文档内容
专题12 磁场的性质 带电粒子在磁场中的运动
目录
题型一 磁场的叠加.......................................................................................................................................................1
题型二 磁场对通电导体作用及安培定则的综合问题..............................................................................................6
题型三 安培力作用下导体的平衡问题....................................................................................................................15
题型四 带电粒子在有界匀强磁场中的运动............................................................................................................21
题型一 磁场的叠加
【题型解码】
对于多个电流在空间某点的合磁场方向，首先应用安培定则判断出各电流在该点的磁场方向(磁场方向与该
点和电流连线垂直)，然后应用平行四边形定则合成．
【典例分析1】（2023上·山西吕梁·高三校考阶段练习）如图所示，现有两根通电长直导线分别固定在正
方体 的两条边 和 上且彼此绝缘，电流方向分别由 流向 、由 流向 ，两通电
导线中的电流大小相等，在 点形成的磁场的磁感应强度大小为 。已知通电长直导线在周围空间某位置
产生磁场的磁感应强度大小为 ，其中 为常数， 为电流大小， 为该位置到长直导线的距离，则
点的磁感应强度大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】设正方体棱长为 ，通电导线中的电流大小为 ，两条边 和 上通电导线在
A点产生的感应强度大小均为方向分别沿 方向和 方向，互相垂直。
则A点磁感应强度大小为
点的磁感应强度大小为
故选C。
【典例分析2】（2024·全国·高三专题练习）有两根长直导线a、b互相平行放置，如图所示为导线的截面
图。在图示的平面内，O点为两根导线连线的中点，M、N为两根导线附近的两点，它们在两导线连线的
中垂线上，且与O点的距离相等。若两导线中通有大小相等、方向垂直纸面向外的恒定电流I，则下列关
于线段MN上各点的磁感应强度的说法正确的是（ ）
A．M点和N点的磁感应强度大小相等，方向相同
B．M点和N点的磁感应强度大小不等，方向相反
C．在线段MN上各点的磁感应强度都不可能为零
D．在线段MN上只有一点的磁感应强度为零
【答案】D
【详解】AB．根据安培定则判断可知，两根通电导线产生的磁场方向均沿逆时针方向，M、N关于O点对
称，两根通电导线在M、N两点产生的磁感应强度大小相等，根据平行四边形定则进行合成可得，M点和
N点的磁感应强度大小相等，M点磁场方向向下，N点磁场方向向上，故A、B错误。
CD．只有当两根通电导线在某一点产生的磁感应强度大小相等、方向相反时，合磁感应强度才为零，分析
可知只有O点的磁感应强度为零，故C错误，D正确。
故选D。
【提分秘籍】
1.磁场的叠加问题的求解秘籍
（1）确定磁场场源，如通电导线．
（2）根据安培定则确定通电导线周围磁感线的方向。
（3）磁场中每一点磁感应强度的方向为该点磁感线的切线方向。
（4）磁感应强度是矢量，多个通电导体产生的磁场叠加时，合磁场的磁感应强度等于各通电导体单独存在时在该点磁感应强度的矢量和。
2.定位空间中需求解磁场的点，利用安培定则判定各个场源在这一点上产生的磁场的大小和方向．如图所
示为M、N在c点产生的磁场．
【突破训练】
1.（2023上·安徽·高三校联考期中）如图所示，在磁感应强度大小为B 方向未知的匀强磁场中，存在竖直
0
方向的正方形虚线区域abcd。在b、d两点分别垂直正方形所在平面固定一根无限长的直导线（图中未画
出），导线中通入大小相等、方向垂直纸面向里的恒定电流。若a点的磁感应强度大小为零，则c点的磁
感应强度（ ）
A．大小为 ，与匀强磁场方向相同 B．大小为2B 与匀强磁场方向相同
0
C．大小为 ，与匀强磁场方向相反 D．条件不足，无法求出c 点处磁感应强度
【答案】B
【详解】根据右手螺旋定则可知，两长直导线的电流在ac两点的磁场强度如图所示
由于ac两点到导线的距离相等，故两长直导线的电流在ac两点的磁场强度大小相等。根据平行四边形定则可知，两长直导线的电流在ac两点的合磁场强度大小相等，方向相反。因a点的磁感应强度大小为零，
故匀强磁场方向与两长直导线的电流在a点的磁场方向相反，且有
