文档内容
4.1 切线方程（精练）（提升版）
题组一 斜率与倾斜角
1．（2022·河南·南阳中学）设函数 满足 ，则 （ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】A
【解析】因为 ， ， ，
所以 ，故选：A
2．（2022·山东）（多选）设点P是曲线 上的任意一点，P点处的切线的倾斜角为 ，则
角 的取值范围包含（ ）
A． B． C． D．
【答案】CD
【解析】 ， ，依题意： ， ，
∵倾斜角 的取值范围是 ，∴ ，故选：CD.
3．（2022·河南·郑州市第二高级中学）设点 是函数 图象上的任意一点，点 处
切线的倾斜角为 ，则角 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】 ， ， ， ，， .
点P是曲线上的任意一点，点P处切线的倾斜角为 ， .
， .故选：B.
4．（2022·全国·高三专题练习）已知 ，则曲线 在点
处的切线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】对 ，
求导可得， ，得到 ，所以，
，所以， ，
故选D
5．（2022·广东·佛山一中）已知点 是曲线 上一动点，当曲线在 处的切线斜率取
得最小值时，该切线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根据题意得， ，所以 ，当且仅当
时成立，所以该切线的倾斜角为： .故选：D.
6．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 是定义在R上的奇函数，且 ，则函数 的图象在点 处的切线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】 是奇函数，
恒成立，所以 ，
， ，所以 ， ，即 ，
．故选：A．
7．（2022·重庆市朝阳中学）（多选）如图， 是可导函数，直线 l： 是曲线 在
处的切线，令 ，其中 是 的导函数，则( )
A． B． C． D．
【答案】ACD
【解析】由图可知，f(3)＝1，故A正确；
(3，1)在y＝kx＋2上，故1＝3k＋2，故 ，故B错误；
，则 ，故C正确；
， ，故D正确.故选：ACD.题组二 “在型”的切线方程
1．（2022·河南省浚县第一中学）曲线 在 处的切线方程为（ ）
A．4x－y+8＝0 B．4x+y+8＝0
C．3x－y+6＝0 D．3x+y+6＝0
【答案】B
【解析】因为 ，所以 ，所以 ．
又当 时， ，故切点坐标为 ，所以切线方程为 ．故选：B.
2．（2022·河南）已知 ，则曲线 在点 处的切线方程为( )
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】∵ ，∴ ，
，∴ ，
∴y=f(x)在 处的切线方程为： ，即 ．故选：A．
3．（2022·山东枣庄·三模）曲线 在点 处的切线与直线 垂直，则 的值为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设 ，则 ，直线 的斜率为 ，
由题意可得 ，解得 .故选：C.4．（2022·江苏苏州·模拟预测）已知奇函数 在点 处的切线方程为
，则 （ ）
A． 或1 B． 或 C． 或2 D． 或
【答案】D
【解析】由 可得 ，
因为 ，所以 ，解得 .所以 ，故切线斜率 ，
又 ，所以 ，解得 或 ，
所以 或 .故选：D
5．（2022·安徽·蚌埠二中）已知定义域为 的函数 存在导函数 ，且满足
，则曲线 在点 处的切线方程可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】 的定义域为 ，由 可知， 是偶函数，
由 可知， 周期为4，
因为 ，故 关于 轴对称，
又因为 ，所以 也是 的对称轴，
因为 在 上存在导函数 ，所以 是 的极值点，即 ，曲线 在点 处的切线斜率为0，故切线方程可能为 .故选：B.
6．（2022·河南·南阳中学）若直线 与曲线 相切，直线 与曲线 相
切，则 的值为（ ）
A． B．1 C．e D．
【答案】B
【解析】设直线 与曲线 相切于点 ，
直线 与曲线 相切于点 ，则 ，且 ，所以 ，
，且 ，所以 ，
令 ， ，
当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，
且 ， ，所以当 时， ，
因为 ， ，即 ，所以 ，
所以 ，故 故选：B
7．（2022·江苏连云港）（多选）已知 ，直线 与曲线 相切，则下列不等式
一定成立的是（ ）A． B． C． D．
【答案】BCD
【解析】设切点为 ，因为 ，所以 ，得 ，所以 ，所以 ，
对于 A， ，所以 ，当且仅当 时，等号成立，故A不正确；
对于B， ，当且仅当 时，等号成立，故B正确；
对于C， ，当且仅当 ， 时，等号成
立，故C正确；对于D， ，
所以 ，当且仅当 ，又 ，即 时，等号成立.故选：BCD
8．（2022·安徽·蒙城第一中学）已知 为奇函数，且当 时， ，则曲线 在点
处的切线方程为__________.
