2025新教材数学高考第一轮复习
5.4 解三角形
五年高考
考点1 正弦定理、余弦定理
1.(2023 全国乙文,4,5 分,易)在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,若 acos B-
π
bcosA=c,且C= ,则B= ( )
5
π π
A. B.
10 5
3π 2π
C. D.
10 5
2.(2021全国甲文,8,5分,易)在△ABC中,已知B=120°,AC=√19,AB=2,则BC= ( )
A.1 B.√2C.√5 D.3
2
3.(2020课标Ⅲ理,7,5分,易)在△ABC中,cos C= ,AC=4,BC=3,则cos B= ( )
3
1 1 1 2
A. B. C. D.
9 3 2 3
2
4.(2020课标Ⅲ文,11,5分,易)在△ABC中,cos C= ,AC=4,BC=3,则tan B= ( )
3
A.√5B.2√5
C.4√5D.8√5
5.(2019 课标Ⅰ文,11,5 分,易)△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知 asin A-
1 b
bsinB=4csin C,cos A=- ,则 =( )
4 c
A.6 B.5
C.4 D.3
6.(2021 全国乙文,15,5 分,易)记△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,面积为√3,
B=60°,a2+c2=3ac,则b= .
7.(2019 课标Ⅱ文,15,5 分,易)△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知 bsin
A+acosB=0,则B= .
8.(2023全国乙理,18,12分,中)在△ABC中,已知∠BAC=120°,AB=2,AC=1.
(1)求sin∠ABC;
(2)若D为BC上一点,且∠BAD=90°,求△ADC的面积.9.(2021新高考Ⅰ,19,12分,中)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知b2=ac,点D
在边AC上,BD·sin∠ABC=asin C.
(1)证明:BD=b;
(2)若AD=2DC,求cos∠ABC.
考点2 解三角形及其综合应用
1.(2023 全国甲理,16,5 分,中)在△ABC 中,∠BAC=60°,AB=2,BC=√6,∠BAC 的角平分线交
BC于D,则AD= .
2. (2022全国甲,理16,文16,5分,中)已知△ABC中,点D在边BC上,
AC
∠ADB=120°,AD=2,CD=2BD.当 取得最小值时,BD= .
AB
3.(2021 浙江,14,6 分,中)在△ABC 中,∠B=60°,AB=2,M 是 BC 的中点,AM=2√3,则 AC=
,cos∠MAC= .
4.(2020 全国Ⅰ,16,5 分,中)如图,在三棱锥 P-ABC 的平面展开图中,AC=1,AB=AD=√3
,AB⊥AC,AB⊥AD,∠CAE=30°,则cos∠FCB= .
5.(2023新课标Ⅰ,17,10分,中)已知在△ABC中,A+B=3C,2sin(A-C)=sin B.
(1)求sin A;
(2)设AB=5,求AB边上的高.6.(2023新课标Ⅱ,17,10分,中)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知△ABC面积
为√3,D为BC的中点,且AD=1.
π
(1)若∠ADC= ,求tan B;
3
(2)若b2+c2=8,求b,c.
7.(2022新高考Ⅱ,18,12分,中)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,分别以a,b,c为边
√3 1
长的三个正三角形的面积依次为S ,S ,S .已知S -S +S = ,sin B= .
1 2 3 1 2 3 2 3
(1)求△ABC的面积;
√2
(2)若sin Asin C= ,求b.
38.(2022 新高考Ⅰ,18,12 分,中)记△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知
cosA sin2B
= .
1+sin A 1+cos2B
2π
(1)若C= ,求B;
3
a2+b2
(2)求 的最小值.
c2
9.(2021 新高考Ⅱ,18,12 分,中)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且满足
b=a+1,c=a+2.
(1)若2sin C=3sin A,求△ABC的面积;
(2)是否存在正整数a,使得△ABC为钝角三角形?若存在,求a;若不存在,说明理由.
