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查漏补缺 07 圆中的计算及其综合（7 大题型）
考点一： 圆中的角度、线段计算问题
【题型一】圆中常见的角度计算问题
1）圆中角度定理都有一个大前提--在同圆或等圆中，特别是一些概念性选择题，没有这个前提的话，对
应结论是不正确的
1）遇到与圆周角，圆心角有关角度计算时，通过辅助线
①作同弧所对的两个圆周角；
②作同弧所对的一个圆心角，一个圆周角；
③连接多个半径，构造等腰三角形.
2）圆中出现直径，我们可以构造直径所对的圆周角，直径所对的圆周角等于90°，由此可利用在直角三
角形中两锐角互余计算角的度数，利用勾股定理计算边的长度，也可结合其他几何知识进行相关的推理
证明.
3）圆内接四边形的性质定理为证明两角相等或互补提供了依据.在求角的度数时往往综合运用圆内接四
边形的性质、圆周角定理及其推论等知识建立所求角与已知条件的联系.
4）在同圆中，已知弧中点是最常见的给等弧的方式.
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【中考真题】
1．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）如图，AD是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB，连接CD，
交OB于点E，∠BOC=42°，则∠OED的度数是（ ）
A．61° B．63° C．65° D．67°
2．（2024·海南·中考真题）如图，AD是半圆O的直径，点B、C在半圆上，且A´B=B´C=C´D，点P在
C´D上，若∠PCB=130°，则∠PBA等于（ ）
A．105° B．100° C．90° D．70°
3．（2024·山西·中考真题）如图，已知△ABC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，与AC相切于点A，连
接OD．若∠AOD=80°，则∠C的度数为（ ）
A．30° B．40° C．45° D．50°
4．（2024·内蒙古·中考真题）如图，正四边形ABCD和正五边形CEFGH内接于⊙O，AD和EF相交于
点M，则∠AMF的度数为（ ）
A．26° B．27° C．28° D．30°
5．（2024·四川广元·中考真题）如图，已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形，E为AD延长线上一点，
∠AOC=128°，则∠CDE等于（ ）
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A．64° B．60° C．54° D．52°
6．（2024·江苏镇江·中考真题）如图，AB是⊙O的内接正n边形的一边，点C在⊙O上，∠ACB=18°，
则n= ．
7．（2024·内蒙古包头·中考真题）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，点O在四边形ABCD内部，
过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点P，连接OA,OB．若∠AOB=140°，∠BCP=35°，则∠ADC
的度数为 ．
8．（2024·江苏无锡·中考真题）如图，AB是⊙O的直径，△ACD内接于⊙O，C´D=D´B，AB，CD的
延长线相交于点E，且DE=AD．
(1)求证：△CAD∽△CEA；
(2)求∠ADC的度数．
【模拟训练】
1．（2025·四川南充·一模）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，点F为A´E的中点，则∠ABF=（ ）
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A．9° B．12° C．18° D．36°
⏜
2．（2025·广东清远·一模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，点C是
BD
的中点，∠A=60°，则∠COD
的度数为（ ）
A．30° B．35° C．60° D．65°
3．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，在6×6的网格中，圆经过格点A、B、C．若E、F是圆上任意两点，
且∠EFC=112°，则∠ACE的度数为（ ）
A．65° B．66° C．67° D．68°
4．（2025·河北邯郸·二模）如图，△ABC内接于⊙O，I是△ABC的内心，AI的延长线交⊙O于点D，
连接DB、DC，若AB是⊙O的直径，OI⊥AD，则sin∠BCD的值为 ．
5．（2025·江苏南京·模拟预测）如图，过四边形ABCD的顶点A，C，D的圆，分别交AB,BC于点E，F.
若∠B=50°，∠D=104°，则E´F的度数为 ❑∘.
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6．（2025·陕西西安·二模）如图，点A,B,C,D均在圆O上．若∠A=56°，A´D=2A´B=2C´D，则
∠ACB的度数为 ．
【题型二】垂径定理
【基础模型】在⊙O中，AB为⊙O的直径，CD为弦，且AB⊥CD与点E
C C
O E O E
图示：A B A B
D D
模型结论：CE=DE，
【模型进阶】①AB过圆心O；②CD⊥AB；③AB平分CD（CD不是直径）④AB平分 .
