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第 16 讲 库仑定律 电场力的性质
1.理解电场强度的定义、意义及表示方法.
2.熟练掌握各种电场的电场线分布，并能利用它们分析解决问题.
3.会分析、计算在电场力作用下的电荷的平衡及运动问题．
考点一 库仑定律的理解及应用
1．表达式：F＝k，适用条件是真空中两静止点电荷之间相互作用的静电力．
2．平衡问题应注意：
(1)明确库仑定律的适用条件；
(2)知道完全相同的带电小球接触时电荷量的分配规律；
(3)进行受力分析，灵活应用平衡条件．
3．三个自由点电荷的平衡问题
(1)条件：两个点电荷在第三个点电荷处的合场强为零，或每个点电荷受到的两个库仑力必须大小相等，方向相反．
(2)规律：“三点共线”——三个点电荷分布在同一条直线上；“两同夹异”——正、负电荷相互间
隔；“两大夹小”——中间电荷的电荷量最小；“近小远大”——中间电荷靠近电荷量较小的电荷．
[例题1] （2024•宁波二模）如图，用三根绝缘细绳把三个带同种电荷的小球 A、B、C悬
挂在O点。小球静止时，恰好位于同一水平面，细绳与竖直方向的夹角分别为 、 、 ，已知
小球A、B、C的质量分别为m 、m 、m ，电荷量分别为q 、q 、q ，则下列α说法β 正γ确的是
A B C A B C
（ ）
A．若小球的质量m ＝m ＝m ，则一定有 ＝ ＝
A B C
B．若小球的质量m ＝m ＝m ，则可能有α＝β＞γ
A B C
C．若小球所带电荷量q ＝q ＝q ，则一定有α β＝ γ＝
A B C
D．若小球所带电荷量q ＞q ＞q ，则一定有α＜β＜γ
A B C
[例题2] （2024•郑州模拟）如图所示，α真空β中γA、B、C三点的连线构成一个等腰三角形，
OC为AB连线的中垂线，O为连线中点。A的电荷量为﹣Q，B的电荷量为为+Q，两点电荷分
别固定在A、B点，A、B相距l，静电力常量为k。现将另一个电荷量为+q的点电荷放置在
1
AB连线的中垂线上距O点为x= l的C点处，此时+q所受的静电力大小为（ ）
2
√2kQq kQq √2kQq 2√2kQq
A． B． C． D．
2l2 l2 l2 l2
[例题3] （2024•曲靖一模）如图所示，带电荷量为 6Q（Q＞0）的球1固定在倾角为30°
光滑绝缘斜面上的a点，其正上方L处固定一电荷量为﹣Q的球2，斜面上距a点L处的b点有质量为m的带电球3，球3与一端固定的绝缘轻质弹簧相连并在b点处于静止状态。此时弹
L mg
簧的压缩量为 ，球2、3间的静电力大小为 。迅速移走球1后，球3沿斜面向下运动。g
2 2
为重力加速度，球的大小可忽略，下列关于球3的说法正确的是（ ）
A．由b到a一直做加速运动
B．运动至a点的速度等于√2gL
3
C．运动至a点的加速度大小为 g
2
3√3−4
D．运动至ab中点时对斜面的压力大小为 mg
6
考点二 电场强度的理解
1．场强公式的比较
三个公式
2．电场的叠加
(1)电场叠加：多个电荷在空间某处产生的电场强度为各电荷单独在该处所产生的电场强度的矢量和．
(2)运算法则：平行四边形定则．
[例题4] （2024•淮安模拟）如图所示，电荷均匀分布在半球面上，它在这半球的中心O
处电场强度等于E两个平面通过同一条直径，夹角为 ，从半球中分出一部分球面，则所分出
的这部分球面上（在“小瓣”上）的电荷在O处的电场α强度为（ ）α α
A．E＝E sin B．E＝E cos C．E＝E sin D．E＝E cos
0 0 0 0
2 2
α α
[例题5] （2024•包头二模）如图所示，四个电荷量均为+q的点电荷固定在一个正方形
