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2025人教版新教材物理高考第一轮
第 4 讲专题提升 : 圆周运动中的临界、极值问题
基础对点练
题组一 水平面内圆周运动的临界问题
1.如图所示,质量分别为m 、m 的小球a和b被两根长度不同的细线系着,在同一水平面
1 2
内分别以角速度ω 、ω 做匀速圆周运动,则下列一定成立的是 ( )
1 2
A.m =m
1 2
B.m ω
1 2
D.ω =ω
1 2
2.(2023 广东惠州一模)图甲为流水线上的水平皮带转弯机,其俯视图如图乙所示,虚线
ABC是皮带的中线,中线上各处的速度大小均为 v=1.0 m/s,AB段为直线,长度L=4 m,BC
段为圆弧,半径R=2.0 m。现将一质量m=1.0 kg的小物件轻放于起点A处后,小物件沿皮
带中线运动到C处,已知小物件与皮带间的动摩擦因数为 μ=0.5,设最大静摩擦力等于滑
动摩擦力,重力加速度g取10 m/s2,下列说法正确的是( )
A.小物件自A点一直做匀加速直线运动到达B点
B.小物件运动到圆弧皮带上时滑动摩擦力提供向心力
C.小物件运动到圆弧皮带上时所受的摩擦力大小为0.5 N
D.若将中线上速度增大至3 m/s,则小物件运动到圆弧皮带上时会滑离虚线
3.水平面上放置质量为m 的物块,通过光滑的定滑轮用一根细绳与质量为m的小球连接,
0
滑轮到小球的距离为L,现使小球在水平面内做匀速圆周运动。要使物块保持静止,细绳
与竖直方向的最大夹角为θ ,已知物块与水平面间的最大静摩擦力和滑动摩擦力相等,物
0块和水平面间的动摩擦因数μ<1。重力加速度为g,不计定滑轮和小球的大小,物块始终保
持静止,则( )
A.小球运动的最大周期为2π√Lcos θ
0
g
B.小球运动的最大线速度大小为
√gLtan θ sin θ
0 0
mg
C.细绳的最大拉力为
sin θ
0
D.物块的质量可能小于小球的质量
题组二 竖直面内圆周运动的“轻绳”和“轻杆”模型
4.(2024浙江温州模拟)如图所示,轻杆的一端固定在O点,另一端固定一个小球,小球随轻
杆在竖直平面内绕O点做匀速圆周运动。则( )
A.小球在运动过程中机械能守恒
B.小球在运动过程中加速度大小不变
C.小球运动到A点时,杆对小球作用力方向指向圆心
D.小球运动到C点时,杆对小球的作用力不可能为0
5.如图甲所示,用一轻质绳系着一质量为 m的小球,在竖直平面内做圆周运动(不计一切阻
力),小球运动到最高点时绳对小球的拉力为 F,小球在最高点的速度大小为 v,其F-v2图像
如图乙所示,则( )b
A.轻质绳长为
a
m
B.当地的重力加速度为
a
ac
C.当v2=c时,轻质绳的拉力大小为 +a
b
D.只要v2≥b,小球在最低点和最高点时绳的拉力差均为6a
综合提升练
6.图甲、乙所示为自行车气嘴灯,气嘴灯由接触式开关控制,其结构如图丙所示,弹簧一端
固定在顶部,另一端与小物块P连接,当车轮转动时,P拉伸弹簧后使触点A、B接触,从而
接通电路,使气嘴灯发光,则 ( )
A.弹簧对小物块P的拉力就是物块做圆周运动需要的向心力
B.自行车逐渐加速过程中,气嘴灯在最高点一定比在最低点先点亮
C.要使气嘴灯在更高的车速下才能发光,可将弹簧剪短一截后放回装置
D.要使气嘴灯在更低的车速下也能发光,可换用质量更小的物块P
7.(多选)(2024湖北武汉模拟)有一种被称为“魔力陀螺”的玩具如图甲所示,陀螺可在圆
轨道外侧旋转而不脱落,好像轨道对它施加了魔法一样,它可等效为一质点在圆轨道外侧
运动模型,如图乙所示。在竖直平面内固定的强磁性圆轨道半径为 R,A、B两点分别为轨
道的最高点与最低点。质点沿轨道外侧做完整的圆周运动,受圆轨道的强磁性引力始终
指向圆心O且大小恒为F,当质点以速率v=√gR通过A点时,对轨道的压力为其重力的7
倍,不计摩擦和空气阻力,质点质量为m,重力加速度为g,则 ( )
A.强磁性引力的大小F=7mg
