文档内容
5.2 三角公式的运用（精讲）（提升版）
思维导图考点呈现
例题剖析
考点一 公式的基本运用
【例1-1】（2021·全国·高考真题）若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】将式子进行齐次化处理得：
．故选：C．
【例1-2】（2022·安徽）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C【解析】因为 ，所以 ，即 ，
当 时， 即 ，则 ，
所以 ，则 ，所以 ；
当 时， 即 ，则 ，
所以 ，则 ，所以 ；综上： ，
故选：C
【例1-3】（2022·湖南·长郡中学）（多选）下列各式中值为1的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【解析】A： ，符合题意；
B： ，符合题意；
C： ，不符合题意：
D： 符合题意.
故选：ABD．
【一隅三反】
1．（2021·全国·高考真题（文））若 ，则 （ ）A． B． C． D．
【答案】A
【解析】 ，
， ， ，解得 ，
， .故选：A.
2．（2022·江苏南通·模拟预测）在 ABC中，若 ，则 （ ）
△
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为 ，
所以 ，所以 ，
，故选：A．
3．（2021·全国·课时练习）（多选）下列等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【解析】对于A， ，A正确；对于B， ，B错误；
对于C， ，C错误；
对于D， ，D正确.故选：AD.
4．（2022·江苏·泗阳县实验高级中学）（多选）已知 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【解析】依题意 ， ，
， ，
，所以 或 ，
，或 ， （舍去），或 ，所以 ，
， .所以A选项错误，BCD选项正确.故选：BCD
5．（2022·湖南省隆回县第二中学）已知 ，则 （ ）
A．- B．- C． D．
【答案】C
【解析】由 ， ，两边平方后相加得 ，
即 ,得 ，所以 ,故选:C.
考点二 角的拼凑
【例2-1】（2022·四川成都）若 ， ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为 ，所以 ，又因为 ，所以 ，
所以 .故选：D.
【例2-2】（2021·安徽·高三阶段练习（理））已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因 ，所以 .故选：B
【例2-3】（2022·江苏）已知 ， ，且 ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】 且 ， ， .又 ， ， .
当 时，
，
， ， 不合题意，舍去；
当 ，同理可求得 ，符合题意.
综上所述： .
故选： .
【一隅三反】
1．（2022·福建南平）若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题设， ，则 ，
又 .故选：A
2．（2022·山东·聊城二中高三开学考试）已知 ，且 ，则 的值为
（ ）A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由 ，而 ，∴ ，
∴ .故选：C.
3．（2021·江苏·高三阶段练习）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
，
故选：A.
4．（2021·江苏·苏州市相城区陆慕高级中学高三阶段练习）已知 ， ，
，则 （ ）
A． B．C． D．
【答案】D
【解析】因为 ， ，所以两式平方相加得 ，
即 ，
又因为 ，所以 ，即 ， ，
将 代入 ，得 ，即 ，
所以 ，∴ .故选：D.
5．（2022·全国·课时练习）已知 ， ， ，则 ________，
________．
【答案】
【解析】因 ，则 ，而 ，则有 ，
又 ，即 ，而 ，则 ，
所以 ，
而 ，于是得 ，所以 ， .故答案为： ；
考点三 恒等变化
【例3】（2022·湖北武汉·高三期末）计算 （ ）A．1 B．﹣1 C． D．
【答案】B
【解析】
故选：B
【一隅三反】
1．（2022·全国·高三专题练习） （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
，故选：D
2．（2022·河北省唐县第一中学高三阶段练习）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为 ，所以 .所以 ，则 ，即 ，解得 .故选：D
3．（2022·西藏）求 的值（ ）
A．1 B．3 C． D．
【答案】D
【解析】
．故选：D．
考点四 三角公式与其他知识综合运用
【例4-1】（2022·全国·模拟预测（文））已知 在 处的切线倾斜角为 ，则
的值为（ ）
A．7 B． C．5 D．-3
【答案】B
【解析】因为 ，所以 ，
所以 .
故选：B
【例4-2】（2022·福建·厦门双十中学）如图1，正方形ABCD的边长为2，点M为线段CD的中点. 现把
正方形纸按照图2进行折叠，使点A与点M重合，折痕与AD交于点E，与BC交于点F. 记 ，则
_______.【答案】
【解析】设 ，则 ，在 中， ，所以 ，
即 ，解得 ，所以 ，所以在 中， ，
则 ，
又 ，
所以 .故答案为：
【一隅三反】
1．（2022·湖南·长沙市明德中学高三阶段练习）已知 ，设 ， ，
，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】方法一：∵ ，
∴ ，
．方法二：令 ，则 ．
故选：C.
2．（2021·河北·张家口市宣化第一中学）在直角坐标系中， 的顶点 ， ，
，且 的重心 的坐标为 ， __________.
【答案】
【解析】由题意知： ，
∴ ，即 ，
∴ ，
，
将两式相加，得： ，
∴ .
故答案为： .
3. ，则实数 的取值范围为______.
【答案】【解析】
，
设 ， ， ，
则 ，
如图，
，当且仅当 三点共线且点 在 之间时等号成立，
又 ，故 的最大值为 ，
因为存在实数 使得
所以
即
故答案为：