模型结论：若已知四个条件中的两个，那么可推出另外两个，简称“知二得二”，解题过程中应灵活运
用该定理.
常见辅助线做法（考点）：
1）有弦无垂径时，可过圆心，作垂线，连半径，造Rt△，用勾股，求长度；
【补充】在构造Rt△ODE中，半径OD，弦心距OE,弦长CD，拱高BE四个量知二推二.
2）有弦中点，连中点和圆心，得垂直平分.
【中考真题】
1．（2024·广东广州·中考真题）如图，⊙O中，弦AB的长为4√3，点C在⊙O上，OC⊥AB，
∠ABC=30°．⊙O所在的平面内有一点P，若OP=5，则点P与⊙O的位置关系是（ ）
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A．点P在⊙O上 B．点P在⊙O内 C．点P在⊙O外 D．无法确定
2．（2023·四川宜宾·中考真题）《梦溪笔谈》是我国古代科技著作，其中它记录了计算圆弧长度的“会圆
术”．如图，A´B是以点O为圆心、OA为半径的圆弧，N是AB的中点，MN⊥AB．“会圆术”给出A´B
M N2
的弧长l的近似值计算公式：l=AB+ ．当OA=4，∠AOB=60°时，则l的值为（ ）
OA
A．11−2√3 B．11−4√3 C．8−2√3 D．8−4√3
3．（2023·四川凉山·中考真题）如图，在⊙O中，OA⊥BC，∠ADB=30°，BC=2√3，则OC=
（ ）
A．1 B．2 C．2√3 D．4
4．（2024·江西·中考真题）如图，AB是⊙O的直径，AB=2，点C在线段AB上运动，过点C的弦
DE⊥AB，将DB´E沿DE翻折交直线AB于点F，当DE的长为正整数时，线段FB的长为 ．
5．（2024·内蒙古包头·中考真题）如图，AB是⊙O的直径，BC,BD是⊙O的两条弦，点C与点D在AB
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的两侧，E是OB上一点（OE>BE），连接OC,CE，且∠BOC=2∠BCE．
(1)如图1，若BE=1，CE=√5，求⊙O的半径；
(2)如图2，若BD=2OE，求证：BD∥OC．（请用两种证法解答）
【模拟训练】
1．（2025·广东汕头·模拟预测）如图，已知弦AB=1尺，弓形高CD=1寸（注：1尺=10寸），则圆柱形
木材半径是（ ）
A．12寸 B．13寸 C．24寸 D．26寸
2．（2025·陕西西安·一模）如图，在⊙O中，CD是垂直于直径AB的弦，垂足为E，若∠ABC=22.5°，
OC=6，则弦CD的长为（ ）
A．8√2 B．6√2 C．5√3 D．4√3
3．（2025·陕西汉中·二模）日常生活中常见的装饰盘由圆盘和支架组成(如图1)，它可以看作如图2所示的
几何图形．已知AC=BD=5cm，AC⊥CD，垂足为点C，BD⊥CD，垂足为点D，CD=16cm，⊙O
的半径r=10cm，则圆盘离桌面CD最近的距离是（ ）
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A．4cm B．3cm C．2cm D．1cm
4．（2025·广西来宾·一模）如图， ⊙O的直径AB=10，⊙O的弦CD⊥AB于点P，且BP=2，则CD的
长为（ ）
A．4 B．4√5 C．6 D．8
5．（2025·河南南阳·一模）边长为2√3的等边三角形ABC内接于⊙O，长度为2的线段CD绕点C在平面
内旋转．当点D落在⊙O上时BD的长为 ．
6．（2025·上海金山·二模）圆O是△ABC的外接圆，OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分别是点M、N，如
果BC=3，那么MN= ．
7（2025·安徽亳州·二模）在⊙O中，AB为⊙O的弦，连接OA，OB，∠ABO=30°，
(1)如图1，若半径OC⊥AB于点D，CD=1，求弦AB的长；
(2)如图2，MN为⊙O的切线，点P为切点，且MN∥OB，过点P作PF⊥AB于点F，与半径OB相交于
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点E．若⊙O的半径是3，求OE的长．
【题型三】弧长与扇形面积
1）熟练使用公式求弧长，同时要学会灵活应变，当题目中的一些数据没有直接给出时，要综合其他所给
条件求得.