【答案】
【解析】因为 为奇函数，且当 时， ，
当 时， ，
则 ，所以 且 ，
故切线方程为 ，即 .故答案为：
9．（2022·云南·一模）若曲线 在点 处的切线与直线 平行，则 __________.
【答案】
【解析】由题意知，令 ，则
， ，
，
所以点 在曲线 上，
，
，
， ，
，
所以 ，
又曲线在点 处的切线与直线 平行，
所以 ，得 .
故答案为： .
10．（2022·全国·高三专题练习）若曲线 在点 处的切线与曲线 相切于点 ，
则 __________.
【答案】【解析】 的导数为 ，可得曲线 在点 处的切线方程为 ，
的导数为 ，可得曲线 在点 处的切线的方程为 ，
由两条切线重合的条件，可得 ，且 ，
则 ，即有 ，
可得 ，则 .故答案为:
题组三 “过型”的切线方程
1．（2022·广东茂名）已知直线l为函数 的切线，且经过原点，则直线l的方程为
__________.
【答案】
【解析】设切点坐标为 ，所以直线l的斜率为 ，
所以直线l的方程为
又直线l过点 ，所以 ，整理得 ，解得 ，
所以 ，直线l的斜率 ，所以直线l的方程为 ，故答案为： .
2．（2022·四川成都）已知函数f（x）= x3－3x，则过点（1，－2）的切线方程为__________．
【答案】 和
【解析】由函数 ，则 ，
当点 为切点时，则 ，即切线的斜率 ， 所以切线的方程为 ，
当点 不是切点时，设切点 ，则 ，即 ，解得 或 （舍去），所以 所以切线的方程为 ，即 ．
故答案为： 和 ．
3．（2022·四川成都）过点 的直线l与曲线 相切，则直线l的斜率为___________.
【答案】3或
【解析】因为 ，所以 ， ，
当 为切点时， ，
当 不为切点时，设切点为 ， ，
所以 ，
所以切线方程为： ，
过点 ，所以
即 ，即 ，解得 或 （舍），
所以切点为 ，所以 ，综上所述：直线l的斜率为3或 ，故答案为：3或
4．（2022·广东·南海中学）函数 过原点的切线方程是_______.
【答案】 .
【解析】设切点为 ， ，则 ，
故切点为 的切线方程为 ，
又因此切线过原点，所以 ，解得 ，
所以函数 过原点的切线方程是 ，即 .故答案为： .题组五 切线或切点的数量
1．（2022·山东泰安）过曲线 外一点 作 的切线恰有两条，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】 ，过点 作曲线C的切线，
设切点 ，则切线方程为： ，
将 代入得：
即 （*） 由条件切线恰有两条，方程（*）恰有两根．
令 ， ，
显然有两个极值点 与 ，于是 或 当 时， ；
当 时， ，此时 经过 与条件不符，所以 ，
故选：A.
2．（2022·内蒙古呼和浩特）若过点 可以作三条直线与曲线C： 相切，则m的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设切点为 ,过点P的切线方程为 ,代入点P坐标，化简为
，即这个方程有三个不等根即可.
令 ,求导得： .令 ，解得： ，所以 在 上递增；令 ，解得： 或 ，所以
在 和 上递增.
要使方程 有三个不等根即可.
只需 ,即 .