三年模拟综合基础练
π
1.(2023福建福州质检,5)已知△ABC的外接圆半径为 1,A= ,则AC·cos C+AB·cos B=(
3
)
1 √3
A. B.1C. D.√3
2 2
2.(2024届河南 TOP二十名校调研(三),5)在△ABC中,a,b,c分别为角 A,B,C所对的边,且
b=2a,2a2+b2=c2,则sin B= ( )
1 √6 √10 √15
A. B. C. D.
4 4 4 4
3.(2024届北京海淀期中,8)在△ABC中,sin B=sin 2A,c=2a,则 ( )
A.∠B为直角 B.∠B为钝角
C.∠C为直角 D.∠C为钝角
4.(2024届广东六校第二次联考,4)如图,A、B两点在河的同侧,且A、B两点均不可到达.现
√3
需测A、B两点间的距离,测量者在河对岸选定两点C、D,测得CD= km,同时在C、D
2
两点分别测得∠ADB=∠CDB=30°,∠ACD=60°,∠ACB=45°,则A、B两点间的距离为( )
√3 √3 √6 √6
A. kmB. kmC. kmD. km
2 4 3 4
5.(2024届河北师范大学附属实验中学月考,8)海伦公式是利用三角形的三条边的长 a,b,c
直接求三角形面积 S的公式,表达式为S=
(
a+b+c);它的
√p(p−a)(p−b)(p−c) 其中p=
2
特点是形式漂亮,便于记忆.中国宋代的数学家秦九韶在 1247年独立提出了“三斜求积
术”,但它与海伦公式完全等价,因此海伦公式又译作海伦-秦九韶公式.现在有周长为
10+2√7的△ABC满 足s iAn∶sin B∶sin C=2∶3∶√7,则用以上给出的公式求得
△ABC的面积为 ( )
A.8√7B.4√7C.6√3 D.12
b
6.(2023 北京房山一模,14)在△ABC 中,sin A=sin 2A,2a=√3b,则 A= ; 的值为
c
.7.(2024届广东湛江调研,17)如图,在△ABC中,点D在边AC上,且AB⊥BD.已知cos A=2sin
A ∠ABC+C
sin ,AB=√2.
2 2
(1)求A;
1
(2)若△BCD的面积为 ,求BC.
2
综合拔高练
1.(2024届四川绵阳中学第二次月考,10)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知
1 1 1 ,则a2+b2= ( )
+ =
tan A tanB tanC c2
A.1 B.2
C.3 D.4
2.(2024届鄂南高中联考期中,8)在△ABC中,AB=2AC,且△ABC的面积为1,则BC的最小
值为 ( )
A.2 B.√3
C.1 D.√2
3.(2024届辽宁省实验中学期中,8)在锐角三角形ABC中,A、B、C的对边分别为a、b、c,
b+c
且满足b2=a(a+c),则 的取值范围为 ( )
a
A.(1,5) B.(√2+1,5)
C.(1,√3+2) D.(√2+1,√3+2)
4.(多选)(2024届河北邢台第一中学月考,9)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,
下列与△ABC有关的结论,正确的是( )
b+2c 2b+c
A.若a=2,A=30°,则 = =4
sinB+2sinC 2sinB+sinCB.若acos A=bcos B,则△ABC是等腰直角三角形
C.若△ABC是锐角三角形,则cos A<sin B
D.若2⃗OA+⃗OB+3⃗OC=0,S ,S 分别表示△AOC,△ABC的面积,则S ∶S =1∶6
△AOC △ABC △AOC △ABC
5.(2023 河南郑州二模,15)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,其中 sin C=3sin
A,B=60°,b=√7.若B的角平分线BD交AC于点D,则BD= .
6.(2024届湖南郴州一模,19)已知向量a=(sin x,1),b=(√3cos x,-2),函数f(x)=(a+b)·a.
(1)若a∥b,求cos 2x的值;
1
(2)已知△ABC为锐角三角形,a,b,c为△ABC的内角A,B,C的对边,b=2,且f(A)= ,求△ABC
2
面积的取值范围.
7. (2023江西模拟预测,18)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知cos(B-C)·
cos A+cos 2A=1+cos Acos(B+C).