B.质点在A点对轨道的压力小于在B点对轨道的压力
C.只要质点能做完整的圆周运动,则质点对A、B两点的压力差恒为6mgD.为确保质点做完整的圆周运动,质点通过B点的最大速率为√6gR
8.有一娱乐项目,人坐在半径为R的倾斜圆盘边缘随着圆盘绕圆心O处的转轴匀速转动,
转轴垂直于盘面,圆盘的倾角为α,如图所示,图中人用方块代替。当人与圆盘间的动摩擦
因数μ=2.5tan α时,人恰好不从圆盘滑出去。人的质量为m,A为圆盘的最低点,B为圆盘
的最高点,最大静摩擦力等于滑动摩擦力,以下正确的是( )
A.人在B位置处受到的摩擦力方向沿斜面向上
B.A点与B点人所受到的摩擦力大小之差为3mgsin α
√5gRsinα
C.人在转动时的速度大小为
2
D.人从A到B摩擦力做功为2mgRsin α
9.一粗糙的圆锥体可绕其轴线做圆周运动,其轴线沿竖直方向,母线与轴线之间的夹角为
θ=53°,现于锥面上放一个石块,石块与锥面间的动摩擦因数μ=0.8,石块与圆锥体顶点O的
距离L=3 m,石块的质量为m=20 kg,石块可看作质点,设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。
重力加速度g取10 m/s2,sin 53°=0.8,cos 53°=0.6。
(1)若圆锥体与石块均静止,求石块受到锥面的摩擦力大小。
(2)若石块随圆锥体一起以角速度 ω=0.2 rad/s绕轴线做匀速圆周运动,求石块受到的摩擦
力的大小。
10.(2023四川内江三模)如图所示,在竖直平面内,光滑圆弧轨道 ABC和水平轨道PA在A
点相切,BC为圆弧轨道的直径,O为圆心,半径OA和OB之间的夹角为α=30°,一质量为m的小球沿水平轨道从P点向右运动,经A点沿圆弧轨道通过C点,最后落至水平轨道PA上。
现要使小球在C点所受合力的方向指向圆心O,且此时小球对轨道的压力恰好为零,就必
须在C点对小球施加一个外力,重力加速度大小为g。求:
(1)这个外力的最小值及方向;
(2)小球在A点时对轨道的压力。参考答案
第4讲 专题提升:圆周运动中的临界、极值问题
1.D 解析 设细线与竖直方向的夹角为 θ,悬点到圆心的距离为h,绳长为l,对其中一个小
√ g √ g
球受力分析,则有 mgtan θ=mω2·lsin θ,解得 ω= = ,对两个小球,g 和 h 相等,则
lcosθ ℎ
ω =ω ,由上可知,质量关系无法求出,故选D。
1 2
v2 1
2.C 解析 设小物件自A点开始做匀加速直线运动的位移为 x,则x= =
2μg 2×0.5×10
m=0.1 mm,选项C、D错误。
0
4.B 解析 小球随轻杆在竖直平面内绕O点做匀速圆周运动,动能不变,重力势能变化,机
v2 v2
械能不守恒,故A错误;设小球质量为m,杆长为L,速度为v,由ma=m ,解得a= ,可知小
L L
球在运动过程中加速度大小不变,故B正确;小球运动到A点时,受重力和杆的作用力,合力v2
指向圆心,杆对小球作用力方向不可能指向圆心,故C错误;当小球的速度满足mg=m ,即
L
v=√gL时,小球运动到C点,杆对小球的作用力为0,故D错误。
mv2
5.D 解析 小球运动到最高点时,对小球受力分析,由牛顿第二定律有 F+mg= ,可得
l
mv2 m a b
F= -mg,可知图线斜率为 k= = ,可得轻质绳长为 l= m,故A错误;由图像可知纵轴
l l b a
a a
上截距的绝对值为a=mg,则有g= ,故B错误;由图像可知F= v2-a,所以当v2=c时,有F=
m b
ac 1 1
-a,故C错误;从最高点到最低点,由机械能守恒有2mgl= mv'2- mv2,在最低点对小球受
b 2 2
mv'2
力分析,由牛顿第二定律有F'-mg= ,联立可得小球在最低点和最高点时绳的拉力差为
l
F'-F=6mg=6a,故D正确。
6.C 解析 弹簧对小物块P的拉力和小物块P的重力的合力是物块做圆周运动需要的向
