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牛栏山一中实验学校初二下学期第二次随堂测试数学试卷
一、选择题（共10题，每题2分，共20分）
1. 山东省计划到2022年建成54700000亩高标准农田，其中54700000用科学记数法表示（ ）
A. 5.47×108 B. 0.547×108 C. 547×105 D. 5.47×107
【答案】D
【解析】
【分析】根据科学记数法的定义即可得．
【详解】科学记数法：将一个数表示成 的形式，其中 ，n为整数，这种记数的方
法叫做科学记数法，
则 ，
故选：D．
【点睛】本题考查了科学记数法的定义，熟记定义是解题关键．
2. 下列图标中是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据中心对称图形的概念 对各选项分析判断即可得解．
【详解】A、不是中心对称图形，故本选项错误；
B、是中心对称图形，故本选项正确；
C、不是中心对称图形，故本选项错误；
D、不是中心对称图形，故本选项错误．
故选：B．
【点睛】本题考查了中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图形重合．
3. 实数 在数轴上的对应点的位置如图所示．若实数 满足 ，则 的值可以是（ ）
A. 2 B. -1 C. -2 D. 3【答案】B
【解析】
【分析】先由a在数轴上的位置可得 ，进而可得 ，再由 可得b的范围，再选
出符合要求的选项．
【详解】由数轴的定义得：
又
到原点的距离一定小于2
观察四个选项，只有选项B符合
故选：B．
【点睛】本题考查了通过数轴比较实数的大小，解决本题的关键是熟练掌握通过数轴比较实数的大小．
4. 在平面直角坐标系中，点 关于 轴对称的点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用关于x轴对称的点坐标特征：横坐标不变，纵坐标互为相反数解答即可．
【详解】点 关于 轴对称的点的坐标为（3，-2），
故选：D．
【点睛】本题主要考查了关于坐标轴对称的点的坐标特征，熟练掌握关于坐标轴对称的点的坐标特征是解
答的关键．
5. 若一个多边形的内角和是540°，则该多边形的边数为 （ ）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
【答案】B
【解析】
【分析】根据多边形的内角和公式可直接求出多边形的边数．
【详解】设这个多边形的边数为n，根据多边形内角和定理得(n-2)×180°=540°，
解得n=5；故选：B．
【点睛】本题考查了多边形的内角和定理，熟记多边形的内角和为(n-2)×180°是解题的关键．
6. 如图，把一块长为40cm，宽为30cm的矩形硬纸板的四角剪去四个相同小正方形，然后把纸板的四边沿
虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个无盖纸盒．若该无盖纸盒的底面积为600cm2，设剪去小正方形的
边长为xcm，则可列方程为（ ）
A. （30﹣2x）（40﹣x）＝600 B. （30﹣x）（40﹣x）＝600
C. （30﹣x）（40﹣2x）＝600 D. （30﹣2x）（40﹣2x）＝600
【答案】D
【解析】
【分析】设剪去小正方形的边长是xcm，则纸盒底面的长为（40﹣2x）cm，宽为（30﹣2x）cm，根据长方
形的面积公式结合纸盒的底面积是600cm2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：设剪去小正方形的边长是xcm，则纸盒底面的长为（40﹣2x）cm，宽为（30﹣2x）cm，
根据题意得：（40﹣2x）（30﹣2x）＝600．
故选：D．
【点睛】本题考查的是一元二次方程的应用，正确理解题意找到等量关系是解题的关键．
7. 已知 是一元二次方程 的一个根，则 的值为（ ）
A. 0 B. 0或4 C. 4 D. 0或
【答案】B
【解析】
【分析】根据一元二次方程的定义得出 ，一元二次方程的根的定义将 代入，得到关于 的一
元二次方程，解方程即可求解．
【详解】解：由一元二次方程的定义可得 ，则 ，
将 代入 ，得
，
即 ，∴ ，
解得： ，
