∵MQ∥AB，AB∥CD，
∴MQ∥CD，
∴∠QMD＝γ，
∵∠QMA+∠QMD＝β，
∴∠QMA＝β－γ，
∴α+β﹣γ＝180°，
故答案为：α+β﹣γ＝180°；
解决问题：如图④，∠AFC ∠APC；理由如下：
过点P作PQ∥AB，过点F作FM∥AB，如图④所示：
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学科网（北京）股份有限公司∴∠APQ＝∠BAP，∠AFM＝∠BAF，
∵AF平分∠BAP，
∴∠BAF＝∠PAF，
∴∠AFM ∠BAP，
∵PQ∥AB，FM∥AB，AB∥CD，
∴PQ∥CD，FM∥CD，
∴∠CPQ＝∠DCP，∠CFM＝∠DCF，
∵CF平分∠DCP，
∴∠DCF＝∠PCF，
∴∠CFM ∠DCP，
∴∠APC＝∠BAP+∠DCP，∠AFC ∠BAP ∠DCP （∠BAP+∠DCP），
∴∠AFC ∠APC，
故答案为：∠AFC ∠APC；
如图⑤，∠AFC＝180° ∠APC；理由如下：
过点P作PH∥AB，过点F作FQ∥AB，延长BA到M，延长DC到N，如图⑤所示：
∴∠APH＝∠MAP，∠AFQ＝∠BAF，
∵AF平分∠BAP，
∴∠BAF＝∠PAF，
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学科网（北京）股份有限公司∴2∠AFQ＝∠BAP，
∵PH∥AB，FQ∥AB，AB∥CD，
∴PH∥CD，FQ∥CD，
∴∠CPH＝∠NCP，∠CFQ＝∠DCF，
∵CF平分∠DCP，
∴∠DCF＝∠PCF，
∴2∠CFQ＝∠DCP，
∵∠BAP+∠MAP＝180°，∠DCP+∠NCP＝180°，
∴2∠AFQ+∠APH＝180°，2∠CFQ+∠CPH＝180°，
∴2∠AFQ+∠APH+2∠CFQ+∠CPH＝360°，即2∠AFC+∠APC＝360°，
∴∠AFC＝180° ∠APC．
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质、角平分线的定义、平角的定义等知识，能灵活运用定理进行推
理是解此题的关键．
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