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6.3 利用递推公式求通项（精练）（提升版）
题组一 累加法
1．（2022·湖北）在数列 中， ，则数列 中最大项的数值为___．
【答案】10
【解析】当 时
，所以当 时，数列{ }中最大项的数值为10.故
答案为：10.
2．（2022·全国·高三专题练习）设数列 满足 ，则 =_______.
【答案】
【解析】因为数列 满足 ， ，
所以当 时，
.
所以 ， ，因为 ，也满足上式，所以数列 的通项公式为 ，
故答案为：
3．（2022·黑龙江双鸭山）已知数列 满足： ， ， ，则 ______．
【答案】 .
【解析】因为 ， ，
所以当 时，有 ，因此有： ，
即 ，
当 时，适合上式，
所以 ，
故答案为： .
4．（2022·江苏江苏·一模）已知数列 ， ，且 ， .求数列 的通项公式
；
【答案】
【解析】(1)因为 ，所有 ，
当 时， ， ，……， ，相加得 ，所以
，
当 时， 也符合上式，所以数列 的通项公式
5．（2022·全国·高三专题练习）数列 满足 ，求数列 的通项公式
.
【答案】
【解析】根据题意，可得到 ， ，
，……
将以上 个式子累加可得， ,
， ，又 满足，所以6．（2022·全国·江西科技学院附属中学）已知首项为 的数列 的前 项和为 ，且
，则 ______．
【答案】
【解析】依题意， ，则 ，
故 ，
， ， ，…， ，
累加可得， ，
，
当n=1时， 也成立，
故 ，
；
故答案为： .
题组二 累乘法
1．（2022·浙江）已知数列 满足 ，则数列 的通项公式是______【答案】
【解析】∵ ∴ ，即 ，
∴ ，∴ .n=1也适合故答案为： .
2．（2022·上海）若数列 的首项 ，且 ，则数列 的通项公式为_______.
【答案】
【解析】 数列 中， ， ， ，
．故答案为： ．
3．（2022·江苏）已知数列 的前 项和为 ，且 ， （ ），则
【答案】 B
【解析】由题得 （ ）所以 （ ）
由题得 ，所以 （ ）.
所以 所以 .
所以 .故选：B
4．（2020·江苏·泰州市第二中学高二阶段练习）已知数列{a}的前n项和为S，且满足4(n＋1)(S＋1)＝(n
n n n
＋2)2a，则数列{a}的通项公式a 等于
n n n
【答案】(n＋1)3
【解析】当n＝1时，4(1＋1)(a＋1)＝(1＋2)2a，解得a＝8，当n≥2时，由4(Sn＋1)＝ ，
1 1 1得4(Sn ＋1)＝ ，两式相减，得4an＝ － ，
－1
即 ，所以an＝ ,an＝ ＝(n＋1)3，
经验证n＝1时也符合，所以an＝(n＋1)3
5．（2022·安徽）已知数列 中， ，前 项和 ，则 的通项公式为___________.
【答案】
【解析】根据题意，数列 中， ， ， ①， ②，
① ②可得： ，变形可得： ，
则 ；
时， 符合 ；故答案为： ．
题组三 公式法
1．（2022·四川·什邡中学）数列 的前 项和 ，则它的通项公式是_______．
【答案】
【解析】当 时， ，
当 时，
经检验当 时不符合，
所以 ，
故答案为： ，2．（2022·湖北）数列 中，已知 ， 且 （ 且 ），则此数列
的通项公式为__________.
【答案】
【解析】由 得：
（ 且 ）
（ 且 ）即 （ 且 ）
数列 是第二项起公比为 的等比数列，
（ 且 ）又 不满足上式，
3．（2022·上海市七宝中学）设数列 的前 项和为 ，若 ， ，则 的通
项公式为__________．
【答案】
【解析】由 得： ，即 ，
又 ， 数列 是以 为首项， 为公比的等比数列， ；
当 时， ；
当 时， ；
经检验： 不满足 ；
故答案为： .4．（2022·湖南·长郡中学一模）已知正项数列 的前n项和为 ，且 ， ．求数列
的通项公式
【答案】
【解析】(1)∵ ，∴ ．
当 时， ，∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ．
∴数列 的奇数项是以1为首项，4为公差的等差数列，偶数项是以3为首项，4为公差的等差数列．∵
，∴ 为等差数列，通项公式为 ．
5．（2022·天津·静海一中）已知数列 的前 项和为 ，且 ,求 的值，
并证明：数列 是一个常数列；
【答案】 ，证明见解析
【解析】(1)证明：因为 ，且 ．
令 ，有 ，解得 ，
由 ，有 ，
两式相减有 ，化简整理得 ，又 ， ，所以 ，
所以数列 是一个常数列．
6．（2022·全国·单元测试）数列 满足 ， ．求 的通项公式；
【答案】
【解析】由 ，
当 时， ，
两式相减得 ，
则 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
则
，
以上各式相乘得： ，
所以 ，
当 时，上式也成立，所以 ；
7．（2022·四川）设各项均为正数的数列 的前 项和为 ，且 满足 ，
．
(1)求 的值；
(2)求数列 的通项公式．
【答案】(1) ；(2) .
