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2025 年秋期高中一年级期中质量评估
数学试题
注意事项：
1.考生做题时将答案答在答题卡的指定位置上，在本试卷上答题无效.
2.答题前，考生务必先将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.
3.选择题答案使用2B铅笔填涂，非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔
书写，字体工整，笔迹清楚.
4.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效.
5.保持卷面清洁，不折叠､不破损.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 设全集 ，集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据补集、交集的定义求解即可.
【详解】由题可知， ，又 ，
所以 .
故选：B.
2. 已知命题p： ，有 ，则（ ）
A. p是真命题，p的否定： ，使
B. p是真命题，p的否定： ，使
C. p是假命题，p的否定： ，使
D. p是假命题，p的否定： ，使
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学科网（北京）股份有限公司【答案】D
【解析】
【分析】根据全称量词命题的否定及一元二次不等式恒成立的条件判断即可.
【详解】因为 恒成立，所以命题p是假命题；
p的否定是： ,使 .
故选：D.
3. 设甲： ；乙： ，则（ ）
A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件
B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件
C. 甲是乙的充要条件
D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】由指数函数单调性得到 ，但不能保证两者非负，故充分性不成立，必要性成立，得到答案.
【详解】 ，但不一定得到 ，例如 为负数，充分性不成立，
，必要性成立，
故甲是乙的必要条件但不是充分条件.
故选：B
4. 函数 的大致图象是（ ）
A. B.
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学科网（北京）股份有限公司C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】判断函数的奇偶性，根据 时， ，可得结论.
的
【详解】函数 定义域为 ，关于原点对称，
又 ，所以函数 为偶函数，故BC不符合题意；
当 ， ，所以 ，故D不符合题意，A符合题意.
故选：A.
5. 已知幂函数 在 上单调递增，则实数 值的为（ ）
A. -2 B. -1 C. 2 D. -1或2
【答案】B
【解析】
【分析】由函数是幂函数解出 ，再由单调性判断即可.
【详解】因为函数 为幂函数，所以 ，解得 或 ，
当 时， ， 在 上单调递减；
当 时， ， 在 上单调递增.
故选：B.
6. 已知实数 满足 ，则 的最小值为（ ）
A. 2 B. 4 C. 8 D. 16
【答案】C
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学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】结合指数运算法则与基本不等式计算即可得.
【详解】 ，
当且仅当 ，即 ， 时等号成立，
故 的最小值为 .
故选：C.
7. 关于x的不等式 恒成立，则实数a的值为（ ）
A. -1 B. 0 C. 1 D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】由不等式 恒成立，得 恒成立，从而求得 .
【详解】因为函数 是增函数，所以当 时， ；当 时， ；当 时， .
所以不等式 恒成立，等价于 恒成立.
所以 .
故选：C.
8. 我们知道： 的图象关于原点成中心对称图形的充要条件是 为奇函数.有同学发现可
以将其推广为： 的图象关于 成中心对称图形的充要条件是 为奇函数.若
的图象的对称中心为 ，则
（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】根据题意求得函数 图的象的对称中心，根据对称性求得
的值.
【详解】由题可知，若函数 图象的对称中心为 ，则 为奇函数，
即 为奇函数.
所以
所以 且 ，解得 .
所以 的图象的对称中心为 ，即有 ，
所以
所以
，
.
故选：D.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 设 ，则下列选项正确的是（ ）
A. 若 ，则
B. 若 ，则
C. 若 ，则
D. 若 ，则
【答案】ACD
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】AD选项，由不等式性质可得；B选项，举出反例；C选项，由幂函数 单调性可得C正确.
【详解】A选项，根据不等式性质可得，若 ，则 ，A正确；
B选项，若 ， ，则 ，B错误；
C选项， 在R上单调递增，若 ，则 ，C正确；
D选项，若 ，则 ，则 ，不等式两边同除以 得 ，D正确.
故选：ACD
10. 已知函数 （其中 表示不超过x的最大整数），则下列选项不正确的是（ ）
A. B. 函数 的值域为
C. 函数 是增函数 D. 方程 无解
【答案】BC
【解析】
【分析】易得函数 是周期为1 的函数，分析当 时，函数 的性质，画
出其简图，逐项分析，可得正确答案.
【详解】对于A，由已知可得： ，所以选项A正确；
当 时，函数 ，
因为 表示不超过x的最大整数，所以 ,所以 ,
又因为 ，所以
所以对于 ，恒有 ,
所以函数 是周期为 的函数，
其简图如下：
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学科网（北京）股份有限公司对于B，函数 的值域为 ，所以选项B错误；
对于C，函数 在 上单调递增，但在整个定义域上不单调，所以不是增函数，所以选项C错误；
对于D，函数图象与直线 无交点，所以方程 无解，所以选项D正确.