故选：D
3．（2022·重庆·二模）已知曲线 及点 ，则过点 且与曲线 相切的直线可能有
（ ）
A．0条 B．1条 C．2条 D．3条
【答案】BC
【解析】因为 ，所以 ，
设切点 ， 在点 处的导数为 ，
根据导数的几何意义等于切线斜率，以及导数的比值定义式有：
整理得 ，所以 ，
①当 时， 可化为 ，由函数定义域知分母不为0， ，
所以只能解得 ，因此过 只能找到一条与曲线相切的直线；
②当 时， 可化为 ，
是关于 的二次方程， ，且两根之积为 ，所以所求根之中一定不含0，此时对任意 能够找到两个 满足条件.
综上所述，过点 且与曲线 相切的直线可能有1或2条.故选：BC.
4．（2022·福建漳州·二模）（多选）已知函数 ，则下列结论正确的是（ ）
A．曲线 的切线斜率可以是1
B．曲线 的切线斜率可以是
C．过点 且与曲线 相切的直线有且只有1条
D．过点 且与曲线 相切的直线有且只有2条
【答案】AC
【解析】因为函数 ，所以
A.令 ，得 ，所以曲线 的切线斜率可以是1，故正确；
B.令 无解，所以曲线 的切线斜率不可以是 ，故错误；
C. 因为 在曲线上，所以点 是切点，则 ，
所以切线方程为 ，即 ，所以过点 且与曲线 相切的直线有且只有1条，故正确；
D.设切点 ，则切线方程为 ，因为点 在切线上，所以 ，解得 ，
所以过点 且与曲线 相切的直线有且只有1条，故错误；
故选：AC
5．（2022·山东潍坊·三模）过点 有 条直线与函数 的图像相切，当 取最大值时，
的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【解析】由 ， ，故当 时， ， 单调递减，且 ；当
时， ， 单调递增，结合图象易得，过点 至多有3条直线与函数
的图像相切，故 .
此时，设切点坐标为 ，则切线斜率 ，所以切线方程为 ，
将 代入得 ，存在三条切线即函数 有三个不同的根，又
，易得在 上， ， 单调递增；在 和 上，
， 单调递减，画出图象可得当 ，即 时符合题意
故选：B
6．（2022·全国·模拟预测（理））过点 作曲线 的切线，当 时，切线的条数是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【解析】设切点为 ，
， 切线斜率 ，
切线方程为： ；
又切线过 ， ；
设 ，则 ，
当 时， ；当 时， ；
在 ， 上单调递减，在 上单调递增，
又 ， ， 恒成立，可得 图象如下图所示，
则当 时， 与 有三个不同的交点，
即当 时，方程 有三个不同的解， 切线的条数为 条.
故选：D.
7．（2022·全国·高三专题练习）若过点 可以作曲线 的两条切线，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【解析】
设切点坐标为 ，由于 ，因此切线方程为 ，又切线过点 ，则
， ，
设 ，函数定义域是 ，则直线 与曲线 有两个不同的交点，
，
当 时， 恒成立， 在定义域内单调递增，不合题意；当 时， 时， ，
单调递减，
时， ， 单调递增，所以 ，结合图像知 ，即 .
故选：D.
8．（2022·山东·菏泽一中高二阶段练习）若直线 与曲线 和 都相切，则直线 的条数有
（ ）
A． B． C． D．无数条
【答案】C
【解析】设直线 因为直线 与曲线 和 都相切所以对于曲线 ， ， ，切点
对于曲线 ， ， ，切点
因为公切线过A、B两点
所以
进而可得
令
因为 ， 均为增函数，又因为 ，
所以存在 使得 即
所以 在 时单调递减，在 单调递增，
又因为
所以
当 时，
因为 ，所以 所以在 内存在 使得直线 与曲线 和 都相切
当 时，
因为 ，所以 所以在 内存在 使得直线 与曲线 和 都相切所以综上所述，存在两条斜率分别为 的两条直线 与曲线 和 都相切
故选：C
9．（2022·重庆市育才中学高三阶段练习）若直线 （ ）为曲线 与曲线
的公切线，则l的纵截距 （ ）
A．0 B．1 C．e D．
【答案】D
【解析】设l与 的切点为 ，则由 ，有 .
同理，设l与 的切点为 ，由 ，有 .
故 解得 或 则 或 .
因 ，所以l为 时不成立.故 ，
故选：D.