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，因式分解法解一元二次方程，掌握以上知识是解题的关键．
8. 如图，菱形 的对角线 相交于点 ，过点 作 于点 ，连接 ，若 ，
，则 的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由菱形的性质得出 ， ，则 ，由直角三角形斜边上的
中线性质得出 ，再由菱形的面积求出 ，即可得出答案．
【详解】解：∵四边形 是菱形，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，∵菱形 的面积 ，
∴ ，
∴ ；
故选：C．
【点睛】本题考查了菱形的性质，直角三角形的性质，菱形的面积公式，关键是根据直角三角形斜边上的
中线性质求得 ．
9. 定义新运算 ，对于任意实数 满足 ，其中等式右边是通常的加法、
减法、乘法运算，例如 ，若 （ 为实数）是关于 的方程，则它的
根的情况是（ ）
A. 有一个实根 B. 没有实数根
C. 有两个相等的实数根 D. 有两个不相等的实数根
【答案】D
【解析】
【分析】根据新定义列出一元二次方程，进而根据根的判别式判断根的情况即可求解．
【详解】解：∵ ，
∴
∴
∴ ，
∵
∴ ，
∴原方程有两个不相等的实数根，故选：D．
【点睛】本题考查了新定义运算，一元二次方程根的判别式，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．
10. 快车从甲地驶往乙地，慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发并且在同一条公路上匀速行驶．图中折线
表示快、慢两车之间的路程 与它们的行驶时间 之间的函数关系．小欣同学结合图象得出如下
结论：
①快车途中停留了 ；
②快车速度比慢车速度多 ；
③图中 ；
④慢车先到达目的地．
其中正确的是（ ）
A. ①④ B. ②③ C. ②④ D. ①③
【答案】A
【解析】
【分析】根据函数图像与路程的关系即可求出各车的时间与路程的关系，依次判断．
【详解】当 时，表示两车相遇，
表示两车都在休息，没有前进， 时，其中一车行驶，其速度为 ，
设另一车的速度为 ,
依题意得解得 ,
故快车途中停留了 ，①正确；
快车速度比慢车速度多 ，②错误；
时，慢车行驶的路程为 ，即得到目的地，比快车先到，故④正确；
时，快车行驶的路程为 ，
即 ，故③错误；
故选：A．
【点睛】此题主要考查从函数图象获取信息，解题的关键是根据函数图像得到路程与时间的关系．
二、填空题（共10题，每题2分，共20分）
11. 当x ________ 时，分式 有意义．
【答案】≠3
【解析】
【详解】由题意得
x-3≠0,
∴x≠3.
12. 已知 ，且m是无理数，请写出一个符合要求的m的值______．
【答案】 （答案不唯一）
【解析】
【详解】根据题意， ，且m是无理数，符合要求的m的值可以是 ，
故答案为： （答案不唯一）．
【点睛】本题考查了无理数的定义以及无理数大小估算，理解题意是解题的关键．
13. 如图， ， ， ，则 ______．【答案】 ## 度
【解析】
【分析】连接 并延长，作射线 ，根据三角形的外角性质得出 ，进
而即可求解．
【详解】解：如图，连接 并延长，作射线 ，
∵ ，
∴
．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了三角形的外角的性质，掌握三角形外角的性质是解题的关键．
14. 如图，函数 与 的图象交于点 ，则不等式 的解集是______．【答案】
【解析】
【分析】根据图象即可得出结论．
【详解】解：由图象可知：在点 的左侧，函数 的图象在函数 图象的上方
∴ 的解集是： ，
故答案为： ．
【点睛】此题考查的是一次函数与不等式，掌握利用图象解不等式是解题关键．
15. 关于 的方程 是一元二次方程，则 ______．
【答案】
【解析】
【分析】根据一元二次方程的定义，二次项系数不为 0，最高次数为2，得出 ，即可
求解．
【详解】解：∵关于 的方程 是一元二次方程，
∴ ，
解得： ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是解题的关键．
16. 用配方法解一元二次方程 时，此方程可变形为 ，则 ______，
______．
【答案】 ①. ②.
