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重难点 04 圆周运动 万有引力与航天
1.命题情境源自生产生活中的与圆周运动相关的情境或科学探究情境，解题时能从具体情境中抽
象出物理模型，正确受力分析，画出受力分析图，运动过程分析，正确分析向心力的来源。
2.命题既有重力场中的圆周运动，也有电场或磁场中的圆周运动，或更加复杂的复合场中的圆周
运动。
3.命题中经常极值、临界问题。抓住关键条件，例如：恰好做完整的圆周运动，刚好不发生相对
滑动。
4.命题中经常抛体运动相结合，结合动能定理或机械能守恒定律、动量守恒定律，注重物理思维
与物理能力的考核。
5.万有引力与航天往往结合最近国内航天事业发展设计选择题。多关注航天器的对接等重大
航天事件。
（建议用时：30分钟）
一、单选题
1．（2023·北京·统考高考真题）在太空实验室中可以利用匀速圆周运动测量小球质量。如图所示，不可伸
长的轻绳一端固定于O点，另一端系一待测小球，使其绕O做匀速圆周运动，用力传感器测得绳上的拉力
为F，用停表测得小球转过n圈所用的时间为t，用刻度尺测得O点到球心的距离为圆周运动的半径R。下
列说法正确的是（ ）
A．圆周运动轨道可处于任意平面内
B．小球的质量为
C．若误将 圈记作n圈，则所得质量偏大
D．若测R时未计入小球半径，则所得质量偏小
【答案】A
【解析】A．空间站内的物体都处于完全失重状态，可知圆周运动的轨道可处于任意平面内，故A正确；
B．根据解得小球质量
故B错误；
C．若误将n-1圈记作n圈，则得到的质量偏小，故C错误；
D．若测R时未计入小球的半径，则R偏小，所测质量偏大，故D错误。
故选A。
2．（2023·广东佛山·统考模拟预测）对落差较大的道路，建设螺旋立交可以有效的保证车辆安全行驶. 如
图所示，重庆红云路螺旋立交为2.5层同心圆螺旋结构，上下层桥梁平面位置重叠。下面针对这段路的分
析正确的是（ ）
A．通过螺旋式设计可减小坡度， 目的是增大车辆与地面的摩擦力
B．两辆车以相同的速率转弯时，外侧的车需要的向心力一定更大
C．车辆转弯处设计成内低外高的目的是降低车辆侧滑风险
D．车辆上坡过程中受重力、支持力、摩擦力、向心力
【答案】C
【解析】A．通过螺旋隧道设计，有效减小坡度，主要目的是减小车重力沿斜面向下的分力，故A错误；
B．由向心力公式可知，当速度不变，R越大时，向心力越小，即外侧的车需要的向心力一定更小，故B错
误；
C．车辆转弯处，路面应适当内低外高，这样有一部分支持力分量可以提供向心力，使汽车更安全，降低
车辆侧滑风险，故C正确；
D．车辆上坡过程中受到重力、支持力、摩擦力、牵引力，故D错误。
故选C。
3．（2022·全国·统考模拟预测）光的传播速度非常快，早在十九世纪菲索就借助于巧妙的设计，完成了对
光速的测量。他测光速的实验装置如图所示：晴朗的夜晚，点燃一支蜡烛，烛光通过一个半透半反的半透
明镜垂直入射到放置在几公里外的平面镜上并反射回来。实验中使用了一些光学透镜，以保证光线不会过
于发散。在烛光与镜子中间摆放一个大齿轮。大齿轮的每一个轮齿都能恰好挡住烛光，而齿之间的缝隙又
能透过烛光。在齿轮不动时，光源发出的光通过某缝隙入射到平面镜，同时反射回来时亦可通过该缝隙照
到人眼中。此时，转动齿轮并不断加大转速，开始转速较慢时，由于光速太快且狭缝有一定宽度，反射光
仍可通过原缝隙被观察到。但随着齿轮转速的加快，从缝隙处照射到平面镜的光反射回来时，狭缝已经转过去，刚好有轮齿转过来挡住反射光，人就不会看到光。在菲索实验中，齿轮数为720，齿轮距镜子的距
离长达8.63公里，当转速增加到每秒12.67转时，首次看到了光源被挡住而消失。已知光速 ，
则根据数据，可知菲索测光速的相对误差约为（ ）
A．0.5% B．2% C．5% D．20%
【答案】C
【解析】齿轮的转动周期为
首次看到了光源被挡住而消失，光通过齿轮往返的时间，即齿轮转动的时间为
由题意，光往返的路程为
则测量的光速为
带入数据得
则相对误差为
故选C。
4．（2023·安徽·校联考模拟预测）有一部关于星际大战的电影，里面有一个片段，位于与地球类似的星球