2）当已知半径R与圆心角的度数求扇形的面积时，选用公式 ；当已知弧长l、半径R求扇
形的面积时，选用公式
3）圆锥侧面展开图中扇形的半径是圆锥的母线长，扇形的弧长是圆锥的底面圆的周长，在学习中要结合
实际物体观察和比较，分清要计算的量是哪个.
【中考真题】
1．（2024·山东东营·中考真题）习近平总书记强调，中华优秀传统文化是中华民族的根和魂．东营市某学
校组织开展中华优秀传统文化成果展示活动，小慧同学制作了一把扇形纸扇．如图，OA=20cm，
OB=5cm，纸扇完全打开后，外侧两竹条（竹条宽度忽略不计）的夹角∠AOC=120°．现需在扇面一侧
绘制山水画，则山水画所在纸面的面积为（ ）cm2．
25
A． π B．75π C．125π D．150π
3
2．（2024·江苏无锡·中考真题）已知圆锥的底面圆半径为3，母线长为4，则圆锥的侧面积为（ ）
A．6π B．12π C．15π D．24π
3．（2024·广东广州·中考真题）如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为72°的扇形，若扇形的半径l是
5，则该圆锥的体积是（ ）
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3√11 √11 2√6
A． π B． π C．2√6π D． π
8 8 3
4．（2024·内蒙古包头·中考真题）如图，在扇形AOB中，∠AOB=80°，半径OA=3，C是A´B上一点，
连接OC，D是OC上一点，且OD=DC，连接BD．若BD⊥OC，则A´C的长为（ ）
π π π
A． B． C． D．π
6 3 2
5．（2024·云南·中考真题）某校九年级学生参加社会实践，学习编织圆锥型工艺品．若这种圆锥的母线长
为40厘米，底面圆的半径为30厘米，则该圆锥的侧面积为（ ）
A．700π平方厘米 B．900π平方厘米
C．1200π平方厘米 D．1600π平方厘米
32．（2024·江苏徐州·中考真题）将圆锥的侧面沿一条母线剪开后展平，所得扇形的面积为4πcm2，圆心
角θ为90°，圆锥的底面圆的半径为 ．
6．（2024·内蒙古·中考真题）如图是平行四边形纸片ABCD，BC=36cm，∠A=110°，∠BDC=50°，
点M为BC的中点，若以M为圆心，MC为半径画弧交对角线BD于点N，则∠NMC= 度；将扇
形MCN纸片剪下来围成一个无底盖的圆锥（接缝处忽略不计），则这个圆锥的底面圆半径为 cm．
7．（2024·甘肃兰州·中考真题）“轮动发石车”是我国古代的一种投石工具，在春秋战国时期被广泛应用，
图1是陈列在展览馆的仿真模型，图2是模型驱动部分的示意图，其中⊙M，⊙N的半径分别是1cm和
10cm，当⊙M顺时针转动3周时，⊙N上的点P随之旋转n°，则n= ．
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8．（2024·山东济宁·中考真题）如图，△ABC三个顶点的坐标分别是A(1,3),B(3,4),C(1,4)．
(1)将△ABC向下平移2个单位长度得△A B C ，画出平移后的图形，并直接写出点B 的坐标；
1 1 1 1
(2)将△A B C 绕点B 逆时针旋转90°得△A B C ．画出旋转后的图形，并求点C 运动到点C 所经过的
1 1 1 1 2 1 2 1 2
路径长．
【模拟训练】
1．（2025·山东临沂·一模）如图，在矩形ABCD中，AB=2，AD=4，将边AD绕点A顺时针旋转，使点
⏜
D正好落在BC边上的点D'处，则 DD'的长为（ ）
π 2π 4π
A．π B． C． D．
2 3 3
2．（2025·云南保山·模拟预测）孩子为妈妈制作一个圆锥形生日帽，已知帽子的底面直径为12cm，展开
后的侧面是一个扇形，扇形的半径为20cm．则该圆锥形生日帽的侧面积是（ ）
A．40πcm2 B．60πcm2 C．80πcm2 D．120πcm2
3．（2025·云南·模拟预测）若一个圆锥的侧面展开图的面积为128πcm2，圆锥的母线与其底面圆的半径之
比为2:1，则这个圆锥的母线长为（ ）
A．4cm B．8cm C．8√3cm D．16cm
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4．（2025·福建龙岩·一模）滑轮轴的位置固定不动称之为定滑轮，其不省力，但可改变力的方向．如图，
定滑轮半径为12cm，现需将重物拉升12.56cm（π取3.14），则滑轮旋转的情况为（ ）
A．顺时针旋转60° B．逆时针旋转60°
C．顺时针旋转120° D．逆时针旋转120°
5．（24-25九年级上·山西吕梁·期末）如图，以正六边形ABCDEF的顶点A为圆心，AC的长为半径画弧，
2