故选：BC.
11. 对于函数 ，若对于其定义域 中任意给定的实数 ，都有 ，并且 ，
则称函数 为倒函数．以下选项正确的有（ ）
A. 函数 是倒函数
B. 函数 是倒函数
C. 若 是 上的倒函数，当 时， ，方程 没有正整数解
D. 若 是 上的倒函数，其函数值恒大于0，且在 上是增函数．记 ，则
是 的充要条件
【答案】ACD
【解析】
【分析】对于选项A、B，直接根据定义判断函数是否为倒函数；对于选项C，先根据倒函数性质求出
时函数表达式，再判断方程是否有正整数解；对于选项D，根据函数单调性判断 与
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学科网（北京）股份有限公司之间的充分性和必要性.
【详解】对于A，对于 定义域为 ，显然定义域中任意实数 ，都有 成立，又
，所以 是倒函数．故A正确．
对于B， 定义域为 ，当 时， ，不符合倒函数的定义，
所以 不是倒函数，故B错误．
对于C，令 ，则 ，由倒函数的定义，可得 ，
所以 ，所以 ，要使 有正整数解，
则 ，当 时， ；
当 时， ；所以 没有正整数解，故C正确．
对于D，充分性：当 时， 且 ，因为 是增函数，
所以 ， ，即 ， ，
所以 ．
必要性：当 时，
有 ，
因为 恒大于0，所以 ，即 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 ，因为 是增函数，所以 ，即 ；
综上可得 是 的充要条件，故D正确．
故选：ACD.
【点睛】关键点点睛：本题关键是理解倒函数定义.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 某学校先后举办了多个学科的课余活动.已知高一（1）班全体同学中30名参加了数学活动，26名参加
了物理活动，15名同时参加了数学､物理两个学科的活动，还有14名两个均未参加，则这个班有
__________名同学.
【答案】55
【解析】
【分析】画出维恩图可解.
【详解】
由图可得这个班共有学生 人.
故答案为：55.
13. 已知函数 在R上单调递减，则实数a的取值范围为__________.（结果写成
集合或区间的形式）
【答案】 或
【解析】
【分析】由分段函数为单调递减函数得到不等式组，解不等式组可得.
【详解】由题意可得 ，解得 .
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学科网（北京）股份有限公司故答案为： 或 .
14. 已知汽车从踩刹车到停住所滑行的距离s（单位： ）与速度v（单位： ）的平方及汽车总质量
成正比.设某辆卡车不装货物以 的速度行驶时，从踩刹车到停住滑行了 .如果这辆卡车装着等
于车重的货物行驶时，发现前面 处有障碍物，这时为了能在离障碍物 以外处停车，最大限制时速
应是__________ （结果保留整数，设卡车司机发现障碍物到踩刹车需经过 ）
【答案】26
【解析】
【分析】设卡车从踩刹车到停住所滑行的距离为 ，卡车速度为 ，卡车总质量为 ，比例系数为 ，则
.根据已知条件，先求出 的值.当这辆卡车装着等于车重的货物行驶时，设能在离障碍物 以
外处停车的速度为 ，则 满足 ，由此可求得 的范围，从而求得最大限制时速.
【详解】设卡车从踩刹车到停住所滑行的距离为 ，卡车速度为 ，卡车总质量为 ，比例系数为 ，则
，
当 时， ，
①
当这辆卡车装着等于车重的货物行驶时，设能在离障碍物5m以外处停车的速度为 ，
则 满足 ②
由①②得 ③，
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学科网（北京）股份有限公司对于 ，必有一正一负根，不妨设其两根为： ，则不等式
的解集为 .
因为要求的最大限制时速为正数，且 在 上单调递增，
所以不妨取 代入 ；
不妨取 代入 ；
不妨取 代入 ；
所以 ，所以最大限制时速应是 .
故答案为：26.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 计算：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）10
【解析】
【分析】（1）由指数幂的运算可；
（2）由对数的运算性质计算可得.
【小问1详解】
原式
【小问2详解】
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学科网（北京）股份有限公司原式
16. 已知函数
（1）当 时，求不等式 的解集；
（2）当 时，有 ，求 的最小值，并求取最小值时 的值.
【答案】（1）
（2） ，
【解析】
【分析】（1）利用一元二次不等式的解法可得答案；
（2）由 可得 ，再利用基本不等式“1”的妙用可得答案.
【小问1详解】
当 时，不等式 可化为 ，
即： ，解得： ，
即原不等式的解集为
【小问2详解】
由 可知 ，即： .
