文档内容
第一讲 机械振动
知识梳理
一、简谐运动
1．简谐运动
(1)定义：如果物体在运动方向上所受的力与它偏离平衡位置位移的大小成正比，并且总是指向平衡位置，
物体的运动就是简谐运动。
(2)平衡位置：物体在振动过程中回复力为零的位置。
(3)回复力
①定义：使物体返回到平衡位置的力。
②方向：总是指向平衡位置。
③来源：属于效果力，可以是某一个力，也可以是几个力的合力或某个力的分力。
2．简谐运动的两种模型
模型 弹簧振子 单摆
示意图
(1)弹簧质量可忽略 (1)摆线为不可伸缩的轻细线
简谐运
(2)无摩擦等阻力 (2)无空气阻力等
动条件
(3)在弹簧弹性限度内 (3)最大摆角小于等于5°
回复力 弹簧的弹力提供 摆球重力沿与摆线垂直方向(即切向)的分力
平衡位置 弹簧处于原长处 最低点
周期 与振幅无关 T＝2π
能量 弹性势能与动能的相互转化，系
重力势能与动能的相互转化，机械能守恒
转化 统的机械能守恒
二、简谐运动的表达式和图像
1．简谐运动的表达式
(1)动力学表达式：F＝－kx，其中“－”表示回复力与位移的方向相反。
(2)运动学表达式：x＝Asin(ωt＋φ)，其中A代表振幅，ω＝2πf代表简谐运动的快慢，ωt＋φ 代表简谐运动
0 0
的相位，φ 叫作初相。
0
2．简谐运动的图像(1)从平衡位置开始计时，函数表达式为x＝Asin ωt，图像如图甲所示。
(2)从最大位移处开始计时，函数表达式为x＝Acos ωt，图像如图乙所示。
三、受迫振动和共振
1．受迫振动
系统在驱动力作用下的振动。做受迫振动的物体，它做受迫振动的周期(或频率)等于驱动力的周期(或频
率)，而与物体的固有周期(或频率)无关。
2．共振
做受迫振动的物体，驱动力的频率与固有频率越接近，其振幅就越大，当二者相等时，振幅达到最大，这
就是共振现象。共振曲线如图所示。
考点一、简谐振动的规律
受力特征 回复力F＝－kx，F(或a)的大小与x的大小成正比，方向相反
靠近平衡位置时，a、F、x都减小，v增大；远离平衡位置时，a、F、x都增大，
运动特征
v减小
能量特征 振幅越大，能量越大。在运动过程中，动能和势能相互转化，系统的机械能守恒
质点的位移、回复力、加速度和速度均随时间做周期性变化，变化周期就是简谐
周期性特征
运动的周期T；动能和势能也随时间做周期性变化，其变化周期为
关于平衡位置O对称的两点，加速度的大小、速度的大小、动能、势能相等，相
对称性特征
对平衡位置的位移大小相等
例1、(2021·河北高考)如图，一弹簧振子沿x轴做简谐运动，振子零时刻向右经过A点，2 s时第一次到达
B点。已知振子经过A、B两点时的速度大小相等，2 s内经过的路程为5.6 m，则该简谐运动的周期为
________ s，振幅为________ m。
例2、(多选)如图所示，轻弹簧上端固定，下端连接一小物块，物块沿竖直方向做简谐运动。以竖直向上为正方向，物块简谐运动的表达式为y＝0.1sin(2.5πt)m。t＝0时刻，一小球从距物块h高处自由落下；t＝0.6
s时，小球恰好与物块处于同一高度。取重力加速度g＝10 m/s2。以下判断正确的是( )
A．h＝1.7 m
B．简谐运动的周期是0.8 s
C．0.6 s内物块运动的路程是0.2 m
D．t＝0.4 s时，物块与小球运动方向相反
例3、一质量为m、侧面积为S的正方体木块，放在水面上静止(平衡)，如图所示。现用力向下将其压入水
中一段深度后(未全部浸没)撤掉外力，木块在水面上下振动，试判断木块的振动是否为简谐运动。
课堂随练
训练1、 一个质点在平衡位置O点附近做简谐运动，若从O点开始计时，经过3 s质点第一次经过M点，
如图所示，再继续运动，又经过4 s第二次经过M点，则再经过多长时间第三次经过M点 ( )
