文档内容
牡丹江市省级示范高中 2024--2025 学年度高三期中
数学试卷
考试时间:120分钟 分值：150分
一、选择题：本题共8小题，每小题分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有
一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1. 若 ，则 （ ）
A. B. C. D.
2. 从1984年第23届洛杉矶夏季奥运会到2024年第33届巴黎夏季奥运会，我国获得
的夏季奥运会金牌数依次为15、5、16、16、28、32、51、38、26、38、40，这11个
数据的 分位数是（ ）
A. 16 B. 30 C. 32 D. 51
3. 如图，在 中， 是 边上靠近 点的三等
分点， 是 边上的动点，则 的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
4. 《周髀算经》中有这样一个问题：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、
清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气，自冬至日起，其日影长依次成等差数列，
前三个节气日影长之和为28.5尺，最后三个节气日影长之和为1.5尺，则春分时节的
日影长为( )A．2.5尺 B．3.5尺 C． 4.5尺 D．1.5尺
5. 若函数 在区间 上单调递增．则a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
6. 已知 ， 是一元二次方程 的两个根，则 （
）
A. B. C. D.
7. 已知函数 ，若关于 的方程 有实数
解，则 的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
8. 若函数 在 上恰有3个零
点，则符合条件的m的个数是（ ）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项
符合题目要求. 全部选对得 6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有
选错的得0分.
9. 已知向量 ， ，则（ ）
A. 若 ，则 B. 若 ， 共线，则
C. 不可能是单位向量 D. 若 ，则10. 在等比数列 中， ，则（ ）
A. 的公比为 B. 的公比为2
C. D. 数列 递增数列
为
11. 已知函数 ， ，若 ， 的图象与直线
分别切于点 ， ，与直线 分别切于点C，
D，且 ， 相交于点 ，则（ ）
A. B. C. D.
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 已知平面向量 满足 ，且 ，则 ________.
13. 若 ，且 ，则 __________.
14. 设S，T 分别为等差数列{a}，{b}的前n项和，且＝.设A是直线BC外一点，P是
n n n n
直线BC上一点，且AP＝AB＋λAC，则实数λ的值为________．
四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.（13分）已知等比数列 为递增数列，其前 项和为 ， ， .
(1)求数列 的通项公式；
(2)若数列 是首项为1，公差为3的等差数列，求数列 的通项公式及前 项
和 .16. （15分）在锐角 中，内角 的对边分别为 ，且
.
（1）证明： .
（2）若点 在边 上，且 ，求 的取值范围.
17.（15分）8世纪早期英国牛顿学派最优秀代表人物之一的数学家泰勒（Brook
Taylor）发现的泰勒公式（又称麦克劳林公式）有如下特殊形式：当 在 处的
阶导数都存在时，
．其中，f″(x)表示
的二阶导数，即为f'(x)的导数， 表示 的 阶导数．
(1)根据公式估计 的值；（结果保留两位有效数字）
(2)由公式可得： ，当 时，请比较
与 的大小，并给出证明；
18. （17分）某商场为促销设计了一项回馈客户的抽奖活动，抽奖规则是：有放回的
从装有大小相同的6个红球和4个黑球的袋中任意抽取一个，若第一次抽到红球则奖励
50元的奖券，抽到黑球则奖励25元的奖券；第二次开始，每一次抽到红球则奖券数额
是上一次奖券数额的2倍，抽到黑球则奖励25元的奖券，记顾客甲第n次抽奖所得的
奖券数额 的数学期望为 .
X (1≤n≤6) E(X )
n n
(1)求 及 的分布列.
E(X ) X
1 2
(2)写出 与 的递推关系式，并证明 为等比数列；
E(X ) E(X )(n≥2) {E(X )+50}
n n−1 n
(3)若顾客甲一共有6次抽奖机会，求该顾客所得的所有奖券数额的期望值.（考数据：
1.26≈2.986）19.已知 .
(1)求 的定义域；
(2)若 恒成立，求 能够取得的最大整数值；
(3)证明： .数学试卷答案
一、选择题：本题共8小题，每小题分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有
一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1. 若 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】根据复数的除法运算求得 ，再根据共轭复数的概念分析判断.
【详解】因为 ，则 ，
所以 ．故选B．
2. 从1984年第23届洛杉矶夏季奥运会到2024年第33届巴黎夏季奥运会，我国获得的
夏季奥运会金牌数依次为15、5、16、16、28、32、51、38、26、38、40，这11个数据
的 分位数是（ ）
A. 16 B. 30 C. 32 D. 51
【答案】C
【分析】将数据按照从小到大的顺序排列，根据百分位数的计算方法即可求解.
