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2025新教材数学高考第一轮复习
5.4 解三角形
五年高考
考点1 正弦定理、余弦定理
1.(2023 全国乙文,4,5 分,易)在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,若 acos B-
π
bcosA=c,且C= ,则B= ( )
5
π π
A. B.
10 5
3π 2π
C. D.
10 5
2.(2021全国甲文,8,5分,易)在△ABC中,已知B=120°,AC=√19,AB=2,则BC= ( )
A.1 B.√2C.√5 D.3
2
3.(2020课标Ⅲ理,7,5分,易)在△ABC中,cos C= ,AC=4,BC=3,则cos B= ( )
3
1 1 1 2
A. B. C. D.
9 3 2 3
2
4.(2020课标Ⅲ文,11,5分,易)在△ABC中,cos C= ,AC=4,BC=3,则tan B= ( )
3
A.√5B.2√5
C.4√5D.8√5
5.(2019 课标Ⅰ文,11,5 分,易)△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知 asin A-
1 b
bsinB=4csin C,cos A=- ,则 =( )
4 c
A.6 B.5
C.4 D.3
6.(2021 全国乙文,15,5 分,易)记△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,面积为√3,
B=60°,a2+c2=3ac,则b= .
7.(2019 课标Ⅱ文,15,5 分,易)△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知 bsin
A+acosB=0,则B= .
8.(2023全国乙理,18,12分,中)在△ABC中,已知∠BAC=120°,AB=2,AC=1.
(1)求sin∠ABC;
(2)若D为BC上一点,且∠BAD=90°,求△ADC的面积.9.(2021新高考Ⅰ,19,12分,中)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知b2=ac,点D
在边AC上,BD·sin∠ABC=asin C.
(1)证明:BD=b;
(2)若AD=2DC,求cos∠ABC.
考点2 解三角形及其综合应用
1.(2023 全国甲理,16,5 分,中)在△ABC 中,∠BAC=60°,AB=2,BC=√6,∠BAC 的角平分线交
BC于D,则AD= .
2. (2022全国甲,理16,文16,5分,中)已知△ABC中,点D在边BC上,
AC
∠ADB=120°,AD=2,CD=2BD.当 取得最小值时,BD= .
AB
3.(2021 浙江,14,6 分,中)在△ABC 中,∠B=60°,AB=2,M 是 BC 的中点,AM=2√3,则 AC=
,cos∠MAC= .
4.(2020 全国Ⅰ,16,5 分,中)如图,在三棱锥 P-ABC 的平面展开图中,AC=1,AB=AD=√3
,AB⊥AC,AB⊥AD,∠CAE=30°,则cos∠FCB= .
5.(2023新课标Ⅰ,17,10分,中)已知在△ABC中,A+B=3C,2sin(A-C)=sin B.
(1)求sin A;
(2)设AB=5,求AB边上的高.6.(2023新课标Ⅱ,17,10分,中)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知△ABC面积
为√3,D为BC的中点,且AD=1.
π
(1)若∠ADC= ,求tan B;
3
(2)若b2+c2=8,求b,c.
7.(2022新高考Ⅱ,18,12分,中)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,分别以a,b,c为边
√3 1
长的三个正三角形的面积依次为S ,S ,S .已知S -S +S = ,sin B= .
1 2 3 1 2 3 2 3
(1)求△ABC的面积;
√2
(2)若sin Asin C= ,求b.
38.(2022 新高考Ⅰ,18,12 分,中)记△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知
cosA sin2B
= .
1+sin A 1+cos2B
2π
(1)若C= ,求B;
3
a2+b2
(2)求 的最小值.
c2
9.(2021 新高考Ⅱ,18,12 分,中)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且满足
b=a+1,c=a+2.
(1)若2sin C=3sin A,求△ABC的面积;
(2)是否存在正整数a,使得△ABC为钝角三角形?若存在,求a;若不存在,说明理由.
三年模拟综合基础练
π
1.(2023福建福州质检,5)已知△ABC的外接圆半径为 1,A= ,则AC·cos C+AB·cos B=(
3
)
1 √3
A. B.1C. D.√3
2 2
2.(2024届河南 TOP二十名校调研(三),5)在△ABC中,a,b,c分别为角 A,B,C所对的边,且
b=2a,2a2+b2=c2,则sin B= ( )
