文档内容
第一讲 机械振动
知识梳理
一、简谐运动
1．简谐运动
(1)定义：如果物体在运动方向上所受的力与它偏离平衡位置位移的大小成正比，并且总是指向平衡位置，
物体的运动就是简谐运动。
(2)平衡位置：物体在振动过程中回复力为零的位置。
(3)回复力
①定义：使物体返回到平衡位置的力。
②方向：总是指向平衡位置。
③来源：属于效果力，可以是某一个力，也可以是几个力的合力或某个力的分力。
2．简谐运动的两种模型
模型 弹簧振子 单摆
示意图
(1)弹簧质量可忽略 (1)摆线为不可伸缩的轻细线
简谐运
(2)无摩擦等阻力 (2)无空气阻力等
动条件
(3)在弹簧弹性限度内 (3)最大摆角小于等于5°
回复力 弹簧的弹力提供 摆球重力沿与摆线垂直方向(即切向)的分力
平衡位置 弹簧处于原长处 最低点
周期 与振幅无关 T＝2π
能量 弹性势能与动能的相互转化，系
重力势能与动能的相互转化，机械能守恒
转化 统的机械能守恒
二、简谐运动的表达式和图像
1．简谐运动的表达式
(1)动力学表达式：F＝－kx，其中“－”表示回复力与位移的方向相反。
(2)运动学表达式：x＝Asin(ωt＋φ)，其中A代表振幅，ω＝2πf代表简谐运动的快慢，ωt＋φ 代表简谐运动
0 0
的相位，φ 叫作初相。
0
2．简谐运动的图像(1)从平衡位置开始计时，函数表达式为x＝Asin ωt，图像如图甲所示。
(2)从最大位移处开始计时，函数表达式为x＝Acos ωt，图像如图乙所示。
三、受迫振动和共振
1．受迫振动
系统在驱动力作用下的振动。做受迫振动的物体，它做受迫振动的周期(或频率)等于驱动力的周期(或频
率)，而与物体的固有周期(或频率)无关。
2．共振
做受迫振动的物体，驱动力的频率与固有频率越接近，其振幅就越大，当二者相等时，振幅达到最大，这
就是共振现象。共振曲线如图所示。
考点一、简谐振动的规律
受力特征 回复力F＝－kx，F(或a)的大小与x的大小成正比，方向相反
靠近平衡位置时，a、F、x都减小，v增大；远离平衡位置时，a、F、x都增大，
运动特征
v减小
能量特征 振幅越大，能量越大。在运动过程中，动能和势能相互转化，系统的机械能守恒
质点的位移、回复力、加速度和速度均随时间做周期性变化，变化周期就是简谐
周期性特征
运动的周期T；动能和势能也随时间做周期性变化，其变化周期为
关于平衡位置O对称的两点，加速度的大小、速度的大小、动能、势能相等，相
对称性特征
对平衡位置的位移大小相等
例1、(2021·河北高考)如图，一弹簧振子沿x轴做简谐运动，振子零时刻向右经过A点，2 s时第一次到达
B点。已知振子经过A、B两点时的速度大小相等，2 s内经过的路程为5.6 m，则该简谐运动的周期为
________ s，振幅为________ m。
【答案】4 2.8【解析】根据简谐运动的对称性可知，A、B两点关于平衡位置对称，从向右经过A到第一次到达B经过了
半个周期的振动，则周期为T＝2×2 s＝4 s，路程为s＝2A＝5.6 m，解得振幅为A＝2.8 m。
例2、(多选)如图所示，轻弹簧上端固定，下端连接一小物块，物块沿竖直方向做简谐运动。以竖直向上为
正方向，物块简谐运动的表达式为y＝0.1sin(2.5πt)m。t＝0时刻，一小球从距物块h高处自由落下；t＝0.6
s时，小球恰好与物块处于同一高度。取重力加速度g＝10 m/s2。以下判断正确的是( )
A．h＝1.7 m
B．简谐运动的周期是0.8 s
C．0.6 s内物块运动的路程是0.2 m
D．t＝0.4 s时，物块与小球运动方向相反
【答案】AB
【解析】t＝0.6 s时，物块的位移为y＝0.1sin(2.5π×0.6)m＝－0.1 m，则对小球有h＋|y|＝gt2，解得h＝1.7
m，选项A正确；简谐运动的周期是T＝＝ s＝0.8 s，选项B正确；0.6 s内物块运动的路程是3A＝0.3 m，
选项C错误；t＝0.4 s＝时，物块经过平衡位置向下运动，则此时物块与小球运动方向相同，选项D错误。