【详解】把11个数据按照从小到大排列得5、15、16、16、26、28、32、38、38、40、51，因为 ，这11个数据按照从小到大排列第7个是32.故选： .
3. 如图，在 中， 是 边上靠近 点的三等
分点， 是 边上的动点，则 的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【分析】先用余弦定理求出 ，再将向量用基底 表示，借助向量运算性质
计算即可.
【详解】由 ，解得 .
设 ，则
.4. 的展开式中的常数项为（ ）
A. 147 B. C. 63 D.
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用二项式定理求出 展开式中 项即可列式计算
即得【详解】二项式 展开式中 项分别为 ，
所以 的展开式中的常数项为 ．故选：C
5. 若函数 在区间 上单调递增．则a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【分析】根据对数函数的单调性结合复合函数及对数函数的定义域计算求解.
【详解】 在区间 上单调递增，令 单调
递 减 ， 则 在 区 间 上 单 调 递 减 且 恒 为 正 ， 所 以 且
，所以 ．故选：D．
6. 已知 ， 是一元二次方程 的两个根，则 （
）A. B. C. D.
【答案】A
【 解 析 】 【 分 析 】 结 合 根 与 系 数 关 系 可 得 ，
，再利用两角和的正切公式可求出 的值.
【详解】因为 ， 是一元二次方程 的两个根，
显然 ，所以 ， ，
所以 ，所以 ．故选：A．
7. 已知函数 ，若关于 的方程 有实数
解，则 的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【 分 析 】 设 ， 利 用 函 数 的 单 调 性 和 奇 偶 性 ， 把
转化成 ，再结合三角函数的性质求 的
取值范围.【详解】令 ，则 恒成立，则 在
上 单 调 递 增 ， 且 是 奇 函 数 . 由 ， 得
， 即 ， 从 而
，即 故选：D
【点睛】方法点睛：设 ，可得函数 为奇函数，利用导
函数分析函数 的单调性，把 转化成
，再求 的取值范围
8. 若函数 在 上恰有3个零点，
则符合条件的m的个数是（ ）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
【答案】B
【分析】就 、 、 分类，每种情况结合正弦函数的性质可得其取值
范围.
【详解】令 ，则 或 ，由 ，当 时， 在[0,4]上没有零点，
则 在[0,4]上应有3个零点，因为 ，所以
，即 ，与 联立得 ，因为 ，
所以m的值依次为9，10；当 时， 在[0,4]上有1个零点 ，
在[0,4]上有 3 个零点 ，不满足题意；当 时，
在[0,4]上有2个零点，故 在[0,4]上应有1个
零点，因为 ，所以该零点与 的零点不相同，所以
，即 ，与 联立得 ，因为 ，所
以 的取值依次为2，3，4，综上得符合条件的 的个数是5．故选：B．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求. 全部选对得 6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知向量 ， ，则（ ）
A. 若 ，则 B. 若 ， 共线，则
C. 不可能是单位向量 D. 若 ，则
【答案】AD
【解析】【分析】根据给定条件，利用垂直关系、向量共线的坐标表示计算判断 AB；
利用单位向量的意义判断C，利用向量线性运算的坐标表示及利用坐标求模判断D.
【详解】对于A，由 ，得 ，解得 ，A正确；
对于B，由 ， 共线，得 ，解得 ，B错误；
对于C，当 时， 是单位向量，C错误；
对于D，当 时， ，则 ，D正确．
故选：AD
10. 在等比数列 中， ，则（ ）
A. 的公比为 B. 的公比为2
C. D. 数列 递增数列
为
【答案】BC【分析】根据题意，列出等式求出等比数列的首项和公比，然后逐一判断
即可.【详解】设等比数列{a }的公比为 ，
n
依题意得 解得 所以 故 ，故BC正确，
A错误；对于D， ，则数列 为递减数列，故D错误.故选：
BC.
11. 已知函数 ， ，若 ， 的图象与直线
分别切于点 ， ，与直线 分别切于点C，
D，且 ， 相交于点 ，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】BC
【分析】根据公切线的有关概念判断 与 的关系，可判断A、B选项的真假；根据
指数函数与对数函数的图象的对称性，可判断公切线斜率的关系，结合基本不等式，判
断C的真假；也可求两条公切线的交点，判断D的真假.
