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北京市西城区 2019-2020 学年度第一学期期末试卷
七年级数学
一、选择题（本题共30分，每小题3分）
1. 4的倒数是（ ）
A. B. 4 C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】解：4的倒数是 ．故选D
2. 在国庆70周年的联欢活动中，参与表演的3290名群众演员，每人手持一个长和宽都为80厘米的光影
屏，每一块光影屏上都有1024颗灯珠，约3369000颗灯珠共同构成流光溢彩的巨幅光影图案，给观众带来
了震撼的视觉效果.将3369000用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据科学记数法的定义：科学记数法，数学术语，是指把一个大于10(或者小于1)的整数记为
的形式(其中| 1| ≤| | ＜| 10| )的记数法，即可得解.
【详解】根据题意，得
3369000=
故答案为B.
【点睛】此题主要考查对科学记数法的运用,熟练掌握,即可解题.
3. 下列计算中正确的是（ ）
A. 5a+6b＝11ab B. 9a﹣a＝8
C. a2+3a＝4a3 D. 3ab+4ab＝7ab
【答案】D
【解析】
【分析】首先判断是不是同类项，然后再看是否合并正确．【详解】解：A．不是同类项，不能合并，不符合题意；
B．应该为8a，不符合题意；
C．不是同类项，不能合并，不符合题意；
D．合并同类项，系数相加，字母和字母的指数不变，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了合并同类项，能够正确判断同类项是解题的关键．
4. 如图，点A、B在直线l上，点C是直线l外一点，可知 ，其依据是（ ）
A. 两点之间，线段最短 B. 两点确定一条直线
C. 两点之间，直线最短 D. 直线比线段长
【答案】A
【解析】
【分析】根据线段公理：两点之间，线段最短，即可得解.
【详解】根据题意，得
两点之间，线段最短
故答案为A.
【点睛】此题主要考查对两点之间距离的理解，熟练掌握，即可解题.
5. 下列解方程的步骤中正确的是（ ）
A. 由 ，可得
B. 由 ，可得
C. 由 可得
D. 由 ，可得
【答案】B
【解析】
【分析】根据一元一次方程的求解方法，逐一判定即可．【详解】解：A选项，由 ，可得 ，此选项不符合题意；
B选项，由 ，可得 ，此选项符合题意；
C选项，由 ，可得 ，此选项不符合题意；
D选项，由 ，可得 ，此选项不符合题意；
故选B．
【点睛】此题主要考查一元一次方程的求解步骤，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键．
6. 已知 ，则代数式 的值为（ ）
A. －3 B. －4 C. －5 D. －7
【答案】A
【解析】
【分析】首先将所求代数式转换为含有已知代数式的形式，然后代入即可得解.
【详解】根据已知，得
故答案为A.
【点睛】此题主要考查利用已知代数式求代数式的值，熟练掌握，即可解题.
7. 有理数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，有如下四个结论：① ；② ；③
；④ .上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A. ①② B. ②③ C. ②④ D. ③④
【答案】C
【解析】
【分析】根据有理数在数轴上的位置，逐一判定即可.
【详解】根据题意，得，错误；
，正确；
，错误；
，正确；
故答案为C.
【点睛】此题主要考查数轴上的有理数大小的判定，熟练掌握，即可解题.
8. 下列说法中正确的是（ ）
A. 如果 ，那么x一定是7 B. 表示的数一定是负数
C. 射线AB和射线BA是同一条射线 D. 一个锐角的补角比这个角的余角大90°
【答案】D
【解析】
【分析】根据绝对值、负数、射线、补角、余角的性质，逐一判定即可.
【详解】A选项，如果 ，那么x是 ，错误；
B选项， 表示的数不一定是负数，错误；
C选项，射线AB和射线BA不是同一条射线，错误；
D选项，一个锐角的补角比这个角的余角大90°，正确；
故答案为D.
【点睛】此题主要考查绝对值、负数、射线、补角、余角的性质，熟练掌握，即可解题.
9. 下列图形中，可能是如图所示正方体的展开图的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C【解析】
【分析】根据正方体展开图，A、B、D选项的图案与题意不符，即可判定.
【详解】根据题意，得
A选项，折叠起来与题意不符，错误；
B选项，折叠起来与题意不符，错误；
C选项，折叠起来与题意相符，正确；
D 选项，折叠起来与题意不符，错误；
故选C.
【点睛】此题主要考查正方体的展开图，熟练掌握，即可解题.