1 √6 √10 √15
A. B. C. D.
4 4 4 4
3.(2024届北京海淀期中,8)在△ABC中,sin B=sin 2A,c=2a,则 ( )
A.∠B为直角 B.∠B为钝角
C.∠C为直角 D.∠C为钝角
4.(2024届广东六校第二次联考,4)如图,A、B两点在河的同侧,且A、B两点均不可到达.现
√3
需测A、B两点间的距离,测量者在河对岸选定两点C、D,测得CD= km,同时在C、D
2
两点分别测得∠ADB=∠CDB=30°,∠ACD=60°,∠ACB=45°,则A、B两点间的距离为( )
√3 √3 √6 √6
A. kmB. kmC. kmD. km
2 4 3 4
5.(2024届河北师范大学附属实验中学月考,8)海伦公式是利用三角形的三条边的长 a,b,c
直接求三角形面积 S的公式,表达式为S=
(
a+b+c);它的
√p(p−a)(p−b)(p−c) 其中p=
2
特点是形式漂亮,便于记忆.中国宋代的数学家秦九韶在 1247年独立提出了“三斜求积
术”,但它与海伦公式完全等价,因此海伦公式又译作海伦-秦九韶公式.现在有周长为
10+2√7的△ABC满 足s iAn∶sin B∶sin C=2∶3∶√7,则用以上给出的公式求得
△ABC的面积为 ( )
A.8√7B.4√7C.6√3 D.12
b
6.(2023 北京房山一模,14)在△ABC 中,sin A=sin 2A,2a=√3b,则 A= ; 的值为
c
.7.(2024届广东湛江调研,17)如图,在△ABC中,点D在边AC上,且AB⊥BD.已知cos A=2sin
A ∠ABC+C
sin ,AB=√2.
2 2
(1)求A;
1
(2)若△BCD的面积为 ,求BC.
2
综合拔高练
1.(2024届四川绵阳中学第二次月考,10)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知
1 1 1 ,则a2+b2= ( )
+ =
tan A tanB tanC c2
A.1 B.2
C.3 D.4
2.(2024届鄂南高中联考期中,8)在△ABC中,AB=2AC,且△ABC的面积为1,则BC的最小
值为 ( )
A.2 B.√3
C.1 D.√2
3.(2024届辽宁省实验中学期中,8)在锐角三角形ABC中,A、B、C的对边分别为a、b、c,
b+c
且满足b2=a(a+c),则 的取值范围为 ( )
a
A.(1,5) B.(√2+1,5)
C.(1,√3+2) D.(√2+1,√3+2)
4.(多选)(2024届河北邢台第一中学月考,9)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,
下列与△ABC有关的结论,正确的是( )
b+2c 2b+c
A.若a=2,A=30°,则 = =4
sinB+2sinC 2sinB+sinCB.若acos A=bcos B,则△ABC是等腰直角三角形
C.若△ABC是锐角三角形,则cos A0恒成立,∴C∈(π ),
,π
2
∵-cos C=sin( π),
C−
2
π π
∴C- =B或B+C− =π(不合题意,舍去),(5分)
2 2
∴A=π-2B,∵A>0,∴B∈( π), (6分)
0,
2 4
∴a2+b2 sin2A+sin2B cos22B+sin2B
= =
c2 sin2C cos2B
=(2cos2B−1) 2+(1−cos2B), (8分)
cos2B
令cos2B=t,t∈(1 ),
,1
2∴a2+b2 (2t−1) 2+(1−t) 2 -5,当且仅当4t=2,即t=√2时,取“=”(扣分点:不
= =4t+ −5≥4√2
c2 t t t 2
写扣1分). (11分)
∴a2+b2 -5. (12分)
的最小值为4√2
c2
9.(2021 新高考Ⅱ,18,12 分,中)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且满足
b=a+1,c=a+2.
(1)若2sin C=3sin A,求△ABC的面积;
(2)是否存在正整数a,使得△ABC为钝角三角形?若存在,求a;若不存在,说明理由.
解析 (1)2sin C=3sin A⇒2c=3a,又∵c=a+2,
∴2(a+2)=3a,∴a=4,∴b=a+1=5,c=a+2=6,
b2+c2−a2 52+62−42 3 √7
∴cos A= = = ,∴sin A=√1−cos2A= ,
2bc 2×5×6 4 4
1 1 √7 15√7
∴S = bcsin A= ×5×6× = . (6分)
△ABC
2 2 4 4
(2)由已知得c>b>a,
若△ABC为钝角三角形,则角C为钝角,
a2+b2−c2
∴cos C= <0⇒a2+b20,∴a∈(0,3).
2ab
(9分)
同时还应考虑构成△ABC的条件,
即a+b>c⇒a+(a+1)>a+2⇒a>1.
综上所述,当a∈(1,3)时,△ABC为钝角三角形.