(1)若B=C,求cos A的值;
(2)求b2+c2的值.
a25.4 解三角形
五年高考
考点1 正弦定理、余弦定理
1.(2023 全国乙文,4,5 分,易)在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,若 acos B-
π
bcosA=c,且C= ,则B= ( )
5
π π
A. B.
10 5
3π 2π
C. D.
10 5
答案 C
2.(2021全国甲文,8,5分,易)在△ABC中,已知B=120°,AC=√19,AB=2,则BC= ( )
A.1 B.√2C.√5 D.3
答案 D
2
3.(2020课标Ⅲ理,7,5分,易)在△ABC中,cos C= ,AC=4,BC=3,则cos B= ( )
3
1 1 1 2
A. B. C. D.
9 3 2 3
答案 A
2
4.(2020课标Ⅲ文,11,5分,易)在△ABC中,cos C= ,AC=4,BC=3,则tan B= ( )
3
A.√5B.2√5
C.4√5D.8√5
答案 C
5.(2019 课标Ⅰ文,11,5 分,易)△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知 asin A-
1 b
bsinB=4csin C,cos A=- ,则 =( )
4 c
A.6 B.5C.4 D.3
答案 A
6.(2021 全国乙文,15,5 分,易)记△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,面积为√3,
B=60°,a2+c2=3ac,则b= .
答案 2√2
7.(2019 课标Ⅱ文,15,5 分,易)△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知 bsin
A+acosB=0,则B= .
3
答案 π
4
8.(2023全国乙理,18,12分,中)在△ABC中,已知∠BAC=120°,AB=2,AC=1.
(1)求sin∠ABC;
(2)若D为BC上一点,且∠BAD=90°,求△ADC的面积.
解析 (1)在△ABC中,由余弦定理,得BC2=22+12-2×2×1×cos 120°=7,则BC=√7. (3分)
AC BC
由正弦定理,得 = ,
sin∠ABC sin∠BAC
AC·sin∠BAC 1×sin120° √21
则sin∠ABC= = = .(6分)
BC √7 14
√21 √3
(2)在Rt△ABD中,由(1)知sin∠ABD= ,且∠ABD为锐角,所以tan∠ABD= .
14 5
√3 2√3
在Rt△ABD中,AB=2,则AD=AB·tan∠ABD=2× = . (9分)
5 5
在△ADC中,∠DAC=30°,AC=1,
1 2√3 √3
∴△ADC的面积S= × ×1×sin 30°= . (12分)
2 5 10
一题多解
(2)在△ABC中,AB=2,AC=1,∠BAC=120°,
1 √3
∴S = ×2×1×sin 120°= , (9分)
△ABC
2 2
1 1
AC·AD·sin30° 1×
S 2 2 1
又 △ACD= = = ,
S 1 2 4
△ABD AB·AD
2
1 √3
∴S = S△ABC= .(12分)
△ACD
5 10
9.(2021新高考Ⅰ,19,12分,中)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知b2=ac,点D
在边AC上,BD·sin∠ABC=asin C.(1)证明:BD=b;
(2)若AD=2DC,求cos∠ABC.
asinC
解析 (1)证明:由题设得BD= ,
sin∠ABC
c b
在△ABC中,由正弦定理知 = ,
sinC sin∠ABC
sinC c
即 = ,
sin∠ABC b
asinC ac
代入BD= 中,得BD= ,又b2=ac,
sin∠ABC b
∴BD=b.(4分)
2 b
(2)解法一:由AD=2DC得AD= b,DC= ,
3 3
4 5
b2+c2−b2 c2− b2
AD2+AB2−BD2 9 9
在△ABD中,cos A= = = ,
2AD·AB 2 4
2× bc bc
3 3
AC2+AB2−BC2 b2+c2−a2
在△ABC中,cos A= = .