故c点的磁感应强度大小为
方向与匀强磁场方向相同。
故选B。
2.（2023·贵州贵阳·统考模拟预测）一条载有电流的导线沿南北方向放置，导线中的电子由南向北定向移动。
一小磁针位于该导线正上方并水平放置，此载流导线提供给小磁针水平方向的磁感应强度大小为 B，小磁
1
针所在位置的地磁场指向北方的水平分量为B。若 则该小磁针N极应该偏转至哪一方向
2
（ ）
A．北偏西 60° B．北偏东 60°
C．南偏东30° D．南偏西 30°
【答案】A
【详解】导线中的电子由南向北定向移动，则电流方向由北向南，根据安培定则可知磁场水平向左，小磁
针所在位置的地磁场指向北方的水平分量为B，根据矢量的合成可知小磁针所在位置的磁场如图：
2
设磁场与B 的夹角为 ，则有
2
则该小磁针N极应该是北偏西 60°
故选A。
3．（2024·江西赣州·赣州中学校考模拟预测）两根通电细长直导线紧靠着同样长的塑料圆柱体，图甲是圆
柱体和导线1的截面，导线2固定不动（图中未画出）。导线1绕圆柱体在平面内第一与第二象限从缓慢移动到 ，测量圆柱体中心O处磁感应强度，获得沿x方向的磁感应强度 随 的图像（如图乙）和
沿y方向的磁感应强度 随 的图像（如图丙）。下列说法正确的是（ ）
A．随着 的增大，导线1在中心O处产生的磁感应强度一直增大
B．导线2电流方向垂直纸面向里
C．当 时，中心O处的磁感应强度方向沿第一象限角平分线向外
D．当导线1继续绕圆柱体移动，到达y轴负半轴时，O处的磁感应强度最小
【答案】D
【详解】A．单独的导线1在中心O处磁感应强度大小 沿x方向和y方向大小分别为
，
根据安培定则判断通电直导线产生的磁场方向结合图乙和图丙中的函数曲线特点可知，导线2在中心O处
产生的磁场在竖直方向上没有分量，在水平方向有沿 轴正方向的分量
同时由图中三角函数图像可知单独的导线1在中心O处产生的磁感应强度大小 不变为 ，根据图丙
时沿y方向磁感应强度为负可知导线1中电流垂直纸面向外，故A错误；
B．根据安培定则可知，导线2在 轴正方向处有垂直纸面向外的电流或者在 轴负方向处有垂直纸面里的
电流，故B错误；
C． 时，导线1产生的磁感应强度方向沿第一象限角平分线向外，但导线2产生的磁场沿 轴正
方向。故中心O处的磁感应强度方向在 轴与第一象限角平分线之间，故C错误；
D．当导线1继续绕圆柱体移动，到达y轴负半轴时，导线1在中心O处产生的磁感应强度沿 轴负方向，大小为
导线2在中心O处产生的磁感应强度沿 轴正方向，大小为
所以中心O处的合磁感应强度最小，为 ，故D正确。
故选D。
4.（2023上·湖南·高三校联考阶段练习）如图，等边三角形线框LMN由三根相同的导体棒连接而成，O为
线框的几何中心。线框顶点M、N与直流电源两端相接，已知电流为I的直导线产生的磁场的磁感应强度
计算公式 （r为某点到直导线的距离），若MN边在O点产生的磁场磁感应强度大小为1×10-4T，则
整个三角形线框在O点产生的磁场磁感应强度大小为（ ）
A．0 B．1×10-4T C．1.5×10-4T D．2×10-4T
【答案】A
【详解】设每一根导体棒的电阻为R，长度为L，则电路中，上下两路电阻之比为
根据并联电路两端各电压相等的特点可知，上下两路电流之比
又因为通电直导线在O点产生磁场的磁感应强度与导线中的电流强度成正比，根据安培定则和矢量的叠加
原理可知，MLN支路电流在O点产生的磁场垂直纸面向里，磁感应强度与MN边在O点产生的磁感应强
度相等，方向相反，所以整个线框在O点产生的磁场磁感应强度大小为0。
故选A。
题型二 磁场对通电导体作用及安培定则的综合问题
【题型解码】1.判断安培力的方向时，充分利用F ⊥B、F ⊥I；
安 安
2.受力分析时，要注意将立体图转化为平面图．
【典例分析1】（2023上·江苏南京·高三校联考期中）如图所示，一不可伸长的细绳的上端固定，下端系
在边长为l=0.40m的正方形金属框的D点上。金属框的一条对角线AC水平，其下方有方向垂直于金属框
所在平面的匀强磁场。己知构成金属框的导线单位长度的阻值为 =5.0×10-3Ω/m。在t=0到t=3.0s时间内，
磁感应强度大小随时间t的变化关系为B（t）=0.3-0.1t（SI制）。则下列说法正确的是（ ）
A．t=0到t=3.0s时间内，金属框中产生的感应电动势为0.016V
B．t=0到t=3.0s时间内，金属框中的电流方向为A→D→C→B→A
C．t=2.0s时金属框所受安培力的大小为 N
D．在t=0到t=2.0s时间内金属框产生的焦耳热为0.032J
【答案】C
【详解】A．t=0到t=3.0s时间内，金属框中产生的感应电动势为
故A错误；
B．根据楞次定律的增反减同可知t=0到t=3.0s时间内，金属框中的电流方向为D→A→B→C→D。故B错
误；
C．由欧姆定律。可得
t=2.0s时磁感应强度为
金属框处于磁场中的有效长度为
所受安培力的大小为N
故C正确；