心力,故A错误;在最高点气嘴灯恰好点亮时有mg+F=m r,在最低点气嘴灯恰好点亮时
ω 2
1
有F-mg=m r,可知ω >ω ,所以自行车逐渐加速过程中,气嘴灯在最低点比在最高点先点
ω 2 1 2
2
√ F g
亮,故B错误;由B项分析知气嘴灯在最低点更容易点亮,由F-mg=mω 2r,可得ω = -
2 2 mr r
,要使气嘴灯在更高的车速下才能发光,可将弹簧剪短一截后放回装置,使得接通触点A、B
时弹簧可以提供更大的力,故 C 正确;要使气嘴灯在更低的车速下也能发光,由 ω =
2
√ F g
- 可知,可以增加质量m,即换用质量更大的物块P,故D错误。
mr r
v2
7.ACD 解析 在 A 点,对质点由牛顿第二定律有 F+mg-F=m ,根据牛顿第三定律有
A
R
F=F'=7mg,解得 F=7mg,故 A 正确;质点能完成圆周运动,在 A 点根据牛顿第二定律有
A A
F+mg-F =mv 2,根据牛顿第三定律有 F =F ',在 B 点,根据牛顿第二定律有 F-mg-
NA A NA NA
RF =mv 2,根据牛顿第三定律有 F =F ',从 A 点到 B 点过程,根据动能定理有 mg×2R=
NB B NB NB
R
1 1
mv 2− mv 2,解得F '-F '=6mg,为确保质点做完整的圆周运动,当F =0时,质点速度
2 B 2 A NA NB NB
最大,F-mg=mv 2,解得v = ,选项B错误,C、D正确。
Bm Bm √6gR
R
8.D 解析 人做匀速圆周运动,恰好不从圆盘滑出去,由受力可知,在A位置的摩擦力沿斜
面向上,有F -mgsin α=mRω2,则F =mgsin α+mRω2,假设B位置摩擦力方向沿斜面向下,
fA fA
有 mgsin α+F =mRω2,则 F =mRω2-mgsin α,由以上分析可知 F >F ,故 F =μmgcos
fB fB fA fB fA
α=2.5mgsin α,mRω2=F -mgsin α=1.5mgsin α,可知 F =mRω2-mgsin α=0.5mgsin α,所以
fA fB
人在B位置处受到的摩擦力方向沿斜面向下,A错误;A点与B点人所受到的摩擦力大小
v2
之差为F -F =2mgsin α,B错误;由μmgcos α-mgsin α=m 可得人在转动时的速度大小
fA fB
R
√3gRsinα
为 v= ,C 错误;因为人做匀速圆周运动,所以有 W-mg·2Rsin α=0,W=mg·2Rsin
f f
2
α,D正确。
9.答案 (1)120 N (2)121.536 N
解析 (1)若圆锥体与石块均静止,石块的受力如图所示
因μmgsin θ>mgcos θ
故石块受到锥面的摩擦力大小
F=mgcos θ=120 N。
f
(2)当圆锥体与石块一起以角速度ω=0.2 rad/s绕轴线做匀速圆周运动时,石块的受力如图
所示
竖直方向有
F'cos θ+F 'sin θ-mg=0
f N水平方向有
F'sin θ-F 'cos θ=mω2Lsin θ
f N
解得F'=121.536 N。
f
1 3(2+√3)
10.答案 (1) mg,方向与CB垂直斜向上 (2) mg,方向竖直向下
2 2
解析 (1)根据平行四边形定则,当这个外力F与合力方向垂直时,外力最小。根据作图可知,
外力的方向与CB垂直斜向上,如图所示
根据几何关系可得
1
F =mgsin 30°= mg。
min
2
(2)在C点,由牛顿第二定律得F =mv 2
合 C
R
合力的大小为F =mgcos α
合
解得v =√gRcosα
C
1 1
从A点到C点,由机械能守恒得 mv 2= mv 2+mgR(1+cos α)
2 A 2 C
解得v =√(2+3cosα)gR
A
在A点,由牛顿第二定律得F -mg=mv 2
N A
R
3(2+√3)
解得轨道对小球的支持力为F = mg
N
2
3(2+√3)
根据牛顿第三定律,小球对轨道的压力大小为 mg,方向竖直向下。
2
