文档文本内容
2024届高考物理一轮复习动量专题精准提升强化7：动量守恒应用之子弹模型（难度：偏难）
1. 如图所示，子弹水平射入放在光滑水平地面上静止的木块，子弹未穿透木块，此过程木块的动能增加
了6 J，那么此过程产生的内能可能为( )
A．16 J B．2 J
C．6 J D．4 J
2. (2022·湖南省长沙市湖南师范大学附属中学高三上第二次月考)(多选)矩形滑块由不同材料的上、下两层
粘合在一起组成，将其放在光滑的水平面上，质量为m的子弹以速度v 水平射向滑块，若射击下层，
0
子弹刚好不射出，若射击上层，则子弹刚好能射穿一半厚度，如图所示，则上述两种情况相比较，下
列说法正确的是( )
A．子弹的末速度大小相等
B．系统产生的热量一样多
C．子弹对滑块做的功相同
D．子弹和滑块间的水平作用力一样大
3. （多选）如图所示，一子弹以初速度v 击中静止在光滑的水平面上的木块，最终子弹未能射
0
穿木块，射入的深度为d，木块加速运动的位移为s。则以下说法正确的是（ ）
A.子弹动能的亏损等于系统动能的亏损
B.子弹动量变化量的大小等于木块动量变化量的大小
C.摩擦力对木块做的功等于摩擦力对子弹做的功
D.子弹对木块做的功等于木块动能的增量
4. 如图所示，木块静止在光滑水平面上，子弹A、B从两侧同时射入木块，木块始终保持静止，子弹A
射入木块的深度是B的2倍。假设木块对子弹的阻力大小恒定，则下列说法正确的是( )
A．子弹A的质量是子弹B的质量的2倍
B．子弹A的初动量大小是子弹B的初动量大小的2倍C．若子弹A、B的初始速度都增加为原来的2倍，则木块不会始终保持静止
D．若子弹A、B的初始速度都增加为原来的2倍，则子弹A射入木块的深度仍是子弹B的2倍
5. 如图所示，木块静止在光滑水平面上，两颗不同的子弹A、B从木块两侧同时射入木块，最终都停在木
块内，这一过程中木块始终保持静止。若子弹A射入的深度大于子弹B射入的深度，则( )
A．子弹A的质量一定比子弹B的质量大
B．入射过程中子弹A受到的阻力比子弹B受到的阻力大
C．子弹A在木块中运动的时间比子弹B在木块中运动的时间长
D．子弹A射入木块时的初动能一定比子弹B射入木块时的初动能大
6. （多选）如图所示，木块静止在光滑水平面上，子弹 A、B从两侧同时水平射入木块，木块始
终保持静止，子弹A射入木块的深度是B的3倍。假设木块对子弹的阻力大小恒定，A、B做直线运动
且不会相遇，则A、B运动的过程中，下列说法正确的是（ ）
A.木块和子弹A、B组成的系统动量守恒
B.子弹B的初速度大小是子弹A的初速度大小的3倍
C.子弹B的质量是子弹A的质量的3倍
D.若子弹A向右射入木块，与木块相对静止后，子弹B再向左射入木块，最终A进入的深度仍是B的3倍
7. (“卓越”自主招生)长为L，质量为M的木块静止在光滑水平面上。质量为m的子弹以水平速度v 射
0
入木块并从中射出。已知从子弹射入到射出木块移动的距离为s，则子弹穿过木块所用的时间为( )