D．在t=0到t=2.0s时间内金属框产生的焦耳热为
故D错误。
故选C。
【典例分析2】（2023上·广西·高三校联考阶段练习）如图甲所示为安装在某特高压输电线路上的一个六
分导线间隔棒，图乙为其截面图。间隔棒将6条输电导线分别固定在一个正六边形的顶点a、b、c、d、
e、f上，O为正六边形的中心。已知通电导线在周围形成磁场的磁感应强度与电流大小成正比，与到导线
的距离成反比，某瞬时，6条输电导线中通过垂直纸面向外，大小相等的电流，其中a导线中的电流对b
导线中电流的安培力大小为F，该时刻（ ）
A．O点的磁感应强度方向垂直于cf向上
B．c导线所受安培力方向沿Oc指向c
C．d导线中电流对a导线中电流的安培力为
D．a导线所受安培力为
【答案】D
【详解】A．由题意可知，a与d、b与e、c与f在O点的磁场大小相等、方向相反，故O点的磁感应强度
为零，A错误；
B．根据安培定则，其他5根输电线在c处产生的磁场方向垂直fc向上，根据左手定则，c导线所受安培力
方向沿Oc指向O，B错误；
CD．由题意可知，b、f对a的安培力大小为F，c、e对a的安培力为 ，d对a的安培力为 ，则a导
线所受安培力为C错误，D正确。
故选D。
【典例分析3】（2024·福建漳州·统考模拟预测）电磁炮的模型如图所示，弹体（含水平杆ab）总质量
，水平导轨M、N间距 ，处于竖直向上的匀强磁场中，磁感应强度 ，可控电源
提供恒定电流 ，以保证弹体做匀加速直线运动，不计一切阻力。求：
（1）弹体所受安培力大小 ；
（2）弹体从静止加速到 所用的时间t；
（3）弹体从静止加速到 过程中安培力所做的功W。
【答案】（1）0.02N；（2）5s；（3）0.5J
【详解】（1）弹体受到的安培力大小
解得
（2）由牛顿第二定律可知
解得
（3）由运动学公式可知弹体的位移安培力所做的功
解得
【提分秘籍】
1.安培力大小和方向
2.同向电流相互吸引，反向电流相互排斥。
3.求解磁场对通电导体作用力的注意事项
(1)掌握安培力公式：F＝BIL(I⊥B，且L指有效长度)。
(2)用准“两个定则”
①对电流的磁场用安培定则(右手螺旋定则)，并注意磁场的叠加性。
②对通电导线在磁场中所受的安培力用左手定则。
(3)明确两个常用的等效模型
①变曲为直：图甲所示通电导线，在计算安培力的大小和判断方向时均可等效为ac直线电流。
②化电为磁：环形电流可等效为小磁针，通电螺线管可等效为条形磁铁，如图乙。
【突破训练】
1.（2023上·黑龙江佳木斯·高三校考阶段练习）将长1m的导线ac从中点b折成如图中所示的形状，放于B=0.08T的匀强磁场中，abc平面与磁场垂直。若在导线abc中通入I=25 A的直流电，则整个导线所受安培
力的大小为（ ）
A． N B． N C．1.5 N D．2N
【答案】B
【详解】由题意有导线在磁场内有效长度为
整个通电导线受到安培力大小为
故选B。
2.（2023·河南新乡·统考一模）如图所示，粗细均匀的正三角形线框 由三根相同的导体棒连接而成。
顶点 、 分别通过细导线与一直流电源相连，并用轻绳将线框竖直悬挂在垂直于线框平面的匀强磁场中。
已知线框的边长为 ，磁场磁感应强度大小为 ，通过细导线的电流为 ，线框的质量为 ，轻绳系于
边的中点，重力加速度为 ，则轻绳中的拉力大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由题意可知由电阻定律 可得
由欧姆定律可得
即AB边的电流为 ，ACB边的电流为 ，由左手定则及安培力公式可得
，
方向均竖直向下。所以对正三角形线框受力分析由平衡条件可得，轻绳中的拉力大小为
故选A。
3．（2023·河北保定·河北安国中学校联考三模）如图甲所示，边长为 、质量为 的等边三角形导线框
用绝缘细线悬挂于天花板上， 边水平，导线框中通有沿逆时针方向、大小为 的恒定电流，线框部分处
在水平虚线 间的垂直于线框平面向外的匀强磁场中，磁感应强度大小为 与 间的距离为
正三角形 高的一半，重力加速度为 ，则下列说法正确的是（ ）
A．图甲中，绝缘细线的拉力大小为
B．图甲中，绝缘细线的拉力大小为
C．将匀强磁场上移到图乙中所示位置，绝缘细线的拉力会变小
D．将匀强磁场上移到图乙中所示位置，绝缘细线的拉力会变大
【答案】A
【详解】AB．图甲中，线框受到的安培力向上，有效长度为 ，绝缘细线的拉力A正确，B错误；
CD．将匀强磁场上移到图乙中所示位置，有效长度不变，线框所受安培力不变，悬线的拉力不变，CD错
误。故选A。
4．（2023上·山东·高三校联考开学考试）如图所示，半径为r、粗细均匀的金属圆环放在绝缘水平面上，
虚线MN左侧有垂直于水平面向下的匀强磁场I，右侧有垂直于水平面向上的匀强磁场II，两磁场的磁感应
强度大小均为B，MN与圆环的直径重合，PQ是圆环垂直MN的直径，将P、Q两端接入电路，从P点流
入的电流大小为I，圆环保持静止不动，则下列判断正确的是（ ）
