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河南省实验中学 2025-2026 学年上期第二次月考
高一数学
时间：120分钟
一､单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符
合要求.）
1. 已知 ，点 在函数 的图象上，则 的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由已知可得 且 ，进而有 ，结合二次函数的性质求最大值.
【详解】由 ，且点 在函数图象上，
所以 ，且 ，则 ，
所以 ，
当且仅当 时取等号，故 的最大值为 .
故选：C
2. 函数 的零点所在的区间是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】由函数零点存在性定理求解即可.
【详解】 ，
，函数在区间 上有零点，
故选：B.
3. 已知 ，则 （ ）
A. B. C. D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】先将所求的式子利用诱导公式化简，再分子分母都除以 就转化为求 的式子的值，代
入 的值即可得解.
【详解】 .
故选：C.
4. 已知函数 的图象大致为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】首先求出函数的定义域，即可判断奇偶性，再由函数值的特征，利用排除法判断即可.
【详解】函数 的定义域为 ，
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学科网（北京）股份有限公司又 ，
所以 为偶函数，则函数图象关于 轴对称，故排除D；
当 时 ，则
因为当 时 ， ， ，所以 ；
当 时 ， ， ，所以 ，故排除A、C.
故选：B
5. “幂函数 在 上是减函数”是“ ”的一个（ ）
A. 必要不充分条件 B. 充要条件
C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据幂函数的单调性求解 或 ，再根据必要不充分条件的定义即可得解.
【详解】由幂函数的定义得 ，解得 或 ，此时 ， ；
所以当幂函数 在 上是减函数时， 或 ，充分性不成立；
当 时， 在 上是减函数，必要性成立；
所以幂函数 在 上是减函数”是“ ”的一个必要不充分条件.
故选：
6. 设 ，则关于两个方程 与 的根的叙述正确的是（ ）
A. 有两个相同的根 B. 有三个相同的根
C. 有四个相同的根 D. 所有根全部相同
【答案】B
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【 分 析 】 由 ， 得 或 ， 再 由 ， 得
或 ，根据 ，进而得到结论.
【详解】由 ，得 或 ，
当 时， ， ， ， ， ， ， ．
由 ，得 或 ，
当 时， ， ， ， ， ，
两个方程有三个相同的根，
故选：B．
7. 已知函数 ，曲线 和 恰有一个交点，则
（ ）
A. 1 B. -1 C. D. 0
【答案】C
【解析】
【分析】将 转化为 ，构造函数 ，利用偶函数的对称性即可确
定方程只有一个根时 的值.
【详解】由 可得 ，
整理得 ，
设 ，则函数 的定义域为 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 ，则 在 上为偶函数，
若方程 只有一个根，根据偶函数的对称性可得 .
故选：C.
8. 已知函数 ，若函数 有四个不同零点从小到大依次为 ， ，
， 且不等式 恒成立，则实数k的最小值（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】画出函数 的图象，可得 ，且
，进而可得 恒成立，求出 的最大值，进而得到实数
k的最小值．
【详解】函数 的图象如图所示：
当方程 有四个不等实根 时，
，即 ，
，即 ，
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学科网（北京）股份有限公司且 ，
若不等式 恒成立，
则 恒成立，
由
，当且仅当 时等号成立
故 ，
故实数k 的最小值为 ，
故选：C．
二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合
题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 若 终边上一点的坐标为 ，则
B. 若角 为锐角，则 是第一象限角
C. 若 ，且 ，则
D. 若圆心角为 的扇形的弧长为2，则该扇形的面积为
【答案】BC
【解析】
【分析】由终边上一点即可求其余弦值，即可对A判断；由角 为锐角，则可对B判断；若
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学科网（北京）股份有限公司，则 ，再结合题意求得 ，从而可对C判断；利用弧长
及扇形面积公式即可求解D.
【详解】A：若 终边上一点的坐标为 ，则 ，故A
错误；
B：若角 为锐角，则 是第一象限角，故B正确；
C：若 ，则 ，又因为且 ，所以 ，
解得 ，则 ，故C正确；
D：圆心角为 的扇形的弧长为2，则该扇形的面积为 ，故D错误.
故选：BC.
10. 已知 ， ，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】由 得 ，由 得 .对于A，利用作差法判断；对于B，由对数运算
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学科网（北京）股份有限公司法则计算判断；对于C，由基本不等式可得 ，结合对数运算法则计算判断；对于D，解法一：利用
基本不等式“1”的妙用，计算判断，解法二：用权方和不等式计算判断.
【详解】由 得 ，由 得 .