A. B.
C. D.
8. 如图所示，在固定的水平杆上，套有质量为 m的光滑圆环，一轻绳一端系在环上，另一端系
着质量为M的木块，现有一质量为m 的子弹以大小为v 的水平速度射入木块并留在木块中，重力加速
0 0
度为g，下列说法正确的是（ ）
m v
0 0
A.子弹射入木块后的瞬间，速度大小为
m +m+M
0
B.子弹射入木块后的瞬间，绳子拉力等于（M＋m）g
0
C.子弹射入木块后的瞬间，环对轻杆的压力大于（M＋m＋m）g
0
D.子弹射入木块之后，圆环、木块和子弹构成的系统动量守恒9. 如图所示，一沙袋用轻质细绳悬于O点。开始时沙袋处于静止状态，此后用弹丸以水平速度击中沙袋
后均未穿出，第一次弹丸的速度为v，打入沙袋后二者共同摆动的最大摆角为30°，当其第一次返回图
1
示位置时，第二粒弹丸以水平速度 v 又击中沙袋，使沙袋向右摆动且最大摆角仍为 30°，若弹丸质量
2
是沙袋质量的倍，则以下结论中正确的是( )
A．v＝v B．v∶v＝41∶42
1 2 1 2
C．v∶v＝42∶41 D．v∶v＝41∶83
1 2 1 2
10. (2022·湖北联考)如图所示，光滑的水平导轨上套有一质量为 1 kg、可沿杆自由滑动的滑块，滑块下方
通过一根长为1 m的轻绳悬挂着质量为0.99 kg的木块。开始时滑块和木块均静止，现有质量为10 g的
子弹以500 m/s的水平速度击中木块并留在其中(作用时间极短)，取重力加速度g＝10 m/s2。下列说法正
确的是( )
A．子弹和木块摆到最高点时速度为零
B．滑块的最大速度为2.5 m/s
C．子弹和木块摆起的最大高度为0.625 m
D．当子弹和木块摆起高度为0.4 m时，滑块的速度为1 m/s
11. (多选)如图所示，质量为m＝245 g的物块(可视为质点)放在质量为M＝0.5 kg的木板左端，足够长的木
板静止在光滑水平面上，物块与木板间的动摩擦因数为 μ＝0.4，质量为m ＝5 g的子弹以速度v ＝300
0 0
m/s沿水平方向射入物块并留在其中(时间极短)，g取10 m/s2，则在整个过程中( )
A．物块和木板组成的系统动量守恒
B．子弹的末动量大小为0.01 kg·m/s
C．子弹对物块的冲量大小为0.49 N·s
D．物块相对于木板滑行的时间为1 s
12. 如图所示，一质量为M的木块静止在水平轨道AB的B端，水平轨道与光滑圆弧轨道BC相切。现有一
质量为m的子弹以v 的水平速度从左边射入木块且未穿出，重力加速度为g。求：
0
(1)子弹射入木块过程中系统损失的机械能和子弹与木块一起在圆弧轨道上上升的最大高度；
(2)从木块开始运动到木块返回B点的过程中木块(含子弹)所受合外力的冲量大小。
13. (2023·云南模拟)如图所示，在平直轨道上P点静止放置一个质量为2 m的物体A，P点左侧粗糙，右侧
光滑，现有一颗质量为m的子弹以v 的水平速度射入物体A并和物体A一起滑上光滑平面，与前方静
0止物体B发生弹性正碰后返回，在粗糙面滑行距离d停下。已知物体A与粗糙面间动摩擦因数为μ＝，
求：
(1)子弹与物体A碰撞过程中损失的机械能；
(2)B物体的质量。
14. 一质量为M的木块放在光滑的水平面上，一质量为m的子弹以初速度v 水平打进木块并留在其中，设
0
子弹与木块之间的相互作用力为F。则：
f
(1)子弹、木块相对静止时的速度是多少？
(2)子弹在木块内运动的时间为多长？
(3)子弹、木块相互作用过程中子弹、木块发生的位移以及子弹打进木块的深度分别是多少？
15. 如图所示，在光滑水平面上有一辆质量M＝8 kg的平板小车，小车上有一个质量m＝1.9 kg的木块，木
块距小车左端6 m(木块可视为质点)，小车与木块一起以v＝1 m/s的速度水平向右匀速行驶。一颗质量
m ＝0.1 kg的子弹以v ＝179 m/s的初速度水平向左飞行，瞬间击中木块并留在其中。如果木块和子弹
0 0
刚好不从小车上掉下，求木块与小车之间的动摩擦因数μ(g＝10 m/s2)。
16. 如图所示，一质量m ＝0.45 kg的平板小车静止在光滑的水平轨道上。车顶右端放一质量 m ＝0.5 kg的
1 2
小物块，小物块可视为质点，小物块与小车上表面之间的动摩擦因数 μ＝0.5。现有一质量m ＝0.05 kg
0
的子弹以v ＝100 m/s的水平速度射中小车左端，并留在车中，子弹与车相互作用时间很短。g取10
0
m/s2，求：
(1)子弹刚刚射入小车时，小车的速度大小v；
1
(2)要使小物块不脱离小车，小车的长度至少为多少？