A．整个圆环受到的安培力为0
B．整个圆环受到的安培力大小为
C．MN左侧半圆环受到的安培力大小为
D．MN左侧半圆环受到的安培力大小为
【答案】A
【详解】圆环的上半部分的电流是顺时针，下半部分的电流是逆时针，把圆环平均分成右上、左上、左下、
右下四部分，根据左手定则可得这四部分的受力如下：因为安培力大小为
其中L为导线的有效长度，四部分的有效长度都为 ，且导线中的电流相同，故四部分所受的安培力大
小相等，且 与 方向相反， 与 方向相反，故圆环所受安培力的合力为零。
故选A。
5．（2023上·安徽·高三天长中学校联考开学考试）如图所示，一段直导线弯折成L形，AC和CD段相互
垂直，AC段长为d，CD段长为0.6d，将该导线固定在赤道上，CD段沿东西方向（C在东侧），AC段向
北倾斜，与赤道平面成53°角，给该段导线从A端通入大小为I的恒定电流，导线所在处的地磁场磁感应强
度大小为B，已知 ，则该段导线受到地磁场的安培力大小为（ ）
A．BId B．1.6BId C．0.8Bld D．
【答案】D
【详解】导线CD段受到的安培力大小
AC段受到的安培力大小
因此受到的安培力的合力
故选D。
6.（2023·河南·校联考三模）中国的电磁炮研究水平处于世界第一梯队。如图所示为某种电磁炮的设计原理
示意图，电源电动势为E，间距为l的两根倾斜导轨平行放置，轨道平面与水平面成 角，且处于垂直于导
轨平面向上的匀强磁场中，磁场的磁感应强度大小为B，导轨下端通过开关与电源连接。装有炮弹的导体棒 垂直放置在导轨上，其总质量为m，整个回路的总电阻为R，闭合开关后，弹体会在安培力的作用下
高速发射出去。某次实验中，弹体在离开电磁炮发射轨道之前已达到匀速，炮弹发射出去后，刚好水平击
中目标，忽略空气阻力和各处摩擦的影响，重力加速度为g，求：
（1）弹体在导轨上运动的最大加速度；
（2）目标距离炮口的水平距离为多大。
【答案】（1） ；（2）
【详解】（1）导体棒 刚要运动时，回路内的电流最大，安培力最大，则有
由牛顿第二定律可得
解得
（2）炮弹匀速运动时，有
根据欧姆定律得
联立可得
炮弹发射出去后做斜抛运动，在竖直方向有
在水平方向有联立解得
题型三 安培力作用下导体的平衡问题
【典例分析1】（2023上·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）如图甲所示， PQ 和MN为水平、平行
放置的两金属导轨， 两导轨相距 导体棒ab垂直于导轨放在导轨上，导体棒和导轨间的动摩擦因数
导体棒的中点用细绳经滑轮与物体相连，细绳的一部分与导轨共面且平行，另一部分与导轨所在平
面垂直， 物体放在水平面上，匀强磁场的磁感应强度为 B=0.5 T，方向竖直向下，开始时绳子刚好拉直。
现给导体棒中通入电流，使导体棒向左做加速运动，物体运动的加速度大小与导体棒中通入的电流大小关
系如图乙所示，重力加速度大小为 ，求：
（1）导体棒中电流的方向和开始运动时的安培力大小；
（2）物体和导体棒的质量分别为多少？
【答案】（1）a到b，2N；（2）0.1kg，0.5kg
【详解】（1）要保持导体棒向左运动，则安培力方向必须水平向左，则根据左手定则判断得知棒中电流
的方向为由a到b。
由图可知导体棒将要运动时的电流为I=2A，则安培力
0
F=BIL=2N
0 0
（2）导体棒向左加速运动时
即
由图像可知当I=2A时a=0，则
解得
M=0.5kg
m=0.1kg
【提分秘籍】
1．安培力
公式F＝BIL中安培力、磁感应强度和电流两两垂直，且L是通电导线的有效长度．
2．通电导线在磁场中的平衡问题的分析思路
(1)选定研究对象；
(2)变三维为二维，如侧视图、剖面图或俯视图等，并画出平面受力分析图，其中安培力的方向要注意F
安
⊥B、F ⊥I，如图所示．
安
(3)列平衡方程或牛顿第二定律方程进行求解．
【突破训练】
1.（2023上·重庆沙坪坝·高三重庆南开中学校考期中）电流天平可以测量匀强磁场的磁感应强度。它的右
臂竖直挂着矩形线圈，匝数为n，线圈的水平边长为l，处于匀强磁场内，磁感应强度B的方向垂直线圈平
面向里。当没有通电时，调节砝码使两臂达到平衡。当线圈中通过如图所示方向的电流I时，要使两臂重
新达到平衡，在某一盘中增加了质量为m的砝码。重力加速度大小为g，下列说法正确的是（ ）A．增加的砝码在左盘中，匀强磁场的磁感应强度大小为
B．增加的砝码在左盘中，匀强磁场的磁感应强度大小为
C．增加的砝码在右盘中，匀强磁场的磁感应强度大小为
D．增加的砝码在右盘中，匀强磁场的磁感应强度大小为
【答案】A
【详解】当线圈中通过如图所示方向的电流I时，线圈受安培力向下，要使两臂重新达到平衡，在左盘中
增加砝码
匀强磁场的磁感应强度大小为
故选A。
2．（2023上·江西·高三校联考阶段练习）如图所示，倾角为θ=37°的粗糙斜面上有一个长度为L、质量为
m的通电直导线，其电流为I（可调），方向垂直纸面向里。整个空间分布有竖直向上的磁感应强度为B
