文档内容
2025新教材数学高考第一轮复习
9.2 椭圆
五年高考
考点1 椭圆的定义和标准方程
x2 y2
1.(2021 新高考Ⅰ,5,5 分,易)已知 F ,F 是椭圆 C: + =1 的两个焦点,点 M 在 C 上,则|
1 2 9 4
MF |·|MF |的最大值为 ( )
1 2
A.13 B.12 C.9 D.6
x2
2.(2023 全国甲文,7,5 分,中)设 F ,F 为椭圆 C: +y2=1 的两个焦点,点 P 在 C 上,若
1 2 5
⃗PF ·⃗PF =0,则|PF |·|PF |= ( )
1 2 1 2
A.1 B.2 C.4 D.5
x2 y2 1
3.(2022全国甲文,11,5分,中)已知椭圆C: + =1(a>b>0)的离心率为 ,A ,A 分别为C的
a2 b2 3 1 2
左、右顶点,B为C的上顶点.若⃗BA ·⃗BA =-1,则C的方程为 ( )
1 2
x2 y2 x2 y2
A. + =1B. + =1
18 16 9 8
x2 y2 x2
C. + =1D. +y2=1
3 2 2
x2 y2
4.(2023全国甲理,12,5分,中)设O为坐标原点,F ,F 为椭圆C: + =1的两个焦点,点P
1 2 9 6
3
在C上,cos∠F PF = ,则|OP|= ( )
1 2 5
13 √30 14 √35
A. B. C. D.
5 2 5 2
5.(2019课标Ⅰ理,10,5分,中)已知椭圆C的焦点为F (-1,0),F (1,0),过F 的直线与C交于
1 2 2
A,B两点.若|AF |=2|F B|,|AB|=|BF |,则C的方程为 ( )
2 2 1
x2 x2 y2
A. + y2=1B. + =1
2 3 2
x2 y2 x2 y2
C. + =1D. + =1
4 3 5 4
x2 y2
6.(2019课标Ⅲ理,15,5分,中)设F ,F 为椭圆C: + =1的两个焦点,M为C上一点且在
1 2 36 20第一象限.若△MF F 为等腰三角形,则M的坐标为 .
1 2
x2 y2
7.(2020课标Ⅱ理,19,12分,中)已知椭圆C : + =1(a>b>0)的右焦点F与抛物线C 的焦
1 a2 b2 2
点重合,C 的中心与C 的顶点重合.过F且与x轴垂直的直线交C 于A,B两点,交C 于C,D
1 2 1 2
4
两点,且|CD|= |AB|.
3
(1)求C 的离心率;
1
(2)设M是C 与C 的公共点.若|MF|=5,求C 与C 的标准方程.
1 2 1 2
x2 y2
8.(2019天津文,19,14分,难)设椭圆 + =1(a>b>0)的左焦点为F,左顶点为A,上顶点为B.
a2 b2
已知√3|OA|=2|OB|(O为原点).
(1)求椭圆的离心率;
3
(2)设经过点F且斜率为 的直线l与椭圆在x轴上方的交点为P,圆C同时与x轴和直线l
4
相切,圆心C在直线x=4上,且OC∥AP.求椭圆的方程.考点2 椭圆的几何性质
x2 y2
1.(2018课标Ⅰ文,4,5分,易)已知椭圆C: + =1的一个焦点为(2,0),则C的离心率为 (
a2 4
)
1 1 √2 2√2
A. B. C. D.
3 2 2 3
x2 y2 1
2.(2019北京理,4,5分,易)已知椭圆 + =1(a>b>0)的离心率为 ,则 ( )
a2 b2 2
A.a2=2b2 B.3a2=4b2
C.a=2b D.3a=4b
x2 x2
3.(2023 新课标Ⅰ,5,5 分,易)设椭圆 C : +y2=1(a>1),C : +y2=1 的离心率分别为 e ,e .若
1 a2 2 4 1 2
e =√3e ,则a= ( )
2 1
2√3
A. B.√2
3
C.√3D.√6
x2
4.(2023新课标Ⅱ,5,5分,中)已知椭圆C: +y2=1的左、右焦点分别为F ,F ,直线y=x+m与
3 1 2
C交于A,B两点,若△F AB面积是△F AB面积的2倍,则m= ( )
1 2
2 √2 √2 2
A. B. C.− D.−
3 3 3 3
x2 y2
5.(2022全国甲理,10,5分,中)椭圆C: + =1(a>b>0)的左顶点为A,点P,Q均在C上,且关
a2 b21
于y轴对称.若直线AP,AQ的斜率之积为 ,则C的离心率为 ( )
