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第 59 讲 求电流三公式的理解及应用
1．（2021•江苏）有研究发现，某神经细胞传递信号时，离子从细胞膜一侧流到另一侧形成跨膜电
流，若将该细胞膜视为 1×10﹣8F 的电容器，在 2ms 内细胞膜两侧的电势差从﹣70mV 变为
30mV，则该过程中跨膜电流的平均值为（ ）
A．1.5×10﹣7A B．2×10﹣7A C．3.5×10﹣7A D．5×10﹣7A
Q
【解答】解：根据公式C= ，当细胞膜两侧的电势差从﹣70mV变为30mV
U
Q =CU =1×10-8×(-0.07)C=-7×10-10C
1 1
Q =CU =1×10-8×0.03C=3×10-10C
2 2
Q -Q 3×10-10+7×10-10
所以I= 2 1= A=5×10-7A
t 0.002
故ABC错误，D正确
故选：D。
一.知识回顾
1．电流
(1)导体中形成电流的条件
①导体中有能够自由移动的电荷。
②导体两端存在电压。
(2)电流的方向
与正电荷定向移动的方向相同，与负电荷定向移动的方向相反。在外电路中电流由电源正极流
向负极，在内电路中电流由电源负极流向正极。
电流虽然有方向，但它是标量。
(3)定义式：I＝。
(4)微观表达式：I＝nqSv。
(5)单位：安培(安)，符号A,1 A＝1 C/s。
2.利用“柱体微元”模型求电流
利用“柱体微元”模型求解电流的微观问题时，注意以下基本思路：
设柱体微元的长度为L，横截面积为S，单位体积内的自由电荷数为n，每个自由电荷的电荷量
为q，电荷定向移动的速率为v，则：(1)柱体微元中的总电荷量为Q＝nLSq。
(2)电荷通过横截面的时间t＝。
(3)电流的微观表达式I＝＝nqvS。
4．电流表达式的比较
公式 适用范围 字母含义
Q：(1)是通过导体横截面的电荷量，不是单位面积上
一切 的电荷量
定义式 I＝
电路 (2)当异种电荷反向通过某截面时，所形成的电流是同
向的，Q＝|Q|＋|Q|
1 2
n：导体单位体积内的自由电荷数
一切 q：每个自由电荷的电荷量
微观式 I＝nqSv
电路 S：导体横截面积
v：电荷定向移动的速率
金属、 U：导体两端的电压
决定式 I＝
电解液 R：导体本身的电阻
二.例题精析
题型一：固体中的电流
例1．如图所示是一根粗细均匀的橡胶棒，其横截面积为 S，由于与毛皮发生摩擦而均匀带负电，
若已知该橡胶棒每米所带的电荷量为q，则当该棒沿轴线方向做速度为v的匀速直线运动时，形
成的等效电流为（ ）
q qv
A．vq B． C．qvS D．
v S
【解答】解：棒沿轴线方向以速度v做匀速直线运动时，每秒通过的距离为v米，每秒v米长的
q
橡胶棒上电荷都通过直棒的横截面，每秒内通过横截面的电量 Q＝q•v，根据电流的定义式I=
t
，t＝1s，得到等效电流为 I＝qv．故A正确，BCD错误。
故选：A。
题型二：液体中的电流
例2．如图所示的电解池接入电路后，在 t秒内有n 个一价正离子通过溶液内某截面S，有n 个一
1 2
价负离子通过溶液内某截面S，设e为元电荷，以下说法正确的是（ ）A．当n ＝n 时，电流为零
1 2
(n -n )e
B．当n ＞n 时，电流方向从A→B，电流为I= 1 2
1 2
t
(n2-n1)e
C．当n ＜n 时，电流方向从B→A，电流为I=
1 2
t
(n +n )e
D．无论n 、n 大小如何，电流方向都从A→B，电流都为I= 2 1
1 2
t
