文档内容
7.2 空间几何的体积与表面积（精练）（提升版）
题组一 柱锥台的表面积
1．（2022·陕西西安）一个直角三角形的两条直角边长分别为2和 ，将该三角形的斜边旋转一周得到
的几何体的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图所示，在直角 中， ，可得 ，
可得 ，即旋转体的底面圆的半径为 ，所以该旋转体的表面积为：
.故选：A.
2．（2022·山东日照）某正四棱锥的侧棱与底面所成的角为45°，则该正四棱锥的侧面与底面的面积之比为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如图， 是正四棱锥 的高，设底面边长为 ，则底面积为 ，
因为正四棱锥的侧棱与底面所成的角为 ，
所以 ，又 ，所以 ，
所以 是正三角形，面积为 ，
所以 ，即正四棱锥的侧面与底面的面积之比为 故选：D.
3．（2022·全国·高三专题练习（理））已知 中， ， ， 是斜边 上的高，
与 绕 旋转一周得到的几何体的表面积分别为 和 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意得 ， ， ，过点 作 ，垂足为 ，
则 ，所以， ，所以 ．
故选：A.
4．（2022·宁夏石嘴山·一模（文））过圆锥的顶点 作圆锥的截面，交底面圆 于 ， 两点，已知圆
的半径为 ， ， ，则圆锥的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
如图所示，在 中
因为 且 所以 为正三角形所以
所以圆锥的侧面积 故选：B
5．（2022·内蒙古呼和浩特·一模（文））攒尖是中国古代建筑中屋顶的一种结构形式，宋代称为撮尖，清
代称攒尖．通常有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖，也有单檐和重檐之分．多见于亭阁式建筑，
园林建筑．如图所示的建筑屋顶是圆形攒尖，可近似看作一个圆锥，已知其轴截面(过圆锥旋转轴的截面)
是底边长为6 m，顶角为 的等腰三角形，则该屋顶的侧面积约为( )A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图所示为该圆锥轴截面，
由题意，底面圆半径为 ，母线 ，侧面积πrl＝π×3× ＝6 ﹒
故选：B.
6．（2022·江西·赣州市第三中学）斐波那契螺旋线被誉为自然界最完美的“黄金螺旋”，如图给出了它的
画法：以斐波那契数1，1，2，3，5，…为边的正方形依序拼成长方形，然后在每个正方形中画一个圆心
角为 的圆弧，这些圆弧所连起来的弧线就是斐波那契螺旋线.如果用图中接下来的一段圆弧所对应的扇
形做圆锥的侧面，那么该圆锥的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由斐波那契数的规律可知，从第三项起，每一个数都是前面两个数之和，即接下来的圆弧所在的扇形的半径是3+5=8，对应的弧长 .
设圆锥底面半径为r，则 ，即r=2.
该圆锥的表面积为 .
故选：B.
7（2022·全国·高三专题练习）（多选）某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台 ，
在轴截面 中， ，且 ，则（ ）
A．该圆台的高为
B．该圆台轴截面面积为
C．该圆台的体积为
D．一只小虫从点 沿着该圆台的侧面爬行到 的中点，所经过的最短路程为
【答案】BCD
【解析】
如图，作 交 于 ，易得 ，则 ，则圆台的高为 ，A错
误；
圆台的轴截面面积为 ，B正确；圆台的体积为
，C正确；将圆台一半侧面展开，如下图中 ，设 为 中点，圆台对应的圆锥一半侧面展开为扇形 ，
由 可得 ，则 ， ，又 ，则 ，
即点 到 的中点所经过的最短路程为 ，D正确.
故选：BCD.
8．（2022·湖北·武汉二中模拟预测）陀螺是中国民间的娱乐工具之一，也叫作陀罗.陀螺的形状结构如图所
示，由一个同底的圆锥体和圆柱体组合而成，若圆锥体和圆柱体的高以及底面圆的半径长分别为 ， ，
r，且 ，设圆锥体的侧面积和圆柱体的侧面积分别为S 和S，则 ___________.
1 2
【答案】
【解析】由题意，圆锥的母线长为 ，则圆锥的侧面积为 ，
根据圆柱的侧面积公式，可得圆柱的侧面积为 ，所以 .故答案为： .