4
√3 √2 1 1
A. B. C. D.
2 2 2 3
x2 y2
6.(2017课标Ⅰ文,12,5分,中)设A,B是椭圆C: + =1长轴的两个端点.若C上存在点M
3 m
满足∠AMB=120°,则m的取值范围是( )
A.(0,1]∪[9,+∞) B.(0,√3]∪[9,+∞)
C.(0,1]∪[4,+∞) D.(0,√3]∪[4,+∞)
x2 y2
7.(2021全国乙理,11,5分,难)设B是椭圆C: + =1(a>b>0)的上顶点,若C上的任意一点
a2 b2
P都满足|PB|≤2b,则C的离心率的取值范围是 ( )
[√2 ) [1 )
A. ,1 B. ,1
2 2
( √2] ( 1]
C. 0, D. 0,
2 2
x2 y2
8.(2021浙江,16,6分,中)已知椭圆 + =1(a>b>0),焦点F (-c,0),F (c,0)(c>0).若过F 的直
a2 b2 1 2 1
( 1 ) 2
线和圆 x− c +y2=c2相切,与椭圆在第一象限交于点P,且PF ⊥x轴,则该直线的斜率是
2 2
,椭圆的离心率是 .
x2 y2
9.(2022新高考Ⅱ,16,5分,难)已知直线l与椭圆 + =1在第一象限交于 A,B两点,l与x
6 3
轴、y轴分别交于M,N两点,且|MA|=|NB|,|MN|=2√3,则l的方程为 .
x2 y2
10.(2022新高考Ⅰ,16,5分,难)已知椭圆C: + =1(a>b>0),C的上顶点为 A,两个焦点为
a2 b2
1
F ,F ,离心率为 .过F 且垂直于AF 的直线与C交于D,E两点,|DE|=6,则△ADE的周长是
1 2 2 1 2
.x2 y2
11.(2022天津,19,15分,难)已知椭圆 + =1(a>b>0)的右焦点为 F,右顶点为A,上顶点为
a2 b2
|BF| √3
B,且满足 = .
|AB| 2
(1)求椭圆的离心率e;
(2)已知直线l与椭圆有唯一公共点M,与y轴交于点N(N异于M),记点O为坐标原点,若|
OM|=|ON|,且△OMN的面积为√3,求椭圆的标准方程.
三年模拟
综合基础练
1.(2023江苏南通一模)2022年神舟接力腾飞,中国空间站全面建成,我们的“太空之家”
遨游苍穹.太空中,飞船与空间站的对接需要经过多次变轨.某飞船升空后的初始运行轨道
是以地球的中心为一个焦点的椭圆,其远地点(长轴端点中离地面最远的点)距地面S ,近地
1
点(长轴端点中离地面最近的点)距地面S ,地球的半径为R,则该椭圆的短轴长为 ( )
2
A.
√S S
1 2B.2
√S S
1 2
C.
√(S +R)(S +R)
1 2
D.2
√(S +R)(S +R)
1 2
√5 x2 y2
2.(2024 届广东普宁二中第一次月考 ,5)已知离心率 的椭圆C的方程为 +
3 m n
m+n
=1(m>n>0),则 = ( )
m−n
12 13
A.2 B. C. D.3
5 5
3.(2023广东深圳二模)设椭圆C:x2 y2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F ,F ,直线l过点
+ 1 2
a2 b2
1
F .若点F 关于l的对称点P恰好在椭圆C上,且⃗F P·⃗F F = a2,则C的离心率为( )
1 2 1 1 2 2
1 2 1 2
A. B. C. D.
3 3 2 5
4.(2024届湖北武汉武钢三中月考,7)古希腊数学家阿波罗尼奥斯在研究圆锥曲线时发现
了椭圆的光学性质:从椭圆的一个焦点射出的光线,经椭圆反射,其反射光线必经过椭圆的
另一个焦点.设椭圆x2 y2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F ,F ,若从椭圆右焦点 F 发出
+ 1 2 2
a2 b2
3
的光线经过椭圆上的点 A和点B反射后,满足AB⊥AD,且cos∠ABC= ,则该椭圆的离心率
5
为( )
1 √2 √3 √5
A. B. C. D.
2 2 2 3
x2 y2
5.(2024届湖北武昌实验中学月考,5)已知椭圆C: + =1的左、右焦点分别为 F ,F ,点
1 2
16 124m+n
P是椭圆C上的动点,m=|PF |,n=|PF |,则 的最小值为 ( )