17. (2019·鞍山一中三模)如图所示，光滑水平面上有一质量M＝1.98 kg的小车，车的B点右侧的上表面是
粗糙水平轨道，车的B点的左侧固定以半径R＝0.7 m的光滑圆弧轨道，圆弧轨道与水平轨道在B点相
切，车的最右端D点固定轻质弹簧，弹簧处于自然长度其左端正好对应小车的C点，B与C之间距离
L＝0.9 m，一个质量m＝2 kg的小物块，置于车的B点，车与小物块均处于静止状态，突然有一质量
m ＝20 g的子弹，以速度v ＝500 m/s击中小车并停留在车中，设子弹击中小车的过程时间极短，已知
0 0
小物块与水平轨道间的动摩擦因数μ＝0.5，g取10 m/s2，则：(1)通过计算判断小物块是否能达到圆弧轨道的最高点 A，并求当小物块再次回到B点时，小物块的最大速
度大小；
(2)若已知弹簧被小物块压缩的最大压缩量x＝10 cm，求弹簧的最大弹性势能。
18.现代的装甲车和战舰采用多层钢板比采用同样质量的单层钢板更能抵御穿甲弹的射击。通过
对以下简化模型的计算可以粗略说明其原因。质量为2m、厚度为2d的钢板静止在水平光滑的桌面上。
质量为m的子弹以某一速度垂直射向该钢板，恰好能将钢板射穿。现把钢板分成厚度均为 d、质量为
m的相同的两块，间隔一段距离平行放置，如图所示。若子弹以相同的速度垂直射向第一块钢板，穿
出后再射向第二块钢板，求子弹射入第二块钢板的深度。设子弹在钢板中受到的阻力为恒力，且两块
钢板不会发生碰撞。不计重力影响。
2024届高考物理一轮复习动量专题精准提升强化7：动量守恒应用之子弹模型（难度：偏难）
【解析版】
1. 如图所示，子弹水平射入放在光滑水平地面上静止的木块，子弹未穿透木块，此过程木块的动能增加
了6 J，那么此过程产生的内能可能为( )
A．16 J B．2 J
C．6 J D．4 J
答案 A
解析 设子弹的质量为m ，初速度为v ，木块的质量为m，子弹打入木块的过程中，子弹与木块组成
0 0
的系统动量守恒，即mv ＝(m＋m)v，此过程产生的内能等于系统损失的动能，即ΔE＝mv－(m＋m)v2＝
0 0 0 0 0
·mv2，而木块获得的动能E ＝mv2＝6 J，则ΔE>6 J，A正确。
k木
2. (2022·湖南省长沙市湖南师范大学附属中学高三上第二次月考)(多选)矩形滑块由不同材料的上、下两层
粘合在一起组成，将其放在光滑的水平面上，质量为m的子弹以速度v 水平射向滑块，若射击下层，
0
子弹刚好不射出，若射击上层，则子弹刚好能射穿一半厚度，如图所示，则上述两种情况相比较，下列说法正确的是( )
A．子弹的末速度大小相等
B．系统产生的热量一样多
C．子弹对滑块做的功相同
D．子弹和滑块间的水平作用力一样大
答案 ABC
解析 以v 的方向为正方向，子弹射入滑块的过程，由动量守恒定律得mv ＝(m＋M)v，解得共同速度
0 0
v＝，可知两种情况下子弹的末速度是相同的，A正确；子弹射入下层或上层滑块的过程中，两种情况下子
弹及滑块初、末状态均相同，系统产生的热量都等于系统减少的动能，故系统产生的热量一样多，B正确；
根据动能定理，滑块动能的增加量等于子弹对滑块做的功，所以两次子弹对滑块做的功一样多，C正确；由
Q＝F·s 知，由于s 不相等，所以两种情况下子弹和滑块间的水平作用力F 不一样大，D错误。
f 相对 相对 f
3. （多选）如图所示，一子弹以初速度v 击中静止在光滑的水平面上的木块，最终子弹未能射
0
穿木块，射入的深度为d，木块加速运动的位移为s。则以下说法正确的是（ ）
A.子弹动能的亏损等于系统动能的亏损
B.子弹动量变化量的大小等于木块动量变化量的大小
C.摩擦力对木块做的功等于摩擦力对子弹做的功
D.子弹对木块做的功等于木块动能的增量
解析：BD 子弹射入木块的过程，要产生内能，由能量守恒定律知：子弹动能的亏损大于系统动能的亏损，
故A错误；子弹和木块组成的系统动量守恒，系统动量的变化量为零，则子弹与木块动量变化量大小相等，
方向相反，故B正确；摩擦力对木块做的功为Fs，摩擦力对子弹做的功为－F（s＋d），可知二者不等，
f f
故C错误；对木块根据动能定理可知，子弹对木块做的功即为摩擦力对木块做的功，等于木块动能的增量，
故D正确。
4. 如图所示，木块静止在光滑水平面上，子弹A、B从两侧同时射入木块，木块始终保持静止，子弹A
射入木块的深度是B的2倍。假设木块对子弹的阻力大小恒定，则下列说法正确的是( )
A．子弹A的质量是子弹B的质量的2倍