A．7 s B．14 s
C．16 s D． s
训练2、(多选)如图所示，水平弹簧振子沿x轴在M、N间做简谐运动，坐标原点O为振子的平衡位置，其振动方程为x＝5sin cm。下列说法正确的是( )
A．MN间距离为5 cm
B．振子的运动周期是0.2 s
C．t＝0时，振子位于N点
D．t＝0.05 s时，振子具有最大加速度
训练3、(多选)一振子沿x轴做简谐运动，平衡位置在坐标原点。t＝0时振子的位移为－0.1 m，t＝1 s 时位
移为0.1 m，则( )
A．若振幅为0.1 m，振子的周期可能为 s
B．若振幅为0.1 m，振子的周期可能为 s
C．若振幅为0.2 m，振子的周期可能为4 s
D．若振幅为0.2 m，振子的周期可能为6 s
训练3、如图所示，竖直轻弹簧两端分别与物体A、B相连，物块A、B所受重力均为mg，物块B放在固定
于水平面上的压力传感器上，物块A在初始位置处于平衡状态．现对物块A施以大小为F＝mg的力将其下
压一段距离x保持静止，然后撤去力F，当物块A向上运动到初始位置上方距离也是x时，压力传感器的
读数是多少？
考点二、简谐运动图像的理解和应用
1．图像信息
(1)振幅A、周期T(或频率f)和初相位φ(如图所示)。
0
(2)某时刻振动质点离开平衡位置的位移。
(3)某时刻质点速度的大小和方向：曲线上各点切线的斜率的大小和正负分别表示各时刻质点的速度大小和
方向，速度的方向也可根据下一相邻时刻质点的位移的变化来确定。
(4)某时刻质点的回复力和加速度的方向：回复力总是指向平衡位置，回复力和加速度的方向相同。(5)某段时间内质点的位移、回复力、加速度、速度、动能和势能的变化情况。
2．简谐运动的对称性(如图)
(1)相隔Δt＝(n＋)T(n＝0，1，2…)的两个时刻，弹簧振子的位置关于平衡位置对称，位移等大反向(或都为
零)，速度也等大反向(或都为零)。
(2)相隔Δt＝nT(n＝1，2，3…)的两个时刻，弹簧振子在同一位置，位移和速度都相同。
3．解析式
简谐运动的表达式为x＝Asin(ωt＋φ)，它是用解析的方法描述简谐运动，与图像法相比，更适合利用三角
函数的知识作定量计算。
例1、如图甲所示水平弹簧振子的平衡位置为O点，在B、C两点之间做简谐运动，规定水平向右为正方
向。图乙是弹簧振子做简谐运动的x－t图像，下列说法正确的是 ( )
A．弹簧振子从B点经过O点再运动到C点为一次全振动
B．弹簧振子的振动方程为x＝0.1sin(2πt＋)m
C．图乙中的P点时刻速度方向与加速度方向都沿x轴正方向
D．弹簧振子在2.5 s内的路程为1 m
例2、(2021·高考广东卷，T17)如图所示，一个轻质弹簧下端挂一小球，小球静止。现将小球向下拉动距离
A后由静止释放，并开始计时，小球在竖直方向做简谐运动，周期为T。经时间，小球从最低点向上运动
的距离________(选填“大于”“小于”或“等于”)；在时刻，小球的动能________(选填“最大”或“最
小”)。训练3、(多选)甲、乙两弹簧振子，振动图像如图所示，则可知( )
A．甲速度为零时，乙加速度最大
B．甲加速度为零时，乙速度最小
C．1.25～1.5 s时间内，甲的回复力大小增大，乙的回复力大小减小
D．甲、乙的振动频率之比f ∶f ＝1∶2
甲 乙
课堂随练
训练1、(2022·北京西城区统测)用小球和轻弹簧组成弹簧振子，使其沿水平方向振动，振动图像如图所
示，下列描述正确的是( )
A．1～2 s内，小球的速度逐渐减小，加速度逐渐增大
B．2～3 s内，弹簧的势能逐渐减小，弹簧弹力逐渐增大
C．t ＝4 s时，小球的动能达到最大值，弹簧的势能达到最小值
D．t ＝5 s时，弹簧弹力为正的最大值，小球的加速度为负的最大值