10．（2021·全国·高考真题）若过点 可以作曲线 的两条切线，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】在曲线 上任取一点 ，对函数 求导得 ，
所以，曲线 在点 处的切线方程为 ，即 ，
由题意可知，点 在直线 上，可得 ，
令 ，则 .当 时， ，此时函数 单调递增，
当 时， ，此时函数 单调递减，
所以， ，
由题意可知，直线 与曲线 的图象有两个交点，则 ，
当 时， ，当 时， ，作出函数 的图象如下图所示：
由图可知，当 时，直线 与曲线 的图象有两个交点.
故选：D.
解法二：画出函数曲线 的图象如图所示，根据直观即可判定点 在曲线下方和 轴上方时才可以
作出两条切线.由此可知 .故选：D.
11．（2022·河北·高三阶段练习）若过点 可以作三条直线与曲线 相切，则m的取值范围为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由 ，则 ，设切点为 ，则切线斜率
则在点 的切线方程为 ，
代入点P坐标得
整理为 ，即这个方程有三个不等式实根，
令 ，则 ，
令 则函数 在 上单调递减，在 上单调递增，在 上单调递减，
故得 ，即 ，
故选：D．
12．（2022·广东深圳·二模）已知 ，若过点 可以作曲线 的三条切线，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设切点为 ，切线方程为 ，由 ，所以 ，所以 ，
则 ，所以 ，
令 ，则 ，
因为 ，所以当 或 时 ，当 时 ，
所以 在 和 上单调递增，在 上单调递减，
所以当 时 取得极大值，当 时 取得极小值，即 ，
，
依题意 有三个零点，所以 且 ，即
；故选：B
13．（2022·辽宁·辽师大附中）已知过点P(0，a)可作出曲线y=2x3–3x2的3条不同的切线，则实数a的取值
范围是_______________ .
【答案】
【解析】函数 ,求导得 ,设切点为 ，可得切线方程为 ，
又切线过点P(0，a)代入得 ，即
，由题意可得此方程有三个根，
令 ， ，
当 或 时， ，函数单调递增，
当 时， ，函数单调递减，
可得函数的极大值为 ，极小值为 ，若方程有三个根即函数的图象与x轴有三个交点，
只需满足 ，即 ，故答案为： .
14．（2022·陕西·长安一中）已知函数 ，若过点 存在三条直线与曲线 相
切，则 的取值范围为___________．
【答案】
【解析】 ，
设过点 的直线与曲线 相切于点 ，
则 ，
化简得， ，令 ，
则过点 存在三条直线与曲线 相切等价于y=g(x)与y=-m-2的图像有三个交点．
∵ ，故当x<0或x>1时， ，g(x)单调递增；当00)
的图象在点 处的切线与 轴交点的横坐标
为 ， 为正整数， ，若数列 的前 项和为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】 ， 在点 处的切线斜率 ，
在点 处的切线方程为： ，即 ，
令 ，解得： ，即 ，
数列 是以 为首项， 为公比的等比数列， .
故选：C.5．（2022·四川·石室中学二模（理））已知函数 在x=0处的切线与直线 平行，
则二项式 展开式中含 项的系数为（ ）
A．26 B．46 C．36 D．56
【答案】C
【解析】由函数 的解析式，得 ，则 ．由题意，得 ，
则二项式 ，
二项式 的通项公式为： ，
所以含 项的系数为 ．
故选：C
6．（2022·云南保山）已知曲线 在点 处的切线为l，数列 的首项为1，点
为切线l上一点，则数列 中的最小项为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为 ，所以 ，
所以曲线 在点 处的切线的斜率 .
所以切线l的方程为 .所以 .
所以数列 是首项为1，公比为3的等比数列.所以 .所以由 ，解得 .
因为 ，所以 .所以数列 中的最小项为 .故选：C.7．（2022·湖南·模拟预测）已知抛物线 ，P为直线 上一点，过P作抛物线的两条切线，切点
分别为A，B，则 的最小值为（ ）
A． B．-1 C． D．-2
【答案】A
【解析】设 ， .由 求导得 ，
则直线 ，直线 ，
联立方程可得 ，
由P在直线 上，得 ，且 ，即 .