得到C´E，连接AC，AE，若C´E的长为 π，则正六边形的边长为（ ）
3
√3 2√3
A．2 B．2√3 C． D．
3 3
6．（2025·甘肃·一模）一个吊灯的外罩呈圆锥形（如图1），如图2是这个吊灯的外罩的主视图，则该吊灯
外罩的侧面积是 cm2．（结果保留π）
7．（2025·河北邯郸·一模）如图，量角器的直径AB=10cm，点A对应0°刻度，点B对应180°刻度，AB
的中点即量角器的外轮廓所在圆的圆心为点O，点P为AB右下方⊙O上一点，弧BP所对应的圆心角为
60°，射线PQ从与PB重合的位置开始，以每秒5°的速度绕点P逆时针旋转一周，射线PQ与⊙O，AB分
别相交于点C，点D．
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(1)当点C处的刻度为70°时，直接写出∠CPB的度数；
(2)当射线PQ刚好经过点O时，求PQ在量角器上扫过部分的面积；
(3)当射线PQ旋转至与⊙O相切时，求射线PQ旋转的时间．
【题型四】不规则图形面积的计算
1）求与圆有关的不规则图形的面积时，最基本的思想就是转化思想，即把所求的不规则的图形的面积转
化为规则图形的面积．
【中考真题】
1．（2024·山东日照·中考真题）如图，在菱形ABCD中，AB=2,∠B=120°，点O是对角线AC的中点，
以点O为圆心，OA长为半径作圆心角为60°的扇形OEF，点D在扇形OEF内，则图中阴影部分的面积为
（ ）
π √3 √3 π 1
A． − B．π− C． − D．无法确定
2 4 4 2 4
2．（2024·山东泰安·中考真题）两个半径相等的半圆按如图方式放置，半圆O'的一个直径端点与半圆O的
圆心重合，若半圆的半径为2，则阴影部分的面积是（ ）
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4 4 2 4 √3
A． π−√3 B． π C． π−√3 D． π−
3 3 3 3 4
3．（2024·重庆·中考真题）如图，在矩形ABCD中，分别以点A和C为圆心，AD长为半径画弧，两弧有
且仅有一个公共点．若AD=4，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．32−8π B．16√3−4π
C．32−4π D．16√3−8π
4．（2024·四川遂宁·中考真题）工人师傅在检查排污管道时发现淤泥堆积．如图所示，排污管道的横截面
是直径为2米的圆，为预估淤泥量，测得淤泥横截面（图中阴影部分）宽AB为1米，请计算出淤泥横截面
的面积（ ）
1 √3 1 √3 2 1 1
A． π− B． π− C． π−√3 D． π−
6 4 6 2 3 6 4
5．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，CD⊥AB于点
D，将△CDB沿BC所在的直线翻折，得到△CEB，点D的对应点为E，延长EC交BA的延长线于点F．
(1)求证：CF是⊙O的切线；
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√2
(2)若sin∠CFB= ，AB=8，求图中阴影部分的面积．
2
6．（2024·四川乐山·中考真题）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，过点C作⊙O的切线CD交
BA延长线于点D，点E为C´B上一点，且A´C=C´E．
(1)求证：DC∥AE；
(2)若EF垂直平分OB，DA=3，求阴影部分的面积．
【模拟训练】
1．（2024·山东日照·中考真题）如图，在菱形ABCD中，AB=2,∠B=120°，点O是对角线AC的中点，
以点O为圆心，OA长为半径作圆心角为60°的扇形OEF，点D在扇形OEF内，则图中阴影部分的面积为
（ ）
π √3 √3 π 1
A． − B．π− C． − D．无法确定
2 4 4 2 4
2．（2024·山东泰安·中考真题）两个半径相等的半圆按如图方式放置，半圆O'的一个直径端点与半圆O的
圆心重合，若半圆的半径为2，则阴影部分的面积是（ ）
4 4 2 4 √3
A． π−√3 B． π C． π−√3 D． π−
3 3 3 3 4
3．（2024·重庆·中考真题）如图，在矩形ABCD中，分别以点A和C为圆心，AD长为半径画弧，两弧有
且仅有一个公共点．若AD=4，则图中阴影部分的面积为（ ）
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A．32−8π B．16√3−4π
C．32−4π D．16√3−8π
4．（2024·四川遂宁·中考真题）工人师傅在检查排污管道时发现淤泥堆积．如图所示，排污管道的横截面