对于A， ，所以 ，故A错误；
对于B， ，故B正确；
对于C，由 ， ，则 ，当且仅当 时等号成立，
因为 ，故等号不成立，即 ，
则 ，故C正确；
对于D，解法一：易知， ，
当且仅当 时等号成立，因为 ，故等号不成立，所以 ，
解法二：若用权方和不等式，则有 ，当且仅当 时等号成立，因为
，故等号不成立，所以 ，故D正确.
故选：BCD
11. 已知函数 则下列结论正确的有（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. 函数 的图象关于点 对称
B. 函数 的图象关于直线 对称
C. 函数 的表达式可改写为
D. 若 其中 ，则 的最小值为
【答案】BC
【解析】
【分析】利用检验法将 ， 代入，即可验证A错误和B正确，由诱导公式结合余弦函数的周
期性得 ，所以C正确，根据 求出对应的 的通解，找相邻解的最
小差值，即可判断D正确.
【详解】A选项，将 代入可得 ，所以函数 的图象关于点
对称，故A选项错误；
B选项，由于 ，故函数 的图象关于 对称，B选项正确；
C选项，利用诱导公式得 ，
再结合余弦周期性得 ，
因此 ，所以选项C正确；
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学科网（北京）股份有限公司D选项，由 得， ，解得 或 ，
即 或 ,则 ,
，D错误.
故答案为：BC.
三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）
12. 已知函数 （ 且 ）的图象经过定点P，且点P在角 的终边上，则
________．
【答案】
【解析】
【分析】先由指数型函数过定点的性质求得 的坐标，再利用三角函数的定义即可求得 ，从而
得解.
【详解】因为函数 （ 且 ）的图象经过定点P，
令 ，则 ，所以 ，
于是 ， ，
所以 ．
故答案为： .
13. 已知 是关于 的方程 的两根，则 __________.
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学科网（北京）股份有限公司【答案】
【解析】
【分析】先通过根与系数的关系得到 的关系，再通过同角三角函数的基本关系即可解得.
【详解】由题意： ，所以 ，
所以 ，即 ，解得 .
故答案为： .
14. 定义在 上的奇函数 满足:任意 ,且 ,若 ,则
不等式 的解集为________.
【答案】
【解析】
【分析】构造函数 ，根据条件求证其奇偶性和单调性，求解不等式 即可.
【详解】因 ，则 ，
则 在 上单调递增，
因 为奇函数，则 ，
则 ，即 为奇函数，
则 在 上单调递增，
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学科网（北京）股份有限公司因 ，则 ，
则 的解集，即 的解集为 .
故答案为：
四､解答题（本题共5题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）
15. 已知 （ ，且 ）.
（1）求定义域并判断 的奇偶性；
（2）若 在区间 内的最大值为2，求 .
【答案】（1） ，偶函数
（2）
【解析】
【分析】（1）由函数解析式，建立不等式组，求得其定义域，根据奇偶性的定义，可得答案；
（2）由对数运算整理函数解析式，根据二次函数与对数函数单调性，结合复合函数的单调性，利用分类
讨论，建立方程，可得答案.
【
小问1详解】
由函数 ，则 ，解得 ，故函数 的定义域为
.
由 ，所以函数 为偶函数.
【小问2详解】
由函数 ，且函数 在 上单调递减，
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学科网（北京）股份有限公司则当 时，函数 在 上单调递增，故 在 上的最大值为 ，
由题意可得 ，解得 ，符合题意；
当 时，函数 在 上单调递减，故 在 上的最大值为 ，
由题意可得 ，解得 ，不符合题意.
综上所述， .
16. 已知函数 .
（1）求函数 的单调递增区间；
（2）求函数 在 上的值域；
（3）求 在 上的解集.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由 求出 ，即可得解；
（2）令 ，则 .利用函数 在 上的单调性，得到
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学科网（北京）股份有限公司，即可得解；
（3）令 ，则 .由 解得 或 ，再求出 ，
即可得解；
【小问1详解】
由
解得 .
所以函数 的单调递增区间为 .
【小问2详解】
令 ，则 .
因为 在 上单调递增，在 上单调递减，
且 ， ，
所以 ，即 ，
所以函数 在 上的值域为 ；
【小问3详解】
令 ，则 .
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学科网（北京）股份有限公司由 ，即 ，
解得 或 ，
即 或 ，
解得 或 .
所以 在 上的解集为 .
17. 两社区 和 相距2km，现计划在两社区外以 为直径的半圆弧 （不含 ， 两点）上选择一
点 建造口袋公园（如图所示），其对社区的噪音影响度与所选地点到社区的距离有关.口袋公园对社区
的噪音影响度是所选地点到社区 的距离的平方的反比例函数，比例系数为0.01；对社区 的噪音影响
度是所选地点到社区 的距离的平方的反比例函数，比例系数为 ，对社区 和社区 的总噪音影响度为
对社区 和社区 的噪音影响度之和.记 点到社区 的距离为 ，建在 处的口袋公园对社区 和社
区 的总噪音影响度为 .统计调查表明：当口袋公园建在半圆弧 的中点时，对社区 和社区 的总噪
音影响度为0.05.
