文档内容
北京景山学校 2022～2023 学年度第一学期
七 年 级 数 学 期 中 试 卷
班级___________ 姓名___________ 学号___________ 成绩___________
注意事项
（1）请用黑色钢笔或签字笔答题，不得使用铅笔或红笔答卷．
（2）认真审题，字迹工整，卷面整洁．
（3）本试卷共8页，共有三道大题，28道小题，考试时间100分钟．
（4）请将选择题的答案填涂在机读卡上，其余试题答案填写在答题纸上．
一、选择题（每题只有一个选项符合题意，每小题2分，共16分）．
的
1. 若一个三角形中仅有一条高在三角形 内部，则该三角形是（ ）
A. 锐角三角形 B. 钝角三角形
C. 直角三角形 D. 直角三角形或钝角三角形
【答案】D
【解析】
【分析】根据三角形高的定义及画法，即可解答．
【详解】解：锐角三角形的三条高匀在三角形的内部，
直角三角形的一条高在三角形的内部，另外两条在边上，
钝角三角形的一条高在三角形的内部，另外两条在三角形的外部，
故若一个三角形中仅有一条高在三角形的内部，则该三角形是直角三角形或钝角三角形，
故选：D．
【点睛】本题考查了三角形的高线的定义，熟练掌握和运用三角形高线的定义及画法是解决本题的关键．
2. 若点P（x，y）的坐标满足xy＝0，则点P 的位置是（ ）
A. 在x轴上 B. 在y轴上 C. 是坐标原点 D. 在x轴上或在y轴上
【答案】D
【解析】
【详解】试题分析：根据题意，由xy=0可知x=0或y=0或x、y均为0，因此可知当x=0时，在y轴上，当
y=0时在x轴上，当x=0，y=0时，为坐标原点.
故选D
3. 去年我市有5.6万学生参加联招考试，为了了解他们的数学成绩，从中抽取2000名考生的数学成绩进行
统计分析，下列说法错误的是（ ）A. 这种调查方式是抽样调查
B. 5.6万学生 是总体
C. 2000是样本容量
D. 2000名考生的数学成绩是总体的一个样本
【答案】B
【解析】
【分析】总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分
个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．我们在区分总体、个体、样本、样本容量，这四个概念时，
首先找出考察的对象．从而找出总体、个体．
【详解】解：A、为了了解这5．6万名考生的数学成绩，从中抽取了2000名考生的数学成绩进行统计分
析，这种调查采用了抽样调查的方式，故说法正确；
B、5.6万名考生的数学成绩是总体，故说法错误；
C、2000是样本容量，故说法正确；
D、2000名考生的数学成绩是总体的一个样本，故说法正确；
故选：B．
【点睛】考查了总体、个体、样本、样本容量，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确
考查的对象．总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小．样本容量是样本中包含的
个体的数目，不能带单位．
4. 如图 ， 平分 ，且 ，则 的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由平行线的性质与角平分线的意义得 ，然后运用三角形内角和定理即可求解．
【详解】解： ，
，平分 ，
，
，
又 ，
；
故选：B．
【点睛】此题考查了平行线的性质、角平分线意义与三角形内角和定理，熟练运用相关性质得出
是解答此题的关键．
5. 点 在第四象限，且到 轴的距离为3，则 的值为（ ）
A. B. C. 1 D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】由题意点P到y轴的距离为3，且点P在第四象限，即得出 ，即 ，解出a即可．
【详解】解：由题意可知 ，
解得： 或5．
由于点P在第四象限，
所以 ，
故选：A．
【点睛】本题考查由点所在的象限求参数，点到坐标轴的距离的概念．熟练掌握各知识点是解题关键．
6. 内角和等于外角和2倍的多边形是（ ）
A. 五边形 B. 六边形 C. 七边形 D. 八边形
【答案】B
【解析】
【分析】本题应先设这个多边形的边数为n，则依题意可列出方程（n﹣2）×180°=360°×2，从而解出
n=6，即这个多边形的边数为6．
【详解】解：设这个多边形的边数为n，则依题意可得，
（n﹣2）×180°=360°×2，解得n=6，
∴这个多边形的边数为6．
故选B．
7. 如图，将一张三角形纸片 的一角折叠，使点 落在 处的 处，折痕为 .如果 ，
， ，那么下列式子中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据三角形的外角得：∠BDA'=∠A+∠AFD，∠AFD=∠A'+∠CEA'，代入已知可得结论.