是直径为2米的圆，为预估淤泥量，测得淤泥横截面（图中阴影部分）宽AB为1米，请计算出淤泥横截面
的面积（ ）
1 √3 1 √3 2 1 1
A． π− B． π− C． π−√3 D． π−
6 4 6 2 3 6 4
5．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，CD⊥AB于点
D，将△CDB沿BC所在的直线翻折，得到△CEB，点D的对应点为E，延长EC交BA的延长线于点F．
(1)求证：CF是⊙O的切线；
√2
(2)若sin∠CFB= ，AB=8，求图中阴影部分的面积．
2
6．（2024·四川乐山·中考真题）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，过点C作⊙O的切线CD交
BA延长线于点D，点E为C´B上一点，且A´C=C´E．
(1)求证：DC∥AE；
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(2)若EF垂直平分OB，DA=3，求阴影部分的面积．
考点二： 圆与直线的位置关系
【题型一】切线性质与判定综合
1）给出了直线与圆的公共点和经过公共点的半径时，可直接根据“经过半径的外端并且垂直于这条半径
的直线是圆的切线”来证明.口诀是“见半径,证垂直”.
2）给出了直线与圆的公共点，但未给出过这点的半径时，可连接公共点和圆心，然后根据“经过半径的
外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线”来证明,口诀是“连半径,证垂直”.
3）当直线与圆的公共点不明确时，先过圆心作该直线的垂线，然后根据“若圆心到直线的距离等于圆的
半径,则该直线是圆的切线”来证明.口诀是“作垂直,证相等”.
4）运用切线的性质进行计算时，常见辅助线的作法是连接圆心和切点，根据切线的性质构造出直角三角
形，一方面可以求相关角的大小，另一方面可以利用勾股定理求线段的长度
【中考真题】
1．（2023·湖南湘西·中考真题）如图，AB为⊙O的直径，点P在AB的延长线上，PC，PD与⊙O相切，
切点分别为C，D．若AB=10,PC=12，则sin∠CAD等于（ ）
12 13 13 12
A． B． C． D．
5 12 5 13
2．（2023·湖北武汉·中考真题）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD,AD⊥AB，以D为圆心，AD为半
AB 1
径的弧恰好与BC相切，切点为E．若 = ，则sinC的值是（ ）
CD 3
2 √5 3 √7
A． B． C． D．
3 3 4 4
3．（2024·湖北武汉·中考真题）如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AC与半圆O相切于
点D，底边BC与半圆O交于E，F两点．
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(1)求证：AB与半圆O相切；
(2)连接OA．若CD=4，CF=2，求sin∠OAC的值．
4．（2023·湖北襄阳·中考真题）如图，在△ABC中，AB=AC，O是BC的中点，⊙O与AB相切于点D，
与BC交于点E，F，DG是⊙O的直径，弦GF的延长线交AC于点H，且GH⊥AC．
(1)求证：AC是⊙O的切线；
(2)若DE=2，GH=3，求D´E的长l．
5．（2023·湖南怀化·中考真题）如图，AB是⊙O的直径，点P是⊙O外一点，PA与⊙O相切于点A，点
C为⊙O上的一点．连接PC、AC、OC，且PC=PA．
(1)求证：PC为⊙O的切线；
(2)延长PC与AB的延长线交于点D，求证：PD⋅OC=PA⋅OD；
(3)若∠CAB=30°，OD=8，求阴影部分的面积．
【模拟训练】
1．（2024·湖北·模拟预测）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，以D为圆心，AD为半径
的弧恰好与BC相切，切点为E，若AB=1，BC=3，则阴影部分的面积是（ ）
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5 3 5 5
A．4√5− π B．2√5− π C．2√5− π D．3√5− π
4 4 4 4
2．（2023九年级·全国·专题练习）如图，在△ABC中，AB=AC，以AC边为直径作⊙O交BC于点D，
3
过点D作⊙O的切线，交AB于点E，交AC的延长线于点F；若半径为3，且sin∠CFD= ，则线段AE
5
的长是（ ）
24 19 22
A． B．5 C． D．
5 4 5
3．（2024·河南郑州·二模）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，点O在边AB上，OA=2，以