1 2
mn
9 5
A. B.
8 4
20−3√7 20+3√7
C. D.
9 9
6.(多选)(2023 湖北武汉四调)椭圆x2 y2=1(a>b>0)的一个焦点和一个顶点在圆 x2+y2-
+
a2 b2
5x-4y+4=0上,则该椭圆的离心率的可能取值为 ( )
1 1 2√5 √5
A. B. C. D.
2 4 5 5
7.(多选)(2024届广东深圳开学模考,11)已知椭圆E:x2 y2=1(a>b>0)的离心率为1,左、右
+
a2 b2 2
焦点分别为 F ,F ,上顶点为 P,若过 F 且倾斜角为 30°的直线 l 与椭圆 E 交于 A,B 两点,
1 2 1
△PAB的周长为8,则 ( )
A.直线PF 的斜率为-√3
2
B.椭圆E的短轴长为4
C. =2
⃗PF ·⃗PF
1 2
48
D.四边形APBF 的面积为
2
13
8.(2023 江 苏 省 包 场 高 级 中 学 检 测 ,13) 已 知 椭 圆
x2 y2
+ =1的长轴在y轴上.若焦距为2√2,则m等于 .
10−m m−2
9.(2024届河北邢台一中月考,16)设F ,F 分别是椭圆C的左,右焦点,过点F 的直线交椭圆
1 2 1
4
C于M,N两点,若⃗M F =3⃗F N,且cos∠MNF = ,则cos∠MF N= .
1 1 2 5 2
10.(2024届福建厦门国祺中学第一次月考,22)已知椭圆C:x2 y2=1(a>b>0)的离心率为√6,
+
a2 b2 3
椭圆C上任意一点到椭圆两焦点的距离之和为6.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设直线l:y=x-2与椭圆C交于M,N两点,O是原点,求△OMN的面积.综合拔高练
1
1.(2023广东广州阶段测试,3)记p:“方程(m-1)x2+(3-m)y2=1表示椭圆”,q:“函数f(x)= x3+
3
(m-2)x2+x无极值”,则p是q的 ( )
A.充要条件
B.充分不必要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
2.(2024届湖北武汉华中师大附中开学考,6)已知F ,F 分别是椭圆C:x2 y2=1(a>b>0)的左、
1 2 +
a2 b2
右焦点,M 是 C 上一点且 MF 与 x 轴垂直,直线 MF 与 C 的另一个交点为 N,若
2 1
,则C的离心率为 ( )
⃗M F =3⃗F N
1 1
√3 1 √3 2√2
A. B. C. D.
3 3 2 3
3.(多选)(2023广东汕头二模,9)已知曲线C:x2+y2cos α=1,α∈[0,π],则下列结论正确的是 (
)
A.曲线C可能是圆,也可能是直线
B.曲线C可能是焦点在y轴上的椭圆
C.当曲线C表示椭圆时,α越大,椭圆越圆
D.当曲线C表示双曲线时,它的离心率有最小值,且最小值为√2
x2 y2
4.(多选)(2024届云南师范大学附中月考,10)已知点F为椭圆C: + =1的左焦点,点P为
4 3
C上的任意一点,点A的坐标为(1,3),则下列正确的是 ( )
A.|PA|+|PF|的最小值为√13
B.|PA|+|PF|的最大值为7C.|PF|-|PA|的最小值为√13
D.|PF|-|PA|的最大值为1
5.(2023山东潍坊二模)如图,菱形架ABCD是一种作图工具,由四根长度均为4的直杆用铰
链首尾连接而成.已知A,C可在带滑槽的直杆l上滑动;另一根带滑槽的直杆DH的长度为
4,且一端记为H,另一端用铰链连接在D处,上述两根带滑槽直杆的交点P处有一栓子(可
在带滑槽的直杆上滑动).若将H,B固定在桌面上,且两点之间距离为2,转动杆HD,则点P
与点B距离的最大值为 .
6.(2023 江苏扬州中学开学考,15)已知椭圆 x2 y2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F (-
+ 1
a2 b2
c,0),F (c,0),若椭圆上存在点P(异于长轴的端点),使得csin∠PF F =asin∠PF F ,则该椭圆离
2 1 2 2 1
心率e的取值范围是 .
7.(2024届广东四校第一次联考,21)过原点O的直线与椭圆E:x2 y2=1(b>0)交于A,B两点,
+
9 b2
R(2,0),△ABR面积的最大值为2√5.
(1)求椭圆E的方程;
(2)直线 AR 交椭圆于另一个交点 C,P(9
,m
)(m≠0),分别记 PA,PR,PC 的斜率为 k
1
,k
2
,k
3
,求
2
k 的值.