因而
.
故选：A.
8．（2022·湖北·襄阳五中二模）已知函数 在x=0处的切线与直线 平行，则二
项式 展开式中含 项的系数为_________．
【答案】36
【解析】由函数 的解析式，得 ，则 ．由题意，得 ，则二项式
展开式的通项为：
所以含 项的系数为
故答案为：36．
题组七 切线方程的运用
1．（2022·广西·柳州市第三中学）曲线 上的点到直线 的距离的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】 ，令 得： ，又 ，
故曲线 上点 到直线 的距离最小值，所以最小值为 .故选：D
2．（2022·江苏省太湖高级中学）若点P是曲线 上任一点，则点P到直线 的最小距
离是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】解：设与直线 平行的直线与曲线 切于 ，
由 定义域为 ，得 ，则 ，
由 ，解得 （舍去负值）．，则点 到直线 的最小距离是 ．故选：C．
3．（2022·山东·德州市教育科学研究院）已知函数 ， ，若 有两个零点，
则k的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】令 ，则 与 有两个交点，则
设直线与 相切时，切点坐标为 ，则斜率
则切线方程为
∵切线过原点 ，代入得 ，解得
∴ ，因为 与 有两个交点，所以
故选：D．
4．（2022·辽宁·沈阳二十中）若x、a、b为任意实数，若 ，则 最小值
为( )
A． B．9 C． D．
【答案】C
【解析】由 可得 在以 为圆心，1为半径的圆上，
表示点 与点 的距离的平方，
即表示圆 上动点到函数y＝lnx图像上动点距离的平方．设 为y＝lnx上一点，且在 处的y＝lnx的切线与 和 连线垂直，可得
，即有 ，
由 在 时递增，且 ，可得m＝1，即切点为 ，
圆心与切点的距离为 ，
由此可得 的最小值为 ．
故选：C．
5（2022·河北保定）若函数 有两个极值点，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】 ，因为有两个极值点，故 有两个根，
即 和 的图像有两个交点，画出图像，
若 ，显然1个交点，不合题意；若 ，设直线 和 相切于点 ，
则 ，解得 ，故切点是 ，故 ，解得 .故选：C.
6．（2022·山西·灵丘县第一中学校）已知函数 若直线 与 有三个不同
的交点，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设 与 相切于点 ，
则 ，解得 ，此时 ，
由 得 ，由 可得 ，此时切点为 ，
作出函数 与 的图象如图，
由图象可知，当 或 时，直线 与 有三个不同的交点，故选：C7．（2022·全国·高三专题练习（理））若点 与曲线 上点 距离最小值为 ，则实数 为
_______.
【答案】
【解析】设点 的坐标为 ，对函数 求导得 ，
由题意可知，直线 与曲线 在点 处的切线垂直，则 ，
得 ，
由两点间的距离公式得 ，
由于 的最小值为 ，即 ， ，解得 ，
因此， .
故答案为：
8．（2022·河北邯郸·二模）已知点P为曲线 上的动点，O为坐标原点．当 最小时，直线OP恰
好与曲线 相切，则实数a＝___．
【答案】【解析】设 ，所以 ，
设 ， ，
当 时， ， ，所以 单调递增，
当 时， ， ，
所以 单调递减，
当 时，函数 有最小值，即 有最小值，所以 ，
此时直线OP的方程为 ，设直线 与曲线 相切于点 ，
由 ，显然 在直线 上，
则 ，因此有 ，
故答案为：
9．（2022·全国·高三专题练习）已知实数 、 、 、 满足 ，则 的最小
值为______．
【答案】
【解析】因为实数 、 、 、 满足 ，所以， ， ，
所以，点 在曲线 上，点 在曲线 上，
的几何意义就是曲线 到曲线 上点的距离最小值的平方．
考查曲线 上和直线 平行的切线，
对函数 求导得 ，令 ，解得 ，所以，切点为 ，
该切点到直线 的距离 就是所要求的两曲线间的最小距离，
故 的最小值为 ．
故答案为： .