B．子弹A的初动量大小是子弹B的初动量大小的2倍C．若子弹A、B的初始速度都增加为原来的2倍，则木块不会始终保持静止
D．若子弹A、B的初始速度都增加为原来的2倍，则子弹A射入木块的深度仍是子弹B的2倍
答案 D
解析 根据题意，子弹射入木块过程中，木块始终静止，说明系统总动量为0，则根据动量守恒定律，
有m v ＝m v ，对子弹A，根据动能定理，有－fx ＝0－m v，对子弹B，根据动能定理，有－fx ＝0－
A A B B A A B
m v，依题意，x ＝2x ，联立可得v ＝2v ，2m ＝m ，故A、B错误；若子弹A、B的初始速度都增加为原
B A B A B A B
来的2倍，则根据以上分析，两子弹的初动量大小仍为相等的关系，故系统总动量仍然为零不变，木块会始
终保持静止，故C错误；若子弹A、B的初始速度都增加为原来的2倍，对子弹A，根据动能定理，有－
fx ′＝0－m (2v )2，对子弹B，根据动能定理，有－fx ′＝0－m (2v )2，联立可得x ′∶x ′＝2，故D正确。
A A A B B B A B
5. 如图所示，木块静止在光滑水平面上，两颗不同的子弹A、B从木块两侧同时射入木块，最终都停在木
块内，这一过程中木块始终保持静止。若子弹A射入的深度大于子弹B射入的深度，则( )
A．子弹A的质量一定比子弹B的质量大
B．入射过程中子弹A受到的阻力比子弹B受到的阻力大
C．子弹A在木块中运动的时间比子弹B在木块中运动的时间长
D．子弹A射入木块时的初动能一定比子弹B射入木块时的初动能大
解析：选D 由于木块始终保持静止状态，则两子弹对木块的推力大小相等，则两子弹所受的阻力大小相等，
设为f，根据动能定理得：对A子弹：－fd ＝0－E ，得E ＝fd ；对B子弹：－fd ＝0－E ，得E ＝fd 。
A kA kA A B kB kB B
由于d >d ，则有子弹入射时的初动能E >E ，故B错误，D正确。对两子弹和木块组成的系统动量守恒，
A B kA kB
则有＝，而E >E ，则得到m <m ，故A错误。子弹A、B从木块两侧同时射入木块，木块始终保持静止，
kA kB A B
分析得知，两子弹在木块中运动时间必定相等，否则木块就会运动，故C错误。
6. （多选）如图所示，木块静止在光滑水平面上，子弹 A、B从两侧同时水平射入木块，木块始
终保持静止，子弹A射入木块的深度是B的3倍。假设木块对子弹的阻力大小恒定，A、B做直线运动
且不会相遇，则A、B运动的过程中，下列说法正确的是（ ）
A.木块和子弹A、B组成的系统动量守恒
B.子弹B的初速度大小是子弹A的初速度大小的3倍
C.子弹B的质量是子弹A的质量的3倍
D.若子弹A向右射入木块，与木块相对静止后，子弹B再向左射入木块，最终A进入的深度仍是B的3倍
解析：AC 以子弹A、B和木块组成的系统为研究对象，系统的外力矢量和为零，则系统的动量守恒，由
动量守恒定律得m v －m v ＝0，即子弹A的初动量与子弹B的初动量大小相等，由于木块始终保持静止状
A A B B
态，则两子弹对木块的推力大小相等，则两子弹所受的阻力大小相等，设为f，根据动能定理对子弹A，有－fd ＝0－E ，得E ＝fd ，对子弹B，有 －fd ＝0－E ，得E ＝fd ，由于d ＝3d ，则两子弹的初动能关
A kA kA A B kB kB B A B
m 2v 2 m 2v 2
系为E ＝3E ，又E ＝ A A ，E ＝ B B ，则得3m ＝m ，则子弹B的质量是子弹A的质量的3倍，
kA kB kA kB A B
2m 2m
A B
子弹A的初速度大小是子弹B的初速度大小的3倍，B错误，A、C正确；若子弹A向右射入木块，A与木
块组成的系统动量守恒，子弹A与木块相对静止时具有向右的共同速度，由能量守恒定律可知，系统损失
的机械能ΔE＝fd '＜E ，则d＜d ，子弹B再向左射入木块，由于A、B与木块组成的系统动量守恒，由前
A kA ' A
面的分析可知，m v ＝m v ，系统初动量为零，由动量守恒定律可知，最终A、B与木块都静止，子弹射入
A A B B
木块过程，由能量守恒定律可知，系统损失的机械能ΔE'＝fd '＞E ，则d '＞d ，综上所述可知：d '＜3d '，
B kB B B A B
故D错误。
7. (“卓越”自主招生)长为L，质量为M的木块静止在光滑水平面上。质量为m的子弹以水平速度v 射
0
入木块并从中射出。已知从子弹射入到射出木块移动的距离为s，则子弹穿过木块所用的时间为( )