因为 ，
所以 ，
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学科网（北京）股份有限公司当且仅当 ，即 时等号成立，
即当 时， 取得最小值 .
17. 已知函数 是奇函数， .
（1）求a的值；
（2）判断 在 上的单调性，并用函数单调性的定义证明；
（3）求不等式 的解集.
【答案】（1） ；
（2） 在 上单调递减，证明见解析；
（3） .
【解析】
【分析】（1）根据 得到方程，求出 ；
（2）定义法证明函数单调性步骤，取点，作差，变形判号，下结论；
（3）由函数表达式可知，在 上恒有 ，在 上有 ，不等式转化为
，从而得到不等式组，求出答案.
【小问1详解】
因为函数 是奇函数，所以 ，
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学科网（北京）股份有限公司则 ，解得： .
【小问2详解】
在 上单调递减.证明过程如下：
证明：任取 ，
则
，
因为 单调递增，所以 ，
所以 ，所以 ，
即 在 上单调递减.
【小问3详解】
，则 ，
因为函数 是奇函数，在 上单调递减，且在 上恒有 ，
所以在 上有 .
由 可知，不等式 可化为 .
由 在 上单调递减，可得： ，
由 得 或 ，由 得 ，
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学科网（北京）股份有限公司故 或 .
所以原不等式 的解集为 .
18. 已知函数
（1）当 时，求函数 的值域；
（2）当 ]时，求函数 的最小值；
（3）若 ，存在实数 ，使f ，求b的取值范围.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用换元法可求复合函数在给定区间上的值域；
（2）利用换元法，将求函数 的最小值问题转化为求含参二次函数在给定区间上的最值问题，通过讨
论对称轴与给定区间的关系可得；
（3）分离参数 ，利用换元法构造新函数 ，根据新函数的单调性，
求 的取值范围，从而求得b的取值范围.
【小问1详解】
当 时， ，
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学科网（北京）股份有限公司令 ，则 ，则 在 上单调递减，在
上单调递增.
所以当 时， 取得最小值，最小值为 ；当 时最大值为9，故函数 的值域为
.
【小问2详解】
令 ，则 ，对称轴为 .
当 时， ，则 在 上单增，所以函数 的最小值为 ；
当 时， ，则 在 上单减，在 上单增，所以函数
的最小值为 ；
当 时，有 ，则 在 上单减，所以函数 的最小值为 .
综上所述， .
【小问3详解】
由 有 .
即 ，所以 .
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学科网（北京）股份有限公司因为 ，所以 .
令 当且仅当 ，即 时，等号成立；
因为 所以 .
令 ，则 是增函数，
所以 ，所以 ，
即实数 的取值范围为 .
19. 已知函数
（1）讨论 的奇偶性（直接写出奇偶性，不用证明）；
（2）当 时，关于 的不等式 在 上有解，求 的取值范围；
（3）若 是奇函数，对任意 时，不等式 恒成立，求实
数 的取值范围.
【答案】（1）当 时， 为偶函数；当 时， 为奇函数；当
且 时， 为非奇非偶函数.
（2）
（3）
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】（1）首先求出函数的定义域，分 、 两种情况讨论，分别求出相
应的 ，即可得解；
（2）参变分离可得当 时 能成立，令 ，结合复合函数的单调性
说明 的单调性，进而得到其值域，即可得解；
（3）由（1）可得 ，即可判断函数的单调性，依题意可得
，求出 的范围，即可得到 ，再分 和
两种情况讨论，分别求出 的取值范围.
【小问1详解】
因为 ，定义域为 ，
则 ，
若 ，即 ，所以 ，所以 ，解得 ，
即当 ， 为偶函数；
若 ，即 ，所以 ，所以 ，解得
，
即当 时， 为奇函数；
综上可得，当 时， 为偶函数；
当 时， 为奇函数；
当 且 时， 为非奇非偶函数.
【小问2详解】
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学科网（北京）股份有限公司不等式 可化为 ，即当 时 能成立.
令 ，令 ，则 在 上单调递增，
所以 在 上单调递增，
所以 ， 时， ，所以在 上 的值域是
所以 的取值范围为 .
【小问3详解】
由（1）可知， ，
又 在定义域 上单调递增， 在定义域 上单调递减，
所以 在定义域 上单调递增，
若对任意的 时，不等式 恒成立，
则有 ，
当 时， ，所以 ，所以 ，
所以 ，所以 恒成立，
当 时，有 ，化简得 ，解得 或 ，
当 时，有 ，化简得 ，解得 或 ，
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学科网（北京）股份有限公司综上： 的取值范围是 .
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学科网（北京）股份有限公司
