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人教A版数学--解三角形专题六
知识点 正弦定理解三角形,正弦定理边角互化的应用,三角形面积公式及其应用,
余弦定理解三角形
典例1、在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 ．
（1）求角C的大小；（2）若______， ，求b的值．
在① ，②sinA＝3sinB，这两个条件中，任选一个，补充在问题中，并加以解
答．
随堂练习：从① ；② ；③ 中任选两个作为条件，
另一个作为（1）小题证明的结论．
已知锐角 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 ，________．
（1）证明：________；（2）求 的面积．
注：若选不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．典例2、在① ，② ，③ ．这
三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答．
在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且 ．
（1）求角 的大小；（2）若 的面积等于 ，求 的周长的最小值．
随堂练习：在① ，② 这两个条件中任选一
个，补充到下面问题中，并解答问题.
在 中，内角 ， ， 的对边长分别为 ， ， ，且___________.
（1）求角 的大小；
（2）若 是锐角三角形，且 ，求 的取值范围.
(注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分)典例3、在① ，其中 为角 的平分线 的长（ 与 交于点 ），②
，③ 这三个条件中任选一
个，补充在下面问题中，并解答.在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ，
， ，______.
（1）求角 的大小；（2）若 ， ， 为 的重心，求 的长.注：如果选
择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
随堂练习：在 中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且 ．
（1）求角B的大小；
（2）若 ，D为AC边上的一点， ，且______，求 的面积．①BD是 的平分线；②D为线段AC的中点．（从①，②两个条件中任选一个，补充
在上面的横线上并作答）．
人教A版数学--解三角形专题六答案
典例1、答案： （1） ； （2）选条件①，b＝3或b＝4；选条件②，b＝2.
解：（1）已知 ，所以
由余弦定理 ，所以
因为 ，所以 ；
（2）由（1）知
因为 ， ，即 ，
选条件①， ，则 ， ， 解得b＝3或b＝4；
选条件②，由 可得a＝3b， 所以 ，解得b＝2．随堂练习：答案： （1）答案见解析 （2）
解：（1）由正弦定理得 ， 所以 ，
又 ， 所以 ，
整理得 ， 故 ．
若选①③作为条件，②作为证明结论．
由 得 ，
由正弦定理得 ， 所以 ，
所以 ， 故 ．
若选②③作为条件，①作为证明结论．
由 得 ， 由正弦定理得 ，
又 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
由正弦定理得 ，所以 ， 又 ，故 ．
（2）由（1）知， ，两边平方得 ，由余弦定理得 ，所以 ， 所以 ，
解得 或 （舍去）．
故 的面积 ．
典例2、答案： （1） （2）
解：（1）选择① 时，由正弦定理角化边可得 ，
化简 ，由余弦定理可得 ,
因为 ， 所以 .
选择② 时，由正弦定理将边化角可得
即 ，
因为 ， 所以 ， 所以 ，
因为 ， 所以 .
选择③ 时，由正弦定理可得 ，
因为 ，所以 ,即 ，即 ，
因为 ， 所以
因为 ，所以 所以
（2）由面积公式 , ,
因为 ，当且仅当 时，取等号，所以 的最小值为4，
由余弦定理得 ，
所以 ，所以 ，
当且仅当 时，取等号，此时 的最小值为 ，
所以当且仅当 时， 取得最小值
即 周长最小值为 .
随堂练习：答案：（1） ；（2） .
解：（1）选条件①.
因为 ， 所以 ，
根据正弦定理得， ， 由余弦定理得， ，
因为 是 的内角， 所以 .选条件②， 因为 ，由余弦定理 ，
整理得 ， 由余弦定理得， ，
因为 是 的内角， 所以 .
（2）因为 ， 为锐角三角形，
所以 ， 解得 .
在 中， ，
所以 ，
即 ， 由 可得， ，
所以 ， 所以 .
典例3、答案：（1） ；（2） .
解:（1）方案一：选条件① .
由题意可得 ，∴ .∵ 为 的平分线， ，
，即
又 ，∴ ，即 ，
∵ ，∴ ， ∴ ，∴ .
方案二：选条件② .
由已知结合正弦定理得 ，
由余弦定理得 ，
∵ ，∴ .
方案三：选条件③ .
由正弦定理得， ，
又 ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
易知 ， ∴ ，∵ ，∴ .（2）在 中，由余弦定理可得， ，
∴ ，∴ .
延长 交 于点 ，
∵ 为 的重心，∴ 为 的中点，且 .
在 中，由余弦定理可得， ，
∴ ，∴ .
随堂练习：答案： （1） （2）
解：（1）由正弦定理知：
又：
代入上式可得：
，则 故有：
又 ，则 故 的大小为：（2）若选①： 由BD平分 得：
则有： ，即
在 中，由余弦定理可得：
又 ，则有：
联立 可得：
解得： （ 舍去） 故
若选②：
可得： ，
，可得：
在 中，由余弦定理可得： ，即
联立 解得： 故
