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用“不等式”突破替换“电阻和电源”问题
一、要点解析
1.替换电阻和替换电源是电学计算中一类难度极高的综合计算问题，解决思路：
①确定电表量程。
②V 与A均能达到满偏（一定是同时满偏）。
1
③V 与A均能达到满偏（一定是分别满偏，同时满偏是一个极端情况）。
2
④利用诸如电表量程、滑动变阻器的限定条件等来解决问题。
2.利用不等式的通用解题方法：
例题：在如图所示的电路中，电源电压为12V且不变，电阻R 的阻值为22Ω，滑动变阻器R 上标有
1 2
“10Ω 1 A”字样。闭合开关S，电流表的示数为0.5A。求：
（1）电阻R 两端的电压；
1
（2）滑动变阻器R 接入电路的阻值；
2
（3）现设想用定值电阻R 来替换电阻R，要求：在移动滑动变阻器滑片P的过程中，两电表的指针
0 1
分别能达到满刻度处，且电路能正常工作。满足题目要求的定值电阻R 的可能取值范围为__________。
0
第（3）问的解决方法如下：
分析：因为滑动变阻器允许通过的最大电流为1A，所以要满足电流表达到满偏，则电流表的量程只
能取“0~ 0. 6 A”，因为电源电压为12 V，所以要满足电压表达到满偏，则电压表的量程只能取“0~3
V”。
①在滑动变阻器移动的过程中“0.6A”一定能够达到，则：
I= 0.6A I =0.6A I =0.6A
1 2
R R= 20Ω－R R=20Ω
0 2 0
U=0.6A×R U=U－0.6A×R U=12V
1 0 2 0
我们将R 和U 表示出来，则：
2 2
R=20Ω－R，它要在滑动变阻器阻值范围内，则0≤R=20Ω－R≤10Ω，可得：10Ω≤R≤20Ω；
2 0 2 0 0
U=U－0.6A×R，要不能超过电压表的量程，则0≤U=U－0.6A×R≤3V，
2 0 2 0
将U=12V代入，可得：15Ω≤R≤20Ω；
0
综合①可得：15Ω≤R≤20Ω。
0
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②在滑动变阻器移动的过程中“3V”一定能够达到，则：
R
0
U=U－U=9V U=3V U=12V
1 2 2
我们将R 和I 表示出来，则： .
2 1
，它要在滑动变阻器阻值范围内，则0≤ ≤10Ω，可得：0≤R≤30Ω；
0
，要不能超过电流表的量程，则0≤ ≤0.6A，可得15Ω≤R；
0
综合①可得：15Ω≤R≤30Ω
0
最后我们对所求的R 的范围求交集，可得15Ω≤R≤20Ω。
0 0
总体思路：将所求未知量用字母代替，然后将其它量用该字母表示出来，再通过这些量的限制条件
列出不等式进行求解。如果这些限定条件全部需要满足，则最后结果取不等式的交集；如果限定条件部
分需要满足，则最后结果取不等式的并集。
二、典例引领
1.串联电路中定值电阻的替换，且电表能满偏
例1.在如图所示的电路中，R 的阻值为20Ω，滑动变阻器R 标有“20Ω，1A”的字样，电压表有
1 2
“0~ 3V、0~15V”两个量程，电流表有“0~0.6A、0~3A”两个量程。移动滑动变阻器的滑片P至最左端，
闭合开关S，电流表示数为0. 3A。
求：现有三个定值电阻，分别为4Ω、6Ω和11Ω，设想从中（选择一个电阻来替换R，要求闭合开关
1
S，在移动滑动变阻器滑片P的过程中，两电表指针分别能达到某量程的满刻度，且电路能正常工作。
（1）应选用_______Ω的电阻代替电阻R；
1
（2）通过计算求出满足题目要求滑动变阻器R 的使用范围。
2
解析：（1）U=IR=I（R+R）=0.3A×（20Ω+0Ω）=6V
1 2
（2）①滑动变阻器标有“20Ω 1A”，要达到量程满刻度则电流表量程为0~0.6A；
电源电压为6V，要达到量程满刻度则电压表量程为0~3V。
若选4Ω代替R，则当I =0.6A时，
1 max
U =I R=0.6A×4Ω=2.4V，U =U－U =6V－2.4V=3.6V>3V，不可行。
1max 1max 1 2min 1max
若选11Ω代替R，则当I =0.6A时，U =I R=0.6A×11Ω=6.6V> 6V，不可行。