的“赤道”的实验室里，有一个固定的竖直光滑圆轨道，内侧有一个小球恰能做完整的圆周运动，一侧的
仪器数据显示：该运动的轨道半径为r，最高点的速度为v。若真存在这样的星球，而且该星球的半径为
R，自转可忽略，万有引力常量为G，则以下说法正确的是（ ）A．该星球的质量为 B．该星球的质量为
C．该星球的第一宇宙速度为 D．该星球的近地卫星速度为
【答案】A
【解析】AB．在该运动的轨道的最高点，该星球上的重力提供向心力有
在该星球表面，万有引力等于重力，则有
联立可得，该星球的质量为
故A正确，B错误；
CD．在该星球表面，万有引力提供向心力有
则该星球的第一宇宙速度为
故CD错误。
故选A。
二、多选题
5．（2024·海南·校联考一模）2023年5月，货运飞船天舟六号对接中国空间站，形成的组合体绕地球飞行
的轨道视为圆轨道，轨道半径为地球半径的 ，周期为 。地球视为均匀球体，引力常量为 ，则
（ ）A．飞船的发射速度大于
B．组合体绕地球飞行的速度小于
C．地球密度为
D．周期 大于
【答案】BC
【解析】A． 是第二宇宙速度，是脱离地球引力束缚的最小发射速度，而天舟六号绕地球飞行，
则其发射速度小于 ，故A错误；
BD．设地球质量为 ，组合体质量为 ，轨道半径为 ，由
可得
，
可知 越大，线速度 减小，周期 越大，组合体的轨道半径大于地球半径而小于地球同步卫星轨道半径，
其绕地球飞行的速度小于 ，周期小于24h，故B正确，D错误；
C．设地球的轨道半径为 ，由万有引力充当向心力有
解得
而地球的体积
则可得地球的密度
由已知条件可得联立以上各式解得
故C正确。
故选BC。
6．（2024上·河南·高三校联考阶段练习）如图甲所示，质量分别为m、m 的小木块a和b（可视为质点）
1 2
用细线相连，沿半径方向放在水平圆盘上，a、b与转轴OO′之间的距离分别为r、r 若圆盘从静止开始绕
1 2.
转轴（ 缓慢地加速转动，ω表示圆盘转动的角速度，木块a 所受的摩擦力大小 f。随圆盘角速度的平
方 的变化图像如图乙所示， 对应图线的斜率为 对应图线的斜率为k，两木块与圆盘
2
间的动摩擦因数均为μ，最大静摩擦力与滑动摩擦力相等，重力加速度大小为g。下列说法正确的是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】AB
【解析】水平圆盘转动的角速度较小时，a、b受到的静摩擦力提供向心力，绳子拉力为零，此过程中a受
到的摩擦力
对应图线的斜率
当木块刚好达到最大静摩擦时，满足
则
因为 ，所以随着角速度增大， 先达到最大静摩擦力，此时 ，则有
，角速度继续增大，绳子开始出现拉力，此后对于 有
对于 有
联立可得
对应图线的斜率
截距
当 达到最大静摩擦力 时
之后角速度再增大，两木块相对圆盘发生滑动， 受到的摩擦力大小不再变化。根据上述分析可知
， ， ，
故AB正确，CD错误。
故选AB。
三、解答题
7．（2023·浙江温州·统考一模） 如图所示，光滑水平面ABCD和水平传送带平滑无缝连接， CDEF是一
倾角 的光滑正方形斜面，边长 斜面上端固定一个半径 的光滑半圆弧轨道，分别与
CF、EF相切与P、Q两点。在水平面的BC边（足够长）上放着质量分别为 的滑块甲、
乙（均可视为质点），用轻质细绳将甲、乙连接在一起，且甲、乙间夹着一根被压缩且劲度系数
的的轻质弹簧（未拴接）。已知传送带长 以 的速率逆时针转动，两滑块与
传送带间的动摩擦因数 ，其他摩擦和阻力均不计，弹簧的弹性势能 （ 为形变量）。
（1）细绳剪断，若滑块甲脱离弹簧时速度 ，求滑块甲在P点受到圆弧轨道弹力大小 ；
（2）若滑块甲能恰好通过圆弧轨道的最高点，求滑块乙脱离弹簧时速度大小v；
2
（3）若滑块甲能通过圆弧轨道的最高点，且滑块乙离开传送带时速度大小也为v=12m/s，求剪断绳子前
0
弹簧的形变量 的取值范围。【答案】（1） ；（2） ；（3）
【解析】（1）甲运动到P点过程，根据动能定理有
解得
滑块甲在P点受到圆弧轨道弹力
（2）滑块甲能恰好通过圆弧轨道的最高点，有
可得
设甲乙分离时甲速度为 ，甲从分离到最高点
可得
两滑块弹开的过程，根据动量守恒有
滑块乙脱离弹簧时速度大小为
（3）根据系统机械能守恒有