∴存在正整数a=2,使得△ABC为钝角三角形. (12分)
三年模拟
综合基础练
π
1.(2023福建福州质检,5)已知△ABC的外接圆半径为 1,A= ,则AC·cos C+AB·cos B=(
3
)
1 √3
A. B.1C. D.√3
2 2
答案 D
2.(2024届河南 TOP二十名校调研(三),5)在△ABC中,a,b,c分别为角 A,B,C所对的边,且b=2a,2a2+b2=c2,则sin B= ( )
1 √6 √10 √15
A. B. C. D.
4 4 4 4
答案 C
3.(2024届北京海淀期中,8)在△ABC中,sin B=sin 2A,c=2a,则 ( )
A.∠B为直角 B.∠B为钝角
C.∠C为直角 D.∠C为钝角
答案 C
4.(2024届广东六校第二次联考,4)如图,A、B两点在河的同侧,且A、B两点均不可到达.现
√3
需测A、B两点间的距离,测量者在河对岸选定两点C、D,测得CD= km,同时在C、D
2
两点分别测得∠ADB=∠CDB=30°,∠ACD=60°,∠ACB=45°,则A、B两点间的距离为( )
√3 √3 √6 √6
A. kmB. kmC. kmD. km
2 4 3 4
答案 D
5.(2024届河北师范大学附属实验中学月考,8)海伦公式是利用三角形的三条边的长 a,b,c
直接求三角形面积 S的公式,表达式为S=
(
a+b+c);它的
√p(p−a)(p−b)(p−c) 其中p=
2
特点是形式漂亮,便于记忆.中国宋代的数学家秦九韶在 1247年独立提出了“三斜求积
术”,但它与海伦公式完全等价,因此海伦公式又译作海伦-秦九韶公式.现在有周长为
10+2√7的△ABC满 足s iAn∶sin B∶sin C=2∶3∶√7,则用以上给出的公式求得
△ABC的面积为 ( )
A.8√7B.4√7C.6√3 D.12
答案 C
b
6.(2023 北京房山一模,14)在△ABC 中,sin A=sin 2A,2a=√3b,则 A= ; 的值为
c
.
π
答案 ;2
37.(2024届广东湛江调研,17)如图,在△ABC中,点D在边AC上,且AB⊥BD.已知cos A=2sin
A ∠ABC+C
sin ,AB=√2.
2 2
(1)求A;
1
(2)若△BCD的面积为 ,求BC.
2
A ∠ABC+C A π−A A A
解析 (1)因为 cos A=2sin sin =2sin sin =2sin cos =sin A,可得
2 2 2 2 2 2
sinA
tan A= =1,
cosA
π
因为A∈(0,π),所以A= .
4
(2)作BE⊥AC,垂足为E,
π
在△ABD 中,由 A= ,AB⊥BD 知△ABD 为等腰直角三角形,因为 AB=√2,所以 BD=√2
4
,AD=2,BE=1,
1 1
由 △ BCD 的 面 积 为 BE·CD= , 解 得 CD=1, 可 得 AC=AD+CD=3, 所 以 BC=
2 2
.
√AB2+AC2−2AB·AC·cosA=√5
综合拔高练
1.(2024届四川绵阳中学第二次月考,10)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知
1 1 1 ,则a2+b2= ( )
+ =
tan A tanB tanC c2
A.1 B.2
C.3 D.4
答案 C
2.(2024届鄂南高中联考期中,8)在△ABC中,AB=2AC,且△ABC的面积为1,则BC的最小
值为 ( )
A.2 B.√3C.1 D.√2
答案 B
3.(2024届辽宁省实验中学期中,8)在锐角三角形ABC中,A、B、C的对边分别为a、b、c,
b+c
且满足b2=a(a+c),则 的取值范围为 ( )
a
A.(1,5) B.(√2+1,5)
C.(1,√3+2) D.(√2+1,√3+2)
答案 D
4.(多选)(2024届河北邢台第一中学月考,9)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,
下列与△ABC有关的结论,正确的是( )
b+2c 2b+c
A.若a=2,A=30°,则 = =4
sinB+2sinC 2sinB+sinC
B.若acos A=bcos B,则△ABC是等腰直角三角形
C.若△ABC是锐角三角形,则cos A ,故 < + <2√3,
3 2 2 2tanB
即△ABC面积的取值范围为(√3 ).
,2√3
2
8. (2023江西模拟预测,18)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知cos(B-C)·
cos A+cos 2A=1+cos Acos(B+C).
(1)若B=C,求cos A的值;
(2)求b2+c2的值.
a2
解析 (1)若B=C,则2B=π-A.
因为cos(B-C)cos A+cos 2A=1+cos(B+C)cos A,
所以cos A+cos 2A=1+cos(π-A)cos A,
整理得3cos2A+cos A-2=0,由A∈(0,π),
2
解得cos A=-1(舍)或cos A= .
3
(2)因为cos(B-C)cos A+cos 2A=1+cos(B+C)cos A,
所以[cos(B-C)-cos(B+C)]cos A=1-cos 2A.
整理得2sin Bsin Ccos A=2sin2A,由正弦定理得2bccos A=2a2,
由余弦定理的推论得b2+c2-a2=2a2,所以b2+c2=3.
a2