2
k +k
1 38.(2024届福建漳州第一次质检,21)已知椭圆C:x2 y2=1(a>b>0)的左焦点为F (- ,0),且
+ 1 √3
a2 b2
过点A( 1).
√3,
2
(1)求C的方程.
(2)不过原点O的直线l与C交于P,Q两点,且直线OP,PQ,OQ的斜率成等比数列.
(i)求l的斜率;
(ii)求△OPQ的面积的取值范围.9.2 椭圆
五年高考
考点1 椭圆的定义和标准方程
x2 y2
1.(2021 新高考Ⅰ,5,5 分,易)已知 F ,F 是椭圆 C: + =1 的两个焦点,点 M 在 C 上,则|
1 2
9 4
MF |·|MF |的最大值为 ( )
1 2
A.13 B.12 C.9 D.6
答案 C
x2
2.(2023 全国甲文,7,5 分,中)设 F ,F 为椭圆 C: +y2=1 的两个焦点,点 P 在 C 上,若
1 2
5
=0,则|PF |·|PF |= ( )
⃗PF ·⃗PF 1 2
1 2
A.1 B.2 C.4 D.5
答案 B
3.(2022全国甲文,11,5分,中)已知椭圆C:x2 y2=1(a>b>0)的离心率为1,A ,A 分别为C的
+ 1 2
a2 b2 3
左、右顶点,B为C的上顶点.若 =-1,则C的方程为 ( )
⃗BA ·⃗BA
1 2x2 y2 x2 y2
A. + =1B. + =1
18 16 9 8
x2 y2 x2
C. + =1D. +y2=1
3 2 2
答案 B
x2 y2
4.(2023全国甲理,12,5分,中)设O为坐标原点,F ,F 为椭圆C: + =1的两个焦点,点P
1 2
9 6
3
在C上,cos∠F PF = ,则|OP|= ( )
1 2
5
13 √30 14 √35
A. B. C. D.
5 2 5 2
答案 B
5.(2019课标Ⅰ理,10,5分,中)已知椭圆C的焦点为F (-1,0),F (1,0),过F 的直线与C交于
1 2 2
A,B两点.若|AF |=2|F B|,|AB|=|BF |,则C的方程为 ( )
2 2 1
x2 x2 y2
A. + y2=1B. + =1
2 3 2
x2 y2 x2 y2
C. + =1D. + =1
4 3 5 4
答案 B
x2 y2
6.(2019课标Ⅲ理,15,5分,中)设F ,F 为椭圆C: + =1的两个焦点,M为C上一点且在
1 2
36 20
第一象限.若△MF F 为等腰三角形,则M的坐标为 .
1 2
答案 (3,√15)
7.(2020课标Ⅱ理,19,12分,中)已知椭圆C :x2 y2=1(a>b>0)的右焦点F与抛物线C 的焦
1 + 2
a2 b2
点重合,C 的中心与C 的顶点重合.过F且与x轴垂直的直线交C 于A,B两点,交C 于C,D
1 2 1 2
4
两点,且|CD|= |AB|.
3
(1)求C 的离心率;
1
(2)设M是C 与C 的公共点.若|MF|=5,求C 与C 的标准方程.
1 2 1 2
解析 (1)由已知可设C 的方程为y2=4cx,其中c= .不妨设A,C在第一象限,由题设
2 √a2−b2
b2 b2 2b2
得 A,B 的纵坐标分别为 ,- ;C,D 的纵坐标分别为 2c,-2c,故|AB|= ,|CD|=4c.由|CD|=
a a a4 8b2,即3×c (c) 2,解得c=-2(舍去)或c 1 1.
|AB|得4c= =2−2 = .所以C1的离心率为
3 3a a a a a 2 2
(2)由(1)知a=2c,b= c,故C : x2 y2 =1.
√3 1 +
4c2 3c2
设M(x
0
,y
0
),则 x2
0 +
y2
0
=1,
y2
=4cx
0
,故 x2
0 +
4x
0
=1.①
4c2 3c2 0 4c2 3c
由于C 的准线为x=-c,所以|MF|=x +c,而|MF|=5,故x =5-c,代入①得(5−c) 2 4(5−c)=1,即
2 0 0 +
4c2 3c
x2 y2
c2-2c-3=0,解得c=-1(舍去)或c=3.所以C 的标准方程为 + =1,C 的标准方程为y2=12x.
1 2
36 27
8.(2019天津文,19,14分,难)设椭圆x2 y2=1(a>b>0)的左焦点为F,左顶点为A,上顶点为B.