1 max 1max 1max 1
故只能选6Ω。
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②当电流表最大为I =0.6A时，R 最小，此时U =I R=0.6A×6Ω=3.6V，
max 2 1max 1max 1
U =U－U =6V－3.6V=2.4V， ；
2min 1max
当电压表最大为U =3V时，U =U－U =6V－3V=3V， ，
2max 1min 2max
，得4Ω≤R≤6Ω。
2
③在滑动变阻器移动的过程中“0.6A”一定能够达到，则：
I= 0.6A I =0.6A I =0.6A
1 2
R R= 10Ω－R R=10Ω
0 2 0
U=0.6A×R U=6V－0.6A×R U=6V
1 0 2 0
则0≤U=6V－0.6A×R≤3V，0≤R=10Ω－R≤20Ω，两个不等式联立可解得5Ω≤R≤10Ω。
2 0 2 0 0
在滑动变阻器移动的过程中“3V”一定能够达到，则：
R R=R
0 2 0
U=U－U=3V U=3V U=6V
1 2 2
则0≤ ≤0.6A，0≤R=R≤20Ω，两个不等式联立可解得5Ω≤R≤20Ω。
2 0 0
综上可知：5Ω≤R≤10Ω。
0
2.串联电路中定值电阻的替换，且使某电表处于一个特定的位置（不满偏）
例2.在图（a）所示的电路中 ，电源电压为22V且保持不变，滑动变阻器R 上标有“50Ω 2A”字
2
样。闭合开关S后，电流表A的示数为0.4A，电压表V的示数为6V，求：
①此时变阻器R 消耗的电功率P；
2 2
②定值电阻R 的阻值；
1
③请用定值电阻R 来替换电阻R。
0 1
要求：选择不同的电压表量程，移动变阻器的滑片P，都能使电压表V的指针处于图（b）所示位置，
且电路能正常工作。
第一，符合上述条件的定值电阻R 最小阻值为_______Ω，最大阻值为_______Ω。
0
第二，满足上述要求时，若定值电阻R 分别取最小和最大阻值连入电路，求在两种情况下各自电流
0
表示数的最小值。（请写明理由）
解析：①P=UI=6V×0.4A=2.4W
2 2 2
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②
③在滑动变阻器移动的过程中“2V”一定能够达到，则：
R
0
U=U－U=20V U=2V U=22V
1 2 2
则： ， ，解得：10Ω≤R≤500Ω
0
在滑动变阻器移动的过程中“10V”一定能够达到，则：
R
0
U=U－U=12V U=10V U=22V
1 2 2
则： ≤2A， ≤50Ω，解得：6Ω≤R≤60Ω
0
综上可知： 10Ω≤R≤60Ω
0
R=10Ω时，当U =15V，电流最小，U =U－U =22V－15V=7V，
0 2max 1min 2max
R=60Ω 时 ， 当 U =15 V ， 电 流 最 小 ， U =U － U =22V － 15V=7V ，
0 2max 1min 2max
此 时 ， 舍 ， 故 当 R =50Ω 时 ， 电 流 最 小 ，
2max
3.并联电路中替换电阻
例3.在图（a）所示的电路中，电源电压保持不变，电阻 R 为10Ω，滑动变阻器R 上标有“100Ω
1 2
3A”字样。当开关S闭合时，电流表A 的示数为0. 8A，电流表A 的示数为0.2A。求：
1 2
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（1）电源电压U；
（2）电阻R 消耗的功率P；
1 1
（3）现设想用定值电阻R 来替换电阻R，要求：在移动滑动变阻器滑片P的过程中，能使两电表的
0 1
指针偏离零刻度线的角度相同，且电路能正常工作。图（b）是电流表表盘示意图。
①现有阻值为20Ω的定值电阻，若用它替换电阻R，请判断：_______满足题目要求（选填“能”或
1
“不能”。若能满足题目要求，通过计算求出替换后滑动变阻器的阻值；若不能满足题目要求，通过计
算说明理由。
②满足题目要求的定值电阻R 的可能取值范围为_____________。
0
解析：（1）U=U=IR =（I－I）R=（0.8A－0.2A）×10Ω=6V
1 1 1 1