【解析】【分析】根据配方法的一般步骤先把常数项2移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数 的一半的
平方，求出 的值即可得出答案．
【详解】解： ，
，
，
，
则 ，
故答案为： ， ．
【点睛】此题考查了配方法的应用，掌握配方法的一般步骤是本题的关键，配方法的一般步骤是（1）把
常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
17. 已知y是x的一次函数，下表列出了部分 与 的对应值
x 0 1
y 10 14
则m的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】用待定系数法可求出函数关系式，然后把 代入，得到 的值．
【详解】解：将点 代入 得，
解得：
∴函数关系为 ，当 时， ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，求一次函数的函数值，求得解析式是解题的关键．
18. 如图，平行四边形 中， 平分 ，交 边于点 ，已知平行四边形 的周长
为 ， ，则 ______．
【答案】
【解析】
【分析】由平行四边形的性质和角平分线的性质得出 ，即可求解．
【详解】 四边形 是平行四边形， 平分 ，
， ， ，，
，
，
，
，
平行四边形 的周长为 ，
即
∴
∴
故答案为： ．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的性质，掌握平行四边形的性质是解题的关键．19. 关于x的一元二次方程 有实数根，则m的取值范围是______．
【答案】 且
【解析】
【分析】根据一元二次方程的定义得出 ，根据一元二次方程有实根，得出 ，解不等式即可求解．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程 有实数根，
∴ ，且 ，
解得： 且 ，
故答案为： 且 ．
【点睛】本题考查了一元二次方程 ( 为常数)的根的判别式 ，
理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当 时，方程有两个不相等的实数根；当
时，方程有两个相等的实数根；当 时，方程没有实数根．
20. 已知矩形纸片 是矩形的一条对角线，折叠 与 重合，得折痕 ，其中 ，
，则 ______．
【答案】
【解析】
【分析】设 折叠后对应点为点 ，则点 在 上，根据勾股定理可求得 ，由折叠性质和勾股定
理可求得答案．【详解】解：设 折叠后对应点为点 ，则点 在 上，
四边形 是矩形
，
由折叠性质可得 ， ，
，
，
解得
故答案为： ．
【点睛】本题考查了勾股定理、矩形与折叠，解题关键是要熟练掌握勾股定理和折叠性质．
三、解答题（共60分，21，23每题5分，22，24~28每题6分；29~30每题7分）
21. 计算：
【答案】
【解析】
【分析】根据二次根式的性质，负整数指数幂，化简绝对值，零次幂进行计算即可求解．
【详解】解：【点睛】本题考查了实数的混合运算，掌握二次根式的性质，负整数指数幂，化简绝对值，零次幂是解题
的关键．
22. 用适当的方法解方程：
（1） ；
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据因式分解法解一元二次方程即可求解；
（2）先化为一般形式，然后根据因式分解法解一元二次方程即可求解．
【小问1详解】
解：
即 ，
∴ 或 ，
解得：
【小问2详解】
解： ，
，
即 ，
解得： ．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．23. 下面是小立设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程．
已知：如图1，直线l及直线l外一点A．
求作：直线AD，使得 ．
作法：如图2，
在
① 直线l上任取一点B，连接AB；
②以点B为圆心，AB长为半径画弧，交直线l于点C；
③分别以点A，C为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点D（不与点B重合）；
④作直线AD．
所以直线AD就是所求作的直线．
根据小立设计的尺规作图过程，
（1）.使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）2.完成下面的证明．（说明：括号里填推理的依据）
证明：连接CD．
∵ ，
∴四边形ABCD 是___________（_________________）．
∴ （_____________）．
【答案】（1）作图见解析；（2）菱形；四条边都相等的四边形是菱形；菱形的对边平行．
【解析】
【分析】（1）根据要求作图即可得；
（2）由菱形的判定及其性质求解可得．
【详解】解：(1)补全的图形如图所示：（2）证明：连接 ．
∵ ，
∴四边形 是菱形（四条边都相等的四边形是菱形）．
∴ （菱形的对边平行）
故答案为菱形，四条边都相等的四边形是菱形，菱形的对边平行．
【点睛】本题主要考查尺规作图和菱形的判定和性质，熟练和掌握菱形的判定与性质是解题关键．
24. 已知一次函数 与正比例函数 的图象都经过点 ，
（1）分别求出这两个函数的表达式；
（2）求这两个函数的图象与 轴围成的三角形的面积．
【答案】（1）y= x- 4；y= x
（2）这两个函数的图象与x轴围成的三角形的面积为
【解析】
【分析】(1 )根据待定系数法，列出方程解决问题；
(2)求出直线与x轴的交点，利用三角形面积公式便可求解．
【小问1详解】∵一次函数y= kx - 4与正比例函数y = kx，的图象都经过点(2， 1)，
1 2
∴将(2， 1)代入两个表达式得：
1=2k-4，
1
解得k =
1
∴y= x- 4.
