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人教A版数学--高考解析几何复习专题四
知识点一 根据a、b、c求椭圆标准方程,求椭圆的离心率或离心率的取值范围,求椭
圆的切线方程,椭圆中三角形（四边形）的面积
典例1、已知椭圆 ，其离心率为 ，若 ， 分别为C的左、右
焦点，x轴上方一点P在椭圆C上，且满足 ， ．
（1）求C的方程及点P的坐标；（2）过点P的直线l交C于另一点Q（点Q在第三象
限），点M与点Q关于x轴对称，直线PM交x轴于点N，若 的面积是 的面
积的2倍，求直线l的方程．
随堂练习：已知椭圆 的内接正方形的面积为 ，且长轴长为4．
（1）求C的方程．（2）直线l经过点 ，且斜率大于零．过C的左焦点 作直线l
的垂线，垂足为A，过C的右焦点 作直线l的垂线，垂足为B，试问在C内是否存在
梯形 ，使得梯形 的面积有最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，
请说明理由．典例2、已知椭圆 ，由E的上､下顶点，左､右焦点构成一个边长为
的正方形.
（1）求E的方程；（2）过E的右焦点F做相互垂直的两条直线 ， ，分别和E交点
A，B，C，D，若由点A，B，C，D构成的四边形的面积是 ，求 ， 的方程.
随堂练习：已知椭圆 的右焦点 与抛物线 的焦点重合．
（1）求椭圆 的离心率与抛物线 的方程；（2）过焦点 的动直线与抛物线 交于 ，
两点，从原点 作直线 的垂线，垂足为 ，求动点 的轨迹方程；（3）点为椭圆 上的点，设直线 与 平行，且直线 与椭圆 交于 ， 两点，若
的面积为1，求直线 的方程．
典例3、已知椭圆 ： 的短轴长为2，离心率为 ．
（1）求椭圆 的标准方程；（2）如图，点 为椭圆 的上顶点，过点 作互相垂直的
两条直线 （ 的斜率为正数）和 ，直线 与以短轴为直径的圆 和椭圆 分别相交
于点 ， ，直线 与圆 和椭圆 分别相交于点 ， ，且 的面积是 面
积的 倍，求直线 和 的方程．随堂练习：设椭圆 的离心率为 ，且经过点 ．
（1）求椭圆 的标准方程；（2）设直线 与椭圆 交于 ， 两点， 是坐标原点，分
别过点 ， 作 ， 的平行线，两平行线的交点刚好在椭圆 上，已知 ，
的面积为 ，求直线 的方程．
知识点二 求椭圆中的最值问题
典例4、已知椭圆 ： 经过点 ，且短轴的两个端点与右焦点
构成等边三角形.
（1）求椭圆 的方程；（2）设过点 的直线 交椭圆 于 ､ 两点，求 的取值范围.
随堂练习：已知椭圆 ，经过拋物线 的焦点 的直
线 与 交于 两点， 在点 处的切线 交 于 两点，如图.
（1）当直线 垂直 轴时， ，求 的准线方程；
（2）若三角形 的重心 在 轴上，且 ，求 的取值范围.典例5、已知椭圆 的焦距为 ，且过点
（1）求椭圆的方程；（2）若点 是椭圆的上顶点，点 在以 为直径的
圆上，延长 交椭圆于点 ， 的最大值.
随堂练习：如图，点P为抛物线 与椭圆 在第一象限的交点，过抛
物线焦点F且
斜率不为0的直线l与抛物线交于A，B两点，连接 交椭圆E于点C，连接 交椭
圆E于点D，记直线 的斜率分别为 ．
（1）求点P的坐标并确定当 为常数时 的值；（2）求 取最大值时直线
l的方程．典例6、如图，已知椭圆 的离心率为 ，且过点 .
（1）求椭圆 的标准方程；（2）过左焦点 且斜率为正的直线 与椭圆 交于 、 两
点，过点 、
分别作与直线 垂直的直线，交 轴于 、 两点，求 的最小值.人教A版数学--高考解析几何复习专题四答案
典例1、答案： （1） ； （2）
解：（1）因为 ，所以 ，且 ．
又 ，所以 ，
即 ，即 ，所以 ，
又离心率 ，所以 ， ，所以 ， 所以椭圆方程为
．
（2）∵ ，又∵ ，∴ ，∴P点的坐
标为 ．
依题意直线l的斜率存在，设直线l的方程为 ，
由 消去y整理 ，解得 或 ，
所以Q点坐标为 ， 从而M点坐标为 ，
所以直线PM的方程为 ， 则N点的坐标为 ，因为 的面积是 的面积的2倍，点Q在第三象限， 所以
，
即 ，解得 （舍负），
所以满足条件的直线l的方程为 ， 即： ．
随堂练习：答案：（1） （2）存在；
解：（1）设C的内接正方形的一个端点坐标为 ， 则 ，解得 ，
则C的内接正方形的面积为 ，
即 ．又 ，所以 ，
代入 ，解得 ，故C的方程为 ．
（2）存在梯形 ，其面积的最大值为 ． 理由如下：设直线
， ．
因为直线l经过点 ，所以 ， 所以点 到直线l的距离为
，
点 到直线l的距离为 ，
所以梯形 的面积 （ 为直线l的倾斜角），
所以 ， 当且仅当 时，等
号成立，
此时，直线 ，直线 ，联立这两条直线的方程，解得 ， 因为
，
所以点 在C的内部. 同理可证： 也在C的内
部.