训练2、某学生在粗细均匀的木筷下端绕上铁丝，将其竖直浮在装有水的杯子中(如图甲)。现把木筷向上提
起一段距离后放手，此时刻开始计时，之后木筷做简谐运动，以向上为正方向作出了木筷振动的位移—时
间图像，如图乙所示。不计水的阻力，则( )
A．t＝2.4 s时，木筷处于平衡位置
B．前0.8 s内，木筷运动的路程为0.4 m
C．木筷的位移与时间的关系为x＝0.05sin m
D．t＝0.05 s时，木筷的重力小于其所受的浮力训练3、如图所示，光滑直杆上弹簧连接的小球以O点为平衡位置，在A、B两点之间做简谐运动。以O
点为原点，选择由O指向B为正方向，建立Ox坐标轴。小球经过B点时开始计时，经过0.5 s首次到达A
点。则小球在第一个周期内的振动图像为 ( )
考点三、单摆及其周期公式
1．对单摆的理解
(1)回复力：摆球重力沿轨迹切线方向的分力，F ＝－mgsinθ＝－x＝－kx，负号表示回复力F 与位移x的
回 回
方向相反。
(2)向心力：细线的拉力和重力沿细线方向的分力的合力充当向心力，F ＝F －mgcosθ。
向 T
两点说明：
①当摆球在最高点时，F ＝＝0，F ＝mgcosθ。
向 T
②当摆球在最低点时，F ＝，F 最大，F ＝mg＋m。
向 向 T
(3)单摆是一个理想化模型，摆角θ<5°时，单摆的周期为T＝2π，与单摆的振幅A、摆球质量m无关，式中
的g由单摆所处的位置决定。
2．等效摆长及等效重力加速度
(1)l′——等效摆长：摆动圆弧的圆心到摆球重心的距离。如图甲所示的双线摆的摆长 l′＝r＋Lcosα。乙图中
小球(可看作质点)在半径为R的光滑圆槽中A点的附近振动，其等效摆长为l′＝R。(2)g′——等效重力加速度：与单摆所处物理环境有关。
①在不同星球表面：g′＝，M为星球的质量，R为星球的半径。
②单摆处于超重或失重状态下的等效重力加速度分别为g′＝g＋a和g′＝g－a，a为超重或失重时单摆系统
整体竖直向上或竖直向下的加速度大小。
例1、如图甲所示，O是单摆的平衡位置，单摆在竖直平面内左右摆动，M、N是摆球所能到达的最远位
置，设向右为正方向，图乙是单摆的振动图像。当地的重力加速度大小为 10 m/s2，下列说法正确的是(
)
A．单摆振动的周期为0.4 s
B．单摆振动的频率是2.5 Hz
C．t＝0时摆球在M点
D．单摆的摆长约为0.32 m
例2、[2020·全国卷Ⅱ，34(1)]用一个摆长为80.0 cm的单摆做实验，要求摆动的最大角度小于5°，则开始
时将摆球拉离平衡位置的距离应不超过________cm(保留1位小数)。(提示：单摆被拉开小角度的情况下，
所求的距离约等于摆球沿圆弧移动的路程。)
某同学想设计一个新单摆，要求新单摆摆动10个周期的时间与原单摆摆动11个周期的时间相等。新单摆
的摆长应该取为________cm。
例3、如图所示，ACB为光滑弧形槽，弧形槽半径为R，C为弧形槽最低点，R≫ 。甲球从弧形槽的球
心处自由下落，乙球从A点由静止释放，求：
(1)两球第1次到达C点的时间之比；
(2)若在弧形槽的最低点C的正上方h处由静止释放甲球，让其自由下落，同时将乙球从弧形槽左侧由静止释放，欲使甲、乙两球在弧形槽最低点C处相遇，则甲球下落的高度h是多少。
课堂随练
训练1、(2022·肇庆第二次统测)甲、乙两单摆振动图像如图所示，从t＝0时刻开始计时，甲单摆第一次到
达负的最大位移时，乙单摆的位移为________m；甲、乙两单摆的摆长之比是________。
训练2、夏天的河上，有几名熟悉水性的青年将绳子挂在桥下荡秋千，绳子来回荡几次后跳入河中。现把
秋千看成单摆模型，图为小明在荡秋千时的振动图像，已知小王的体重比小明的大，则下列说法正确的是(
)
A．小王荡秋千时，其周期大于6.28 s