的匀强磁场，导线与斜面间的动摩擦因数μ=0.5（最大静摩擦等于滑动摩擦力）。若导线能在斜面上静止
不动，则下列电流值不能满足条件的是（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】通过通电导线在斜面上受重力、弹力、摩擦力和安培力作用下的平衡问题，考查科学思维能力。
【详解】对导线进行受力分析，若摩擦力沿斜面向上，如图甲所示
则有
解得
若摩擦力沿斜面向下，如图乙所示
则有
解得
能使导线在斜面上静止的电流范围为
故选A。
3．（2023上·上海浦东新·高三校考期中）如图所示，一个宽 的“U”型绝缘导轨与水平面成37°
倾角固定放置。导轨区域内存在竖直向下的匀强磁场，磁感应强度 。一根质量为0.10kg的金属棒垂直放置在导轨上，棒上通有 的电流。金属棒静止，棒与导轨之间的最大静摩擦力为2.0N，
，则（ ）
A．若增大电流，导轨对金属棒的支持力也增大
B．此时导轨对金属棒的支持力大小为0.8N
C．若增大磁感应强度，导轨对金属棒的摩擦力先变小后变大
D．此时导轨对金属棒的摩擦力大小为1.4N
【答案】D
【详解】AB．对金属棒受力分析，如图所示，根据左手定则可知其所受安培力水平向右，大小为
导轨对金属棒的支持力大小为
若增大电流，则安培力增大，支持力减小，故AB错误；
CD．根据平衡条件可得导轨对金属棒的摩擦力大小为
<2.0N
若增大磁感应强度，则安培力增大，导轨对金属棒的摩擦力会变大，故C错误，D正确；
故选D。
4.（2023上·重庆沙坪坝·高三重庆南开中学校考期中）如图所示，水平导轨间距为 ，导轨电阻忽略不计；导体棒ab的质量 ，导轨间有效电阻 ，与导轨接触良好；电源电动势 ，
内阻 ，电阻 ；外加匀强磁场的磁感应强度 ，方向垂直于导轨平面向上；ab与导轨间
动摩擦因数为 （设最大静摩擦力等于滑动摩擦力），定滑轮摩擦不计，线对ab的拉力为水平方向，
取重力加速度 ，ab处于静止状态。已知sin53°=0.8，cos53°=0.6。求：
（1）ab受到的安培力；
（2）重物重力G的最大值。
【答案】（1）2.5N，方向水平向左；（2）7.5N
【详解】（1）电路的电流
ab受到的安培力
方向水平向左。
（2）ab受到的最大静摩擦
根据平衡可知，摩擦力方向向左时，重物重力最大
对重物可知
题型四 带电粒子在有界匀强磁场中的运动
【典例分析1】（2023·河南开封·校考模拟预测）虚线OM和虚线ON之间的夹角为30°，如图所示，虚线OM上方存在方向垂直于纸面向里的匀强磁场。一带负电的粒子沿纸面以大小为v的速度从O点右侧距离
为L的A点向左上方射人磁场，速度与OM成30°角。已知该粒子在磁场中的运动轨迹与ON只有一个交点，
并从OM上另一点射出磁场，不计重力。则粒子在磁场中做圆周运动的半径为（ ）
A． B． C．2L D．3L
【答案】A
【详解】
轨迹与 相切，画出粒子的运动轨迹如图所示，由于
故 为等边三角形，则
而
则
故 为一直线，则
解得
故A正确，BCD错误。故选A。
【典例分析2】（2023上·江苏南通·高三统考期中）在 平面的 的区域内存在垂直纸面向里的匀
强磁场，速率相等的大量电子从原点 均匀发射到第一象限内，从磁场右边界射出的电子数占电子总数的
三分之二，不计电子间相互作用，则电子在磁场中的临界轨迹可能正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】根据洛伦兹力提供向心力可得
可知速率相等的大量电子的运动半径也相等，可知从原点 均匀发射到第一象限内，从磁场右边界射出的
电子数占电子总数的三分之二，可得可以从磁场右边界射出的电子的发射角度范围有
则根据电子的偏转轨迹和几何关系可得能从右边界射出的电子的发射角度在 ；
故选D。
【典例分析3】（2023下·福建漳州·高三校考期中）如图所示，圆形区域内存在着垂直于纸面向外的匀强
磁场，比荷相同的两个粒子沿直径AB方向从A点射入磁场中，分别从圆弧上的P、Q两点射出，下列说法正确的是（ ）
A．两粒子分别从A到P、Q经历时间之比为3∶1
B．粒子在磁场中做匀速圆周运动周期之比为2∶1
C．粒子在磁场中速率之比为1∶3
D．粒子在磁场中运动轨道半径之比为3∶1
【答案】D
【详解】AB．做出带电粒子运动轨迹如图所示
根据几何关系可知，到达Q点的粒子在磁场中转过的角度为 ，到达P点的粒子在磁场中转过的角度为
，而粒子在磁场中做圆周运动的周期
比荷相同且在同一磁场中做圆周运动，因此周期相同，则可得可得
故AB错误；
C．设圆形磁场的半径为R，根据几何关系可得
解得
而根据
可得
故C错误，D正确。故选D。
【典例分析4】（2023上·广东广州·高三仲元中学校考阶段练习）如图所示，正方形容器处于匀强磁场中，
一束电子从孔a垂直于磁场沿ab方向射入容器中，一部分从c孔射出，一部分从d孔射出，容器处于真空