O为圆心，OA长为半径作半圆，恰好与BC相切于点D，交AB于点E，则阴影部分的面积为
．
4．（2022·上海虹口·二模）如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点E是BC的中点，连接AE，点O
是线段AE上一点，⊙O的半径为1，如果⊙O与矩形ABCD的各边都没有公共点，那么线段AO长的取值
范围是 ．
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5．（2025·广西桂林·一模）如图，在△ABC中，BD是∠ABC的平分线，以点D为圆心的⊙D与BA相切
于点A，分别与AC，BD相交于点E，F．
(1)求证：BC是⊙D的切线．
⏜
(2)若∠ABC=80°，AD=18，求
EF
的长．
6．（2025·山东枣庄·一模）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径作⊙O交AC于点D，过
点O作AC的平行线OE，交BC于点E，作射线DE交AB的延长线于点F，连接BD．
(1)求证：DF是⊙O的切线；
(2)若AD=3CD，CD=3，求图中阴影部分的面积．
【题型二】利用切线长定理求解
1）如图所示，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点，所以
PA=PB， 此外还一块得到以下结论：①
垂直：OA⊥PA，OB⊥PB，OD⊥AB；
2）切线长定理经常用来证明线段相等，通常要连接圆心与切点构
造直角三角形来求解．
【中考真题】
1．（2024·四川泸州·中考真题）如图，EA，ED是⊙O的切线，切点为A，D，点B，C在⊙O上，若
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∠BAE+∠BCD=236°，则∠E=（ ）
A．56° B．60° C．68° D．70°
2．（2023·广东广州·中考真题）如图，△ABC的内切圆⊙I与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，若
⊙I的半径为r，∠A=α，则(BF+CE−BC)的值和∠FDE的大小分别为（ ）
α α
A．2r，90°−α B．0，90°−α C．2r，90°− D．0，90°−
2 2
3．（2023·四川攀枝花·中考真题）已知△ABC的周长为l，其内切圆的面积为πr2，则△ABC的面积为
（ ）
1 1
A． rl B． πrl C．rl D．πrl
2 2
4．（2022·山东淄博·中考真题）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC边上，过△ABD的内心I作
IE⊥BD于点E．若BD＝10，CD＝4，则BE的长为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
5．（2023·内蒙古通辽·中考真题）某款“不倒翁”（如图1）的主视图是图2，PA,PB分别与AM´ B所在圆
相切于点A，B，若该圆半径是10cm,∠P=60°，则主视图的面积为 cm2．
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6．（2023·湖北·中考真题）如图，在△ABC中，∠ACB=70°，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC分别
相切于点D，E，连接DE，AO的延长线交DE于点F，则∠AFD= ．
7．（2024·山东烟台·中考真题）如图，AB是⊙O的直径，△ABC内接于⊙O，点I为△ABC的内心，连
接CI并延长交O于点D，E是B´C上任意一点，连接AD，BD，BE，CE．
(1)若∠ABC=25°，求∠CEB的度数；
(2)找出图中所有与DI相等的线段，并证明；
13
(3)若CI=2√2，DI= √2，求△ABC的周长．
2
8．（2024·四川自贡·中考真题）在Rt△ABC中，∠C=90°，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D，
E，F．
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(1)图1中三组相等的线段分别是CE=CF，AF=________，BD=________；若AC=3，BC=4，则⊙O
半径长为________；
(2)如图2，延长AC到点M，使AM=AB，过点M作MN⊥AB于点N．
求证：MN是⊙O的切线．
【模拟训练】