（1）将 表示成 的函数；
（2）判断半圆弧 上是否存在一点，使得建在此处的口袋公园对社区 和社区 的总噪音影响度最小？
若存在，求出该点到社区 的距离；若不存在，说明理由.
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学科网（北京）股份有限公司【答案】（1）
（2）存在，当该点到社区 的距离 时，袋公园对社区 和社区 的总噪音影响度最小.
【解析】
【分析】（1）利用勾股定理即可得出 ，再根据反比例函数定义和已知条件可解得 ，
即可写出 关于 的函数；（2）利用整体代换和基本不等式确定 的最小值，验证等号成立时 的取值是
否符合题意，即可判断得出结论并确定位置.
【小问1详解】
由 为直径可得 ，所以
由题意可知，
的
又当口袋公园建在半圆弧 中点时，对社区 和社区 的总噪音影响度为0.05，
即 时， ，代入得 ，
所以，
即 关于 的函数为
【小问2详解】
口袋公园对社区 和社区 的总噪音影响度最小，即 的取值最小，
由（1）知
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学科网（北京）股份有限公司令 ，则可得
，当且仅当 时，等号成立；
且 ，所以 ，
即 ，此时 ，即 ，解得 .
因此，半圆弧 上存在一点，且该点到社区 的距离满足 时，建在此处的口袋公园对社区 和社
区 的总噪音影响度最小.
18. 设函数 .
（1）已知 是偶函数，求整数 的值；
（2）若 ，使得 成立，求实数 的取值范围；
（3）设函数 ，若方程 在 有唯一实数解，求实数 的
取值范围.
【答案】（1） ；
（2） ；
（3） .
【解析】
【分析】（1）利用偶函数的性质列方程，得到 对 恒成立，即可求参数值；
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学科网（北京）股份有限公司（2）问题化为在 上 ，应用换元法、指数函数的区间值域，结合二
次函数的性质求右侧的最大值，即可得参数范围；
（3）由 ，设 并结合指数函数的单调性求 的范围，问题
化为在 上 有唯一实数解，分析右侧的单调性，进而求出其范围，即可得参数范围.
【小问1详解】
因为函数 是偶函数， ，
整理得 对 恒成立，故 ，故 ；
【小问2详解】
存在 ，使得 成立，即 ，
则 在 上能成立，即 ，
设 ，则 的图象开口向上，且对称轴为 ，
在 单调递减，故 ，即 ；
【小问3详解】
由题意得 ，
设 ，又函数 在 上单调递增，则 ，
若方程 在 有唯一实数解，即
在 上有唯一实数解，
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学科网（北京）股份有限公司即 有唯一实数解，
在 上连续且单调递减，在 上连续且单调递增，
又 时 ， 时 ，所以 的取值范围为 .
19. 对于定义域为 的函数． ，如果存在区间 同时满足: ① 在 上是单
调函数; ②当定义域是 时， 的值域也是 ．则称 是该函数的“保值区间”．
（1）求证: 是函数 的一个“保值区间”；
（2）求证：函数 不存在“保值区间”；
（3）已知函数 有“保值区间” ，当 取得最大值时，求 的
值．
【答案】（1）见详解 （2）见详解
（3）
【解析】
【分析】（1）先判断函数 的单调性再求值域即可得解；
（2）假设 存在保值区间 ，由 的单调性知 ，而方程组无解，故 不存在
保值区间；
（3）根据函数 的单调性和“保值区间”定义得到 是方程 的两个不等的
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学科网（北京）股份有限公司同号实根，再根据 求解即可.
【小问1详解】
函数 在[0，2]上单调递增，又 ,
因此函数 在[0，2]上的值域为[0，2],
所以[0，2]是函数 的一个“保值区间”.
【小问2详解】
假设 存在保值区间 ，函数 中 则 或 ，
则函数 在 上单调递增，
若 是 的“保值区间”，则 ，
即 是方程 的两个不等的同号实根，
方程 ，而方程 无解，
在
所以函数不存 “保值区间”.
【小问3详解】
函数 中 ，则 或 ；
函数 在 上单调递增，
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学科网（北京）股份有限公司而 是函数 的“保值区间”，所以 .
则 是方程 的两个不等的同号实根，
方程 ，
所以 解得 或 又
所以 ，
当且仅当 时取等号，所以当 取得最大值时 .
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学科网（北京）股份有限公司