中，则下列结论中正确的是（ ）
A．从两孔射出的电子速率之比
B．从两孔射出的电子速率之比
C．从两孔射出的电子在容器中运动的时间之比D．从两孔射出的电子在容器中运动的时间之比
【答案】A
【详解】AB．设正方形的边长为 ，从a孔射入，经c，d两孔射出的粒子的轨道半径分别为
，
根据洛伦兹力提供向心力有
可得
从两孔射出的电子速率之比为
故A正确，B错误；
CD．经c孔射出的粒子在磁场中运动的时间为
经c孔射出的粒子在磁场中运动的时间为
从两孔射出的电子在容器中运动的时间之比为
故CD错误。
故选A。
【提分秘籍】
1.处理带电粒子在磁场中运动问题的方法
(1)解决带电粒子在磁场中做圆周运动问题的一般思路
①找圆心画轨迹；
②由对称找规律；
③寻半径列算式；
④找角度定时间。
(2)处理该类问题常用的几个几何关系
①四个点：分别是入射点、出射点、轨迹圆心和入射速度直线与出射速度直线的交点；②三个角：速度偏转角、圆心角、弦切角，其中速度偏转角等于圆心角，也等于弦切角的两倍。
(3)时间的求解方法
①根据周期求解，运动时间t＝T＝；
②根据运动弧长和速度求解，t＝＝。
2.处理带电粒子在有界磁场中运动问题的方法技巧
(1)解答有关运动电荷在有界匀强磁场中的运动问题时，我们可以先将有界磁场视为无界磁场，假设粒子能
够做完整的圆周运动，确定粒子做圆周运动的圆心，作好辅助线，充分利用相关几何知识解题。
(2)对称规律解题法
①从直线边界射入的粒子，又从同一边界射出时，出射速度与边界的夹角和入射速度与边界的夹角相等(如
图甲所示)。
②在圆形磁场区域内，沿径向射入的粒子，一定沿径向射出(如图乙所示)。
(3)解决带电粒子在磁场中运动的临界问题，关键在于运用动态思维，寻找临界状态(一般是粒子运动轨迹
与磁场边界相切或轨迹半径达到最大)，常用方法如下：
①动态放缩法：定点粒子源发射速度大小不同、方向相同、比荷和电性都相同的粒子，速度越大半径越大，
圆心在垂直初速度方向的直线上。
②旋转平移法：定点粒子源发射速度大小相等、方向不同、比荷和电性都相同的粒子，运动轨迹的圆心在
以入射点为圆心、半径为R＝的圆周上。
【突破训练】
1.（2023上·云南·高三云南省下关第一中学校联考阶段练习）如图所示，矩形ABCD区域内有垂直于纸面
向里的匀强磁场，磁场的磁感应强度大小为B，AB边长为d，BC边长为2d，O是BC边的中点，E是AD
边的中点。在О点有一粒子源，可以在纸面内向磁场内各个方向射出质量均为m、电荷量均为q的相同电
性的带电粒子，粒子射出的速度大小相同。速度方向与OB边的夹角为60°的粒子恰好从E点射出磁场，不
计粒子的重力，则（ ）
A．粒子带正电B．粒子运动的速度大小为
C．粒子在磁场中运动的最长时间为
D．磁场区域中有粒子通过的面积为
【答案】D
【详解】A．速度方向与OB的夹角为60°的粒子恰好从E点射出磁场，由粒子运动的轨迹，根据左手定则
可判断，粒子带负电。故A错误。
B．由此粒子的运动轨迹结合几何关系可知，粒子做圆周运动的半径
r=d
由牛顿第二定律，有
则粒子运动的速度大小为
故B错误。
C．由于粒子做圆周运动的速度大小相同，因此在磁场中运动的轨迹越长，时间越长，分析可知，粒子在
磁场中运动的最长弧长为四分之一圆周，因此最长时间为四分之一周期，即最长时间为
故C错误。
D．由图
可知磁场区域有粒子通过的面积为图中AOCDA区域的面积，即为故D正确。
故选D。
2．（2023·黑龙江·校联考模拟预测）如图所示，在无限长直边界CD的右侧存在垂直纸面向里的匀强磁场，
磁感应强度大小为B，无限大挡板EF平行于CD放置，与CD相距为d，带电粒子达到挡板时能够被挡板
吸收，在A处有一粒子源能够在纸面内持续发射速度大小相等的电子。当电子在纸面内沿AO方向垂直匀
强磁场边界射入时，恰好未被EF吸收。已知电子的质量为m，电荷量为e，不计电子重力及电子间的相互
作用。若磁感应强度大小变为原来的一半，电子速度方向缓慢从AO沿顺时针旋转到AD时，在挡板上能
够吸收到电子的长度为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】ABCD．电子垂直边界射入，恰好未被EF吸收，其运动轨迹如图甲所示，由几何关系可知电子做
圆周运动的半径为d，根据
可知，当磁感应强度变为原来的一半时，电子在磁场中做圆周运动的半径变为2d，速度方向改变时，电子
能够打到挡板上，临界的运动轨迹如图乙所示，能够吸收到电子的区域为GH，由几何关系可得B正确，ACD错误。
故选B。
3.（2023上·河北石家庄·高三石家庄实验中学校考期末）如图所示，两个匀强磁场的方向相同，磁感应强
度分别为 、 ，虚线MN为理想边界。现有一个质量为m、电荷量为e的电子以垂直于边界MN的速度
v由P点沿垂直于磁场的方向射入磁感应强度为 的匀强磁场中，其运动轨迹为图中虚线所示的心形图线，
以下说法正确的是（ ）
A．电子的运动轨迹为
B．电子运动一周回到P点所用的时间