abcd的四个顶点上，用一小型金属球壳将d点处正电荷封闭在球心位置，球壳半径远小于ab
边长。M、N分别为ab和bc的中点，则下列说法正确的是（ ）
A．O点处的电场强度方向沿Od方向
B．M点处的电场强度大小为0
C．N点处的电场强度方向沿ON方向
D．若将金属球壳接地，O点处的电场强度不变
[例题6] （2024•宁波模拟）如图甲，两等量异种点电荷位于同一竖直线上，在两点电荷
连线的中垂线上放置一粗糙水平横杆，有一质量为 m，电荷量为+q的圆环（可视为质点）可
沿横杆滑动。t＝0时刻，圆环自A处以初速度v 向右运动，此后圆环运动的v﹣t图像如图乙
0
所示，t＝0时刻和t 时刻图线斜率相同，t 和t 时刻图线斜率均为0，已知圆环t 时刻运动至
2 1 3 2
O点，继续向右运动至B点停下，且A、B关于两电荷连线中点O对称。若A处场强为E ，
0
AO间距为L，重力加速度为g，且圆环运动过程中电量始终不变，则下列说法正确的是（
）
A．圆环与横杆之间的动摩擦因数 v2
μ= 0
4gL
1
B．t ﹣t 时间内圆环的位移大小为 L
1 2
21
C．圆环在O处运动的速度v = v
2 2 0
2mg
D．O处的场强大小为E= −E
q 0
考点三 电场线和运动轨迹问题
1．电场线与运动轨迹的关系
根据电场线的定义，一般情况下，带电粒子在电场中的运动轨迹不会与电场线重合，只有同时满足
以下3个条件时，两者才会重合：
(1)电场线为直线；
(2)电荷的初速度为零，或速度方向与电场线平行；
(3)电荷仅受电场力或所受其他力的合力的方向与电场线平行．
2．解题思路
(1)根据带电粒子的弯曲方向，判断出受力情况；(2)把电场线方向、受力方向与电性相联系；(3)把
电场线疏密和受力大小、加速度大小相联系，有时还要与等势面联系在一起．
[例题7] （2023•重庆模拟）如图所示，实线表示某静电场中的电场线，过 M点的电场线
是水平直线，虚线表示该电场中的一条竖直等势线，M、N、P是电场线上的点，Q是等势线
上的点。一带正电的点电荷在 M 点由静止释放，仅在电场力作用下水平向右运动，则
（ ）
A．点电荷一定向右做匀加速运动
B．点电荷在N点释放时的加速度比在P点释放时的加速度小
C．将一负点电荷从P点移到N点，电场力做正功
D．将一负点电荷从Q点沿等势线竖直向上射出，点电荷将沿等势线做直线运动
[例题8] （2024•海淀区校级二模）在一些电子显示设备中，让阴极发射的电子束通过适
当的非匀强电场，可以使发散的电子束聚集。下列4幅图中带箭头的实线表示电场线，如果用虚线表示电子可能的运动轨迹，其中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
[例题9] （2023•宁都县校级一模）如图，MN是负点电荷电场中的一条电场线，一带正
电的粒子（不计重力）从a到b穿越这条电场线的轨迹如图中虚线所示．下列结论正确的是（
）
A．带电粒子在a点时的加速度小于在b点时的加速度
B．带电粒子在a点时的电势能大于在b点时的电势能
C．带电粒子从a到b运动的过程中动能逐渐减小
D．负点电荷一定位于N点右侧
[例题10]（2023•重庆模拟）如图所示，实线是一簇由负点电荷产生的电场线。一带正电
的粒子仅在电场力作用下通过电场，图中虚线为粒子的运动轨迹，a、b是轨迹上的两点。下
列判断错误的是（ ）
A．a点场强大于b点场强
B．带电粒子从a到b电势能减小
C．带电粒子从a到b动能减小
D．a点电势小于b点电势考点四 带电体的力电综合问题
1．解答力电综合问题的一般思路
2．运动情况反映受力情况
(1)物体静止(保持)：F ＝0.
合
(2)做直线运动
①匀速直线运动：F ＝0.
