文档内容
北京市第三十五中学 2022-2023 学年度第一学期 期末测试
初二数学
Ⅰ卷
一、选择题（共6个小题，每小题只有一个正确选项，请选择正确答案填在答题卡相应的题
号处）
1. 下列调查中，适合采用抽样调查方式的是（ ）
A. 调查本校七年级(1)班学生每天完成数学作业所用的时间
B. 调查全市中学生对电影《长津湖之水门桥》的喜爱程度
C. 调查“神舟十四号”运载火箭发射前零部件质量状况
D. 调查某封控区全体人员核酸检测情况
【答案】B
【解析】
【分析】由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比
较近似，根据以上逐项分析可知．
【详解】A. 调查本校七年级(1)班学生每天完成数学作业所用的时间，人员不多，适合普查，故A不符合
题意；
B. 调查全市中学生对电影《长津湖之水门桥》的喜爱程度，调查范围广，费时费力，适合抽样调查，故B
符合题意；
C. 调查“神舟十四号”运载火箭发射前零部件质量状况，这个调查很重要不可漏掉零件，适合普查，故C
不符合题意；
D. 调查某封控区全体人员核酸检测情况，人员不多，且这个调查很重要不可漏掉任何人，适合普查，故D
不符合题意．
故选B．
【点睛】本题考查的是全面调查与抽样调查，在调查实际生活中的相关问题时，要灵活处理，既要考虑问
题本身的需要，又要考虑实现的可能性和所付出代价的大小．理解全面调查与抽样调查的适用范围是解题
的关键．
2. 如图，在 中， ，若 ，则正方形 和正方形 的面积和为（
）A. 150 B. 200 C. 225 D. 无法计算
【答案】C
【解析】
【分析】根据勾股定理即可进行解答．
【详解】解：∵四边形 和四边形 为正方形，
∴ ， ，
∵在 中， ，
∴ ，
∴ ，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，解题的关键是掌握直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
3. 如图，在四边形 中， ， ， ， ，且 ，则四边形
的面积是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】【分析】利用勾股定理求出 AC2的值，再由勾股定理的逆定理判定△ACD也为直角三角形，则 S
四边形
=S +S ．
ABCD △ABC △ACD
【详解】解：如图，连接AC．
在Rt△ABC中，AC2=AB2+BC2=2，
∵AC2+CD2=AD2，
∴△CDA也为直角三角形，
∴S =S +S = AB×BC+ AC×CD= ．
四边形ABCD △ABC △ACD
故四边形ABCD的面积是 ．故选B.
【点睛】本题考查勾股定理及其逆定理的应用．解答此题的关键是作出辅助线，构造出直角三角形，求出
AC的长．
4. 如图，2002年8月在北京召开的国际数学家大会会徽取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》（也
称《赵爽弦图》），它是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，
如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的短直角边为a，较长直角边为b，那么
的值为（ ）
A. 13 B. 19 C. 25 D. 169
【答案】C
【解析】
【分析】根据大正方形的面积即可求得 ，利用勾股定理可以得到 ，然后求得直角三角形的面积即可求得 的值，根据 即可求解．
【详解】解： 大正方形的面积是13，
，
，
直角三角形的面积是 ，
又 直角三角形的面积是 ，
，
．
故选：C．
【点睛】本题考查了勾股定理以及完全平方公式，正确表示出直角三角形的面积是解题的关键．
5. 2021年3月12日北京市统计局发布了《北京市2020年国民经济和社会发展统计公报》，其中列举了
2020年北京市居民人均可支配收入．下面是小明同学根据2016﹣2020年北京市居民人均可支配收入绘制
的统计图．
根据统计图提供 的信息，下面四个判断中合理的是（ ）
.