A. B.
C. D.
解析：选B 子弹穿过木块过程，对子弹和木块系统，动量守恒，有：mv ＝mv
0 1
＋Mv，
2
设子弹穿过木块过程所受阻力为f，对子弹，由动能定理：－f(s＋L)＝mv2－mv2
1 0
由动量定理：－ft＝mv－mv
1 0
对木块，由动能定理：fs＝Mv2，
2
由动量定理：ft＝Mv，
2
联立解得：t＝。选项B正确。
8. 如图所示，在固定的水平杆上，套有质量为 m的光滑圆环，一轻绳一端系在环上，另一端系
着质量为M的木块，现有一质量为m 的子弹以大小为v 的水平速度射入木块并留在木块中，重力加速
0 0
度为g，下列说法正确的是（ ）
m v
0 0
A.子弹射入木块后的瞬间，速度大小为
m +m+M
0
B.子弹射入木块后的瞬间，绳子拉力等于（M＋m）g
0
C.子弹射入木块后的瞬间，环对轻杆的压力大于（M＋m＋m）g
0D.子弹射入木块之后，圆环、木块和子弹构成的系统动量守恒
解析：C 子弹射入木块时，子弹和木块组成的系统动量守恒，则mv ＝（M＋m ）v ，解得子弹射入木板
0 0 0 1
m v
0 0
后的瞬间速度大小为v ＝ ，A错误；子弹射入木块后的瞬间，根据牛顿第二定律可得 F －（M＋
1 m +M T
0
v 2
m ）g＝（M＋m ） 1 ，可知绳子拉力大于（M＋m ）g，B错误；子弹射入木块后的瞬间，对圆环，有F
0 0 0 N
l
＝F ＋mg＞ （M＋m＋m ）g，根据牛顿第三定律可知，C正确；子弹射入木块之后，圆环、木块和子弹构
T 0
成的系统只在水平方向动量守恒，D错误。
9. 如图所示，一沙袋用轻质细绳悬于O点。开始时沙袋处于静止状态，此后用弹丸以水平速度击中沙袋
后均未穿出，第一次弹丸的速度为v，打入沙袋后二者共同摆动的最大摆角为30°，当其第一次返回图
1
示位置时，第二粒弹丸以水平速度 v 又击中沙袋，使沙袋向右摆动且最大摆角仍为 30°，若弹丸质量
2
是沙袋质量的倍，则以下结论中正确的是( )
A．v＝v B．v∶v＝41∶42
1 2 1 2
C．v∶v＝42∶41 D．v∶v＝41∶83
1 2 1 2
解析：选D 根据摆动过程中机械能守恒和两次击中沙袋摆动的角度相等可知，两次击中沙袋后沙袋的速度
相同，设为v，用M表示沙袋的质量，m表示弹丸的质量，由动量守恒得第一次mv＝(m＋M)v，第二次mv
1 2
－(m＋M)v＝(2m＋M)v，m＝M，联立以上三式得v∶v＝41∶83，故D项正确。
1 2
10. (2022·湖北联考)如图所示，光滑的水平导轨上套有一质量为 1 kg、可沿杆自由滑动的滑块，滑块下方
通过一根长为1 m的轻绳悬挂着质量为0.99 kg的木块。开始时滑块和木块均静止，现有质量为10 g的
子弹以500 m/s的水平速度击中木块并留在其中(作用时间极短)，取重力加速度g＝10 m/s2。下列说法正
确的是( )
A．子弹和木块摆到最高点时速度为零
B．滑块的最大速度为2.5 m/s
C．子弹和木块摆起的最大高度为0.625 m
D．当子弹和木块摆起高度为0.4 m时，滑块的速度为1 m/s
解析：选C 设子弹质量为m ，木块质量为m ，滑块质量为m ，由子弹、木块、滑块组成的系统在水平方
0 1 2
向上动量守恒，故当子弹和木块摆到最高点时三者具有相同的速度，且速度方向水平，A项错误；只要轻绳
与杆之间的夹角为锐角，轻绳拉力对滑块做正功，滑块就会加速，所以当轻绳再次竖直时滑块速度最大，
设此时滑块速度为v ，子弹和木块速度为v′，则由系统水平方向动量守恒可得 mv ＝(m ＋m)v ＝(m ＋
m 0 0 0 1 1 0
m)v′＋mv ，(m ＋m)v2＝(m ＋m)v′2＋mv 2，解得v ＝0，或v ＝5 m/s，即滑块的最大速度为5 m/s，
1 2 m 0 1 1 0 1 2 m m m