合
②变速直线运动：F ≠0，且F 与速度方向总是一致．
合 合
(3)做曲线运动：F ≠0，F 与速度方向不在一条直线上，且总指向运动轨迹曲线凹的一侧．
合 合
(4)F 与v的夹角为α，加速运动：0≤α＜90°；减速运动；90°＜α≤180°.
合
(5)匀变速运动：F ＝恒量．
合
[例题11] （2023•河北模拟）一轻质绝缘“L”型轻杆固定在水平面上，质量均为m的光
滑小环A、B套在支架上，两小环之间用轻绳连接，其中B环带正电，电荷量为q，A环不带
电，整个装置放在匀强电场中，电场强度的大小为E，电场强度的方向与水平面平行，垂直于
OM杆，A环在一水平力F作用下缓慢向右移动一段距离，重力加速度为 g，下列说法正确的
是（ ）
mg+Eq
A．当轻绳与OM杆夹角为 时，绳子拉力大小为
sinθ
θ
B．轻杆对B环的弹力逐渐增大C．A环缓慢向右移动过程中，绳子拉力逐渐减小
D．轻杆OM对A环的弹力大小为E
q
[例题12]（多选）（2023•遂宁三模）如图甲所示，粗糙程度相同的足够长的竖直墙面上
5mg
有一质量为m带电量为q（q＞0）的物体处于场强大小为E= 且与水平方向成 ＝37°的匀
3q
θ
强电场中，保持静止状态。t＝0时刻一竖直方向的力F（大小未知）作用在物体上，同时物体
得到一竖直向下的初速度v开始运动，物体运动的位移与时间h﹣t图像如图乙所示。0～t 段
0
为一次函数；t ～2t 段为二次函数，且两段图像在t 处相切。带电物体视为质点，电量保持不
0 0 0
变，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，重力加速度为g，则下列说法中正确的是（ ）
A．0～t 物体做匀速直线运动
0
B．t ～2t 物体受到竖直外力为恒力
0 0
3
C．t= t 时刻物体机械能有最小值
2 0
t
D． 0～2t 物体的动能增加了4mv2
2 0
[例题13]（2023•信阳二模）如图所示，一条长为L的绝缘细线，上端固定，下端系一质
量为m的带电小球，将它置于电场强度为E、方向水平向右的匀强电场中，小球静止时悬线与
竖直方向的夹角 ＝45°。现将小球向左拉起到与O等高处由静止释放，运动中小球的带电量
不变，细线始终没α有被拉断。取重力加速度为g，试求：
（1）小球带何种电荷及电荷量的大小；
（2）球向右摆动过程中细线的最大张力。题型1库仑力作用下的平衡问题
1. （2024•宁乡市模拟）如图所示，绝缘光滑圆环竖直固定放置，a、b、c为三个套在圆
环上可自由滑动的带电小球，所带电荷量的大小均为 q（电性未知），圆环半径为R，当小球
b位于圆环最低点时，a、c两球恰好可以静止于与圆心等高的位置上，重力加速度为g，则下
列说法正确的是（ ）
A．a、c小球可能带异种电荷
B．a、b小球可能带异种电荷
C．a球质量应满足 √2kq2
m =
a 4gR2
D．c球质量应满足 √2kq2
m =
c 2gR2
2. （多选）（2024•天心区校级模拟）如图所示，两个带电小球 A、B分别处在光滑绝
缘的斜面和水平面上，且在同一竖直平面内。用水平向左的推力F作用于B球，两球在图示位
置静止。现将B球水平向左移动一小段距离，发现 A球随之沿斜面向上移动少许，两球在虚线位置重新平衡。与移动前相比，下列说法正确的是（ ）
A．斜面对A的弹力增大
B．水平面对B的弹力增大
C．推力F变小
D．两球之间的距离变小
3. （2023•海南模拟）用绝缘细线a、b将两个带电小球1和2连接并悬挂，已知小球2
的重力为G，如图所示，两小球处于静止状态，细线a与竖直方向的夹角为30°，两小球连线