+
a2 b2
已知√3|OA|=2|OB|(O为原点).
(1)求椭圆的离心率;
3
(2)设经过点F且斜率为 的直线l与椭圆在x轴上方的交点为P,圆C同时与x轴和直线l
4
相切,圆心C在直线x=4上,且OC∥AP.求椭圆的方程.
解析 (1)设椭圆的半焦距为c,
因为√3|OA|=2|OB|,所以√3a=2b.
又由a2=b2+c2,消去b得a2=(√3 ) 2 +c2,解得c 1.
a =
2 a 2
1
所以,椭圆的离心率为 .
2
(2)由(1)知,a=2c,b= c,故椭圆方程为 x2 y2 =1.由题意,F(-c,0),则直线 l的方程为 y=3
√3 +
4c2 3c2 4
(x+c).
第一步:先由直线与椭圆位置关系求出点P坐标.
{
x2 y2
+ =1,
点P的坐标满足 4c2 3c2 消去y并化简,得到7x2+6cx-13c2=0,解得x =c,x =-13c.
1 2
3 7
y= (x+c),
43 9
代入l的方程,解得y = c,y =- c.
1 2
2 14
因为点P在x轴上方,所以P( 3 ).
c, c
2
第二步:由OC∥AP求得圆心C的坐标.
由圆心C在直线x=4上,可设C(4,t).
3
c
因为OC∥AP,且由(1)知A(-2c,0),故t 2 ,
=
4 c+2c
解得t=2.则C(4,2).
第三步:由圆与直线l的相切关系求出c的大小,进而求得椭圆方程.
|3 |
(4+c)−2
4
因为圆C与x轴相切,所以圆的半径长为2,又由圆C与l相切,得 =2,可得c=2.
√ (3) 2
1+
4
x2 y2
所以,椭圆的方程为 + =1.
16 12
考点2 椭圆的几何性质
1.(2018课标Ⅰ文,4,5分,易)已知椭圆C:x2 y2=1的一个焦点为(2,0),则C的离心率为 (
+
a2 4
)
1 1 √2 2√2
A. B. C. D.
3 2 2 3
答案 C
2.(2019北京理,4,5分,易)已知椭圆x2 y2=1(a>b>0)的离心率为1,则 ( )
+
a2 b2 2
A.a2=2b2 B.3a2=4b2
C.a=2b D.3a=4b
答案 B
3.(2023 新课标Ⅰ,5,5 分,易)设椭圆 C :x2+y2=1(a>1),C :x2+y2=1 的离心率分别为 e ,e .若
1 2 1 2
a2 4
e =√3e ,则a= ( )
2 12√3
A. B.√2
3
C.√3D.√6
答案 A
x2
4.(2023新课标Ⅱ,5,5分,中)已知椭圆C: +y2=1的左、右焦点分别为F ,F ,直线y=x+m与
1 2
3
C交于A,B两点,若△F AB面积是△F AB面积的2倍,则m= ( )
1 2
2 √2 √2 2
A. B. C.− D.−
3 3 3 3
答案 C
5.(2022全国甲理,10,5分,中)椭圆C:x2 y2=1(a>b>0)的左顶点为A,点P,Q均在C上,且关
+
a2 b2
1
于y轴对称.若直线AP,AQ的斜率之积为 ,则C的离心率为 ( )
4
√3 √2 1 1
A. B. C. D.
2 2 2 3
答案 A
x2 y2
6.(2017课标Ⅰ文,12,5分,中)设A,B是椭圆C: + =1长轴的两个端点.若C上存在点M
3 m
满足∠AMB=120°,则m的取值范围是( )
A.(0,1]∪[9,+∞) B.(0,√3]∪[9,+∞)
C.(0,1]∪[4,+∞) D.(0,√3]∪[4,+∞)
答案 A
7.(2021全国乙理,11,5分,难)设B是椭圆C:x2 y2=1(a>b>0)的上顶点,若C上的任意一点
+
a2 b2
P都满足|PB|≤2b,则C的离心率的取值范围是 ( )
A.[√2 ) [1 )
,1 B. ,1
2 2
C.( √2] ( 1]
0, D. 0,
2 2
答案 C8.(2021浙江,16,6分,中)已知椭圆x2 y2=1(a>b>0),焦点F (-c,0),F (c,0)(c>0).若过F 的直
+ 1 2 1
a2 b2
线和圆( 1 ) 2 +y2=c2相切,与椭圆在第一象限交于点P,且PF ⊥x轴,则该直线的斜率是
x− c 2
2
,椭圆的离心率是 .