【详解】由题意得 ， ，所以 ，
即 ，由 ，整理得 ，且 ，A错误；把 ， ，代入 ，整理得 ，B正确；
分别作出 与 的图象如下：
两图象有2个交点，所以 图象上的切点有2个，即 与 的公切线有2条．
因为 ， 的图象关于直线 对称，所以点 关于直线
的对称点为 ， ， ，
C正确；
因为直线 ， 关于直线 对称，则点 就是直线 与直线 的交点，
直线 的方程为 ，与 联立得 ，
所以 ，所以 ，
由 且 可得 ，设 ， 则 ， 所 以 ， 所 以
，D错误．
故选：BC．
【点睛】关键点点睛：（1）同底的指数函数与对数函数互为反函数，它们的图象关于
直线 对称，这一性质的应用在判断D选项时很重要.（2）看到不等式，就要想到
求代数式的最值，常见的最值的求法有：第一：与二次函数有关的最值问题的求法；第
二：基本不等式求最值；第三：利用函数的单调性求最值；第三：利用三角函数的有界
性求最值.
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 已知平面向量 满足 ，且 ，则 ________.
【答案】 【分析】由向量数量积的运算律和向量垂直的表示直接计算即可得解.
【详解】因为 ，所以 ，则 ，
所以 .故答案为： .
13. 若 ，且 ，则 __________.
【答案】 【分析】化简三角函数式，求出 ，根据 即
可求解.【详解】由 ，得 .因为 ，所以 ，则 ，则
.
由 ，得 ，则 ，解得 .故答案为：
.
14. 设S，T 分别为等差数列{a}，{b}的前n项和，且＝.设A是直线BC外一点，P是
n n n n
直线BC上一点，且AP＝AB＋λAC，则实数λ的值为________．
答案 －
解析 依题意，B，C，P三点共线，
∴＋λ＝1，∴λ＝1－2×，
依题意，＝＝＝＝＝＝，
∴λ＝1－2×＝－.
四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.（13分）已知等比数列 为递增数列，其前 项和为 ， ， .
(1)求数列 的通项公式；
(2)若数列 是首项为1，公差为3的等差数列，求数列 的通项公式及前 项
和 .
【答案】(1) ;(2) ，
【解析】（1）设等比数列 的首项为 ，公比为 ，根据题意可得 ，解得 或 ，
因为等比数列 为递增数列，所以 ，
所以数列 的通项公式为 .
（2）因为数列 是首项为 ，公差为 的等差数列，
所以 ，所以 ，
所以
.
16. （15分）在锐角 中，内角 的对边分别为 ，且 .
（1）证明： .（2）若点 在边 上，且 ，求 的取值范围.
【答案】【分析】（1）化简已知等式结合余弦定理可得 ，再利用两
角和的正弦公式即可证明结论；（2）由已知条件结合正弦定理可得 ，根
据锐角 确定角C的范围，即可求得答案.
【小问1详解】
证明：因为 ，所以 ，整理得
.
又 ，所以 ，从而，整理得 ，则
.
由 ，得 ，
即 ，结合锐角 中， ，
则 ，即 .
【小问2详解】
如图，由 ，可得 ，则 .
在 中，由正弦定理得 ，
整理得 .
因为 ，且 是锐角三角形，所以 解得 ，则 ，
从而 ，即 的取值范围为 .
17.（15分）8世纪早期英国牛顿学派最优秀代表人物之一的数学家泰勒（Brook
Taylor）发现的泰勒公式（又称麦克劳林公式）有如下特殊形式：当 在 处的
阶导数都存在时，
．其中，f″(x)表示
的二阶导数，即为f'(x)的导数， 表示 的 阶导数．
(1)根据公式估计 的值；（结果保留两位有效数字）
(2)由公式可得： ，当 时，请比较
与 的大小，并给出证明；(3)已知 ，证明：
．
【答案】(1) (2) ，证明见解析(3)证明见解析
【分析】（1）根据泰勒公式求得 ，赋值即可求得近似值；
（2）构造函数 ，利用导数判断其单调性和最值，即可证明；
（3）根据（2）中所得结论，将目标式放缩为，再裂项求和即可证明.
【详解】（1）记 ，则
，
，所以 ，
因为 ，
所以 且 ，
， ．
（2）令 ，则
，
恒成立， 在 递增， 在 递增，
在 递增， ，即
.
（3）由题， ，则 ，则 ，
令 ，易得 在 上递增，在 上递减，从而 ，
即 当且仅当 时取等号），
，即 ，
，
，得证．
【点睛】本题第三问的处理关键是能够利用第二问结论，将原式放缩为
，再利用裂项求和法证明，对学
生已知条件的利用能力以及综合应用能力提出了较高的要求，属综合困难题.
18. （17分）某商场为促销设计了一项回馈客户的抽奖活动，抽奖规则是：有放回的
从装有大小相同的6个红球和4个黑球的袋中任意抽取一个，若第一次抽到红球则奖励
50元的奖券，抽到黑球则奖励25元的奖券；第二次开始，每一次抽到红球则奖券数额
是上一次奖券数额的2倍，抽到黑球则奖励25元的奖券，记顾客甲第n次抽奖所得的
奖券数额 的数学期望为 .