B．图中a点对应荡秋千时的最高点，此时回复力为零
C．小明荡到图中对应的b点时，动能最小
D．该秋千的绳子长度约为10 m考点四、受迫振动和共振
1．简谐运动、受迫振动和共振的关系比较
振动
简谐运动 受迫振动 共振
项目
受力情况 仅受回复力 受驱动力作用 受驱动力作用
振动周期 由系统本身性质决定，即 由驱动力的周期或频率决
T ＝T 或f ＝f
或频率 固有周期T 或固有频率f 定，即T＝T 或f＝f 驱 0 驱 0
0 0 驱 驱
振动能量 振动物体的机械能不变 由产生驱动力的物体提供 振动物体获得的能量最大
常见例子 弹簧振子或单摆(θ≤5°) 机械工作时底座发生的振动 共振筛、声音的共鸣等
2．对共振的理解
(1)共振曲线：如图所示，横坐标为驱动力频率f，纵坐标为振幅A，它直观地反映了驱动力频率对某固有
频率为f 的振动系统受迫振动振幅的影响，由图可知，f与f 越接近，振幅A越大；当f＝f 时，振幅A最
0 0 0
大。
(2)受迫振动中系统能量的转化：做受迫振动的系统的机械能不守恒，系统与外界时刻进行能量交换。
例1、(多选)把一个筛子用四根弹簧支撑起来，筛子上装一个电动偏心轮，它每转一周，给筛子一个驱动
力，这就做成了一个共振筛，如图甲所示。该共振筛的共振曲线如图乙所示。已知增大电压，可使偏心轮
转速提高，增加筛子质量，可增大筛子的固有周期。现在，在某电压下偏心轮的转速是54 r/min，下列说
法正确的是( )
A．此时共振筛的振动频率为0.9 Hz
B．减小筛子质量，筛子的振幅一定增大
C．转速调至48 r/min时，筛子出现共振状态
D．增大电压，筛子振幅会先增后减
例2、如图所示，在一条张紧的绳子上挂几个摆，其中A、B的摆长相等。当A摆振动的时候，通过张紧的
绳子给B、C、D摆施加驱动力，使其余各摆做受迫振动。观察B、C、D摆的振动发现( )A．C摆的频率最小 B．D摆的周期最大
C．B摆的摆角最大 D．B、C、D的摆角相同
课堂随练
训练1、(2021·浙江1月选考)(多选)为了提高松树上松果的采摘率和工作效率，工程技术人员利用松果的惯
性发明了用打击杆、振动器使松果落下的两种装置，如图甲、乙所示。则( )
A．针对不同树木，落果效果最好的振动频率可能不同
B．随着振动器频率的增加，树干振动的幅度一定增大
C．打击杆对不同粗细树干打击结束后，树干的振动频率相同
D．稳定后，不同粗细树干的振动频率始终与振动器的振动频率相同
训练2、(多选)两单摆分别在受迫振动中的共振曲线如图所示，则下列说法正确的是( )
A．若两摆的受迫振动分别在月球上和地球上进行，且摆长相同，则图线Ⅰ表示月球上单摆的共振曲线
B．若两摆的受迫振动是在地球上同一地点进行，则两摆摆长之比L ∶L ＝25∶4
Ⅰ Ⅱ
C．若图线Ⅱ表示在地球上完成的，则该单摆摆长约为1 m
D．若摆长均为1 m，则图线Ⅰ表示在地球上完成的 同步训练
1、如图所示，弹簧振子在a、b两点间做简谐运动，当振子从平衡位置O向a运动过程中( )
A．加速度和速度均不断减小
B．加速度和速度均不断增大
C．加速度不断增大，速度不断减小
D．加速度不断减小，速度不断增大
2、(多选)一单摆做简谐运动，在偏角增大的过程中，摆球的( )
A．位移增大 B．速度增大
C．回复力增大 D．机械能增大
3、(多选)某振动系统的固有频率为f ，该振动系统在周期性驱动力的作用下做受迫振动，驱动力的频率为
0
f。若驱动力的振幅保持不变，下列说法正确的是( )
A．当f＜f 时，该振动系统的振幅随f增大而减小
0
B．当f＞f 时，该振动系统的振幅随f减小而增大
0
C．该振动系统的振动稳定后，振动的频率等于f
0
D．该振动系统的振动稳定后，振动的频率等于f