10. 居民消费价格指数是一个反映居民家庭一般所购买的消费品和服务项目价格水平变动情况的宏观经济
指标.据统计，从2018年9月到2019年8月，全国居民消费价格每月比上个月的增长率如下图所示：
根据上图提供的信息，下列推断中不合理的是（ ）
A. 2018年12月的增长率为0.0%，说明与2018年11月相比，全国居民消费价格保持不变
B. 2018年11月与2018年10月相比，全国居民消费价格降低0.3%
C. 2018年9月到2019年8月，全国居民消费价格每月比上个月的增长率中最小的是－0.4%
D. 2019年1月到2019年8月，全国居民消费价格每月比上个月的增长率一直持续变大
【答案】D
【解析】
【分析】根据图中信息，逐一判定即可.
【详解】根据图中信息，得
A选项，2018年12月的增长率为0.0%，说明与2018年11月相比，全国居民消费价格保持不变，正确；
B选项，2018年11月与2018年10月相比，全国居民消费价格降低0.3%，正确；
C选项，2018年9月到2019年8月，全国居民消费价格每月比上个月的增长率中最小的是－0.4%，正确；
D选项，2019年1月到2019年8月，全国居民消费价格每月比上个月的增长率并不是一直持续变大，错误；
故答案为D.
【点睛】此题主要考查从图中读取信息的能力，熟练掌握，即可解题.二、填空题（本题共19分，第11~15题每小题2分，第16~18题每小题3分）
11. 如图所示的网格式正方形网格，∠ABC________∠DEF（填“>”，“=”或“<”）
【答案】＞
【解析】
【分析】根据角在网格中的位置，即可判定其大小.
【详解】根据题意，得
∴ ，
故答案为：＞.
【点睛】此题主要考查在正方形网格中判断角的大小，熟练掌握，即可解题.
12. 用四舍五入法将0.0586精确到千分位，所得到的近似数为_____________
【答案】0.059
【解析】
【分析】采用四舍五入法将小数精确到千分位即可得解.
【详解】根据题意，得
用四舍五入法将0.0586精确到千分位，所得到的近似数为0.059，
故答案为：0.059.
【点睛】此题主要考查近似数，熟练掌握精确度的知识以及近似数的确定方法是解题的关键.
13. 已知x=3是关于x的一元一次方程 的解，请写出一组满足条件的a，b的值： _______，
_________
【答案】 ①. 1 ②. -3
【解析】
【分析】首先将方程的解代入方程，即可得出 和 的关系式，然后即可得解.
【详解】由已知，将x=3代入方程，得当 时，
故答案为1，-3.
【点睛】此题主要考查利用一元一次方程的解求参数的值，熟练掌握，即可解题.
14. 若 ，则 =_________
【答案】1
【解析】
【分析】首先由非负性得出 和 的值，然后代入即可得解.
【详解】由已知，得
∴ ,
故答案为：1.
【点睛】此题主要考查利用非负性求解，熟练掌握，即可解题.
15. 《九章算术》是中国古代非常重要的一部数学典籍，被视为“算经之首”.《九章算术》大约成书于公元
前200年~公元前50年，是以应用问题解法集成的体例编纂成书的，全书按题目的应用范围与解题方法划
分为“方田”、“粟米”、“衰分”等九章.
《九章算术》中有这样一个问题：
今有共买金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百.问人数，金价各几何？
其大意是：假设合伙买金，每人出400钱，还剩余3400钱；每人出300钱，还剩余100钱.问人数、金价各
是多少？如果设有x个人，那么可以列方程为______________
【答案】
【解析】
【分析】等量关系为：金的价格不变，据此根据题意，列出方程即可.
【详解】根据题意，得
，
故答案为： .
【点睛】此题主要考查根据题意列方程，弄清题意，找准等量关系是解题的关键.16. 我们把 称为二阶行列式，且 如： .
（1）计算： ____________；（2）若 ，则m的值为___________
【答案】 ①. 28 ②. -5
【解析】
【分析】（1）根据题意，列式计算即可.
（2）根据新定义运算可得关于m的方程，然后解方程进行求解即可得出m的值.
【详解】（1）由已知得
（2）∵
∴
∴ ，
故答案为：28；-5.
【点睛】此题主要考查新定义下的运算，解一元一次方程等，掌握新定义运算的运算法则是解题的关键.
17. 已知线段AB如图所示，延长AB至C，使BC=AB，反向延长AB至D，使 ，点E是线段
CD的中点.