2AC·AB 2bc
5
c2− b2
9 b2+c2−a2
故 = ,化简得3c2-11b2+6a2=0,
4 2bc
bc
3
又b2=ac, (7分)
所以3c2-11ac+6a2=0,即(c-3a)(3c-2a)=0,
2
所以c=3a或c= a. (8分)
3
当c=3a时,b2=ac=3a2,所以b=√3a,此时a+b<c,
故a,b,c构不成三角形; (10分)
2 2 √6
当c= a时,b2=ac= a2,所以b= a,
3 3 3
此时a,b,c可以构成三角形, (11分)
4 2
a2+ a2− a2
2 √6 a2+c2−b2 9 3 7
故c= a,b= a,所以在△ABC中,cos∠ABC= = = . (12分)
3 3 2ac 2 12
2a· a
3
解法二:同解法一得到2a=3c或3a=c.(8分)3 3
当2a=3c时,a= c,b2=ac= c2,
2 2
9 3
c2+c2− c2
4 2 7
由余弦定理的推论得cos∠ABC= = ; (10分)
3 12
2· c·c
2
c c2
当3a=c时,a= ,b2=ac= ,
3 3
c2 c2
+c2−
9 3 7
由余弦定理的推论得cos∠ABC= = (舍). (11分)
c 6
2· ·c
3
7
综上,cos∠ABC= . (12分)
12
考点2 解三角形及其综合应用
1.(2023 全国甲理,16,5 分,中)在△ABC 中,∠BAC=60°,AB=2,BC=√6,∠BAC 的角平分线交
BC于D,则AD= .
答案 2
3. (2022全国甲,理16,文16,5分,中)已知△ABC中,点D在边BC上,
AC
∠ADB=120°,AD=2,CD=2BD.当 取得最小值时,BD= .
AB
答案 √3-1
3.(2021 浙江,14,6 分,中)在△ABC 中,∠B=60°,AB=2,M 是 BC 的中点,AM=2√3,则 AC=
,cos∠MAC= .
2√39
答案 2√13;
13
4.(2020 全国Ⅰ,16,5 分,中)如图,在三棱锥 P-ABC 的平面展开图中,AC=1,AB=AD=√3
,AB⊥AC,AB⊥AD,∠CAE=30°,则cos∠FCB= .
1
答案 -
4
5.(2023新课标Ⅰ,17,10分,中)已知在△ABC中,A+B=3C,2sin(A-C)=sin B.(1)求sin A;
(2)设AB=5,求AB边上的高.
π 3π
解析 (1)∵A+B+C=π,A+B=3C,∴C= ,B= -A,
4 4
又∵2sin(A-C)=sin B,
∴2sin( π) (3π ),
A− =sin −A
4 4
即2(√2 √2 ) √2 ( √2)sin A,
sin A− cosA = cos A− −
2 2 2 2
整理得sin A=3cos A,
又∵sin2A+cos2A=1,A∈( 3π),∴sin A=3√10. (5分)
0,
4 10
(2)解法一:过C作CD⊥AB,垂足为D,如图.
5 BC
AB BC =
在△ABC中,由正弦定理得 = ,即 π 3√10,∴BC=3√5. (7分)
sin∠ACB sinA sin
4 10
√10
由(1)知cos A= ,
10
∴sin B=sin(3π ) √2 √2 2√5. (8分)
−A = cos A+ sin A=
4 2 2 5
2√5
在Rt△BCD中,CD=BC·sin B=3√5× =6,
5
即AB边上的高为6.(10分)
π 3√10 √10
解法二:由(1)知C= ,sin A= ,cos A= ,
4 10 10
则sin B=sin(3π ) √2 √2 2√5. (6分)
−A = cos A+ sin A=
4 2 2 5
AB AC BC
在△ABC中,由正弦定理得 = = ,
sinC sinB sinA5 AC BC
= =
∴√2 2√5 3√10,∴AC=2√10,BC=3√5,(8分)
2 5 10
1 1 √2
∴S = AC·BC·sin C= ×2√10×3√5× =15. (9分)
△ABC
2 2 2
1
设AB边上的高为h,则 ×5h=15,∴h=6. (10分)
2
6.(2023新课标Ⅱ,17,10分,中)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知△ABC面积
为√3,D为BC的中点,且AD=1.
π
(1)若∠ADC= ,求tan B;
3
(2)若b2+c2=8,求b,c.
解析 由题意知S =√3,BD=DC,
△ABC
√3
∴S = .