故在C内存在梯形 ，其面积的最大值为 ．
典例 2、答案： （1） （2） 与 的方程分别为： ，
解：（1）由已知， ， ，所以E的方程为 .
（2）又题意中， ，
①若 或 斜率不存在，易知 ，不符合题
意；
②若 斜率存在，设 ，和 的方程联立得：
， ， ，
，
设 ，同理可得 ，
所以
解得 ， ，所以 与 的方程分别为： ， ，
随堂练习：答案： （1）离心率为 ；抛物线 的方程为（2） （3）
解：（1）因 ， ，故 ，从而椭圆 的离心率为 ．
且椭圆 的右焦点 坐标为 ．
于是由椭圆 的右焦点 与抛物线 的焦点重合，得 ，即 ．
从而抛物线 的方程为 ．
（2）设动点 的坐标为 ，由条件 ，且点 ， 在直线 上，可得
．
于是 ． 即 ．
故动点 的轨迹方程为： ．
（3）由于 ，设直线 方程为 ， ， ．
由 得 ，故 ．
则 ． 又点 到直线 的距离
，
故由 ，
解得 ，从而 ．因此，直线 的方程为 ．
典例3、答案： （1） （2） ， 或
，解：（1）根据题意可得 解得 椭圆 的标准方程
（2）圆 设 ，则
设 ， ， ，
则 ，同理可得： ，
，
∵ 的面积是 面积的 倍，则
代入整理得：
联立方程 ，得 或 ，即 ，同理
联立方程 ，得 或 ，即 ，同理
代入可得： ，解得 或
当 时，直线 ， ；
当 时，直线 ，
随堂练习：答案：（1） （2）
解：（1）设椭圆 的半焦距为 ，因为椭圆 的离心率为 ，所以 ．①
又椭圆 经过点 ，所以 ．②结合 ，③由①②③，解得 ． 故椭圆 的标准方程是
．
（2）①当直线 的斜率不存在时，不妨设 ，
根据对称性知两平行线的交点在 轴上，又交点刚好在椭圆 上，
所以交点为长轴端点，则满足条件的直线的方程是 ．
此时点 或 ；
直线 的斜率不存在不成立
②当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为 ．
将直线 代入椭圆方程得 ，
则 ， ，
．
不妨设两平行线的交点为点 ，则 ，故点 的坐标为
．
因为点 刚好在椭圆 上，所以 ，
即 ． 此时 ，
则 ．
设点 到直线 的距离为 ，则 ．
所以 ，即 ，解之得： 或 ，
当 时， ，当 时， （舍），所以，直线 的方程
典例4、答案： （1） （2）
解：（1）由题意，椭圆短轴的两个端点与右焦点构成等边三角形 故 ，
即椭圆 ： ，代入 可得
故椭圆 的方程为：
（2）分以下两种情况讨论：
①若直线 与 轴重合，则 ；
②若直线 不与 轴重合，设直线 的方程为 ，设点 、 ，
联立 ，消去 可得 ， 则
恒成立，
由韦达定理可得 ， ，
由弦长公式可得，
，则 ，所以， .
综上所述， 的取值范围是 .
随堂练习：答案：（1）x=-1； （2）
解：（1）由 知， ， 当直线PF垂直于x轴时，由 ，得
，
有 ， 所以 的准线方程为： ，即 ；
（2）由题意知， ，设直线 ， ，
则 ， ，
，
由 ，即直线PB的斜率为 ，
所以直线PB的方程为： ，即 ，，
，又G为 的重心，且G在x轴上，故 ，
所以 ，又 ，所以 ，
整理，得 ，解得 ，
①，令 ，则 ，
所以①式 ②，
令 ，则 ， 所以②式
，
故 的取值范围为 .
典例5、答案：（1） ；（2） .解：（1）根据题意，椭圆 的焦距为 ，且过点 ， 可知 ，
，则 ，
， ， 所以椭圆的方程为 ；
（2）可得 ， ，则 ，则以 为直径的圆，圆心为 ，
半径为 ，
以 为直径的圆方程为 ， 即： ，
点 ，由于延长 交椭圆于点 ，则点 在直线 上，
可知直线 的斜率 存在，且 ， 则设直线 的方程为 ，设
，
联立直线和圆的方程 ，得 ， 解得：
，
可得 ，
联立直线和椭圆的方程 ，得 ， 解得： ，可得 ， 则
，
可知 ，设上式为 ， 即有 ， ，
，即为 ， 解得： ， 则 的最大值为
.
随堂练习：答案： （1） ， （2）
解：（1）由 得 ． 设直线l的方程为 ．
由 得 ，由韦达定理得 ．
又 ，同理可得 ，
则
所以当 时， 为常数．
（2）由（1）知， ．设直线 的方程分别为 ．
由 得 ，
由韦达定理得 ，解得 ，
代入直线 的方程得 ，同理可得 ．
又由（1）知， ，得 ．
所以
．
所以 ，令 ，
则 ，当且仅当 时，等号成立，
此时直线l的方程为 ．
典例6、答案：（1） ；（2）最小值是 .
解:（1）由题意 ，解得 ，因此，椭圆 的标准方程为 ；（2）设点 、 ，设直线 的方程为 ，
由 得 ， ，
由韦达定理可得 ， ，
直线 的方程为 ，令 得 ，
同理 ， 所以 ，
令 ，则 ，
当且仅当 时，即当 时， 取最小值 .