1 = 2k，
2
解得k =
2
所以y= x．
【小问2详解】
令y=0， 0= x-4，
解得x =
∵直线y= x-4与x轴交于点B( ， 0)．
OB =
∵直线y= x-4与直线y= x交于点A(2，1).
如图，过点A作AC⊥x轴于点C.
S = ×OB×AC
∆AOC∴这两个函数的图象与x轴围成的三角形的面积为： ．
【点睛】本题考查两条直线相交问题，待定系数法求一次函数的解析式、三角形的面积等知识，解题的关
键是熟练掌握基本知识，属于基础题目也是中考常考题型．
的
25. 关于 一元二次方程 ．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程有一根大于 ，求 的取值范围．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）计算一元二次方程根的判别式 ，即可得证；
（2）根据公式法解一元二次方程，根据题意列出不等式即可求解．
【小问1详解】
证明：由 ，
，
∴∴方程 总有两个实数根；
【小问2详解】
解： ，
解得： ，
即 ，
∵方程有一根大于 ，
∴ ，
解得： ．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，掌握一元二次方程根的判别式是解题的
关键．
26. 如图，四边形 中， 垂直平分 ，垂足为点 为四边形 外一点，且
， ．
（1）求证：四边形 是平行四边形；
（2）如果 平分 ， ， ，求 的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）分别证明 ，得出结论；
（2）利用勾股定理求出 ，再利用等积法求出 ，即可得出结论．
【小问1详解】∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 垂直平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形，
【小问2详解】
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴
过 作 ，
∴ ，
∴ ，
∵ 垂直平分 ，则 ,
∵ ，
∴ ，∴ ．
【点睛】本题考查平行四边形的判定以及利用勾股定理解直角三角形，利用等积法求高是解决问题的关键．
27. 某钢厂今年一月份钢产量为 吨，三月份增加到 吨．
（1）求这个工厂的月平均增长率；
（2）按照（1）中的月平均增长率，此钢厂期望四月份钢产量达到 吨，请通过计算说明他们的目标
能否实现．
【答案】（1）这个工厂的月平均增长率为
（2）他们的目标能否实现，见解析
【解析】
【分析】（1）设这个工厂的月平均增长率为 ，根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解；
（2）根据（1）的结论求得四月份的钢产量，比较即可求解．
【小问1详解】
解：设这个工厂的月平均增长率为 ，根据题意得，
解得： （舍去）
答：这个工厂的月平均增长率为 ；
【小问2详解】
∵三月份的钢产量 ，月平均增长率为 ，
∴四月份的钢产量为 ，
∴他们的目标能否实现．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键．28. 如图，在平面直角坐标系 中，过点 的直线 与直线 ： 相交于点 ．
（1）求直线 的表达式；
（2）若直线 与y轴交于点C，过动点 且平行于 的直线与线段AC有交点，求 的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先将点 代入 ，求得 ，根据 两点坐标，待定系数法求解析式即可
求解；
（2）由（1）的解析式求得点 ，根据一次函数的平移求得过动点 且平行于 的直线为
，分别将点 的坐标代入 ，结合图形即可求解．
【小问1详解】
解：依题意， 在 上，
∴ ，
∴ ，
设 的表达式为： ，将点 ， 代入得，
，
解得： ，
∴ 的表达式为： ；
【小问2详解】
解：由 的表达式为： ，令 ，解得 ，
∴ ,
依题意，过动点 且平行于 的直线为 ，