2√5 √5
答案 ;
5 5
x2 y2
9.(2022新高考Ⅱ,16,5分,难)已知直线l与椭圆 + =1在第一象限交于 A,B两点,l与x
6 3
轴、y轴分别交于M,N两点,且|MA|=|NB|,|MN|=2√3,则l的方程为 .
答案 x+√2y−2√2=0
10.(2022新高考Ⅰ,16,5分,难)已知椭圆C:x2 y2=1(a>b>0),C的上顶点为 A,两个焦点为
+
a2 b2
1
F ,F ,离心率为 .过F 且垂直于AF 的直线与C交于D,E两点,|DE|=6,则△ADE的周长是
1 2 1 2
2
.
答案 13
11.(2022天津,19,15分,难)已知椭圆x2 y2=1(a>b>0)的右焦点为 F,右顶点为A,上顶点为
+
a2 b2
|BF| √3
B,且满足 = .
|AB| 2
(1)求椭圆的离心率e;
(2)已知直线l与椭圆有唯一公共点M,与y轴交于点N(N异于M),记点O为坐标原点,若|
OM|=|ON|,且△OMN的面积为√3,求椭圆的标准方程.
解析 (1)∵|BF|= =a,|AB|= ,
√c2+b2 √a2+b2
∴|BF| a √3,解得a= b,
= = √3
|AB| √a2+b2 2
c √6
∴c=√a2−b2=√2b,∴离心率e= = .
a 3(2)由(1)知椭圆方程为 x2 y2=1.
+
3b2 b2
由题可知直线l的斜率存在且不为0,设l:y=kx+m(k≠0),由椭圆的对称性,不妨设k<0,m>0,
如图.
则有|OM|=|ON|=m.
{
x2 y2
联立得
+ =1,
3b2 b2
y=kx+m,
则有(3k2+1)x2+6kmx+3m2-3b2=0,
Δ=0⇒3b2k2+b2-m2=0,
3mk
由 根 与 系 数 的 关 系 得 x =- , 代 入 直 线 l 的 方 程 , 有 y =
M 3k2+1 M
m m√9k2+1=m,解得k=-√3,
.∴|OM|=√x2 + y2 =
3k2+1 M M 3k2+1 3
设直线OM的倾斜角为θ,
∴k =tan θ=y 1 √3,∴θ=30°,故∠NOM=60°,
OM M =− =
x 3k 3
M
1 √3
∴S = m2sin∠NOM= m2=√3,解得m=2,
△OMN
2 4
1
∴3b2× +b2-4=0,可得b2=2,
3
x2 y2
∴椭圆的标准方程为 + =1.
6 2
三年模拟
综合基础练
1.(2023江苏南通一模)2022年神舟接力腾飞,中国空间站全面建成,我们的“太空之家”
遨游苍穹.太空中,飞船与空间站的对接需要经过多次变轨.某飞船升空后的初始运行轨道是以地球的中心为一个焦点的椭圆,其远地点(长轴端点中离地面最远的点)距地面S ,近地
1
点(长轴端点中离地面最近的点)距地面S ,地球的半径为R,则该椭圆的短轴长为 ( )
2
A.
√S S
1 2
B.2
√S S
1 2
C.
√(S +R)(S +R)
1 2
D.2
√(S +R)(S +R)
1 2
答案 D
√5 x2 y2
2.(2024 届广东普宁二中第一次月考 ,5)已知离心率 的椭圆C的方程为 +
3 m n
m+n
=1(m>n>0),则 = ( )
m−n
12 13
A.2 B. C. D.3
5 5
答案 C
3.(2023广东深圳二模)设椭圆C:x2 y2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F ,F ,直线l过点
+ 1 2
a2 b2
1
F .若点F 关于l的对称点P恰好在椭圆C上,且⃗F P·⃗F F = a2,则C的离心率为( )
1 2 1 1 2 2
1 2 1 2
A. B. C. D.
3 3 2 5
答案 C
4.(2024届湖北武汉武钢三中月考,7)古希腊数学家阿波罗尼奥斯在研究圆锥曲线时发现
了椭圆的光学性质:从椭圆的一个焦点射出的光线,经椭圆反射,其反射光线必经过椭圆的
另一个焦点.设椭圆x2 y2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F ,F ,若从椭圆右焦点 F 发出