1．（2025·云南临沧·模拟预测）如图，PM、PN分别与⊙O相切与A，B两点，C为⊙O上一点，连接
AC、BC、AB，若∠P=30°，∠MAC=60°，⊙O的半径为√2，则AB的长是（ ）
4√3
A．2 B．√3+1 C．√3+√2 D．
3
2．（2025·浙江·模拟预测）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，⊙O是△ABC的内切圆，若AC=3.3，
BC=4.4，则图中△ABO的面积为（ ）
A．5.5 B．2.75 C．6.05 D．3.025
3．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，PA、PB、DE分别与⊙O相切，切点分别为A、B、C，点 D、E
4
分别在PA、PB上，且ED⊥PA．若△PDE的周长为4， tan∠P= ，则图中阴影部分（DA、DC与
3
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A´C所围）的面积为（ ）
1 1 1
A．1− π B．2− π C．π-3 D． π−1
4 2 2
4．（2024·湖北武汉·二模）如图，圆O的圆心在梯形ABCD的底边AB上，并与其它三边均相切，若
AB=a，AD=b，CD=c，且a>b>c，则BC长为（ ）
ac
A．b B．a−b C．a+c−b D．
b
5．（2025·四川成都·一模）如图，在正方形ABCD中，AE是以BC为直径的半圆的切线，在正方形区域内
任意取一点P，则点落在阴影部分的概率是 ．
6．（2025·北京·一模）如图，PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，OP交⊙O于点C，四边形AEOP是平
行四边形，若PB=8，则PC= ，劣弧E´C= ．
7．（2025·山东滨州·一模）【初步发现】
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如图1，Rt△ABC的内切圆与斜边AB相切于点D，与AC，BC相切于点E,F,AD=5,BD=6，求
△ABC的面积．
解：设线段CE的长为x，根据切线长定理得AE=AD=5,BF=BD=6,CF=CE=x，
在Rt△ABC中，
根据勾股定理得(x+5) 2+(x+6) 2=(5+6) 2，
整理得x2+11x=30，
1 1
所以S = ×(x+5)(x+6)= (x2+11x+30)=30．
△ABC 2 2
请同学们想一想AD⋅BD=5×6=30，△ABC的面积等于AD与BD的积．这仅仅是巧合吗？
【深入探索】
（1）已知：如图2，△ABC的内切圆与AB相切于点D，与AC，BC相切于点E,F,AD=a,BD=b．
①若∠C=90°，求证：△ABC的面积等于ab；
②若AC⋅BC=2ab，求证：∠C=90°．
【拓展延伸】
（2）已知：△ABC的内切圆与AB，AC，BC相切于点D,E,F,∠C=60°,AD=6,BD=7．请直接写
出△ABC的面积．
8．（2025·安徽合肥·一模）如图，P为圆O外一点，PA、PB分别切圆O于A、B．连接PO，交圆O于点
D，延长PO，交圆O于点C．连接AC，BC．连接AO并延长，交BC于点E．
(1)证明：点D是A´B的中点．
(2)若点E是BC的中点，求∠APC的度数．
【题型三】圆的综合
【中考真题】
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1．（2024·江苏苏州·中考真题）如图，△ABC中，AB=4√2，D为AB中点，∠BAC=∠BCD，
√2
cos∠ADC= ，⊙O是△ACD的外接圆．
4
(1)求BC的长；
(2)求⊙O的半径．
2．（2023·黑龙江绥化·中考真题）如图，MN为⊙O的直径，且MN=15，MC与ND为圆内的一组平行弦，
弦AB交MC于点H．点A在M´C上，点B在N´C上，∠OND+∠AHM=90°．
(1)求证：MH⋅CH=AH⋅BH．
(2)求证：A´C=B´C．
3
(3)在⊙O中，沿弦ND所在的直线作劣弧N´D的轴对称图形，使其交直径MN于点G．若sin∠CMN= ，
5
求NG的长．
3．（2023·湖北宜昌·中考真题）如图1，已知AB是⊙O的直径，PB是⊙O的切线，PA交⊙O于点C，
AB=4，PB=3．
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(1)填空：∠PBA的度数是_________，PA的长为_________；
(2)求△ABC的面积；
(3)如图2，CD⊥AB，垂足为D．E是A´C上一点，AE=5EC．延长AE，与DC，BP的延长线分别交于
EF
点F,G，求 的值．
FG
4．（2023·浙江台州·中考真题）我们可以通过中心投影的方法建立圆上的点与直线上点的对应关系，用直
