文档内容
北京市西城区 2021—2022 学年度第一学期期末试卷九年级数学
第一部分 选择题
一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1. 古典园林中的窗户是中国传统建筑装饰的重要组成部分，一窗一姿容，一窗一景致．下列窗户图案中，
是中心对称图形的是（ ）
A. B. C.
D.
2. 二次函数 的图象的顶点坐标是（ ）
A. B. C. D.
3. 如图，点 ， ， 在 上， 是等边三角形，则 的大小为（ ）
.
A 60° B. 40° C. 30° D. 20°
4. 将一元二次方程 通过配方转化为 的形式，下列结果中正确的是（ ）
A. B. C. D.
5. 如图， 是正方形 的外接圆，若 的半径为4，则正方形 的边长为（ ）A. 4 B. 8 C. D.
6. 生活垃圾无害化处理可以降低垃圾及其衍生物对环境的影响．据统计，2017年全国生活垃圾无害化处
理能力约为2.5亿吨，随着设施的增加和技术的发展，2019年提升到约3.2亿吨．如果设这两年全国生活
垃圾无害化处理能力的年平均增长率为 ，那么根据题意可以列方程为（ ）
A. B.
C. D.
7. 下列说法中，正确的是（ ）
A. “射击运动员射击一次，命中靶心”是必然事件
B. 事件发生的可能性越大，它的概率越接近1
C. 某种彩票中奖的概率是1%，因此买100张该种彩票就一定会中奖
D. 抛掷一枚图钉，“针尖朝上”的概率可以用列举法求得
8. 抛物线 的顶点为 ，且经过点 ，其部分图象如图所示.对于此抛物线有
如下四个结论：① ；② ；③ ；④若此抛物线经过点 ，则 一定
是方程 的一个根．其中所有正确结论的序号是（ ）
A. ①② B. ①③ C. ③④ D. ①④
第二部分 非选择题二、填空题（共16分，每题2分）
9. 在平面直角坐标系 中，点 关于原点的对称点坐标为_______．
10. 关于 的一元二次方程 有一个根为1，则 的值为________．
11. 如图1所示的铝合金窗帘轨道可以直接弯曲制作成弧形．若制作一个圆心角为160°的圆弧形窗帘轨道
（如图2）需用此材料 mm，则此圆弧所在圆的半径为________mm．
12. 写出一个开口向下，且对称轴在 轴左侧的抛物线的表达式：_______．
13. 如图，在平面直角坐标系 中，点 ， ， 的横、纵坐标都为整数，过这三个点作一条圆弧，则
此圆弧的圆心坐标为_______．
14. 如图，在平面直角坐标系 中，抛物线 可以看作是抛物线 经过若
干次图形的变化（平移、轴对称、旋转）得到的，写出一种由抛物线 得到抛物线的过程：_______．
15. 如图，将 绕点 顺时针旋转 得到 ，点 的对应点 恰好落在边
上，则 _______．（用含 的式子表示）
16. 如图，在 中， ， 是 内的一个动点，满足 ．若
， ，则 长的最小值为_______．
三、解答题（共68分，第17-18题，每题5分，第19题6分，第20题5分，第21题6分，第22-24题，每题5分，第25-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说
明、演算步骤或证明过程．
17. 解方程： ．
18. 问题：如图， 是 的直径，点 在 内，请仅用无刻度的直尺，作出 中 边上的高.