+ 1 2 2
a2 b2
3
的光线经过椭圆上的点 A和点B反射后,满足AB⊥AD,且cos∠ABC= ,则该椭圆的离心率
5
为( )1 √2 √3 √5
A. B. C. D.
2 2 2 3
答案 D
x2 y2
5.(2024届湖北武昌实验中学月考,5)已知椭圆C: + =1的左、右焦点分别为 F ,F ,点
1 2
16 12
4m+n
P是椭圆C上的动点,m=|PF |,n=|PF |,则 的最小值为 ( )
1 2
mn
9 5
A. B.
8 4
20−3√7 20+3√7
C. D.
9 9
答案 A
6.(多选)(2023 湖北武汉四调)椭圆x2 y2=1(a>b>0)的一个焦点和一个顶点在圆 x2+y2-
+
a2 b2
5x-4y+4=0上,则该椭圆的离心率的可能取值为 ( )
1 1 2√5 √5
A. B. C. D.
2 4 5 5
答案 BCD
7.(多选)(2024届广东深圳开学模考,11)已知椭圆E:x2 y2=1(a>b>0)的离心率为1,左、右
+
a2 b2 2
焦点分别为 F ,F ,上顶点为 P,若过 F 且倾斜角为 30°的直线 l 与椭圆 E 交于 A,B 两点,
1 2 1
△PAB的周长为8,则 ( )
A.直线PF 的斜率为-√3
2
B.椭圆E的短轴长为4
C. =2
⃗PF ·⃗PF
1 2
48
D.四边形APBF 的面积为
2
13
答案 ACD8.(2023 江 苏 省 包 场 高 级 中 学 检 测 ,13) 已 知 椭 圆
x2 y2
+ =1的长轴在y轴上.若焦距为2√2,则m等于 .
10−m m−2
答案 7
9.(2024届河北邢台一中月考,16)设F ,F 分别是椭圆C的左,右焦点,过点F 的直线交椭圆
1 2 1
4
C于M,N两点,若⃗M F =3⃗F N,且cos∠MNF = ,则cos∠MF N= .
1 1 2 5 2
3
答案
5
10.(2024届福建厦门国祺中学第一次月考,22)已知椭圆C:x2 y2=1(a>b>0)的离心率为√6,
+
a2 b2 3
椭圆C上任意一点到椭圆两焦点的距离之和为6.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设直线l:y=x-2与椭圆C交于M,N两点,O是原点,求△OMN的面积.
{2a=6,
解析 (1)由题意得 {a=3,
c √6 解得
= , c=√6,
a 3
x2 y2
所以b2=a2-c2=3,所以椭圆C的方程为 + =1.
9 3
(2)设M(x ,y ),N(x ,y ),
1 1 2 2
{
y=x−2,
联立 消y得4x2-12x+3=0,
x2 y2
+ =1,
9 3
Δ=(-12)2-4×4×3>0,
3
由根与系数的关系得x +x =3,x x = ,
1 2 1 2
4
所以|MN|= √1+12·√(x +x ) 2−4x x = √ 2× ( 32−4× 3) =2√3 ,
1 2 1 2 4
|0−0−2|
又O到直线l:x-y-2=0的距离d= =√2,
√2
1 1
所以△OMN的面积为 |MN|·d= ×2√3×√2=√6.
2 2综合拔高练
1
1.(2023广东广州阶段测试,3)记p:“方程(m-1)x2+(3-m)y2=1表示椭圆”,q:“函数f(x)= x3+
3
(m-2)x2+x无极值”,则p是q的 ( )
A.充要条件
B.充分不必要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
答案 B
2.(2024届湖北武汉华中师大附中开学考,6)已知F ,F 分别是椭圆C:x2 y2=1(a>b>0)的左、
1 2 +
a2 b2
右焦点,M 是 C 上一点且 MF 与 x 轴垂直,直线 MF 与 C 的另一个交点为 N,若
2 1
,则C的离心率为 ( )
⃗M F =3⃗F N
1 1
√3 1 √3 2√2
A. B. C. D.
3 3 2 3
答案 A
3.(多选)(2023广东汕头二模,9)已知曲线C:x2+y2cos α=1,α∈[0,π],则下列结论正确的是 (
)
A.曲线C可能是圆,也可能是直线
B.曲线C可能是焦点在y轴上的椭圆
C.当曲线C表示椭圆时,α越大,椭圆越圆
D.当曲线C表示双曲线时,它的离心率有最小值,且最小值为√2
答案 ABD
x2 y2
4.(多选)(2024届云南师范大学附中月考,10)已知点F为椭圆C: + =1的左焦点,点P为
4 3
C上的任意一点,点A的坐标为(1,3),则下列正确的是 ( )
A.|PA|+|PF|的最小值为√13
B.|PA|+|PF|的最大值为7
C.|PF|-|PA|的最小值为√13
D.|PF|-|PA|的最大值为1
答案 ABD5.(2023山东潍坊二模)如图,菱形架ABCD是一种作图工具,由四根长度均为4的直杆用铰
链首尾连接而成.已知A,C可在带滑槽的直杆l上滑动;另一根带滑槽的直杆DH的长度为
4,且一端记为H,另一端用铰链连接在D处,上述两根带滑槽直杆的交点P处有一栓子(可
在带滑槽的直杆上滑动).若将H,B固定在桌面上,且两点之间距离为2,转动杆HD,则点P
与点B距离的最大值为 .