题组二 柱锥台的体积
1．（2022·全国·高三专题练习）在正四棱锥 中， ，若正四棱锥 的体积是8，
则该四棱锥的侧面积是（ ）
A． B． C．4 D．【答案】C
【解析】如图，连接AC，BD，记 ，连接OP，所以 平面ABCD.
取BC的中点E，连接 .
因为正四棱锥 的体积是8，所以 ，解得 .
因为 ，所以在直角三角形 中, ，
则 的面积为 ，
故该四棱锥的侧面积是 .故选：C
2．（2022·湖北武汉·高三开学考试）2022年7月，台风“暹芭”登陆我国.某兴趣小组为了解台风“暹
芭”对本市降雨量的影响，在下雨时，用一个圆台形的容器接雨水.已知该容器上底直径为56cm，下底直
径为24cm，容器深18cm，若容器中积水深9cm，则平地降雨量是（ ）（注：平地降雨量等于容器中
积水体积除以容器的上底面积）
A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm
【答案】B
【解析】根据题意可得，容器下底面面积为 ，上底面面积为 ,
因为容器中积水高度为容器高度的 ，则积水上底面恰为容器的中截面，
所以积水上底直径为 cm，积水上底面面积为 ，
所以积水体积为 ，
则平地降雨量是 cm.故选：B.3．（2023·全国·高三专题练习）如图，已知正方体 的棱长为2，则下列四个结论错误的是
（ ）
A．直线 与 为异面直线
B． 平面
C．三棱锥 的表面积为
D．三棱锥 的体积为
【答案】D
【解析】因为 平面 , 平面 , 平面 , ,所以直线 与 为异面
直线,故A对. 平面 ， 平面 ， 平面 ，故B对.
, ,所以三棱锥 的
表面积为 ，故C对. ,故D 错.故选:D
4．（2022·全国·高三专题练习）（多选）折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，
“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”．它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹
帷幄､决胜千里､大智大勇的象征（如图1）．图2是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若两个圆
弧 所在圆的半径分别是3和9，且 ，则该圆台的（ ）A．高为 B．体积为
C．表面积为 D．上底面积､下底面积和侧面积之比为
【答案】AC
【解析】设圆台的上底面半径为 ，下底面半径为 ，则 ，解得 ．
圆台的母线长 ，圆台的高为 ，则选项 正确；
圆台的体积 ，则选项 错误；
圆台的上底面积为 ，下底面积为 ，侧面积为 ，则圆台的表面积为 ，
则 正确；由前面可知上底面积､下底面积和侧面积之比为 ，则选项D错误．故选：AC．
5．（2022·重庆）（多选）攒尖是中国传统建筑表现手法，是双坡屋顶形式之一，多用于面积不大的建筑，
如塔、亭、阁等，常用于圆形、方形、六角形、八角形等平面的建筑物上，形成圆攒尖和多边形攒尖．以
四角攒尖为例，如图，它的屋顶部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥，已知此正四棱锥的侧面与底面所成
的二面角为30°，侧棱长为 米，则该正四棱锥的（ ）A．底面边长为4米 B．侧棱与底面所成角的正弦值为
C．侧面积为 平方米 D．体积为32立方米
【答案】BD
【解析】如图，在正四棱锥 中，O为底面ABCD的中心，E为CD的中点， ，
设底面边长为2a，正四棱锥的侧面与底面所成的二面角为 ，
所以 ，则 ， ， ，
所以 ，即 ，可得 ．
底面边长为 米，A错误；侧棱与底面所成角的正弦值为 ，B正确；
侧面积 ，C错误；体积 ，D正确．故选：BD题组三 球的体积与表面积
1．（2022·全国·高三专题练习）如图，一个四分之一球形状的玩具储物盒，若放入一个玩具小球，合上盒
盖，可放小球的最大半径为 .若是放入一个正方体，合上盒盖，可放正方体的最大棱长为 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设储物盒所在球的半径为 ，如图，小球最大半径 满足 ，所以 ，
正方体的最大棱长 满足 ，解得： ，
∴ ，故选：D.