线上点的位置刻画圆上点的位置，如图，AB是⊙O的直径，直线l是⊙O的切线，B为切点．P，Q是圆
上两点（不与点A重合，且在直径AB的同侧），分别作射线AP，AQ交直线l于点C，点D．
⏜
(1)如图1，当AB=6，
BP
的长为π时，求BC的长．
AQ 3 BC
(2)如图2，当 = ，B´P=P´Q时，求 的值．
AB 4 CD
√6 PQ
(3)如图3，当sin∠BAQ= ，BC=CD时，连接BP，PQ，直接写出 的值．
4 BP
【模拟训练】
1．（2025·北京·模拟预测）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O，分别交BC于点D，交
AC于点E，过D作DH⊥AC于H，连接DE并延长交BA的延长线于点F．
(1)求证：DH是⊙O的切线；
HG 2
(2)连接OH交DF于G，若 = ，OA=1，求AF的值．
OG 3
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2．（2025·陕西西安·模拟预测）（1）如图①，在平行四边形ABCD中，对角线AC,BD相交成的锐角为
60°．若AC=10,BD=8，求平行四边形ABCD的面积．
（2）如图②，是某公园的圆形空地，O为圆心，AB为⊙O直径，AB=200m，规划部门计划在空地内建
一个牡丹园，根据设计要求：点D和点E，点G和点F分别关于AB对称，DF与GE交于点C，且DF⊥EG，
四边形DEFG为牡丹园，设AC的长为x(m)，牡丹园DEFG的面积为S(m2)．
①求S与x之间的函数关系式；
②已知种植牡丹园每平方米的费用为20元，政府预算为45万元，请通过计算说明政府的预算是否一定够
用？
3．（2025·云南曲靖·二模）如图，AB为⊙O的直径，AC为⊙O的弦，点D为AB的延长线上一点，连接
CD，过点O作OE⊥AB交DC的延长线于点E，交AC于点P，CE=EP．
(1)若∠D=α，求∠APO（用含α的式子表示）；
(2)求证：DE是⊙O的切线；
(3)过点C作CH∥AB交OE于点H，作CF∥OE交AB于点F，若CF=4,OF=3，求PH的长．
4．（2025·湖南长沙·一模）【问题呈现】阿基米德折弦定理：如图1，AB和BC是⊙O的两条弦（即折线
⏜
ABC是圆的一条折弦），BC>AB，点M是
ABC
的中点，则从M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的
中点，即CD=DB+BA．下面是运用“截长法”证明CD=DB+BA的部分证明过程．
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证明：如图2，在CD上截取CG=AB，连接MA、MB、MC和MG，∵M是AB´C的中点，∴MA=MC，
又∵∠A=∠C，∴△MAB≌△MCG，∴MB=MG，
又∵MD⊥BC，∴BD=DG，∴AB+BD=CG+DG，即CD=DB+BA
(1)【理解运用】如图1，AB、BC是⊙O的两条弦，AB=10,BC=16，点M是AB´C的中点，MD⊥BC
于点D，求BD的长；
(2)【变式探究】如图3，若点M是A´C中点，【问题呈现】中的其他条件不变，判断CD、BD、AB之间
存在怎样的数量关系？并加以证明．
(3)【实践应用】根据你对阿基米德折弦定理的理解完成下面问题：
如图4，BC是⊙O的直径，点A是圆上一定点，点D是圆上一动点，且满足∠DAC=45°，若AB=12，
⊙O的半径为10，求AD长．
5．（2025·陕西咸阳·二模）【问题提出】
（1）如图①，点A是⊙O外一点，点P是⊙O上一动点．若⊙O的半径为3，OA长度为5，根据
PA≥OA−OP，得到点P到点A的最短距离为_____________；
（2）如图②，已知正方形ABCD的边长为4，点M，N分别从点B，C同时出发，以相同的速度沿边
BC，CD方向向终点C和D运动，连接AM和BN交于点P．求点P到点C的最短距离．
【问题解决】
（3）如图③，某老小区有一个矩形ABCD活动广场，由于广场年久失修，居民使用率很低，物业为改善
居民生活品质，计划将这个广场进行更新改造．按照改造设计要求，在BC上取一点E，在AE上留一条小
路与小路BD交于点F，并将AF绕点F逆时针旋转90°得到线段FG，FG与CD交于点H，连接
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AH，AH与BD交于点K，在△AKF处建一个人工湖，已知AB=400m，AD=300m，BD=500m．为
满足活动广场各功能场所的需要，想让人工湖面积尽可能小．请问，是否存在符合设计要求的面积最小的
△AKF？若存在，求△AKF面积的最小值；若不存在，请说明理由．
30