(n +n )e
【解答】解：由题意可知，流过容器截面上的电量q＝（n +n ）e；则电流I= 2 1 ；方向
1 2
t
与正电荷的定向移动方向相同；故由A到B；
故D正确、ABC错误。
故选：D。
三.举一反三，巩固练习
1. 如图所示，一粗细均匀的金属导线横截面积为S，单位体积内有n个自由电子，每个
自由电子的电荷量为e，下面说法正确的是（ ）
A．时间t内流过该导线某一横截面的电荷量为et
I
B．导线内的电流强度为I时，电子定向移动的速度为
neS
C．将金属丝均匀的拉长到原来的2倍，其电阻也变为原来的2倍
D．将金属丝接入电路，随着温度的升高其电阻变小
【解答】解：A、不知道电路中的电流或粒子运动的速度，不能求出时间 t内流过该导线某一横
截面的电荷量，故A错误；
B、从微观角度来说，在t时间内能通过某一横截面的自由电子必须处于长度为l＝vt的圆柱体内，
q
此圆柱体内的电子数目为nvSt，则t时间内通过该截面的电子的电量为q＝nevSt，结合I= 可得
tI
电子定向移动的速度为：v= ，故B正确；
neS
L 1
C、金属导体的电阻：R=ρ ，将金属丝均匀的拉长到原来的2倍，其横截面积减小为原来的 ，
S 2
所以电阻变为原来的4倍，故C错误；
D、金属丝的电阻率随温度的升高而增大，所以将金属丝接入电路，随着温度的升高其电阻变大，
故D错误。
故选：B。
2. 如图所示，两段长度和材料相同、各自粗细均匀的金属导体a、b，单位体积内的自由
电子数相等，横截面积之比S ：S ＝1：2。已知流经导体a的电流为0.16A，电子的电荷量e＝
a b
1.6×10﹣19C。下列说法正确的是（ ）
A．a、b的电阻之比R ：R ＝1：2
a b
B．5s内有5×1018个自由电子通过导体b的横截面
C．自由电子在导体a和b中的定向移动速率之比v ：v ＝1：2
a b
D．相同时间内导体a和b产生的焦耳热之比Q ：Q ＝4：1
a b
【解答】解：A．根据电阻定律 L可得a、b的电阻之比为R S 2，故A错误；
R=ρ a= a=
S R S 1
b b
It 0.16×5
B．5s内通过导体b的横截面的自由电子数为N= = 个=5×1018个，故B正确；
e 1.6×10-19
C．根据电流的微观表达式 I＝neSv，可得自由电子在导体 a和b中的定向移动速率之比为
v S 2，故C错误；
a= b=
v S 1
b a
D．根据焦耳定律Q＝I2Rt，可得相同时间内导体a和b产生焦耳热之比为Q R 2，故D错
a= a=
Q R 1
b b
误。
故选：B。
3. 一根长为L、横截面半径为r的金属棒，其材料的电阻率为 。金属棒内单位体积自
ρ由电子数为n，电子的电荷量为e。在棒两端加上恒定的电压U时，金属棒内产生电流，则自
由电子定向运动的平均速率为（ ）
U Uπr2 U UL
A． B． C． D．
ρLne ρLne ρLneπr2 ρneπr2
【解答】解：设导体的横截面积为S，自由电子定向运动的平均速率为v。根据电流的微观表达
I
式I＝neSv可得：v=
neS
U L
其中：I= ，R=ρ ，S＝ r2
R S
π
U
联立可得：v= ，故A正确，BCD错误。
ρLne
故选：A。
4. 安培提出了著名的分子电流假说，根据这一假说，电子绕核运动可等效为一环形电流．
设电量为e的电子以速率v绕原子核沿顺时针方向做半径为r的匀速圆周运动，其电流的等效
电流强度I和方向为（ ）
ve
A．电流强度为 顺时针
2πr
ve
B．电流强度为 逆时针