【详解】由折叠得：∠A=∠A'，
∵∠BDA'=∠A+∠AFD，∠AFD=∠A'+∠CEA'，
∵∠A=α，∠CEA′=β，∠BDA'=γ，
∴∠BDA'=γ=α+α+β=2α+β，
故选A.
【点睛】本题考查了三角形外角的性质，熟练掌握三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和是关键.
8. 为了了解2018年北京市乘坐地铁的每个人的月均花费情况，相关部门随机调查了1000人乘坐地铁的月
均花费（单位：元），绘制了如下频数分布直方图，根据图中信息，下面3个推断中，合理的是（ ）
①小明乘坐地铁的月均花费是75元，那么在所调查的1000人中至少有一半以上的人月均花费超过小明；
②估计平均每人乘坐地铁的月均花费的范围是60﹣120元；
③如果规定消费达到一定数额可以享受折扣优惠，并且享受折扣优惠的人数控制在20%左右，那么乘坐地
铁的月均花费达到120元的人可享受折扣．
A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③
【答案】D
【解析】
【分析】①根据图中信息月均花费超过80元的有500人，于是得到结论；
②根据图中信息，可得大多数人乘坐地铁的月均花费在 之间，据此可得平均每人乘坐地铁的月均
花费的范围；
③该市1000人中， 左右的人有200人，根据图形可得乘坐地铁的月均花费达到120元的人有200人
可以享受折扣．
【详解】解：① 人，
所调查的1000人中一定有一半或超过一半的人月均花费超过小明，此结论正确；②根据图中信息，可得大多数人乘坐地铁的月均花费在 之间，估计平均每人乘坐地铁的月均花费
的范围是 ，此结论正确；
③ ，而 ，
乘坐地铁的月均花费达到120元的人可享受折扣，
乘坐地铁的月均花费达到120元的人可享受折扣，此结论正确；
综上，正确的结论为①②③，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了频数分布直方图，抽样调查以及用样本估计总体，解题的关键需要理解，用样本
去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确．抽样调查具有花费少、省
时的特点，但抽取的样本是否具有代表性，直接关系到对总体估计的准确程度．
二、填空题（每小题2分，共16分）．
9. 为了解某市4万名学生平均每天读书的时间，请你运用所学的统计知识，将统计的主要步骤进行排序：
①从4万名学生中随机抽取400名学生，调查他们平均每天读书的时间；②分析数据；③得出结论，提出
建议；④利用统计图表将收集的数据整理和表示．合理的排序是_____．(只填序号)
【答案】①④②③
【解析】
【详解】分析：根据已知的调查统计的一般过程：①收集数据，②整理数据，③分析数据，④得出结论，
进而判断得出答案.
详解：根据数据的调查的步骤，可知合理的排序为：①④②③.
故答案为①④②③.
点睛：此题主要考查了调查收集数据的过程和方法，正确进行数据的调查，掌握调查的步骤是解题关键.
10. 在 中， ，则 ___________．
【答案】 ##130度
【解析】
【分析】利用三角形的内角和定理与已知条件即可求解 的度数．
【详解】解：在 中，
，
，
又 ，，
；
故答案为： ．
【点睛】此题考查了三角形内角和定理，熟练掌握三角形的内角和为 是解答此题的关键．
11. 已知一组数据：68，69，70，66，68，65，64，65，69，62，67，66，65，67，63，65，64，61，
65，66共20个，则落在64.5~66.5这一小组的频数是________．
【答案】8
【解析】
【详解】根据题意，发现数据中在64.5−66.5之间的有8个数据，
故答案是：8．
12. 课间操时，小华，小军，小刚的位置如图．若小华的位置用 表示，小军的位置用 表示，则
小刚的位置用坐标表示为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据小军和小刚的坐标建立平面直角坐标系，据此可得答案．
【详解】解：由小军和小华的坐标可建立如图所示平面直角坐标系：小刚的位置用坐标表示为（4，3）．
故答案为：（4，3）．
【点睛】本题考查了坐标确定位置：平面内的点与有序实数对一一对应，记住直角坐标系中特殊位置点的
坐标特征．
13. 如图，在 中，线段 、线段 分别是 的高和角平分线，若 ，
，则 __________°．
【答案】40
【解析】
【分析】由平角的定义可求解 的度数，根据三角形的内角和定理可求解 的度数，结合角平
分线的定义求得 的度数，再根据高线的定义可得 ，然后利用三角形的内角和等于
列式计算即可得解．
【详解】解：∵ ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 是 平分线，
∴ ，
∵ 是高线，
∴ ，
∴ ，
故答案为：40．
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，高线的定义，熟记概念与定理并准确识图是
解题的关键．
14. 如图，线段AF⊥AE，垂足为点A，线段GD分别交AF、AE于点C，B，连接GF，ED，则
∠D+∠G+∠AFG+∠AED的度数为__________.