∵ 与线段 ，有交点，
当 过点 时， ，解得： ，
当 过点 时， ，
∴ ．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的平移，一次函数与坐标轴的交点，数形结
合是解题的关键．
29. 如图，在正方形 中， 为对角线 上一点 ，连接 ．
（1）求证： ；（2）过点 作 交 于点 ，延长 至点 使 ，连接 ．
①依题意补全图形；
②用等式表示 与 之间的数量关系，并证明．
【答案】（1）见解析 （2）①补全图形见解析；② ，证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据正方形的性质证明 ，即可得证；
（2）①根据题意补全图形即可求解；
②连接 ，证明 ，进而证明 是等腰直角三角形，即可得出结论
【小问1详解】
证明：∵四边形 是正方形，
∴ ，
又 ，
∴ ，
∴ ；
【小问2详解】
①补全图形，如图，
② ，理由如下，如图，连接 ，∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
由（1）可知 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ．【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，等腰直角三角形的性质，掌握
以上知识是解题的关键．
30. 在平面直角坐标系 中，对于点 和线段 ，我们定义点 关于线段 的线段比
．
（1）已知点 ， ， ．
①点 关于线段 的线段比 ______；
②点 关于线段 的线段比 ______；
③点 关于线段 的线段比 ，求c的值．
（2）已知点 ，点 ，直线 与坐标轴分别交于 两点，若线段 上存
在点使得这一点关于线段 的线段比 ，直接写出m的取值范围．【答案】（1）① ；② ；③ 或 ；
（2）
【解析】
【分析】（1）①求出 、 、 ，根据线段比定义即可得到答案；
②方法同①，求出 、 、 ，根据线段比定义即可得到答案；
③方法同①，分 和 讨论；
（2）分两种情况，画出图象，根据线段比定义，分别在 为“临界点”时列出不等式，即可得到答
案．
【小问1详解】
解：①如图
∵点 ， ，
∴ ， ，
①∵ ，
∴点 关于线段 的线段比 ；
故答案为： ；
②∵ ，点 关于线段 的线段比 ；故答案为： ；
③∵
∴ ，
，
当 时， ，即 ，
点 关于线段 的线段比 ，可得：
，解得 或 （舍去），
∴ ，
当 时， ，即 ，
∵点 关于线段 的线段比 ，
∴ ，
解得 （舍去）或 ，
∴ ，
综上所述， 或 ；
【小问2详解】
∵直线 与坐标轴分别交于 两点，
∴ ，
∵点 ，点 ，
在
∴ ， 右边2个单位，当线段 上的点到 距离较小时，分两种情况：
①当 在点 左侧时，如图：
线段 上存在点使得这一点关于线段 的线段比 ，
∴ ，即
解得： ，
②当 在 右侧， 在 左侧时，过 作 于 ，如图：
线段 上存在点使得这一点关于线段 的线段比 ，
∴ ，即
∴ ，
而 ，
∴ ，∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，即
解得 ，
∴线段 上存在点使得这一点关于线段 的线段比 ，线段 上的点到 距离较小时，
，
当线段 上的点到 距离较小时，也分两种情况：
①当 在 右侧， 在 左侧时，如图：
线段 上存在点使得这一点关于线段 的线段比 ，
∴ ，即
解得 ，
②当 、 在点 右侧时，过 作 于 ，如图：线段 上存在点使得这一点关于线段 的线段比 ，
∴ ，即
∴ ，
而 ，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴
∴ ，即
解得： ，
∴线段 上存在点使得这一点关于线段 的线段比 ，线段 上的点到 距离较小时，
，
综上所述，线段 上存在点使得这一点关于线段 的线段比 ，
则 或 ．综合之，m的值为 ．
【点睛】此题是新定义的题目，主要考查一次函数与坐标轴交点问题，两点之间的距离公式，理解题中线
段比的定义，能分类讨论结合图形分析是解题的关键．