X (1≤n≤6) E(X )
n n(1)求 及 的分布列.
E(X ) X
1 2
(2)写出 与 的递推关系式，并证明 为等比数列；
E(X ) E(X )(n≥2) {E(X )+50}
n n−1 n
(3)若顾客甲一共有6次抽奖机会，求该顾客所得的所有奖券数额的期望值.（考数据：
1.26≈2.986）
【答案】(1) ，分布列见解析；
E(X )=40
1
(2) ，证明见解析；
E(X )=1.2E(X )+10(2≤n≤6)
n n−1
(3)所得奖券数额的期望约为593.7元.
【分析】（1）利用古典概型求出抽到红球、黑球的概率，求出 ，再求出 的可
E(X ) X
1 2
能值及对应概率列出分布列.
（2）分析求出递推关系，利用构造法证明即可.
（3）由（2）的结论，利用分组求和及等比数列前n项和公式求解即得.
6
【详解】（1）依题意，抽到一个红球的概率为 =0.6，抽到一个黑球的概率为0.4，
10
显然 的值为25，50，则 ，
X P(X =25)=0.4,P(X =50)=0.6
1 1 1
所以 ，
E(X )=25×0.4+50×0.6=40
1
又X 的值为25,50,100，
2
则 ，
P(X =25)=0.4,P(X =50)=0.4×0.6=0.24,P(X =100)=0.6×0.6=0.36
2 2 2
所以X 的分布列为：
2
X 25 50 100
2
0.
P 0.24 0.36
4
（2）依题意，当 时，甲第n次抽到红球所得的奖券数额为 ，对应概率为
n≥2 2E(X )
n−1
0.6，
抽到黑球所得的奖券数额为25元，对应概率为0.4，
因此当 时， ，
2≤n≤6 E(X )=2E(X )×0.6+25×0.4=1.2E(X )+10
n n−1 n−1
， 即 ， 又
E(X )+50=1.2E(X )+60 E(X )+50=1.2(E(X )+50)
n n−1 n n−1，
E(X )+50=40+50=90
1
数列 为等比数列，公比为1.2，首项为90.
{E(X )+50}
n
（3）由（2）得， ，即 ，
E(X )+50=90×1.2n−1(1≤n≤6) E(X )=90×1.2n−1−50
n n
所 以 顾 客 甲 抽 奖 6 次 ， 所 得 奖 券 数 额 的 期 望 为
6 90(1−1.26 ) 90×(1−2.986) （元）.
∑ E(X )= −50×6≈ −300=593.7
n 1−1.2 −0.2
i=1
【点睛】思路点睛：求离散型随机变量的分布列及期望的一般步骤：（1）根据题中条
件确定随机变量的可能取值；（2）求出随机变量所有可能取值对应的概率，即可得出
分布列；（3）根据期望的概念，结合分布列，即可得出期望（在计算时，要注意随机
变量是否服从特殊的分布，如超几何分布或二项分布等，可结合其对应的概率计算公式
及期望计算公式，简化计算）.
18.已知 .
(1)求 的定义域；
(2)若 恒成立，求 能够取得的最大整数值；
(3)证明： .
【答案】(1) (2)1(3)证明见解析
【分析】（1）根据函数有意义，得到不等式组 ，构造函数
，通过求导推出 ，即可得到函数的定义域；
（2）由题设不等式恒成立等价转化为 ， 恒成立，讨论函数
得 ，则须使 ，令得其当且仅当 时取到最小值，得解.
（3）利用（2）中得到的不等式进行放缩得到 ，取 ，推得
再对 进行赋值相加即可得证.
【详解】（1）要使函数 有意义，需满足 ，令
，
则 ，令 解得 ，当 时，
在 上单调递减，
当 时， 在 上单调递增，
∴f (x)的定义域为(0,+∞)；
（2）由 恒成立得， ，当 时，不等式恒成立；
下面说明当 且为整数时不等式成立的情况.当 时，不等式显然成立，
当 时，等价于 恒成立，此时 恒成立，
令 ，则 ，令 得 ，
当 即 且 为整数时，无解；
当 即 且 为整数时，
若 ，则 ，若 ，则 ，即ℎ(x)在 上单调递增，
在 上单调递减，则要使不等式恒成立，须使 恒成立，
令 则 故 单调递增，
从而 ，当且仅当 时取等号，此时恰有原不等式恒成立，
综上所述， 能够取得的最大整数值是1；
（3）由（2）可知，当 时， 恒成立，即 ，即
，
当 时， ，即 ，
令 ，则有 即
于是，
，得证..