例3、一质量为m、侧面积为S的正方体木块，放在水面上静止(平衡)，如图所示。现用力向下将其压入水
中一段深度后(未全部浸没)撤掉外力，木块在水面上下振动，试判断木块的振动是否为简谐运动。
【答案】见解析
【解析】以木块为研究对象，设水的密度为ρ，静止时木块浸入水中Δx深度，当木块被压入水中x后所受
力如图所示，以向下为正方向，则
F ＝mg－F ，
合 浮又F ＝ρgS(Δx＋x)，
浮
可得：F ＝mg－ρgS(Δx＋x)＝mg－ρgSΔx－ρgSx，
合
因为mg＝ρgSΔx，所以F ＝－ρgSx，
合
即F ＝F ＝－kx(k＝ρgS)，
合 回
所以木块的振动为简谐运动。
课堂随练
训练1、 一个质点在平衡位置O点附近做简谐运动，若从O点开始计时，经过3 s质点第一次经过M点，
如图所示，再继续运动，又经过4 s第二次经过M点，则再经过多长时间第三次经过M点 ( )
A．7 s B．14 s
C．16 s D． s
【答案】C
【解析】由题意可知质点第一次经过M点的运动方向向右，简谐运动的周期T＝4×(3＋2)s＝20 s，则第三
次经过M点的时间为t＝(20－4)s＝16 s，故选项C正确。
训练2、(多选)如图所示，水平弹簧振子沿x轴在M、N间做简谐运动，坐标原点O为振子的平衡位置，其
振动方程为x＝5sin cm。下列说法正确的是( )
A．MN间距离为5 cm
B．振子的运动周期是0.2 s
C．t＝0时，振子位于N点
D．t＝0.05 s时，振子具有最大加速度
【答案】BC
【解析】MN间距离为2A＝10 cm，选项A错误；因ω＝10π rad/s 可知振子的运动周期是T＝＝ s＝0.2 s，
选项B正确；由x＝5sin cm可知t＝0时，x＝5 cm，即振子位于N点，选项C正确；由x＝5sin cm可知t
＝0.05 s时x＝0，此时振子在O点，振子加速度为零，选项D错误。
训练3、(多选)一振子沿x轴做简谐运动，平衡位置在坐标原点。t＝0时振子的位移为－0.1 m，t＝1 s 时位
移为0.1 m，则( )
A．若振幅为0.1 m，振子的周期可能为 s
B．若振幅为0.1 m，振子的周期可能为 sC．若振幅为0.2 m，振子的周期可能为4 s
D．若振幅为0.2 m，振子的周期可能为6 s
【答案】AD
【解析】若振幅为0.1 m，则T＝1 s，其中n＝0,1,2，…。当n＝0时，T＝2 s；n＝1时，T＝ s；n＝2时，
T＝ s。故A正确，B错误。若振幅为0.2 m，振动分4种情况讨论：
第①种情况，设振动方程为x＝Asin(ωt＋φ)，t＝0时，－＝Asin φ，解得φ＝－，所以由P点到O点用时至
少为，由简谐运动的对称性可知，由P点到Q点用时至少为，即T＝1 s，其中n＝0,1,2，…，当n＝0时，
T＝6 s，n＝1时，T＝ s；第②③种情况，由P点到Q点用时至少为，周期最大为2 s；第④种情况，周期
一定小于2 s。故C错误，D正确。
训练3、如图所示，竖直轻弹簧两端分别与物体A、B相连，物块A、B所受重力均为mg，物块B放在固定
于水平面上的压力传感器上，物块A在初始位置处于平衡状态．现对物块A施以大小为F＝mg的力将其下
压一段距离x保持静止，然后撤去力F，当物块A向上运动到初始位置上方距离也是x时，压力传感器的
读数是多少？
【答案】mg
【解析】 设物块A在初始位置时弹簧的压缩量为x，对A列平衡方程：
0
mg＝kx①
0
施加力F后弹簧再压缩x，A的平衡方程为
F＋mg＝k(x＋x)②
0
又由于F＝mg③
由①②③得kx＝mg
撤去力F的瞬间，物块A所受的回复力
F ＝k(x＋x)－mg＝kx
回 0
当物块A向上运动到初始位置上方距离也是x时，由对称性知F ＝kx，而kx＝mg，可见物块A所受弹簧
回
弹力恰好为零，以物块B为研究对象，受力分析知压力传感器对物块B的支持力为N＝m g＝mg，故压力
B传感器的读数是mg.