△ADC
2
1 √3 π 1 π √3
(1)∵S = DA·DC·sin∠ADC= ,DA=1,∠ADC= ,∴ DCsin = ,
△ADC
2 2 3 2 3 2
∴DC=2,
2π
∴BD=2,易知∠ADB= , (2分)
3
在△ADB 中,由余弦定理可知,AB2=BD2+DA2-2DA·DB·cos∠ADB,即 AB2=22+12-2×1×2×
( 1) =7,
−
2
∴AB=√7, (3分)
AB2+BD2−AD2 7+4−1 5√7
∴cos B= = = ,
2AB·BD 2√7×2 14
√ 25 √21
∴sin B=√1−cos2B= 1− = , (4分)
28 14
sinB √3
∴tan B= = . (5分)
cosB 5
(2)如图所示,延长AD至E,使DE=AD,连接BE,CE,
易得四边形 ABEC 为平行四边形,∴AB=CE,AC=BE,由余弦定理得 BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos∠BAC,AE2=AC2+CE2-2AC·CEcos∠ACE,两式相加得 BC2+AE2=2(AB2+AC2),即
BC2+AE2=2(b2+c2)=16,
又AE=2AD=2,∴BC2=12,∴BC=2√3, (7分)
1 √3
∵S = AD·DC·sin∠ADC= ,AD=1,DC=√3,
△ADC
2 2
∴sin∠ADC=1,∴AD⊥BC,∴b=c, (9分)
又b2+c2=8,∴b=c=2. (10分)
7.(2022新高考Ⅱ,18,12分,中)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,分别以a,b,c为边
√3 1
长的三个正三角形的面积依次为S ,S ,S .已知S -S +S = ,sin B= .
1 2 3 1 2 3 2 3
(1)求△ABC的面积;
√2
(2)若sin Asin C= ,求b.
3
√3 √3 √3
解析 (1)由题意得S = a2,S = b2,S = c2,
1 2 3
4 4 4
√3 √3
∴S -S +S = (a2-b2+c2)= ,即a2-b2+c2=2,
1 2 3
4 2
a2+c2−b2
由cos B= 得a2+c2-b2=2accos B,
2ac
故2accos B=2,∴accos B=1, (3分)
1 2√2 2√2
又∵sin B= ,∴cos B= 或cos B=− (舍),
3 3 3
3√2 1 1 3√2 1 √2
∴ac= ,∴S = acsin B= × × = . (6分)
△ABC
4 2 2 4 3 8
(2)由正弦定理 a b c b2 ac ,
= = 得 =
sin A sinB sinC sin2B sin AsinC
3√2 √2
又知ac= ,sin Asin C= , (9分)
4 3
∴ b2 9,∴ b 3,
= =
sin2B 4 sinB 2
3 3 1 1
∴b= sin B= × = . (12分)
2 2 3 2
8.(2022 新高考Ⅰ,18,12 分,中)记△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知cosA sin2B
= .
1+sin A 1+cos2B
2π
(1)若C= ,求B;
3
(2)求a2+b2的最小值.
c2
cosA sin2B 2sinBcosB
解析 (1)∵ = = (采分点:出现二倍角公式给1分),(1分)
1+sinA 1+cos2B 2cos2B
cosA sinB
即 = ,
1+sin A cosB
∴cos Acos B-sin Asin B=sin B,
2π
即cos(A+B)=sin B,又C= ,(3分)
3
2π 1
∴sin B=cos(A+B)=-cos C=-cos = ,
3 2
π π
∵0<B< ,∴B= .(4分)
3 6
(2)由(1)知,sin B=cos(A+B)=-cos C,
∵sin B>0恒成立,∴C∈(π ),
,π
2
∵-cos C=sin( π),
C−
2
π π
∴C- =B或B+C− =π(不合题意,舍去),(5分)
2 2
∴A=π-2B,∵A>0,∴B∈( π), (6分)
0,
2 4
∴a2+b2 sin2A+sin2B cos22B+sin2B
= =
c2 sin2C cos2B
=(2cos2B−1) 2+(1−cos2B), (8分)
cos2B
令cos2B=t,t∈(1 ),
,1
2∴a2+b2 (2t−1) 2+(1−t) 2 -5,当且仅当4t=2,即t=√2时,取“=”(扣分点:不
= =4t+ −5≥4√2
c2 t t t 2
写扣1分). (11分)
∴a2+b2 -5. (12分)
的最小值为4√2
c2
9.(2021 新高考Ⅱ,18,12 分,中)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且满足
b=a+1,c=a+2.