【解析】(1)由 ，得
，即 ，解得： (舍 或 .
(2)由 ，得 ，即 或 （舍）
当 时， ．
当 时， ．验证 时上式成立， ．
8．（2022·广东佛山·二模）已知数列{ }的前n项和为 ，且满足
求 、 的值及数列{ }的通项公式 ：
【答案】 ； ；
【解析】因 ，取 和 得： ，
即 ，解得 ，由 得： ，
数列 是首项为 ，公差 的等差数列，则 ，即 ，
当 时， ，而 满足上式，因此， ，所以 ，数列{ }的通项公式 .
9．（2021·江苏省灌云高级中学）设Sn是正项数列{an}的前n项和，且 ．
(1)求a 的值；
1
(2)求数列{a}的通项公式．
n
【答案】(1)3(2)a＝2n＋1
n
【解析】(1)由所给条件知，当n＝1时 ，
整理得 ，由于 ，得 ；
(2)由条件得 ， ，
①- ②得 ，
整理得：（an＋an ）（an－an －2）＝0，
－1 －1
因为：an＋an ＞0，∴an－an ＝2（n≥2）， 是首项为3，公差为2的等差数列，
－1 －1
，
故 .
10．（2022·海南·模拟预测）设数列 的前n项和为 ， ， ．求数列 的通项
公式；
【答案】
【解析】因为数列 的前n项和为 ， ， ，
当 时， ，
两式相减可得 ，
即 ，可得 ，即 ，当 时， ，所以 ，所以 ，
所以数列 是以3为首项，3为公比的等比数列，
所以 ，即 ，
所以数列 的通项公式 .
题组四 构造等差数列
1．（2022·全国·高三专题练习）已知数列 的首项 ，且各项满足公式 ，则数
列 的通项公式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为数列 的首项 ，且各项满足公式 ，则 ， ， ，
以此类推，对任意的 ， ，
由 可得 ，所以， ，
所以，数列 是等差数列，且首项为 ，公差为 ，
，因此， .
故选：B.
2．（2022·江西）已知数列 满足： ， （ ， ），则 ___________.【答案】
【解析】由题设， ，即 ，而 ，
∴ 是首项、公差均为 的等差数列，即 ，
∴ .故答案为：
3．（2022·全国·高三专题练习）已知数列 满足 ，且 ，则数列 的通项
公式 ______．
【答案】
【解析】∵ ，∴ ，
即 ．又 ， ，∴数列 是以3为首项，1为公差的等差数列，
∴ ，∴数列 的通项公式 ．故答案为： .
4．（2022·全国·高二课时练习）已知数列 中， ，求数列 的通项公式
；
【答案】 ．
【解析】由 ，得： ，∴ ，
即数列 是首项为1，公差为2的等差数列，∴ ，得 ．
5（2022·四川宜宾·二模（理））在数列 中， ， ，且满足 ，
则 ___________.【答案】
【解析】因为 ， ， ，显然 ，所以 ，同除
得 ，所以 ，所以 ，所以 是以 为首
项、 为公比的等比数列，所以 ，所以
所以
故答案为：
题组五 构造等比数列
1．（2022·全国·高三专题练习）已知在数列 中， ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为 ， ，所以 ，整理得 ，所以数列 是以 为首项， 为公比的等比数列．所以 ，解得
．
故选：A
2．（2021·山西师范大学实验中学）已知数列 满足 ， ，则 ___________.
【答案】
【解析】由已知可得 ，设 ，则 ，
所以， ，可得 ，所以， ，且 ，
由题意可知，对任意的 ， ，则 ，
所以，数列 为等比数列，且该数列的首项为 ，公比为 ，
所以， ，因此， .
故答案为： .
3．（2022·福建省长汀县第一中学高三阶段练习）已知数列 满足 ， ，则
的前n项和为___________.
【答案】
【解析】数列 满足 ，整理得： ，所以 ，又 ，故 是以4为首项，2为公比的等比数列，
所以 ，所以 ，所以 的前 项和
故答案为：
4．（2021·陕西·西北工业大学附属中学）已知数列 的前n项和为 ，首项 且 ，若
对任意的 恒成立，则实数 的取值范围为___________.
【答案】
【解析】由题设 ， ，则 是首项、公比都为2的等比数列，
所以 ，则 ，
，则 在 上递增，
所以 ，要使 恒成立，则 .
故答案为：