（1）依题意补全图形；
（2）若AB的长为30，则BE的长为_____________
【答案】（1）见解析；（2）5
【解析】
【
分析】（1）根据题意，补全图形即可；
（2）根据所补充的线段与AB的关系，找出BE和AB的关系即可得解.
【详解】（1）如图所示：（2）由已知，得
， ， ，
【点睛】此题主要考查线段的相关知识，熟练掌握，即可解题.
的
18. 一件商品 包装盒是一个长方体（如图1），它的宽和高相等.小明将四个这样的包装盒放入一个
长方体大纸箱中，从上面看所得图形如图2所示，大纸箱底面长方形未被覆盖的部分用阴影表示.接着小明
将这四个包装盒又换了一种摆放方式，从上面看所得图形如图3所示，大纸箱底面未被覆盖的部分也用阴
影表示.
设图1中商品包装盒的宽为a，则商品包装盒的长为___________，图2中阴影部分的周长与图3中阴影部
分的周长的差为____________（都用含a的式子表示）
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】首先根据摆放方式可以得出商品包装盒的长，长方体大纸箱的长和宽，然后即可求出阴影部分的
周长.
【详解】根据图3的摆放方式可得长方体的长等于两个宽，
即商品包装盒的长为2a
由两种摆放方式，得
长方体大纸箱的长为4a，宽为3a
图2中阴影部分的周长为：
图3中阴影部分的周长为：其差为：
故答案为2a；2a.
【点睛】此题主要考查长方形的性质以及整式的加减运用，解题时要充分结合所给图形理解题意.
三、计算题（本题共16分，每小题8分）
19. 计算：（1） （2）
【答案】（1）-6；（2）
【解析】
【分析】（1）根据有理数的加减运算法则，计算即可；
（2）根据有理数的乘除运算法则，计算即可.
【详解】（1）原式=7+8-21=-6
（2）原式=-4×（ ）=
【点睛】此题主要考查有理数的运算，熟练掌握运算法则，即可解题.
20. 计算：（1） （2）
【答案】（1） ；（2）32
【解析】
【分析】（1）根据乘法分配律运算法则，计算即可；
（2）根据有理数混合运算法则，计算即可.
【详解】（1）原式=
=
=（2）原式=
=
=32
【点睛】此题主要考查有理数的混合运算，熟练掌握，即可解题.
四、解答题（本题共35分，第24题4分，第26题6分，其余每小题5分）
21. 先化简，再求值： ，其中
【答案】 ；4
【解析】
【分析】首先将多项式去括号合并同类项进行化简，然后代入即可得解.
【详解】 =
=
将 代入，得
【点睛】此题主要考查整式的化简求值，熟练掌握，即可解题.
22. 解方程：
【答案】
【解析】
【分析】首先去分母，然后移项合并同类项即可得解.
【详解】方程两边同乘以15，得
移项，得
合并同类项，得
经检验，左边=右边
故 是方程的解.
【点睛】此题主要考查一元一次方程的求解，熟练掌握，即可解题.23. 解方程组：
【答案】
【解析】
【分析】利用消元法进行求解即可.
【详解】 ，
得 ，
解得 ③，
将③代入②，得 ，
∴方程的解为 .
【点睛】此题主要考查二元一次方程组的求解，熟练掌握，即可解题.
24. 已知：如图，O是直线AB上一点，OD是∠AOC的平分线，∠COD与∠COE互余
求证：∠AOE与∠COE互补.
请将下面的证明过程补充完整：
证明：∵O是直线AB上一点
∴∠AOB=180°
∵∠COD与∠COE互余
∴∠COD+∠COE=90°
∴∠AOD+∠BOE=_________°
∵OD是∠AOC的平分线
∴∠AOD=∠________（理由：_______________）
∴∠BOE=∠COE（理由：________________）∵∠AOE+∠BOE=180°
∴∠AOE+∠COE=180°
∴∠AOE与∠COE互补
【答案】90；COD；角平分线所平分的两角相等；如果两个角相等，那么它的余角也相等
【解析】
【分析】首先根据平角的定义得出∠AOB=180°，然后根据余角的性质得出∠AOD+∠BOE=90°，再由角平
分线的性质得出∠AOD=∠COD，进而得出∠BOE=∠COE，从而得出∠AOE+∠COE=180°，即可得证.