【答案】270°##270度
【解析】
【分析】根据三角形的内角和定理及对顶角的性质可求得∠GCF+∠DBE=90°，再利用三角形的内角和定理
可得∠G+∠F+∠GCF+∠D+∠B+∠DBE=360°，进而可求解∠D+∠G+∠AFG+∠AED的度数．
【详解】解：∵∠A+∠ACB+∠ABC=180°，∠A=90°，
∴∠ACB+∠ABC=90°，
∵∠GCF=∠ACB，∠DBE=∠ABC，
∴∠GCF+∠DBE=90°，
∵∠G+∠F+∠GCF=∠D+∠B+∠DBE=180°，
∴∠G+∠F+∠GCF+∠D+∠B+∠DBE=360°，
∴∠D+∠G+∠AFG+∠AED=270°，故答案为：270°．
【点睛】本题主要考查三角形的内角和定理，掌握三角形的内角和定理是解题的关键．
15. 如图，在平面直角坐标系中，直线 与 轴在正半轴、 轴正半轴分别交 、 两点，点 在
的延长线上， 平分 ， 平分 ，则 的度数是___________．
【答案】 ##45度
【解析】
【分析】利用角平分线的意义和三角形的外角性质，列式计算即可得到答案．
【详解】解：由平面直角坐标系可知： ，
平分 ， 平分 ，
，
，
，
即 ，
又 ，
；
故答案为： ．
【点睛】此题考查了三角形的外角性质、角平分线的意义和平面直角坐标系的概念，熟练掌握三角形外角
性质的应用是解答此题的关键．
16. 在平面直角坐标系 中，对于点 ，我们把点 叫做点 的伴随点．知点 的
伴随点为 ，点 的伴随点为 ，点 的伴随点为 ， ，这样依次得到点 ， ， ， ， ，．若点 的坐标为 ，则点 的坐标为___________；若点 的坐标为 ，对于任意的正整数
，点 均在 轴上方，则 ， 应满足的条件为___________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】按照题目所给的“伴随点”的定义直接写出 的坐标即可；若 ，按照“伴随点”定义写
出 ，发现每4个点重复出现，然后根据条件列出不等式组，求出 应满足的条件即可．
【详解】解： 点 叫做点 的伴随点，点 的伴随点为 ，点 的伴随点为 ，
点 的伴随点为 ， ，点 的坐标为 ，
，
故答案为： ；
点 的坐标为 ，
故每四个点的坐标重复出现，
又 点 均在 轴上方，
，
解得 ；
故答案为： ．
【点睛】此题考查了平面直角坐标系中点的坐标、一元一次不等式组的解法，熟练掌握相关的知识和正确理解“伴随点”的定义是解答此题的关键．
三、解答题（本题共68分，第17-20题每题5分，第21-23题，每题6分，第24-25题，每题
5分，第26题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程）．
17. 已知等腰三角形的周长为18 cm，其中两边之差为3 cm，求三角形的各边长．
【答案】7cm，7cm，4cm或5cm，5cm，8cm
【解析】
【分析】已知等腰三角形的周长为18cm，两边之差为3cm，但没有明确指明底边与腰谁大，因此要分两种
情况，分类讨论．
【详解】设腰长为x cm，底边长为y cm，
或
解得 或
经检验均能构成三角形，即三角形的三边长是7 cm，7 cm，4 cm或5 cm，5 cm，8 cm
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两
种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
18. 如图,AE∥BD,∠1=115°,∠2=35°,求∠C的度数.