考点二、简谐运动图像的理解和应用
1．图像信息
(1)振幅A、周期T(或频率f)和初相位φ(如图所示)。
0
(2)某时刻振动质点离开平衡位置的位移。
(3)某时刻质点速度的大小和方向：曲线上各点切线的斜率的大小和正负分别表示各时刻质点的速度大小和
方向，速度的方向也可根据下一相邻时刻质点的位移的变化来确定。
(4)某时刻质点的回复力和加速度的方向：回复力总是指向平衡位置，回复力和加速度的方向相同。
(5)某段时间内质点的位移、回复力、加速度、速度、动能和势能的变化情况。
2．简谐运动的对称性(如图)
(1)相隔Δt＝(n＋)T(n＝0，1，2…)的两个时刻，弹簧振子的位置关于平衡位置对称，位移等大反向(或都为
零)，速度也等大反向(或都为零)。
(2)相隔Δt＝nT(n＝1，2，3…)的两个时刻，弹簧振子在同一位置，位移和速度都相同。
3．解析式
简谐运动的表达式为x＝Asin(ωt＋φ)，它是用解析的方法描述简谐运动，与图像法相比，更适合利用三角
函数的知识作定量计算。
例1、如图甲所示水平弹簧振子的平衡位置为O点，在B、C两点之间做简谐运动，规定水平向右为正方
向。图乙是弹簧振子做简谐运动的x－t图像，下列说法正确的是 ( )
A．弹簧振子从B点经过O点再运动到C点为一次全振动B．弹簧振子的振动方程为x＝0.1sin(2πt＋)m
C．图乙中的P点时刻速度方向与加速度方向都沿x轴正方向
D．弹簧振子在2.5 s内的路程为1 m
【答案】D
【解析】弹簧振子从B点经过O点再运动到C点为0.5次全振动，故A错误；根据乙图可知，弹簧振子的
振幅A＝0.1 m，周期T＝1 s，则圆频率ω＝＝2π rad/s，规定向右为正方向，t＝0时刻位移为0.1 m，表示
振子从B点开始运动，初相为φ ＝，则振动方程为x＝Asin(ωt＋φ)＝0.1sin(2πt＋)m，故B错误；简谐运动
0 0
图像中的P点时刻速度方向为负，振子正在沿负方向做减速运动，加速度方向为正，故 C错误；因周期T
＝1 s，则时间2.5 s 和周期的关系为2.5 s＝2T＋，则振子从B点开始振动的路程为s＝2×4A＋2A＝10×0.1
m＝1 m，故D正确。
例2、(2021·高考广东卷，T17)如图所示，一个轻质弹簧下端挂一小球，小球静止。现将小球向下拉动距离
A后由静止释放，并开始计时，小球在竖直方向做简谐运动，周期为T。经时间，小球从最低点向上运动
的距离________(选填“大于”“小于”或“等于”)；在时刻，小球的动能________(选填“最大”或“最
小”)。
【答案】小于 最大
【解析】根据简谐振动的位移公式y＝－Acos，则t＝时有y＝－Acos＝－A，所以小球从最低点向上运动的
距离为Δy＝A－A＝A