A 2020年北京市居民人均可支配收入比2016年增加了16004元
B. 2017﹣2020年北京市居民人均可支配收入有增有降
C. 2017年北京市居民人均可支配收入的增长率约为8.9%
D. 2017﹣2020年北京市居民人均可支配收入增长率最大的年份是2020
【答案】C【解析】
【分析】根据统计图中给出的数据对每一项进行分析，即可得出答案．
【详解】解：A、2020年北京市居民人均可支配收入比2016年增加了69434﹣52530＝16904（元），原叙
述错误，故本选项不合题意；
B、2017﹣2020年北京市居民人均可支配收入逐年增长，原叙述错误，故本选项不合题意；
C、2017年北京市居民人均可支配收入的增长率 ×100%≈8.9%，正确，故本选项符合题意；
D、2017﹣2020年北京市居民人均可支配收入增长幅度最大的年份是2019年，原叙述错误，故本选项不合
题意；
故选：C．
【点睛】本题考查的是折线统计图，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．折线统
计图表示的是事物的变化情况，如增长率．
6. 甲、乙两艘客轮同时离开港口，航行的速度都是40m/min，甲客轮用15min到达点A，乙客轮用20min
到达点B，若A，B两点的直线距离为1000m，甲客轮沿着北偏东30°的方向航行，则乙客轮的航行方向可
能是( )
A. 北偏西30° B. 南偏西30° C. 南偏东60° D. 南偏西60°
【答案】C
【解析】
【详解】解：如图，根据题意得OA=40×15=600，OB=40×20=800，
因为6002=360000，8002=640000，10002=1000000，360000+640000=1000000.
所以6002+8002=10002.
所以∠AOB=∠AOB=90°，所以∠BOS=∠B′ON=60°，所以乙客轮的航行方向可能是南偏东60°或北偏西60°.
故选C.
Ⅱ卷
二、填空题（共4个小题，请将正确答案填写在答题卡相应位置处）
7. 一个三角形的两边的长分别是3和5，要使这个三角形为直角三角形，则第三条边的长为_____．【答案】4或
【解析】
【详解】解：①当第三边是斜边时，第三边的长的平方是：32+52=34；
②当第三边是直角边时，第三边长的平方是：52-32=25-9=16=42，
故答案是：4或 ．
8. 某校学生参加体育兴趣小组情况的统计图如图所示，若参加人数最少的小组有 40人，则参加人数最多
的小组有___________人．
【答案】64
【解析】
【分析】先求出乒乓球小组人数所占百分比，得出人数最少的为足球小组，人数最多的为乒乓球小组，再
求出总人数，即可进行解答．
【详解】解：乒乓球小组人数所占百分比： ，
∴人数最少的为足球小组，人数最多的为乒乓球小组，
∴总人数为： （人），
∴参加人数最多的小组人数： （人），
故答案为：64．
【点睛】本题主要考查了扇形统计图，解题的关键是明确题意，根据统计图，找出所求问题需要的条件，
利用数形结合的思想解答．
9. 如图所示，在长方形 中， ， ， 在数轴上，若以点A为圆心，对角线 的长
为半径作弧交数轴的正半轴于点 ，则点 表示的数为___________．【答案】 ##
【解析】
【分析】根据长方形的性质得到 ，根据勾股定理求出 ，再求出答案即可．
【详解】解：∵四边形 是长方形， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴点 表示的数为 ，
故答案为： ．
【点睛】此题考查了实数与数轴，勾股定理等知识点，能求出 是解题的关键．
10. 在 中， ， ， ， ， 分别是斜边 和直角边 上的点，把
沿着直线 折叠，顶点 的对应点是点 ，如果点 和顶点A重合，则 的长为___________．
【答案】
【解析】【分析】设 ，则 ，根据折叠的性质，勾股定理列方程求解即可；
【详解】解：设 ，则 ，
由题意得 ，
由勾股定理得 ，
∴ ，
解得 ，
即 的长为 ；
故答案为：
【点睛】本题考查了折叠的性质，勾股定理，熟练掌握折叠的性质，灵活使用勾股定理是解题的关键．
三、解答题
11. 如图，在4×3正方形网格中，每个小正方形的边长都是1.
(1)分别求出线段AB，CD的长度；
(2)在图中画线段EF，使得EF的长为 ，以AB，CD，EF三条线段能否构成直角三角形，并说明理由.