两滑块弹开的过程，根据动量守恒有
可得滑块乙在传送带上减速
滑块乙在传送带上加速
可得
则
滑块甲能恰好通过圆弧轨道的最高点，有
综上所述
则
8．（2023·北京西城·统考二模）建立物理模型是解决实际问题的重要方法。
（1）如图1所示，圆和椭圆是分析卫星运动时常用的模型。已知，地球质量为M，半径为R，万有引力常
量为G。
a、卫星在近地轨道Ⅰ上围绕地球的运动，可视做匀速圆周运动，轨道半径近似等于地球半径。求卫星在
近地轨道Ⅰ上的运行速度大小v。
b、在P点进行变轨操作，可使卫星由近地轨道Ⅰ进入椭圆轨道Ⅱ、卫星沿椭圆轨道运动的情况较为复杂，
研究时我们可以把椭圆分割为许多很短的小段，卫星在每小段的运动都可以看作是圆周运动的一部分（如
图2所示）。这样，在分析卫星经过椭圆上某位置的运动时，就可以按其等效的圆周运动来分析和处理。
卫星在椭圆轨道Ⅱ的近地点P的速度为 ，在远地点D的速度为 ，远地点D到地心的距离为r。根据开
普勒第二定律（对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等）可知 ，
请你根据万有引力定律和牛顿运动定律推导这一结论。
（2）在科幻电影《流浪地球》中有这样一个场景：地球在木星的强大引力作用下，加速向木星靠近，当
地球与木星球心之间的距离小于某个值d时，地球表面物体就会被木星吸走，进而导致地球可能被撕裂。
这个临界距离d被称为“洛希极限”。已知，木星和地球的密度分别为 和 ，木星和地球的半径分别为
和R，且 。请据此近似推导木星使地球产生撕裂危险的临界距离d——“洛希极限”的表达式。
【提示：当x很小时， 。】【答案】（1）a、 ；b、见解析；（2）
【解析】（1）a、卫星在近地轨道Ⅰ上的运行时，根据万有引力提供向心力，有
解得卫星在近地轨道Ⅰ上的运行速度大小为
b、设卫星在椭圆轨道Ⅱ上运行，近地点 和远地点 的等效圆周运动的半径分别为 和 ，根据牛顿第二
定律可得，卫星在近地点时
卫星在远地点时
由椭圆的对称性可知
联立以上各式可得
（2）设木星质量为 ，地球质量为 ，地球表面上距离木星最近的地方有一质量为 的物体，地球在
木星引力作用下向木星靠近，根据牛顿第二定律，有
物体 在木星引力和地球引力作用下，有
其中
，
当 时，地球将被撕裂
由 可得整理得
因为 ，所以 很小
代入得
推得“洛希极限”的表达式为
一、圆周运动
1．水平面内的圆周运动的“临界”分析
(1)绳的临界：张力F ＝0
T
(2)接触面滑动临界：F＝f
m
(3)接触面分离临界：F ＝0
N
2．竖直面内的圆周运动(轻绳模型和轻杆模型)
轻绳模型 轻杆模型
图示
重力，弹力F 向下或等于零，mg＋F 重力，弹力F 向下、向上或等于零，
弹 弹 弹
在最高点受力
＝m mg±F ＝m
弹
F
弹
＝0，mg＝m，v＝，即在最高点速度
恰好过最高点 v＝0，mg＝F
弹
，在最高点速度可为零
不能为零
关联 应用动能定理或机械能守恒定律将初、末状态联系起来列方程求解
二、万有引力与航天
1．估算天体质量和密度的解题技巧
(1)利用万有引力提供天体做圆周运动的向心力估算天体质量时，求出的只是中心天体的质量，并非环
绕天体的质量。
(2)区别天体半径R和卫星轨道半径r，只有在天体表面附近的卫星才有r≈R；计算天体密度时，体积V＝πR3中R为天体半径。
2．分析卫星运行参量的“一模型”“两思路”
(1)一种模型：无论是自然天体(如地球、月亮)还是人造天体(如宇宙飞船、人造卫星)都可以看作质点，
围绕中心天体(视为静止)做匀速圆周运动，如例题中的中心天体为地球。
(2)两条思路
①万有引力提供向心力，即G＝ma＝m＝mω2·r＝m·r。
②天体对其表面物体的万有引力近似等于重力，即＝mg或GM＝gR2(R、g分别是天体的半径、表面
重力加速度)，公式GM＝gR2应用广泛，被称为“黄金代换式”。
3．用好——“桥梁”
地面赤道上的物体随地球一起转动，与同步卫星具有相同的角速度。比较地面赤道上物体和空中卫星
的运行参数，可借助同步卫星的“桥梁”作用。
4．卫星变轨的运动模型是向心运动和离心运动，当由于某种原因卫星速度v突然增大时，有Gm，卫星将做向心运
动。