C．
D．电子在 区域受到的磁场力始终不变
【答案】AC
【详解】A．由左手定则可知，电子在P点所受的洛伦兹力的方向向上，轨迹为
，故A正确；BC．电子在磁场中做匀速圆周运动有
解得
，
由图知 ，则
电子运动一周回到P点所用的时间为
故B错误、C正确；
D．电子在磁场中受洛伦兹力始终与速度垂直，方向时刻改变，故D错误。
故选AC。
4．（2023上·安徽·高三校联考期中）如图所示，在平面直角坐标系xOy第一象限的 区域内存在匀强
磁场，磁场方向垂直纸面向外。质量为m、电荷量为q的大量带电粒子先后以相同的速度沿平行于y轴正
方向从OA边各处射入磁场，运动中有些粒子能在边界AC上相遇，其中相遇粒子的入射时间差的最大值为
t。已知∠A=30°，不考虑各粒子之间的相互作用。下列判断正确的是（ ）
0
A．粒子一定带正电 B．粒子一定带负电
C．磁感应强度大小为 D．磁感应强度大小为
【答案】AD
【详解】AB．由于运动中有些粒子能在边界AC上相遇，因此带电粒子一定向顺时针方向偏转，根据左手定则可知，粒子一定带正电，故A正确，B错误；
CD．由于粒子入射速度相同，根据
可知粒子偏转半径相同，在边界AC上相遇的情形有多种，如下图
当相遇的两粒子运动轨迹的圆弧所对应的圆心角之差 最大时，两粒子的时间差最大，由于
所以 为等腰三角形，由几何关系可得
又
可得
可得 最大时， 最大，而当两粒子相遇点B为左边粒子轨迹与AC的切点时， 最大，如下图
由于∠A=30°，则此时 为等边三角形，可得
故
故
而
联合解得
故C错误，D正确。
故选AD。
5．（2024·全国·高三专题练习）如图所示，边长为L的等边三角形区域ACD内、外的匀强磁场的磁感应
强度大小均为B、方向分别垂直纸面向里、向外。三角形顶点A处有一质子源，能沿∠A的角平分线发射
速度大小不等、方向相同的质子（质子重力不计、质子间的相互作用可忽略），所有质子恰能通过D点，
已知质子的比荷 ，则质子的速度可能为（ ）A． B．BkL
C． D．
【答案】ABD
【详解】质子可能的运动轨迹如图所示
由几何关系可得
2nRcos60°＝L（n＝1，2，…）
由洛伦兹力提供向心力，则有
联立解得
故选ABD。
6．（2023上·贵州黔东南·高三统考期中）粒子物理研究中使用的一种球状探测装置横截面的简化模型如图
所示。内圆区域有垂直纸面向里的匀强磁场，外圆是探测器。两个粒子先后从P点沿径向射入磁场，粒子
1沿直线通过磁场区域后打在探测器上的M点。粒子2经磁场偏转后打在探测器上的N点。装置内部为真
空，忽略粒子重力及粒子间相互作用力。下列说法正确的是（ ）
A．粒子2带负电
B．若减小磁场的磁感应强度，粒子1有可能打在Q点
C．若减小磁场的磁感应强度，粒子2有可能打在Q点D．若有一粒子3以和粒子2相同的速度从P点射入磁场，恰好打在Q点，则粒子3比荷小于粒子2比荷
【答案】CD
【详解】A．根据左手定则，粒子2带正电，A错误；
BC．根据
得
若减小磁场的磁感应强度，粒子2的运动半径增大，有可能打在Q点；而粒子1做直线运动，不带电，不
会改变运动轨迹，B错误，C正确；
D．速度相同，则
粒子3的运动半径更大，则粒子3比荷小于粒子2比荷，D正确。
故选CD。
7．（2024·全国·模拟预测）如图所示，宽度为 的有界匀强磁场，磁感应强度为 ， 和 是它的两
条边界。现有质量为 ，电荷量的绝对值为 的带电粒子以 方向射入磁场。要使粒子不能从边界
射出，则粒子入射速度 的最大值可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【详解】题目中只给出粒子“电荷量的绝对值为 ”，未说明是带哪种电荷。如图所示若 为正电荷，轨迹是如图所示的左方与 相切的 圆弧，轨道半径 ，又
得
若 为负电荷，轨迹如图所示的右方与 相切的 圆弧，则有
得
则粒子入射速度 的最大值可能是 （ 为正电荷）或 （ 为负电荷）。
故选BD。
8．（2023·广东中山·高三中山市华侨中学校考阶段练习）地磁场能抵御宇宙射线的侵入，赤道剖面外地磁
场可简化为包围地球一定厚度的匀强磁场，方向垂直该剖面，图中给出了速度在图示平面内，从O点沿平
行与垂直地面两个不同方向入射的a、b、c三种带电粒子（不计重力）在地磁场中的三条运动轨迹，其中，
a、c入射速度方向与地面平行，b入射速度方向与地面垂直，且它们都恰不能到达地面。则下列相关说法
中正确的是（ ）
A．沿a粒子带负电
B．若a、c粒子比荷相同，则c粒子的速率更大C．若a、b粒子比荷相同，则从O运动至与地面相切，a粒子的运动时间比b长
D．若a粒子速率不变，在图示平面内只改变a粒子射入的速度方向，粒子可能到达地面
【答案】ABC
【详解】A．由左手定则可知，沿a粒子带负电，选项A正确；
B．因c的轨道半径较大，根据
可得
则若a、c粒子比荷相同，则c粒子的速率更大，选项B正确；
C．若a、b粒子比荷相同，根据
可得