与水平方向夹角为30°，细线b水平，则（ ）
A．小球1带电量一定小于小球2的带电量
B．细线a拉力大小为2√3G
√3
C．细线b拉力大小为 G
3
D．小球1与2的质量比为1：2
题型2库仑力作用下的加速运动问题
4. （2022•开封模拟）如图所示，带电小球 1固定在空中A点，带电小球2在库仑斥力
的作用下沿光滑绝缘水平面向右做加速运动，运动到B点时加速度大小为a，A、B连线与竖
直方向的夹角为30°，当小球2运动到C点，A、C连线与竖直方向夹角为60°角时，小球2的
加速度大小为（两小球均可看成点电荷）（ ）1 √3 √3 √3
A． a B． a C． a D． a
2 2 3 4
5. （2022•浙江模拟）如图甲、乙两个带电物体放置于在绝缘水平面上，同时由静止释
放甲和乙后，甲开始时静止，物体乙运动的v﹣t图像如图所示，则（ ）
A．两个物体带同种电荷
B．甲受到地面向左的摩擦力
C．两个物体带电量一定相等
D．经过一段时间，甲可能运动
题型3叠加法、对称法、补偿法、微元法求电场强度
6. （2024•揭阳二模）均匀带电的球壳在球外空间产生的电场等效于电荷集中于球心处
产生的电场。如图所示，在半球面AB上均匀分布着正电荷，总电荷量为q，球面半径为R，
CD为通过半球顶点与球心O的轴线，在轴线上有M、N两点，OM＝ON＝2R，已知N点的电
场强度大小为E，静电力常量为k，则M点的电场强度大小为（ ）
kq kq kq kg
A． −E B． C． −E D． +E
2R2 4R2 4R2 4R2
7. （2024•杭州二模）水平面上有一块半径为 R均匀带正电的圆形薄平板，单位面积带电量为σ，以圆盘圆心为原点，以向上为正方向，垂直圆盘建立 x轴，轴上任意一点P（坐标
x
为x）的电场强度为：E=2πkσ[1− ]，现将一电量大小为q、质量为m的负点电荷
√R2+x2
在x＝d（d＞0）处静止释放。若d R，不计点电荷重力，则点电荷碰到圆盘前瞬间的速度大
小最接近（ ） ≪
√2πkσqd √πkσqd √2πkσqd √πkσqd
A． B．2 C． D．2
m m mR mR
8. （2024•长沙模拟）如图，水平面上有一带电量为+Q的均匀带电圆环，其圆心为O，
O点正上方h处有一点P，P和圆环上任一点的连线与圆环面的夹角均为 。已知静电力常量为
k，则P点场强大小为（ ） θ
A． Qcosθ B． Qcos3θ
k k
2 2
ℎ ℎ
C． Qsinθ D． Qsin3θ
k k
2 2
ℎ ℎ
9. （2024•南昌一模）如图所示，电荷量为+q的电荷均匀地分布在半径为R的绝缘环上，
O为圆环的圆心、在过O点垂直于圆环平面的轴上有一点P，它与O点的距离OP＝2R，在P
点也有一带电荷量为+q的点电荷，A点为OP的中点，随着R的改变，下列图像中，A点的场
强与相关物理量之间关系正确的是（ ）A． B．
C． D．
10. （多选）（2024•长春一模）已知一个均匀带电球壳在球壳内部产生的电场强度处处
为零，在球壳外部产生的电场与一个位于球壳球心、带相同电荷量的点电荷产生的电场相同。
有一个电荷量为+Q、半径为R、电荷均匀分布的实心球体，其球心为O点。现从该球体内部
R
挖去一个半径为 的实心小球，如图所示，挖去小球后，不改变剩余部分的电荷分布，O 点
2
2
与O 点关于O点对称。由以上条件可以计算出挖去实心小球后，O 点的电场强度E 、O 点的
1 1 1 2
电场强度E 的大小分别为（ ）
2
Q Q
A．E =k B．E =k
1 8R2 1 2R2
3Q 5Q
C．E =k D．E =k
2 8R2 2 8R2题型4电场线的应用