B项错误；当子弹和木块摆到最高点时三者具有相同的速度v，由系统水平方向动量守恒可得mv ＝(m ＋
0 0 0m)v ＝(m ＋m ＋m)v，解得v＝2.5 m/s，由子弹进入木块后系统机械能守恒可得(m ＋m)v2＝(m ＋m ＋
1 1 0 1 2 0 1 1 0 1
m)v2＋(m ＋m)gh，解得h＝0.625 m，C项正确；当子弹和木块摆起高度为0.4 m时，由系统水平方向动量
2 0 1
守恒可得mv＝(m＋m)v＝(m＋m)v＋mv，得v＝4 m/s，而此时木块和子弹竖直方向速度一定不为零，
0 0 0 1 1 0 1 x 2 3 x
故由子弹进入木块后系统机械能守恒可得(m ＋m)v2＝(m ＋m)(v2＋v2)＋mv2＋(m ＋m)gh，解得h<0.4
0 1 1 0 1 x y 2 3 0 1
m，D项错误。
11. (多选)如图所示，质量为m＝245 g的物块(可视为质点)放在质量为M＝0.5 kg的木板左端，足够长的木
板静止在光滑水平面上，物块与木板间的动摩擦因数为 μ＝0.4，质量为m ＝5 g的子弹以速度v ＝300
0 0
m/s沿水平方向射入物块并留在其中(时间极短)，g取10 m/s2，则在整个过程中( )
A．物块和木板组成的系统动量守恒
B．子弹的末动量大小为0.01 kg·m/s
C．子弹对物块的冲量大小为0.49 N·s
D．物块相对于木板滑行的时间为1 s
答案 BD
解析 子弹射入物块的过程中，物块的动量增大，所以物块和木板组成的系统动量不守恒，故A错误；
选取向右为正方向，子弹射入物块过程，由动量守恒定律可得mv ＝(m ＋m)v ，物块在木板上滑动过程，
0 0 0 1
由动量守恒定律可得(m＋m)v＝(m＋m＋M)v，联立可得v＝＝2 m/s，所以子弹的末动量大小为p＝mv＝
0 1 0 2 2 0 2
0.01 kg·m/s，故B正确；由动量定理可得子弹受到的冲量I＝Δp＝p－p＝0.01 kg·m/s－5×10－3×300 kg·m/s＝
0
－1.49 kg·m/s＝－1.49 N·s。子弹与物块间的相互作用力大小始终相等，方向相反，所以子弹对物块的冲量大
小为1.49 N·s，故C错误；对子弹和物块整体，由动量定理得－μ(m＋m)gt＝(m＋m)(v－v)，综上可得，物
0 0 2 1
块相对于木板滑行的时间t＝＝1 s，故D正确。
12. 如图所示，一质量为M的木块静止在水平轨道AB的B端，水平轨道与光滑圆弧轨道BC相切。现有一
质量为m的子弹以v 的水平速度从左边射入木块且未穿出，重力加速度为g。求：
0
(1)子弹射入木块过程中系统损失的机械能和子弹与木块一起在圆弧轨道上上升的最大高度；
(2)从木块开始运动到木块返回B点的过程中木块(含子弹)所受合外力的冲量大小。
解析：(1)设子弹射入木块后与木块的共同速度为v，子弹射入木块的过程系统动量守恒，
由动量守恒定律有mv＝(m＋M)v
0
解得v＝v
0
损失的机械能ΔE＝mv2－(m＋M)v2＝
0设木块上升的最大高度为h，子弹与木块在光滑圆弧轨道BC上运动，到达最高点的过程中由系统机械
能守恒有(m＋M)v2＝(m＋M)gh
解得h＝。
(2)由于圆弧轨道光滑，从木块开始运动到木块返回B点，木块(含子弹)速度大小不变，其动量变化为－
2(m＋M)v
由动量定理，所受合外力的冲量大小I＝2(m＋M)v＝2mv。
0
答案：(1) (2)2mv
0
13. (2023·云南模拟)如图所示，在平直轨道上P点静止放置一个质量为2 m的物体A，P点左侧粗糙，右侧
光滑，现有一颗质量为m的子弹以v 的水平速度射入物体A并和物体A一起滑上光滑平面，与前方静
0
止物体B发生弹性正碰后返回，在粗糙面滑行距离d停下。已知物体A与粗糙面间动摩擦因数为μ＝，
求：
(1)子弹与物体A碰撞过程中损失的机械能；
(2)B物体的质量。
解析：(1)设子弹与物体A的共同速度为v，