【答案】30°
【解析】
【分析】由AE∥BD，可求得∠CEA的度数，再利用三角形ACE的内角和等于180°，即可求得答案．
【详解】∵AE∥BD，∠2=35°，
∴∠CEA=∠2=35°，
又∵∠1=115°，
∴∠C=180°-∠CEA-∠1=180°-115°-35°=30°．
【点睛】此题考查了平行线的性质，三角形内角和定理的运用．解题的关键是注意数形结合思想的应用．
19. 如图，在 中， ， 的外角 的平分线 交 的延长线于点E．
（1）补全图形；
（2）求 的度数；
（3）已知F为 延长线上一点，连接 ，若 ，请判断 与 的位置关系为________．
【答案】（1）见解析；（2） ；（3） ，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据题意步骤作图即可；
（2）先根据直角三角形两锐角互余求出 ，由邻补角定义得出 ．
再根据角平分线定义即可求出 ；
（3）判断 ，先根据三角形外角的性质得出 ，再根据 ，即可
得出 ．
【详解】解：（1）根据题意作图如下：
（2） 在 中， ， ，，
．
是 的平分线，
；
（3） ，理由如下；
， ，
．
又 ，
，
．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，平行线的性质，邻补角定义，角平分线定义，
解题的关键是掌握各定义与性质．
20. 已知点A(3a﹣6，a+1)，试分别根据下列条件，求出点A的坐标，
（1）点A在x轴上；
（2）点A在过点P(3，﹣2)，且与y轴平行的直线上．
【答案】（1）（-9，0）；（2）（3，4）
【解析】
【分析】（1）根据x轴上点的纵坐标为0列方程求出a的值，再求解即可；
的
（2）根据平行于y轴 直线上的点的纵坐标相同列方程求出a的值，再求解即可．
【详解】解：（1）∵点A（3a-6，a+1）在x轴上，
∴a+1=0，
解得a=-1，
∴3a-6=-3-6=-9，
∴点A的坐标为（-9，0）；
（2）∵点A在过点P（3，-2），且与y轴平行的直线上，
∴3a-6=3，
解得a=3，
∴a+1=3+1=4，
∴点A的坐标为（3，4）．【点睛】本题考查了点的坐标，熟练掌握坐标轴上点的坐标特征以及平行于坐标轴的直线上的点的坐标特
征是解题的关键．
21. 如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线BE，CD相交于点F，若∠A＝60°，求∠BFC的度数．
【答案】120°
【解析】
【分析】根据三角形的内角和等于 180°列式求出∠ABC+∠ACB，再根据角平分线的定义求出
∠FBC+∠FCB，然后利用三角形的内角和等于180°列式计算即可得解．
【详解】在△ABC中，∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-60°=120°，
∵∠ABC，∠ACB的平分线BE，CD相交于点F，
∴∠FBC= ∠ABC，∠FCB= ∠ACB，
∴∠FBC+∠FCB= （∠ABC+∠ACB）= ×120°=60°，
在△BCF中，∠BFC=180°-（∠FBC+∠FCB）=180°-60°=120°．
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，整体思想的利用是解题的关键．
22. 对有序数对 定义“ 运算”： ，其中 ， 为常数， 运算的结
果也是一个有序数对，在此基础上，可对平面直角坐标系中的任意一点 规定“ 变换”；点
在 的变换下的对应点即为坐标是 的点 ．
（1）当 ， 时， ______．
（2）若点 在 变换下的对应点是它本身，求 的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据新定义运算法则解得；（2）根据新定义运算法则得到关于 、 的方程，通过解方程求得它们的值即可．
【小问1详解】
根据题意得：
．
故答案是： ；
【小问2详解】
根据题意得：
．
∴ ， ，
∴ ， ．
∴ ．
故答案为：−1．
【点睛】本题考查了图形余坐标，掌握有序数对 “ 运算”法则是解本题的关键．
23. 如图，在平面直角坐标系xOy中，A、B、C三点的坐标分别为（﹣5，4）、（﹣3，0）、（0，2）．
（1）画出三角形ABC，并求其面积；
（2）如图， A′B′C′是由 ABC经过怎样的平移得到的？
（3）已知点△P（a，b）为△ ABC内的一点，则点P在 A′B′C′内的对应点P′的坐标为（ ，
△ △）．
【答案】（1）图见解析，8
（2） ABC向右平移4个单位，再向下平移3个单位得到 A′B′C′；
（3）△a+4，b-3 △
【解析】
【分析】（1）根据A，B，C的坐标作出图形即可；
（2）根据平移变换的规律解决问题即可；
（3）利用平移规律解决问题即可．
【小问1详解】
解：如图， ABC即为所求．
△
S =4×5- ×2×4- ×2×5- ×2×3=8；
ABC
△
【小问2详解】
解：观察图象， ABC向右平移4个单位，再向下平移3个单位得到 A′B′C′，
故答案为： AB△C向右平移4个单位，再向下平移3个单位得到 A′B△′C′；
【小问3详解△】 △
解：由（2）知：P′（a+4，b-3）．
故答案为：a+4，b-3．
【点睛】本题考查坐标与图形的变化-平移，三角形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问
题．
24. 如图①，在 ABC中，AE平分∠BAC，∠C＞∠B，F是AE上一点，且FD⊥BC于D点．
(1)试猜想∠EFD△，∠B，∠C的关系，并说明理由；
(2)如图②，当点F在AE的延长线上时，其余条件不变，(1)中的结论还成立吗？说明理由．① ②
【答案】(1)∠EFD＝ ∠C－ ∠B.（）成立，理由见解析.