(1)若2sin C=3sin A,求△ABC的面积;
(2)是否存在正整数a,使得△ABC为钝角三角形?若存在,求a;若不存在,说明理由.
解析 (1)2sin C=3sin A⇒2c=3a,又∵c=a+2,
∴2(a+2)=3a,∴a=4,∴b=a+1=5,c=a+2=6,
b2+c2−a2 52+62−42 3 √7
∴cos A= = = ,∴sin A=√1−cos2A= ,
2bc 2×5×6 4 4
1 1 √7 15√7
∴S = bcsin A= ×5×6× = . (6分)
△ABC
2 2 4 4
(2)由已知得c>b>a,
若△ABC为钝角三角形,则角C为钝角,
a2+b2−c2
∴cos C= <0⇒a2+b2<c2⇒a2+(a+1)2<(a+2)2⇒a2-2a-3<0⇒-1<a<3, 又 a>0,∴a∈(0,3).
2ab
(9分)
同时还应考虑构成△ABC的条件,
即a+b>c⇒a+(a+1)>a+2⇒a>1.
综上所述,当a∈(1,3)时,△ABC为钝角三角形.
∴存在正整数a=2,使得△ABC为钝角三角形. (12分)
三年模拟
综合基础练
π
1.(2023福建福州质检,5)已知△ABC的外接圆半径为 1,A= ,则AC·cos C+AB·cos B=(
3
)
1 √3
A. B.1C. D.√3
2 2
答案 D
2.(2024届河南 TOP二十名校调研(三),5)在△ABC中,a,b,c分别为角 A,B,C所对的边,且b=2a,2a2+b2=c2,则sin B= ( )
1 √6 √10 √15
A. B. C. D.
4 4 4 4
答案 C
3.(2024届北京海淀期中,8)在△ABC中,sin B=sin 2A,c=2a,则 ( )
A.∠B为直角 B.∠B为钝角
C.∠C为直角 D.∠C为钝角
答案 C
4.(2024届广东六校第二次联考,4)如图,A、B两点在河的同侧,且A、B两点均不可到达.现
√3
需测A、B两点间的距离,测量者在河对岸选定两点C、D,测得CD= km,同时在C、D
2
两点分别测得∠ADB=∠CDB=30°,∠ACD=60°,∠ACB=45°,则A、B两点间的距离为( )
√3 √3 √6 √6
A. kmB. kmC. kmD. km
2 4 3 4
答案 D
5.(2024届河北师范大学附属实验中学月考,8)海伦公式是利用三角形的三条边的长 a,b,c
直接求三角形面积 S的公式,表达式为S=
(
a+b+c);它的
√p(p−a)(p−b)(p−c) 其中p=
2
特点是形式漂亮,便于记忆.中国宋代的数学家秦九韶在 1247年独立提出了“三斜求积
术”,但它与海伦公式完全等价,因此海伦公式又译作海伦-秦九韶公式.现在有周长为
10+2√7的△ABC满 足s iAn∶sin B∶sin C=2∶3∶√7,则用以上给出的公式求得
△ABC的面积为 ( )
A.8√7B.4√7C.6√3 D.12
答案 C
b
6.(2023 北京房山一模,14)在△ABC 中,sin A=sin 2A,2a=√3b,则 A= ; 的值为
c
.
π
答案 ;2
37.(2024届广东湛江调研,17)如图,在△ABC中,点D在边AC上,且AB⊥BD.已知cos A=2sin
A ∠ABC+C
sin ,AB=√2.
2 2
(1)求A;
1
(2)若△BCD的面积为 ,求BC.
2
A ∠ABC+C A π−A A A
解析 (1)因为 cos A=2sin sin =2sin sin =2sin cos =sin A,可得
2 2 2 2 2 2
sinA
tan A= =1,
cosA
π
因为A∈(0,π),所以A= .
4
(2)作BE⊥AC,垂足为E,
π
在△ABD 中,由 A= ,AB⊥BD 知△ABD 为等腰直角三角形,因为 AB=√2,所以 BD=√2
4
,AD=2,BE=1,
1 1
由 △ BCD 的 面 积 为 BE·CD= , 解 得 CD=1, 可 得 AC=AD+CD=3, 所 以 BC=
2 2
.