2．（2022·江苏南通·模拟预测）如图，在底面半径为1，高为5的圆柱内放置两个球，使得两个球与圆柱
侧面相切，且分别与圆柱的上下底面相切．一个与两球均相切的平面斜截圆柱侧面，得到的截线是一个椭
圆．则该椭圆的离心率为( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图所示， ， ， ，则 ，∴ ，即，
而 ，即 ，∴ ，∴ ．故选：C．
3（2023·全国·高三专题练习）《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，其第十一卷中称轴
截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥.若一个直角圆锥的侧面积为 ，圆锥的底面圆周和顶点都在
同一球面上，则该球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设球半径为 ，圆锥的底面半径为 ，若一个直角圆锥的侧面积为 ，
设母线为 ，则 ，
所以直角圆锥的侧面积为： ，
可得： ， ，圆锥的高 ，
由 ，解得： ，
所以球 的体积等于 ，故选：B
4．（2022·全国·高三专题练习）圆柱上、下底面的圆周都在一个体积为 的球面上，圆柱底面直径为
8，则该圆柱的体积为_______
【答案】
【解析】球的半径为 ， ，解得 ，圆柱的高为： ．可得 ．
故答案为： ．
5．（2022·湖南岳阳·模拟预测）某球形巧克力设计了一种圆柱形包装盒，每盒可装7个球形巧克力，每盒
只装一层，相邻的球形巧克力相切，与包装盒接触的6个球形巧克力与包装盒相切，如图是平行于底面且
过圆柱母线中点的截面，设包装盒的底面半径为 ，球形巧克力的半径为 ，每个球形巧克力的体积为 ，
包装盒的体积为 ，则 ________
【答案】【解析】由图知 ，包装盒的高为 ，因此， ，又 ，所以
.
故答案为：
6．（2022·全国·高三专题练习）已知一个棱长为a的正方体木块可以在一个圆锥形容器内任意转动，若圆
锥的底面半径为1，母线长为2，则a的最大值为______.
【答案】
【解析】问题等价于求圆锥的内切球的半径r，
由题意得：圆锥的轴截面为等边三角形，且边长为2，则内切圆半径为 ，即 ，
所以 ，解得 .故答案为：
7．（2023·全国·高三专题练习）如图，在矩形ABCD中，AD＝2AB＝4，E是AD的中点，将
分别沿BE，CE折起，使得平面ABE⊥平面BCE，平面CDE⊥平面BCE，则所得几何体ABCDE的外接球的
体积为______．
【答案】
【解析】由题可得 均为等腰直角三角形，如图，设 的中点为 ，
连接 ，则 ，
因为平面 平面 ，平面 平面 ，
所以 平面 平面 ，
易得 ，
则几何体 的外接球的球心为 ，半径 ，
所以几何体 的外接球的体积为 ．
故答案为：
题组四 空间几何截面
1．（2022·全国·高三专题练习）若一个圆锥的母线长为4，且其侧面积为其轴截面面积的4倍，则该圆锥
的高为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【解析】如图所示，设圆锥的高为h，底面半径为r，则侧面积为 ，轴截面为等腰三角形
PAB，面积为 ，其侧面积为其轴截面面积的4倍，所以 ，解得：故选：B
2．（2023·全国·高三专题练习）已知圆锥的母线长为5，侧面积为 ，过此圆锥的顶点作一截面，则截
面面积最大为__________
【答案】
【解析】设圆锥的底面半径为r，则 ， ， 圆锥的高 ，
设轴截面中两母线夹角为 ，则 ， ，
所以当两母线夹角为 时，过此圆锥顶点的截面面积最大，最大面积为 .
故答案为：
3．（2022湖南）古人为避雷和便于雨水下泄，常将屋顶设计成圆锥形状，多见于我国东南沿海地带，经
测算某圆锥屋顶的轴截面为一个斜边长约为20米的等腰直角三角形，则圆锥的侧面积约为______ 平方米.
【答案】
【解析】依题意，圆锥的底面半径为10米，母线长为 米，
于是其侧面积为 （平方米）.故答案为： ．
4．（2022·甘肃）轴截面为正方形的圆柱，它的两底面圆周上的各点都在一个直径为 的球的球面上，则
该圆柱的体积为_________.
【答案】
【解析】因为轴截面为正方形，所以它的底半径与高之比为 ，
设底半径为 ，高为 ，则外接球的半径 ，因为球的直径为 ，所以 ，解得 ，则高为 ，
所以圆柱的体积为 .故答案为：