【解析】
【分析】先根据AE平分∠BAC推出∠BAE= ∠BAC= [180°-（∠B+∠C）]，再根据外角的定义求出
∠FED=∠B+∠BAE，然后利用直角三角形的性质求出∠EFD=90°-∠FED．
【详解】解：(1)∠EFD＝ ∠C－ ∠B.
理由如下：由AE是∠BAC的平分线知∠BAE＝ ∠BAC.
由三角形外角的性质知∠FED＝∠B＋ ∠BAC，
故∠B＋ ∠BAC＋∠EFD＝90°①.
在 ABC中，由三角形内角和定理得
∠△B＋∠BAC＋∠C＝180°，
即 ∠C＋ ∠B＋ ∠BAC＝90°②.
②－①，得∠EFD＝ ∠C－ ∠B.
(2)成立．
理由如下：由对顶角相等和三角形的外角性质知：∠FED＝∠AEC＝∠B＋ ∠BAC，
故∠B＋ ∠BAC＋∠EFD＝90°①.
在 ABC中，由三角形内角和定理得：
△
∠B＋∠BAC＋∠C＝180°，即 ∠B＋ ∠BAC＋ ∠C＝90°②.②－①，得∠EFD＝ ∠C－ ∠B.
【点睛】此题主要考查了角平分线的性质、三角形内角和定理和直角三角形的性质，命题时经常将多个知
识点联系在一起进行考查，这样更能训练学生的解题能力．
25. 为庆祝中国共产党建党100周年，使学生进一步了解中国共产党的历史，某学校组织了“党史百年天天读”活动，并进行了一次全校2000名学生都参加的书面测试，阅卷后，教学处随机抽取了100份答卷进
行分析统计，发现考试成绩x（分）的最低分为50分，最高分为满分100分，且分数都为整数，并绘制了
尚不完整的统计图表：
分数段（x分） 频数 频率
50≤x＜60 4 0.04
60≤x＜70 a 0.20
70≤x＜80 30 0.30
80≤x＜90 26 b
90≤x＜100 15 0.15
100≤x＜110 5 0.05
请根据统计图表提供的信息，解答下列问题：
（1）在频数分布表中，a＝ ；b＝ ；
（2）请将频数分布直方图补充完整，并在图中标明相应数据；
（3）该校对成绩为90≤x≤100的学生进行奖励，按成绩从高分到低分设一，二，三等奖，各奖项的人数
占比如扇形统计图所示．
① 在扇形图中，二等奖所在扇形的圆心角度数为 °；
② 请你估算全校获得一等奖的学生人数约为 人．
【答案】（1）20；0.26；（2）见解析；（3）①108；②40【解析】
【分析】（1）总人数乘以60≤x＜70频率即可求得a的值；80≤x＜90的频数除以总人数即可求得b；
（2）补全频数分布直方图即可；
（3）① 乘以二等奖占得百分比即可求得；
②全校总人数乘以90≤x≤100范围内学生的频率再乘以一等奖所占百分比即可．
【详解】解：（1） ； ，
故答案为：20；0.26；
（2）补全频数分布直方图如图：
；
（3）① ，
故答案为：108；
② ，
故答案为：40．
【点睛】本题考查扇形统计图，频数分布直方图，频数分布表，由样本估计总体等知识点，理解频率=频
数/总数的意义和使用方法是解决问题的前提．
26. 阅读与理解：
三角形的中线的性质：三角形的中线等分三角形的面积，即如图1， 是 中 边上的中线，则
．
理由： ， ，
即：等底同高的三角形面积相等．操作与探索
在如图2至图4中， 的面积为 ．
（1）如图2，延长 的边 到点 ，使 ，连接 ．若 的面积为 ，则
___________（用含 的代数式表示）；
（2）如图3，延长 的边 到点 ，延长边 到点 ，使 ， ，连接 ．
若 的面积为 ，则 ___________（用含 的代数式表示），并写出理由；
（3）在图3的基础上延长 到点 ，使 ，连接 ， ，得到 （如图 ．若阴影
部分的面积为 ，则 ___________；（用含 的代数式表示）
拓展与应用：
（4）如图5，已知四边形 的面积是 ， 、 、 、 分别是 、 、 、 的中点，
连接 交于点O，求图中阴影部分的面积？
【答案】（1） ；
（2） ；（3） ；