【答案】 ； ．（2）以AB、CD、EF三条线段可以组成直角三角形
【解析】
【分析】（1）利用勾股定理求出AB、CD的长即可；
（2）根据勾股定理的逆定理，即可作出判断．
【详解】（1）AB= = ；CD= =2 ．
（2）如图，EF= = ，∵CD2+EF2=8+5=13，AB2=13，∴CD2+EF2=AB2，∴以AB、CD、EF三条线段可以组成直角三角形．
【点睛】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理，充分利用网格是解题的关键．
12. 如图所示，在四边形ABCD中，已知：AB：BC：CD：DA=2：2：3：1，且∠B=90°，求∠DAB的度数．
【答案】135°．
【解析】
【分析】连接AC，设DA=k，则AB=2k，BC=2k，CD=3k．由∠B=90°，AB：BC=2：2，得到∠BAC=45°，
在△DAC中利用勾股定理的逆定理可∠DAC=90°，从而求出∠DAB的度数．
【详解】解：连接AC．设DA=k，则AB=2k，BC=2k，CD=3k．
∵∠B=90°，AB：BC=2：2，
∴∠BAC=45°， = ，
∵ ，
∴∠DAC=90°，
∴∠DAB=∠BAC+∠DAC=135°．13. 观察下列各组勾股数的组成特点，你能求出第7组勾股数a，b，c各是多少吗？第n组呢？
第 1 组:3=2×1+1，4=2×1×(1+1),5=2×1×(1 + 1)+1；
第 2 组:5=2×2+1，12=2×2×(2+1),13=2×2×(2+1) + 1；
第 3 组:7=2×3+1，24=2×3×(3+1),25=2×3×(3+1) + 1；
第 4 组:9=2×4+1，40=2×4×(4+1),41=2×4×(4+1) + 1；
…；
第 7 组:a，b，c.
【答案】第7组：a=15，b=112，c=113.
第n组：a=2n+1，b=2n（n+1），c=2n（n+1）+1.
【解析】
【详解】试题分析：通过观察，得出规律：这类勾股数分别为 2n+1，2n（n+1），2n（n+1）+1，由此可
写出第7组勾股数及第n组勾股数．
试题解析：∵第一组：3=2×1+1，4=2×1×（1+1），5=2×1×（1+1）+1，
第二组：5=2×2+1，12=2×2×（2+1），13=2×2×（2+1）+1，
第三组：7=2×3+1，24=2×3×（3+1），25=2×3×（3+1）+1，
第四组：9=2×4+1，40=2×4×（4+1）41=2×4×（4+1）+1，
∴第七组勾股数是a=2×7+1=15，b=2×7×（7+1）=112，c=2×7×（7+1）+1=113，即15，112，113；
第n组勾股数是2n+1，2n（n+1），2n（n+1）+1．
的
14. 为了解某校学生在五一假期阅读 情况，随机抽取了若干名学生进行调查，获得他们的阅读时间
（单位：h），并对数据（时间）进行整理、描述．下面给出了部分信息：图1是阅读时间频数分布直方图
（数据分成5组：2≤t＜4，4≤t＜6，6≤t＜8，8≤t＜10，10≤t≤12），图2是阅读时间扇形统计图．根据以上信息，回答下列问题：
（1）本次调查的样本容量是 ；
（2）补全图1；
（3）图2中，2≤t＜4所在的扇形的圆心角的度数是 ；
的
（4）已知该校共有1800名学生，估计该校学生在五一假期阅读时间不少于6h 人数．
【答案】（1）96；（2）详见解析；（3）30°；（4）估计该校学生在五一假期阅读时间不少于6h的人数
为1200人．
【解析】
【分析】（1）根据统计图，样本容量：24 25 ；
（2）由（1）可得对应频数：96-8-24-30-10÷，再%画图；
（3）根据圆心角公式：8÷96×360°；
（4）用样本估计总体情况：1800 （人）；
×
【详解】解：（1）样本容量：24 25 ；
（2）96-8-24-30-10=24，故统计图÷如下%：=96
（3）图2中，2≤t＜4所在的扇形的圆心角的度数是：8÷96×360°=30°；
（4）1800 （人）
×
答：计该校学生在五一假期阅读时间不少于6h的人数为1200人
【点睛】考核知识点：频数分布直方图，用样本估计总体；从统计图获取信息是解题的关键．15. 在 中， ， ， 是 边上一点，过点 作射线 ，过点 作
于点 ，过点 作 于点 ．
（1）证明： ；
（2）取 中点 ，连接 、 ，猜想线段 、 、 的数量关系，并证明．
【答案】（1）见解析 （2） ，理由见解析
【解析】
【
分析】（1）证明 即可证得结论；
（2）连接 ，先根据等腰直角三角形的判定与性质以及全等三角形的性质得到 ，进而证明
求得 ， ，利用勾股定理和线段和与差计算即可得出结论．
【小问1详解】
证明：如图，∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ．
【小问2详解】
解：结论： ．
证明：如图，连接 ，
∵ ， ， 是 中点，
∴ ， ， ，
∵ ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握全等三角形的性质和等腰三角形的性质是解答的关键．