由动量守恒定律得
mv＝3mv
0
则该过程损失的机械能
ΔE＝mv2－·3mv2＝mv2。
0 0
(2)以子弹、物体A和物体B为系统，
设B的质量为M，碰后子弹和物体A的速度为v，物体B的速度为v，
1 2
由动量守恒定律得
3mv＝Mv－3mv
2 1
碰撞过程机械能守恒
·3mv2＝·3mv2＋Mv2
1 2
子弹与物体A滑上粗糙面到停止，由能量守恒定律得3μmgd＝·3mv2
1
又μ＝，
综上可解得M＝9m。
答案：(1)mv2 (2)9m
0
14. 一质量为M的木块放在光滑的水平面上，一质量为m的子弹以初速度v 水平打进木块并留在其中，设
0
子弹与木块之间的相互作用力为F。则：
f(1)子弹、木块相对静止时的速度是多少？
(2)子弹在木块内运动的时间为多长？
(3)子弹、木块相互作用过程中子弹、木块发生的位移以及子弹打进木块的深度分别是多少？
[解析] (1)设子弹、木块相对静止时的速度为v，以子弹初速度的方向为正方向，由动量守恒定律得
mv＝(M＋m)v
0
解得v＝v。
0
(2)设子弹在木块内运动的时间为t，由动量定理得
对木块：Ft＝Mv－0
f
解得t＝。
(3)设子弹、木块发生的位移分别为x 、x ，如图所示，由动能定 理得
1 2
对子弹：－Fx＝mv2－mv2
f 1 0
解得：x＝
1
对木块：Fx＝Mv2
f 2
解得：x＝
2
子弹打进木块的深度等于相对位移，即x ＝x－x＝。
相 1 2
[答案] (1)v (2)
0
(3)
15. 如图所示，在光滑水平面上有一辆质量M＝8 kg的平板小车，小车上有一个质量m＝1.9 kg的木块，木
块距小车左端6 m(木块可视为质点)，小车与木块一起以v＝1 m/s的速度水平向右匀速行驶。一颗质量
m ＝0.1 kg的子弹以v ＝179 m/s的初速度水平向左飞行，瞬间击中木块并留在其中。如果木块和子弹
0 0
刚好不从小车上掉下，求木块与小车之间的动摩擦因数μ(g＝10 m/s2)。
解析：设子弹射入木块后子弹与木块的共同速度为v，以水平向左为正方向，则由动量守恒定律有
1
mv－mv＝(m＋m)v
0 0 0 1
代入数据解得v＝8 m/s
1
木块和子弹恰好不从小车上掉下来，则木块和子弹相对小车滑行 s＝6 m 时，跟小车具有共同速度v ，则由
2
动量守恒定律有
(m＋m)v－Mv＝(m＋m＋M)v
0 1 0 2
由能量守恒定律有
Q＝μ(m＋m)gs＝(m＋m)v2＋Mv2－(m＋m＋M)v2
0 0 1 0 2
解得μ＝0.54。
答案：0.5416. 如图所示，一质量m ＝0.45 kg的平板小车静止在光滑的水平轨道上。车顶右端放一质量 m ＝0.5 kg的
1 2
小物块，小物块可视为质点，小物块与小车上表面之间的动摩擦因数 μ＝0.5。现有一质量m ＝0.05 kg
0
的子弹以v ＝100 m/s的水平速度射中小车左端，并留在车中，子弹与车相互作用时间很短。g取10
0
m/s2，求：
(1)子弹刚刚射入小车时，小车的速度大小v；
1
(2)要使小物块不脱离小车，小车的长度至少为多少？
解析：(1)子弹射入小车的过程中，子弹与小车组成的系统动量守恒，由动量守恒定律得 mv ＝(m ＋m)v ，
0 0 0 1 1
解得v＝10 m/s。
1
(2)子弹、小车、小物块组成的系统动量守恒，设当小物块与车共速时，共同速度为 v ，两者相对位移大小
2
为L，由动量守恒定律和动能定理有：
(m＋m)v＝(m＋m＋m)v
0 1 1 0 1 2 2
μm gL＝(m＋m)v2－(m＋m＋m)v2
2 0 1 1 0 1 2 2
解得L＝5 m
故要使小物块不脱离小车，小车的长度至少为5 m。
答案：(1)10 m/s (2)5 m
17. (2019·鞍山一中三模)如图所示，光滑水平面上有一质量M＝1.98 kg的小车，车的B点右侧的上表面是