√AB2+AC2−2AB·AC·cosA=√5
综合拔高练
1.(2024届四川绵阳中学第二次月考,10)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知
1 1 1 ,则a2+b2= ( )
+ =
tan A tanB tanC c2
A.1 B.2
C.3 D.4
答案 C
2.(2024届鄂南高中联考期中,8)在△ABC中,AB=2AC,且△ABC的面积为1,则BC的最小
值为 ( )
A.2 B.√3C.1 D.√2
答案 B
3.(2024届辽宁省实验中学期中,8)在锐角三角形ABC中,A、B、C的对边分别为a、b、c,
b+c
且满足b2=a(a+c),则 的取值范围为 ( )
a
A.(1,5) B.(√2+1,5)
C.(1,√3+2) D.(√2+1,√3+2)
答案 D
4.(多选)(2024届河北邢台第一中学月考,9)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,
下列与△ABC有关的结论,正确的是( )
b+2c 2b+c
A.若a=2,A=30°,则 = =4
sinB+2sinC 2sinB+sinC
B.若acos A=bcos B,则△ABC是等腰直角三角形
C.若△ABC是锐角三角形,则cos A<sin B
D.若2⃗OA+⃗OB+3⃗OC=0,S ,S 分别表示△AOC,△ABC的面积,则S ∶S =1∶6
△AOC △ABC △AOC △ABC
答案 ACD
5.(2023 河南郑州二模,15)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,其中 sin C=3sin
A,B=60°,b=√7.若B的角平分线BD交AC于点D,则BD= .
3√3
答案
4
6.(2024届湖南郴州一模,19)已知向量a=(sin x,1),b=(√3cos x,-2),函数f(x)=(a+b)·a.
(1)若a∥b,求cos 2x的值;
1
(2)已知△ABC为锐角三角形,a,b,c为△ABC的内角A,B,C的对边,b=2,且f(A)= ,求△ABC
2
面积的取值范围.
解析 (1)因为a∥b,所以√3cos x=-2sin x,
√3
则tan x=- .
2
2
( √3)
1− −
cos 2x=cos2x-sin2x=cos2x−sin2x 1−tan2x 2 1.
= = =
sin2x+cos2x tan2x+1 ( √3) 2 7
− +1
2
(2)f(x)=(a+b)·a=(sin x+√3cos x)sin x+(1-2)×1=sin2x+√3 1 1 ( π) 1.
√3sin xcos x−1= sin 2x− cos 2x− =sin 2x− −
2 2 2 6 2
因为f(A)=1,所以sin( π)=1,A∈( π),得2A-π π,即A=π,
2A− 0, =
2 6 2 6 2 3
c b 2sinC
因为 = ,所以c= ,
sinC sinB sinB
( π)
√3sin B+
所以S =1 √3sinC 3 √3 3 ,
△ABC bcsin A= = = +
2 sinB sinB 2 2tanB
π
{ 0<B< ,
由△ABC是锐角三角形得 2
π π
0<C=π− −B< ,
3 2
π π
解得 <B< ,
6 2
√3 √3 √3 3
则tan B> ,故 < + <2√3,
3 2 2 2tanB
即△ABC面积的取值范围为(√3 ).
,2√3
2
8. (2023江西模拟预测,18)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知cos(B-C)·
cos A+cos 2A=1+cos Acos(B+C).
(1)若B=C,求cos A的值;
(2)求b2+c2的值.
a2
解析 (1)若B=C,则2B=π-A.
因为cos(B-C)cos A+cos 2A=1+cos(B+C)cos A,
所以cos A+cos 2A=1+cos(π-A)cos A,
整理得3cos2A+cos A-2=0,由A∈(0,π),
2
解得cos A=-1(舍)或cos A= .
3
(2)因为cos(B-C)cos A+cos 2A=1+cos(B+C)cos A,
所以[cos(B-C)-cos(B+C)]cos A=1-cos 2A.
整理得2sin Bsin Ccos A=2sin2A,由正弦定理得2bccos A=2a2,
由余弦定理的推论得b2+c2-a2=2a2,所以b2+c2=3.
a2