则从O运动至与地面相切，a粒子转过的圆心角比b大，则a的运动时间比b长，选项C正确；
D．若a粒子速率不变，则粒子的轨道半径不变，因粒子到达的最远点恰能与地面相切，则在图示平面内
只改变a粒子射入的速度方向，粒子不可能到达地面，选项D错误。
故选ABC。
9．（2024·全国·高三专题练习）如图所示，边长为L的正方形abcd区域内分布磁感应强度大小为B、方向
垂直于纸面向里的匀强磁场。从ab边的中点P处发射速率不同、质量为m、电荷量为q的带正电粒子，粒
子沿纸面与Pb成 的方向射入该磁场区域，不计粒子的重力及粒子间的相互作用。
（1）若带电粒子垂直于ad边射出磁场，求该粒子的运动时间；
（2）求ab边界有粒子离开磁场的区域长度；
（3）若粒子离开磁场时的速度方向偏转了60°，求该粒子的速度大小。【答案】（1） ；（2） ；（3）
【详解】（1）如图
该粒子的圆心角为 ，则运动时间为
（2）如图，粒子运动轨迹与ad相切，该粒子的运动半径为 ，由几何关系， 有
ab边界有粒子离开磁场的区域长度，即弦长为
得
（3）若速度方向偏转了60°，则粒子从cd中点射出磁场，圆心角为60°，弦长为L，则半径长为L。根据
得10．（2023上·浙江宁波·高三校联考期中）如图所示，P点是位于纸面内的质子源，它可以向各个方向均
匀发射速率相同的质子，在P点下方放置有长度为 以O为中点的探测板，P点离探测板的垂直距
离OP为a，在探测板的上方存在方向垂直直面向里，磁感应强度大小为B的匀强磁场。不考虑粒子间的相
互作用，质子的电荷量 。若质子的质量 ，质子的动量 。
（1）当 ， 时，求计数率 （即打到探测板上的质子数与总质于数的比值）。
（2）当 ， 时，求质子从质子源出发到探测板上运动的最长时间；
（3）若a取不同的值，可通过调节B的大小获得与（1）问中同样的计数率，求B与a的关系并给出B的
取值范围。
【答案】（1） ；（2） ；（3） ；
【详解】（1）根据洛伦兹力提供向心力
可得
质子运动半径运动轨迹如下图
由几何关系可知，当P点的质子出射速度方向由竖直向上逆时针旋转为竖直向下的过程中，质子将打到
探测板上，故能够打在探测板上的角度为可得计数率为
（2）由图可知，竖直向上的粒子运动时间最长，为
（3）由（1）中分析可知，在确保计数率相同的情况下，只要满足
结合（1）中半径公式可得
若刚好打到探测板最左端时为粒子运动所允许的最大半径，如下图
由几何关系可得
解得
由于
可得
结合B与a的关系可得
11.（2023·四川成都·校联考模拟预测）如图所示，竖直平行边界MN、PQ之间有垂直纸面向里的匀强磁场，
磁感应强度大小为B，两边界间距为d，边界MN上A点有一粒子源，可沿纸面内任意方向射出完全相同的质量为m、电荷量为q的带正电的粒子，粒子射出的速度大小均为 ，若不计粒子的重力及粒子间
的相互作用，求：
（1）从PQ边射出的粒子在磁场中运动的最短时间；
（2）粒子能从PQ边界射出的区域长度。
【答案】（1） ；（2）
【详解】（1）由于粒子的速率相同，故粒子在磁场中做圆周运动的半径相同，有
代入数据，解得
要使粒子在磁场中运动的时间最短，则圆的弦应最短，即从C点（AC垂直边界）射出的粒子运动时间最
短，如图甲所示。
设圆心在 位置，则粒子在磁场中运动的圆心角为60°，则粒子做圆周运动的周期为
故最短时间为（2）当粒子的速度方向沿AN方向时，设粒子的轨迹与边界PQ交于E点；当粒子的速度方向垂直于AN
时，设粒子的轨迹与边界PQ相切交于F点。则EF间距为粒子从PQ边界射出的区域长度，如图乙所示。
轨迹过E点时，圆心在C点，则有
轨迹与PQ相切于F点时，圆心在 点，有
故粒子从PQ边界射出的区域长度为 。
12．（2023上·湖南长沙·高三长郡中学校联考阶段练习）我国神舟十七号载人飞船已于2023年10月26日
成功发射，中国空间站迎来新一批宇航员。如图（a）是一种防止宇宙射线危害宇航员的装置，在航天器
内建立半径分别为R和 的同心圆柱，圆柱之间加上沿轴线方向的磁场，其横截面如图（b）所示。宇
宙射线中含有大量的质子，若质子沿各个方向运动的速率均为 ，质子的电荷量为e、质量为m。
（1）若设置磁感应强度大小使得正对防护区圆心入射的质子恰好无法进入防护区，求这种情况下磁感应
强度的大小 及质子在磁场中运动的时间t。
（2）假如入射质子的速度与磁场方向垂直，那么要使沿各个方向入射的质子都无法进入防护区，则磁感
应强度B应满足的条件。
【答案】（1） ， ；（2）
【详解】（1）若正对防护区圆心入射的质子，恰好无法进入防护区，设带电粒子的轨迹半径为r，粒子运
动轨迹如图由几何关系得
解得
由洛伦兹力提供向心力得
解得磁感应强度的大小
由
解得
带电粒子在磁场中的轨迹对应的圆心角为
质子在磁场中运动的时间
（2）为使所有速度为v 的粒子都不进入防护区，半径最大的粒子轨迹如图
0则粒子的半径最大为
由洛伦兹力提供向心力
解得磁感应强度最大值
则磁感应强度的大小应该满足的条件为