粗糙水平轨道，车的B点的左侧固定以半径R＝0.7 m的光滑圆弧轨道，圆弧轨道与水平轨道在B点相
切，车的最右端D点固定轻质弹簧，弹簧处于自然长度其左端正好对应小车的C点，B与C之间距离
L＝0.9 m，一个质量m＝2 kg的小物块，置于车的B点，车与小物块均处于静止状态，突然有一质量
m ＝20 g的子弹，以速度v ＝500 m/s击中小车并停留在车中，设子弹击中小车的过程时间极短，已知
0 0
小物块与水平轨道间的动摩擦因数μ＝0.5，g取10 m/s2，则：
(1)通过计算判断小物块是否能达到圆弧轨道的最高点 A，并求当小物块再次回到B点时，小物块的最大速
度大小；
(2)若已知弹簧被小物块压缩的最大压缩量x＝10 cm，求弹簧的最大弹性势能。
解析：(1)对于子弹打小车的过程，取向右为正方向，根据动量守恒定律得：mv ＝(m ＋M)v，可得：v＝5
0 0 0
m/s
当小物块运动到圆轨道的最高点时，三者共速为v 。
共1
根据动量守恒定律得：mv＝(m＋M＋m)v 。
0 0 0 共1
解得：v ＝2.5 m/s
共1
根据机械能守恒定律得：(m＋M)v2＝(m＋M＋m)v 2＋mgh
0 0 共1解得：h＝0.625 m<R＝0.7 m，所以小物块不能达到圆弧轨道的最高点A；
当小物块再次回到B点时，小物块速度为v，车和子弹的速度为v
1 2
根据动量守恒定律得：(m＋M)v＝mv＋(m＋M)v
0 1 0 2
根据能量守恒定律得：(m＋M)v2＝mv2＋(m＋M)v2
0 1 0 2
解得v＝5 m/s，v＝0；
1 2
(2)当弹簧具有最大弹性势能E 时三者速度相同，由动量守恒定律得：
p
mv＝(m＋M＋m)v ，可得v ＝v ＝2.5 m/s；
0 0 0 共2 共2 共1
根据能量守恒定律得：μmg(L＋x)＋E＝(m＋M)v2－(m＋M＋m)v 2。解得：E＝2.5 J。
p 0 0 共2 p
答案：(1)否，5 m/s (2)2.5 J
18.现代的装甲车和战舰采用多层钢板比采用同样质量的单层钢板更能抵御穿甲弹的射击。通过
对以下简化模型的计算可以粗略说明其原因。质量为2m、厚度为2d的钢板静止在水平光滑的桌面上。
质量为m的子弹以某一速度垂直射向该钢板，恰好能将钢板射穿。现把钢板分成厚度均为 d、质量为
m的相同的两块，间隔一段距离平行放置，如图所示。若子弹以相同的速度垂直射向第一块钢板，穿
出后再射向第二块钢板，求子弹射入第二块钢板的深度。设子弹在钢板中受到的阻力为恒力，且两块
钢板不会发生碰撞。不计重力影响。
解析 设子弹初速度为v ，射入厚度为2d的钢板后，最终钢板和子弹的共同速度为v，由动量守恒定律得
0
mv＝（2m＋m）v
0
v
解得v＝ 0 。 ①
3
1 1
此过程中动能损失为ΔE＝ mv 2 － ×3mv2
2 0 2
1
解得ΔE＝ mv 2 ②
3 0
分成两块钢板后，设子弹穿过第一块钢板时两者的速度分别为 v 和v ，由动量守恒定律，mv ＝mv ＋mv
1 2 0 1 2
③
1 1 1
因为子弹在钢板中受到的阻力为恒力，射穿第一块钢板的动能损失为 ΔE，由能量守恒定律得 mv 2 ＝
2 2 0 21 1
mv 2 ＋ mv＋ ΔE ④
1 2 2 2
(1 √3)
联立①②③④式，考虑到v 必须大于v，解得v＝ + v ⑤
1 2 1 2 6 0
设子弹射入第二块钢板并留在其中后两者的共同速度为v，由动量守恒定律得
3
2mv＝mv ⑥
3 1
1 1
损失的动能为ΔE'＝ mv 2 － ·2mv 2 ⑦
2 1 2 3
1( √3) 1
联立②⑤⑥⑦式解得ΔE'＝ 1+ × ΔE ⑧
2 2 2
1
因为子弹在钢板中受到的阻力为恒力，ΔE'＝fx， ΔE＝fd， ⑨
2
联立⑧⑨式可得，射入第二块钢板的深度为
1( √3)
x＝ 1+ d。
2 2
1( √3)
答案： 1+ d
2 2