2πr
ve
C．电流强度为 顺时针
r
ve
D．电流强度为 逆时针
r
2πr
【解答】解：电子绕核运动可等效为一环形电流，电子运动周期为：T=
v
q q ve
根据电流的定义式得：电流强度为：I= = = ；
t T 2πr
因为电子带负电，所以电流方向与电子定向移动方向相反，即沿逆时针方向，故 B正确，ACD
错误。
故选：B。
5. 在金属导体两端加上恒定电压的瞬间，导体中就会形成匀强电场，电场力使得导体中
原本杂乱无章运动的自由电子定向运动。定向运动的自由电子在运动中与金属正离子频繁发生
碰撞而产生的“阻力”使得自由电子稳定后近似做匀速运动。如图所示，一根长为L的圆柱形金属棒的横截面半径为r，其材料的电阻率为 。金属棒单位体积内自由电子数为n，电子的质
量为m、电荷量为e。金属棒两端加上恒定的ρ电压时，金属棒内产生电流，自由电子定向运动
的平均速度为v，则自由电子定向运动时受到的平均阻力大小为（ ）
A．mv2 B． r2nmv2 C．ne2v D．ρe2v
2L πr2L
π ρ
【解答】解：自由电子所受阻力与电场力平衡，可得：
f＝eE
U
由匀强电场中，电场强度与电势差的关系，可得：E= ，
L
由欧姆定律，可得：U＝IR，
根据电流的微观表达式，可知：I＝neSv，
L
由电阻定律可得：R＝ ，
S
ρ
联立可得：f＝ ne2v，
故ABD错误；ρC正确。
故选：C。
6. 某些肿瘤可以用“质子疗法”进行治疗。在这种疗法中，为了能让质子进入癌细胞，
首先要实现质子的高速运动，该过程需要一种被称作“粒子加速器”的装置来实现。质子先被
加速到较高的速度，然后轰击肿瘤并杀死癌细胞。如图所示，来自质子源的质子（初速度为
零），经加速电压为U的加速器加速后，形成细柱形的质子流。已知细柱形的质子流横截面积
为S，其等效电流为I；质子的质量为m，其电量为e。那么这束质子流内单位体积的质子数n
是（ ）
I √2U I √ m I √2eU I √ m
A． B． C． D．
eS m eS eU eS eS eS 2eU1
【解答】解：质子在电场力作用下加速，加速后的速度为v，根据动能定理，则有eU= mv2
2
√2eU
解得：v=
m
等效电流为I，单位体积的质子数为n，根据微观表达式：I＝neSv
I √ m
解得n= ，故ABC错误，D正确。
eS 2eU
故选：D。
7. 导线中带电粒子的定向运动形成了电流，带电粒子定向运动时所受洛伦兹力的矢量和，
在宏观上表现为导线所受的安培力。如图所示，设导线 ab中自由电荷定向运动的速度都是v，
单位体积内的自由电荷数为n，每个自由电荷的电荷量为q，导线的横截面积为S，导线的长度
为L，磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里，则下列说法正确的是（ ）
A．由题目已知条件可以算得通过导线的电流为I＝nqvS
B．题中导线受到的安培力的方向可用安培定则判断
C．每个粒子所受的洛伦兹力为F洛 ＝qvB，通电导线所受的安培力为F安 ＝nqvB
D．改变适当的条件，有可能使图中带电粒子受到的洛伦兹力方向反向而导线受到的安培力方向
保持不变
【解答】解：B、导线受到的安培力的方向由左手定则判断，故B错误
Q nqvSt
A、电流：I= = =nqvS，故A正确；
t t
C、粒子所受的洛伦兹力为F洛 ＝qvB，导线长度为L，则其受的安培力为：F＝nqLSvB＝BIL，
故C错误
D、洛伦兹力方向反向决定了所受到的安培力方向，故D错误
故选：A。