答案 3
6.(2023 江苏扬州中学开学考,15)已知椭圆 x2 y2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F (-
+ 1
a2 b2
c,0),F (c,0),若椭圆上存在点P(异于长轴的端点),使得csin∠PF F =asin∠PF F ,则该椭圆离
2 1 2 2 1
心率e的取值范围是 .
答案 (√2-1,1)
7.(2024届广东四校第一次联考,21)过原点O的直线与椭圆E:x2 y2=1(b>0)交于A,B两点,
+
9 b2
R(2,0),△ABR面积的最大值为2√5.
(1)求椭圆E的方程;
(2)直线 AR 交椭圆于另一个交点 C,P(9
,m
)(m≠0),分别记 PA,PR,PC 的斜率为 k
1
,k
2
,k
3
,求
2
k 的值.
2
k +k
1 3
1
解析 (1)由题知S =2S =2× ×|OR|×|y |=2|y |≤2|b|,又S 的最大值为2√5,
△ABR △OAR
2
A A △ABR
x2 y2
所以b=√5,故椭圆E的方程为 + =1.
9 5
(2)设直线AC的方程为x=2+ty,A(x ,y ),C(x ,y ),
1 1 2 2
{x=2+ty,
由 ⇒(5t2+9)y2+20ty-25=0,
x2 y2
+ =1
9 520t 25
∴y +y =- ,y ·y =- .
1 2 5t2+9 1 2 5t2+9
2m m−y m−y
(9 ) .k1+k3= 1 + 2
由P ,m ,R(2,0)得k = 5 5 5 ,
2 2 −t y −t y
2 1 2 2
∴ k 2m 25−10t(y + y )+4t2y ·y
2 = · 1 2 1 2
k +k 5 2[10m−(2mt+5)(y + y )+4t y ·y ]
1 3 1 2 1 2
25−10t· ( − 20t ) +4t2· ( − 25 )
=m
5t2+9 5t2+9
·
5 ( 20t ) ( 25 )
10m−(2mt+5)· − +4t· −
5t2+9 5t2+9
=m
25[(5t2+9)+4t2
] m 5 1.
· = · =
5 10m[(5t2+9)+4t2 ] 5 2m 2
8.(2024届福建漳州第一次质检,21)已知椭圆C:x2 y2=1(a>b>0)的左焦点为F (- ,0),且
+ 1 √3
a2 b2
过点A( 1).
√3,
2
(1)求C的方程.
(2)不过原点O的直线l与C交于P,Q两点,且直线OP,PQ,OQ的斜率成等比数列.
(i)求l的斜率;
(ii)求△OPQ的面积的取值范围.
解析 (1)设椭圆的右焦点为F ,则由题知,椭圆C的右焦点坐标为F (√3,0).因为椭圆过点
2 2
A( 1),
√3,
2
所以2a= √ (√3+√3) 2+ 1 + √1 =4,所以a=2.
4 4
x2
又c=√3,所以b=√a2−c2=1,所以C的方程为 +y2=1.
4
(2)(i)由题知,直线l的斜率存在,且不为0.
设l:y=kx+m(k≠0,m≠0),P(x ,y ),Q(x ,y ),
1 1 2 2联立{ y=kx+m, 消y得(1+4k2)x2+8kmx+4(m2-1)=0,所以x +x =−8km,x x =4(m2−1),
1 2 1 2
x2+4 y2=4, 1+4k2 1+4k2
且Δ=64k2m2-16(1+4k2)(m2-1)>0,即4k2-m2+1>0.
因为直线OP,PQ,OQ的斜率成等比数列,
所以y y =k2,即k2x x +km(x +x )+m2 =k2,x x ≠0,
1· 2 1 2 1 2 1 2
x x x x
1 2 1 2
所以−8k2m2 +m2=0,且m2≠1,
1+4k2
1 1
因为m≠0,所以k2= ,所以k=± .
4 2
1
(ii)由(i)知4k2-m2+1>0,k=± ,所以0