（4） ．
【解析】
【分析】（1）直接根据“等底同高的三角形面积相等”即可得出答案；
（2）连接 ，运用“等底同高的三角形面积相等”得出 ，即可得解；
（3）由（2）结论即可得出 ，从而得解；
（4）连接 ，运用 “等底同高的三角形面 积相等 ”得出 ，
，从而得解．
【小问1详解】
解：如图2， 延长 的边 到点 ，使 ，
为 的中线，
即 ；
故答案为： ；
【小问2详解】
解：如图3，连接 ，
延长 的边 到点 ，延长边 到点 ，使 ， ，
， ，，
即 ；
故答案为： ；
【小问3详解】
解：由（2）得 ，
同理： ， ，
；
故答案为： ；
【小问4详解】
解：如图5所示，连接 ，
则 ，
，
；
故阴影部分的面积为 ．【点睛】此题考查了阅读与理解：三角形中线的性质即等底同高的三角形面积相等，灵活运用这个结论并
适当添加辅助线是解答此题的关键．
27. 在 ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝40°，P是射线BC上一动点（与B，C点不重合），连接AP．过
点C作△CD⊥AP于点D，交直线AB于点E，设∠APC＝α．
（1）若点P在线段BC上，且α＝60°，如图1，直接写出∠PAB的大小；
（2）若点P在线段BC上运动，如图2，求∠AED的大小（用含α的式子表示）；
（3）若点P在BC的延长线上运动，且a≠50°，直接写出∠AED的大小（用含α的式子表示）．
【答案】（1）∠PAB＝20°，（2）∠AED＝130°﹣α；（3）∠AED为α﹣50°或50°﹣α．
【解析】
【分析】（1）根据三角形外角的的性质可得结论；
（2）根据三角形外角的性质和直角三角形两锐角互余可得结论；
（3）分情况讨论：α＞50°或α＜50°根据三角形内角和可得结论．
【详解】解：（1）如图1，当α＝60°时，∠APC＝60°，
APB中，∠PAB＝∠APC﹣∠B＝60°﹣40°＝20°，
△（2）如图2，同（1）得：∠PAB＝α﹣40°，
∵CE⊥AP，
∴∠ADE＝90°，
∴∠PAB+∠AED＝90°，
∴∠AED＝90°﹣∠PAB＝90°﹣（α﹣40°）＝130°﹣α，
（3）①如图3，当α＞50°时，
APC中，∠ACP＝90°，∠APC＝α，
△∴∠CAP＝90°﹣α，
∵CD⊥AP，
∴∠ADE＝90°，
∴∠AED＝90°﹣∠DAE＝90°﹣（50°+90°﹣α）＝α﹣50°，
②如图，当α＜50°时，
∴∠AED＝90°﹣∠PAE＝90°﹣（α+40°）＝50°﹣α，
综上，∠AED为α﹣50°或50°﹣α．
【点睛】本题考查了三角形外角的性质、直角三角形的两锐角互余、垂线的性质，熟练掌握这些性质是关
键．
28. 在平面直角坐标系 中，对于任意两点 ， ，定义 为点 和点 的“ 阶距离”，其中 ．例如：点 ， 的“ 阶距离”为
．已知点 ．
（1）若点 ，求点 和点 的“ 阶距离”；
（2）若点 在 轴上，且点 和点 的“ 阶距离”为4，求点 的坐标；
（3）若点 ，且点 和点 的“ 阶距离”为1，直接写出 的取值范围．
【答案】（1）
（2） 或
（3）
【解析】
【分析】（1）根据新定义列式计算即可；
（2）根据新定义列方程 再解方程即可；
（3）根据新定义可得 则可得 再分四种情况讨论即可．
【小问1详解】解：∵点 ， ，
由新定义可得：点 和点 的“ 阶距离”为：
【小问2详解】
点 在 轴上，设 且点 和点 的“ 阶距离”为4，
整理得：
解得： 或
或
【
小问3详解】
∵点 ，且点 和点 的“ 阶距离”为1，
整理得：
由 可得：
同理可得：
当 时，则 即
当 时，则则
即
当 时，则
∴
同理可得：
当 时，则
综上：
【点睛】本题考查的是新定义运算，利用新定义构建方程，不等式的基本性质，化简绝对值，清晰的分类
讨论是解本题的关键．