小芸解决这个问题时，结合圆以及三角形高线的相关知识，设计了如下作图过程．
作法：如图，
①延长 交 于点 ，延长 交 于点 ；
②分别连接 ， 并延长相交于点 ；
③连接 并延长交 于点 ．
所以线段 即为 中 边上的高．
（1）根据小芸的作法，补全图形；
（2）完成下面的证明．
证明：∵ 是 的直径，点 ， 在 上，
∴ ________°．（______）（填推理的依据）
∴ ， ．
∴ ，________是 的两条高线．
∵ ， 所在直线交于点 ，
∴直线 也是 的高所在直线．
∴ 是 中 边上的高．19. 已知二次函数 ．
（1）求此函数图象的对称轴和顶点坐标；
（2）画出此函数的图象；
（3）若点 和 都在此函数的图象上，且 ，结合函数图象，直接写出 的取值范
围．
20. 如图，在正方形 中，射线 与边 交于点 ，将射线 绕点 顺时针旋转，与 的延
长线交于点 ， ，连接 ．
（1）求证： ；
（2）若 ， ，直接写出 的面积．
21. 已知关于 的一元二次方程 ．
（1）求证：此方程总有两个实数根；
（2）若此方程恰有一个根小于 ，求 的取值范围．
22. 有甲、乙两个不透明的口袋，甲口袋中装有两个相同的球，它们分别写有数 ，2；乙口袋中装有三
个相同的球，它们分别写有数 ， ，5．小明和小刚进行摸球游戏，规则如下：先从甲口袋中随机取出
一个球，其上的数记为 ；再从乙口袋中随机取出一个球，其上的数记为 .若 ，小明胜；若 ，
为平局；若 ，小刚胜．
（1）若 ，用树状图或列表法分别求出小明、小刚获胜的概率；
（2）当 为何值时，小明和小刚获胜的概率相同？直接写出一个符合条件的整数 的值．
23. 如图， ， 是 的两条切线，切点分别为 ， ，连接 并延长交 于点 ，过点 作的切线交 的延长线于点 ， 于点 ．
（1）求证：四边形 是矩形；
的
（2）若 ， ，求 长.．
24. 某篮球队员的一次投篮命中，篮球从出手到命中行进的轨迹可以近似看作抛物线的一部分，表示篮球
距地面的高度 （单位：m）与行进的水平距离 （单位：m）之间关系的图象如图所示．已知篮球出手位
置 与篮筐的水平距离为4.5m，篮筐距地面的高度为3.05m；当篮球行进的水平距离为3m时，篮球距地
面的高度达到最大为3.3m．
（1）图中点 表示篮筐，其坐标为_______，篮球行进的最高点 的坐标为________；
（2）求篮球出手时距地面的高度．
25. 如图， 是 的直径，四边形 内接于 ， 是 的中点， 交 的延长线
于点 ．（1）求证： 是 的切线；
（2）若 ， ，求 的长．
26. 在平面直角坐标系 中，抛物线 的顶点为A， ．
（1）若 ，
①点A到 轴的距离为_______；
②求此抛物线与 轴的两个交点之间的距离；
（2）已知点A到 轴的距离为4，此抛物线与直线 的两个交点分别为 ， ，
其中 ，若点 在此抛物线上，当 时， 总满足 ，求 的值和
的取值范围．
27. 如图1，在 中， ， ，点 ， 分别在边 ， 上， ，连
接 ， ， ．点 在线段 上，连接 交 于点 ．（1）①比较 与 的大小，并证明；
②若 ，求证： ；
（2）将图1中的 绕点 逆时针旋转 ，如图2．若 是 的中点，判断
是否仍然成立．如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由.
28. 在平面直角坐标系 中， 的半径为1，点 在 上，点 在 内，给出如下定义：连接
并延长交 于点 ，若 ，则称点 是点 关于 的 倍特征点．
（1）如图，点 的坐标为 ．
①若点 的坐标为 ，则点 是点 关于 的_______倍特征点；
②在 ， ， 这三个点中，点_________是点 关于 倍特征点；
的
③直线 经过点 ，与 轴交于点 ， .点 在直线 上，且点 是点 关于 的 倍特征
点，求点 的坐标；
的
（2）若当 取某个值时，对于函数 图象上任意一点 ，在 上都存在点
，使得点 是点 关于 的 倍特征点，直接写出 的最大值和最小值．