【详解】∵O是直线AB上一点
∴∠AOB=180°
∵∠COD与∠COE互余
∴∠COD+∠COE=90°
∴∠AOD+∠BOE=90°
∵OD是∠AOC的平分线
∴∠AOD=∠COD（理由：角平分线所平分的两角相等）
∴∠BOE=∠COE（理由：如果两个角相等，那么它的余角也相等）
∵∠AOE+∠BOE=180°
∴∠AOE+∠COE=180°
∴∠AOE与∠COE互补
【点睛】此题主要考查平角、余角和角平分线的性质，熟练掌握，即可解题.
25. 某同学模仿二维码的方式为学校设计了一个身份识别图案系统：在 的正方形网格中，黑色正方形
表示数字1，白色正方形表示数字0.如图1是某个学生的身份识别图案.约定如下：把第i行，第j列表示的
数字记为 （其中i，j=1，2，3，4），如图1中第2行第1列的数字 =0；对第i行使用公式
进行计算，所得结果 表示所在年级， 表示所在班级， 表示学号的十位
数字， 表示学号的个位数字.如图1中，第二行 ，说明这个学生在5班.
（1）图1代表的学生所在年级是______年级，他的学号是_________；
（2）请仿照图1，在图2中画出八年级4班学号是36的同学的身份识别图案【答案】（1）七；28；（2）见解析
【解析】
【分析】（1）根据题意，分别求出相应的 ，即可得解；
.
（2）根据题意， ， ， ， ，进行逆运算，即可得解
【详解】（1）根据题意，得
图1代表的学生所在年级是七年级，他的学号是28；
（2）根据题意，得八年级4班学号是36的同学
即 ， ， ，
即 ，
则该同学的身份识别图案如下：【点睛】此题主要考查新定义下的运算，熟练掌握，即可解题.
26. 学校计划在某商店购买秋季运动会的奖品，若买5个篮球和10个足球需花费1150元，若买9个篮球和
6个足球需花费1170元.
（1）篮球和足球的单价各是多少元？
（2）实际购买时，正逢该商店进行促销.所有体育用品都按原价的八折优惠出售，学校购买了若干个篮球
和足球，恰好花费1760元.请直接写出学校购买篮球和足球的个数各是多少.
【答案】（1）篮球的单价是80元，足球的单价是75元；（2）学校购买篮球5个，足球24个或购买篮球
20个，足球8个.
【解析】
【分析】（1）首先设篮球的单价是 元，足球的单价是 元，然后根据题意列出方程组求解即可；
（2）首先设购买了 个篮球， 个足球，然后根据题意列出方程，求解其整数解即可.
【详解】（1）设篮球的单价是 元，足球的单价是 元
解得
答：篮球的单价是80元，足球的单价是75元；
（2）设购买了 个篮球， 个足球
∴ 或
学校购买篮球5个，足球24个或学校购买篮球20个，足球8个.
【点睛】此题主要考查二元一次方程组以及求其整数解的实际应用，解题关键是理解题意,列出等式.
27. 点O为数轴的原点，点A、B在数轴上的位置如图所示，点A表示的数为5，线段AB的长为线段OA长的1.2倍.点C在数轴上，M为线段OC的中点
（1）点B表示的数为____________
（2）若线段BM的长为4.5，则线段AC的长为___________
（3）若线段AC的长为x，求线段BM的长（用含x的式子表示）
【答案】（1）-1；（2）2或16；（3） 或 .
【解析】
【分析】（1）首先根据OA的长求出AB的长，即可得出OB的长，然后根据点B的位置，即可得出点B
表示的数；
（2）需分两种情况进行求解：点C在点B的左侧和右侧，求出OM和OC的长，即可得出AC的长；
（3）需分两种情况进行求解：点C在点B的左侧和右侧，求出OM和OC的长，即可得出BM的长.
【详解】（1）根据题意，得
线段OA的长为5，线段AB的长为6
故线段OB的长为6-5=1
点B在原点左侧，点B表示的数为-1
（2）若点C在点B的左侧，则OM的长为5.5，OC的长为11，AC的长为16；
若点C在点B的右侧，则OM的长为3.5，OC的长为7，AC的长为2；
故线段AC的长为2或16.
（3）若点C在点B的左侧，则OC的长为 ，OM的长为 ，BM的长为 ；
若点C在点B的右侧，则OC的长为 ，OM的长为 ，BM的长为 ；
故线段BM的长为 或 .
【点睛】此题主要考查数轴的相关知识，熟练掌握，即可解题.
五、填空题（本题6分）
28. 观察下列等式，探究其中的规律并解答问题：（1）第4个等式中，k=____________；
（2）写出第5个等式：______________；
（3）写出第n个等式：_______________（其中n为正整数）
【 答 案 】 ① . 7 ②. ③.