4、如图所示，弹簧振子在BC间振动，O为平衡位置，BO＝OC＝5 cm。若振子从B到C的运动时间是1
s，则下列说法正确的是( )
A．振子从B经O到C完成一次全振动
B．振动周期是1 s，振幅是10 cm
C．经过两次全振动，振子通过的路程是20 cm
D．从B开始经过3 s，振子通过的路程是30 cm
5、如图所示，细线一端固定于悬挂点O，另一端系一小球。在悬挂点正下方A点处钉一个光滑小钉子。小
球从B点由静止释放，摆到最低点C的时间为t ，从C点向右摆到最高点的时间为t 。摆动过程中，如果
1 2
摆角始终小于5°，不计空气阻力。下列说法正确的是( )A．t＝t，摆线碰钉子的瞬间，小球的速率变小
1 2
B．t＞t，摆线碰钉子的瞬间，小球的速率变小
1 2
C．t＞t，摆线碰钉子的瞬间，小球的速率不变
1 2
D．t＝t，摆线碰钉子的瞬间，小球的速率不变
1 2
6、用图甲所示的装置可以测量物体做匀加速直线运动的加速度，用装有墨水的小漏斗和细线做成单摆，
水平纸带中央的虚线在单摆平衡位置的正下方。物体带动纸带一起向左匀加速运动时，让单摆小幅度前后
摆动，于是在纸带上留下如图所示的径迹。图乙为某次实验中获得的纸带的俯视图，径迹与中央虚线的交
点分别为A、B、C、D，用刻度尺测出A、B间的距离为x ；C、D间的距离为x 。已知单摆的摆长为L，
1 2
重力加速度为g，则此次实验中测得的物体的加速度为( )
A． B．
C． D．
7、(多选)甲、乙两弹簧振子的振动图像如图所示，则可知( )
A．两弹簧振子完全相同
B．两弹簧振子所受回复力最大值之比F ∶F ＝2∶1
甲 乙
C．振子甲速度为零时，振子乙速度最大
D．两振子的振动频率之比f ∶f ＝1∶2
甲 乙8、(2022·浙江省百校3月模拟联考)如图甲所示，O是单摆的平衡位置，B、C是摆球所能达到的最远位
置，以向右摆动为正方向，此单摆的振动图像如图乙所示，则( )
A．单摆的振幅是16 cm
B．单摆的摆长约为1 m
C．摆球经过O点时，速度最大，加速度为零
D．P点时刻摆球正在OC间向正方向摆动
9、如图所示，一轻质弹簧上端固定在天花板上，下端连接一物块，物块沿竖直方向以 O点为中心点，在
C、D两点之间做周期为T的简谐运动。已知在t 时刻物块的速度大小为v，方向向下，动能为E 。下列说
1 k
法错误的是( )
A．如果在t 时刻物块的速度大小也为v，方向向下，则t－t 的最小值小于
2 2 1
B．如果在t 时刻物块的动能也为E，则t－t 的最小值为T
2 k 2 1
C．物块通过O点时动能最大
D．当物块通过O点时，其加速度最小
10、(多选)(2022·南通调研)装有砂粒的试管竖直静浮于水面，如图所示，现将试管竖直提起少许，然后由
静止释放并开始计时，在一定时间内试管在竖直方向近似做简谐运动，若取竖直向上为正方向，则以下描
述试管的位移、速度随时间变化的图像可能正确的是( )11、(2022·北京顺义区第一中学高三期中)如图甲所示，劲度系数为k的轻弹簧下端挂一质量为m的物体，
物体在竖直方向上做简谐运动，弹簧对物体的拉力F随时间变化图像如图乙所示，重力加速度为g。由此
可以判定运动过程中( )
A．弹簧的弹性势能和物体动能总和不变
B．物体的最大动能等于
C．物体的最大加速度为2倍的重力加速度
D．振幅为
12、弹簧振子以O点为平衡位置，在B、C两点间做简谐运动，在t＝0时刻，振子从O、B间的P点以速
度v向B点运动；在t＝0.2 s时刻，振子速度第一次变为－v；在t＝0.5 s时，振子速度第二次变为－v。
(1)求弹簧振子的振动周期T；
(2)若B、C之间的距离为25 cm，求振子在4 s内通过的路程；
(3)若B、C之间的距离为25 cm，从平衡位置开始计时，写出弹簧振子的位移表达式，并画出弹簧振子的
振动图像。