11. （2023秋•垫江县校级期末）金属板和板前一正点电荷形成的电场线分布如图所示，
A、B、C、D为电场中的四个点，则（ ）
A．图中没有电场线的地方就没有电场
B．C点电势低于A点电势
C．正电荷在D点的电势能高于在B点的电势能
D．正电荷从D点静止释放，若只受电场力作用，将沿电场线运动到B点
12. （多选）（2023秋•厦门期末）两点电荷M和N周围的电场线如图所示，A、B是电
场中的两点，则（ ）
A．M、N电荷量大小相等
B．M为负电荷，N为正电荷
C．A点电势小于B点电势
D．A点电场强度大于B点电场强度
13. （多选）（2023秋•佳木斯期末）某静电场的电场线如图中实线所示，一带电粒子仅
受电场力作用在电场中运动，虚线MN为其运动轨迹，以下说法中正确的有（ ）A．M点场强大于N点场强 B．M点场强小于N点场强
C．M点电势高于N点电势 D．M点电势低于N点电势
题型5电场线+运动轨迹组合模型
14. （2023春•台州期中）如图虚线为某一电场的电场线，实线PQ是某一粒子仅受静电
力的运动轨迹，以下说法正确的是（ ）
A．粒子带正电荷
B．P点的电场强度大于Q点的电场强度
C．粒子在P点的速度小于Q点的速度
D．粒子在P点的加速度大于Q点的加速度
15. （2023秋•凉山州期末）如图所示，实线代表电场线，虚线代表的是仅在电场力作用
下的带电粒子的运动轨迹。粒子从M点运动到N点，以下说法正确的是（ ）
A．该带电粒子带负电
B．M点的电势低于在N点的电势C．粒子在M点的电势能大于在N点的电势能
D．粒子在N点的加速度小于在M点的加速度
16. （2022秋•沙依巴克区校级期末）某电场线分布如图所示，一带电粒子沿图中虚线所
示途径运动，先后通过M点和N点，以下说法正确的是（ ）
A．M、N点的场强E ＞E
M N
B．粒子在M、N点的加速度a ＞a
M N
C．粒子在M、N点的速度v ＞v
M N
D．粒子带正电
17. （2022秋•杭州期末）如图所示是两个等量点电荷的电场线分布，虚线是某带电体在
电场中仅受电场力的运动轨迹，图中A、B是轨迹上其中两点，则（ ）
A．该带电体应带的是正电荷
B．题中等量点电荷左边为正电荷，而右边应为负电荷
C．该带电体在A处的加速度比在B处的加速度要大
D．该带电体在A处的电势能比B处的电势能大
18. （2024•西城区校级模拟）法拉第提出场的概念，并且用场线直观地描绘了场，场线
的疏密程度表示场的强弱，场线上每一点的切线方向表示场强的方向。
（1）狄拉克曾经预言，自然界应该存在只有一个磁极的磁单极子，其周围磁感线呈均匀辐射状
分布，与点电荷的电场线分布相似。如图1所示，若空间中有一固定的N极磁单极子，一带电
微粒Q在其上方沿顺时针方向（俯视）做匀速圆周运动，运动轨迹的圆心O到磁单极子的距离
为d，运动周期为T，重力加速度为g。①在图中画出N极磁单极子周围的磁感线；
②分析该微粒带正电还是负电，并求出该微粒运动轨迹的半径R。
（2）场的通量可以描述场线的数量，在研究磁场时我们引入了磁通量 ，定义磁通量 ＝BS，
其中B为磁感应强度，S为垂直于磁场的面积。 Φ Φ
①如图2所示，真空中存在电荷量为Q的正点电荷，以点电荷为球心，做半径为r、高度为h的
球冠，已知真空中静电力常量为k，球冠的表面积为2 rh，请类比磁通量的定义，求通过球冠的
电通量 ； π
E
②真空Φ中存在两个异种点电荷+q 和﹣q ，图3中曲线为从+q 出发，终止于﹣q 的一条电场线，
1 2 1 2
该电场线在两点电荷附近的切线方向与两电荷的连线夹角分别为 和 ，求两点电荷的电荷量之
α β
比q 。
1
q
2