【解析】
【分析】（1）观察数字规律，即可得出k；
（2）根据总结出的规律，即可列出第5个等式；
（3）根据总结出的规律，即可列出第n个等式.
【详解】（1）根据题意，观察每个等式，得出规律，每个等式的结果是从1开始的奇数的平方，故
得 ；故答案为7；
（2）根据规律，得出第5个等式是： ；故答案为
；
（3）第n个等式为： ，故答案为
.
【点睛】此题主要考查数字规律探究，观察总结各等式之间的变化，总结出规律，即可解题.
六、解答题（本题共14分，每小题7分）
29. 我们熟知的七巧板，是由宋代黄伯思设计的“燕几图”（“燕几”就是“宴几”，也就是宴请宾客的案几）演
变而来.到了明代，严澄将“燕几图”里的方形案几改为三角形，发明了“蝶翅几”.而到了清代初期，在“燕几
图”和“蝶翅几”的基础上，兼有三角形、正方形和平行四边形，能拼出更加生动、多样图案的七巧板就问世
了（如图1网格中所示）（1）若正方形网格的边长为1，则图1中七巧板的七块拼板的总面积为_____________
（2）使用图1中的七巧板可以拼出一个轮廓如图2所示的长方形，请在图2中画出拼图方法（要求：画出
各块拼板的轮廓）
（3）随着七巧板的发展，出现了一些形式不同的七巧板，如图3所示的是另一种七巧板.利用图3中的七
巧板可以拼出一个轮廓如图4所示的图形；大正方形的中间去掉一个小正方形，请在图4中画出拼图的方
法（要求：画出各块拼板的轮廓）
【答案】（1）8；（2）见解析；（3）见解析
【解析】
【分析】（1）首先求出七巧板的七块拼板组成的正方形的边长，然后即可得出面积；
（2）根据题意，拼接即可；
（3）根据题意，拼接即可.
【详解】（1）根据图1，得七巧板的七块拼板组成的正方形的边长为 ，
则其总面积为 ；
（2）如图所示：（3）如图所示：
【点睛】此题主要考查正方形和长方形的性质，熟练掌握，即可解题.
30. 对于平面内给定射线OA，射线OB及∠MON，给出如下定义：若由射线OA、OB组成的∠AOB的平分
线OT落在∠MON的内部或边OM、ON上，则称射线OA与射线OB关于∠MON内含对称．例如，图1中
射线OA与射线OB关于∠MON内含对称
已知：如图2，在平面内，∠AOM=10°，∠MON=20°
（1）若有两条射线 ， 的位置如图3所示，且 ， ，则在这两条射线
中，与射线OA关于∠MON内含对称的射线是_____________
（2）射线OC是平面上绕点O旋转的一条动射线，若射线OA与射线OC关于∠MON内含对称，设
∠COM=x°，求x的取值范围；（3）如图4，∠AOE=∠EOH=2∠FOH=20°，现将射线OH绕点O以每秒1°的速度顺时针旋转，同时将射线
OE和OF绕点O都以每秒3°的速度顺时针旋转．设旋转的时间为t秒，且 ．若∠FOE的内部及两
边至少存在一条以O为顶点的射线与射线OH关于∠MON内含对称，直接写出t的取值范围．
【答案】（1） ；（2） ；（3）
【解析】
【分析】（1）根据题意，求出∠AOB ，即可判定其角平分线落在∠MON的内部；
2
（2）首先由射线OA与射线OC关于∠MON内含对称，逆推出∠AOC的取值范围，然后即可得出∠COM的
取值范围；
（3）分两种情况讨论，利用 内含对称的定义列出不等式，即可求解．
【详解】（1）∵∠AOM=10°，∠MON=20°， ，
∴∠AOB =∠AOM+∠BOM=10°+15°=25°
2 2
∴其角平分线落在∠MON的内部
∴与射线OA关于∠MON内含对称的射线是 ；
（2）若射线OA与射线OC关于∠MON内含对称，则
∴
∵∠COM=x°，∠COM=∠AOC-∠AOM
∴
（3） ，
， ， ， ，若射线 与射线 关于 内含对称，
，
；
若射线 与射线 关于 内含对称，
，
，
综上所述： ．
【点睛】本题是新定义题，考查了角平分线的性质，一元不等式的应用，理解新定义，运用新定义解决问
题是本题的关键．