（2）P=UI=6V×（0.8A－0.2A）=3.6W
1 1 1
（3）①能 I=5I，I=I－I=4I， ，R=80Ω
2 1 2 2 2
②
R R=4R
0 2 0
U=6V U=6V U=6V
1 2
则：R=4R≤100Ω， ≤0.6A，解得：2.5Ω≤R≤25Ω。
2 0 0
4.通过开关的断开与闭合使得两个电表都能达到满刻度
例4.在如图所示的电路中，电源电压保持不变，电流表的量程分别为0~0. 6A和0~3A，电压表的量
程分别为0~3V和0~15V，电阻R 和R 的阻值分别为24Ω和120Ω。求：
1 2
（1）当只闭合开关S 时，电压表示数为12V，求电流表的示数；
1
（2）当只闭合开关S 时，电阻R 消耗的电功率P；
3 2 2
（3）现用阻值不同的电阻R 替换R，替换后要求：通过控制开关的断开或闭合，使电流表或电压表
3 2
的示数分别能达到某个量程的最大值，且两个电阻都有电流通过。请通过计算求出符合上述要求的所有
可能的定值电阻R 的阻值。
3
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解析：（1）
（2）
（3）要使电压表达到满量程，则电压表选0~3V量程，且仅S 闭合两电阻串联，
2
此时：U=3V，U=U－U=12V－3V=9V， R=72Ω
1 2 1 2
要使电流表达到满量程，则两电阻必须并联，当电流表选0~0.6A量程，则
I=I－I=0.6A－0.5A=0.1A，则 ，
2 1
当流表选0~3A量程，则I=I－I=3A－0.5A=2.5A，则：
2 1
5.替换滑动变阻器
例5.如图（a）所示，电源电压为18V保持不变，定值电阻R 的阻值为15Ω，闭合开关S后，电流表
1
示数为0.3A。求：
（1）电阻R 两端的电压；
1
（2）电阻R 的阻值；
2
（3）现有标有“50Ω 2A”、“150Ω 1A”字样的滑动变阻器可供选择，有一个表盘如图（b）所示
的电压表可接入电路。当选用标有__________字样的变阻器替换电阻_______（选填“R”或“R”），
1 2
并把电压表接入________两点间时（选填“AB”“CD”“AB或CD”），在移动变阻器滑片P的过程中
电流表的示数可达到某量程的最大值，且电压表示数的变化量 ΔU最大。求电压表示数的最大变化量ΔU
。
最大
解析：（1）U=IR=0.3A×15Ω=4.5V
1 1 1
（2）
（3）要使电流表满量程，则电流表仅能选0~0.6A，且要能使它达到0.6A，
则定值电阻阻值 ；
要使电压表变化量最大，则滑动变阻器的阻值范围要大，故只能选“150Ω 1A”。
未接入电压表时：当电流表达到0.6A，即I =0.6A时，U =I R=0.6A×15Ω=9V，
1max 1max 1max 1
则U =U－U =18V－9V=9V；
2min 1max
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当R =15Ω时，
2max
U =I R=0.1l A×15Ω=1.6 V，U =U－U =18V－1.6V=16.4V>15V
1min 1min 1 2max 1min
若接AB两端，则ΔU=9V－1.6V=7.4V；若接CD两端，则ΔU=15V－9V=6V
综上可知，电压表接AB两端，ΔU=7.4 V
6.替换电源
例6.在图（a）所示的电路中，电源电压为 3V且保持不变，电阻R 的阻值为5Ω，滑动变阻器R 上
1 2
标有“20Ω 1A”字样，所用电流表的表盘如图（b）所示。闭合开关后，滑片P移到某一位置时，电流
表示数为1A。求：
（1）通过电阻R 的电流I；
1 1
（2）滑动变阻器R 连入电路的阻值；
2
（3）若电源电压可变，为使电流表A的示数能达到最大，求电源电压的取值范围。
解析：（1）
（2）
（3）要使电流表能达到满偏即I=3A
5A
5A
U U U
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则： ，所以 ，解得：
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