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专题06 椭圆中的定点、定值、定直线问题
限时：120分钟 满分：150分
一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要
求的.
1．已知椭圆 ，直线 与椭圆交于 两点， 分别为椭圆的左､右两个焦点，
直线 与椭圆交于另一个点 ，则直线 与 的斜率乘积为（ ）
A． B． C． D．
2．已知椭圆C： 的上、下顶点分别为A，B，点 在椭圆C上，若点 满
足 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
3．已知 是椭圆 上满足 的两个动点 为坐标原点），则 等于
（ ）
A．45 B．9 C． D．
4．过椭圆 的右焦点F作两条相互垂直的直线分别交椭圆于A，B，C，D四点，则 的
值为（ ）
A． B． C．1 D．
5．已知 为坐标原点， 、 分别是椭圆 的左、右顶点， 是椭圆 上不同于 、 的动点，直线 、 分别与 轴交于点 、 .则 （ ）
A． B． C． D．
6．双曲线 和椭圆 的右焦点分别为 ， ， ，
分别为 上第一象限内不同于 的点，若 ， ，则四条直线
的斜率之和为（ ）
A．1 B．0 C． D．不确定值
7．已知椭圆 为椭圆 的右顶点，直线 交 于 两点，且 ，则 恒过除 点以
外的定点（ ）
A． B． C． D．
8．设P为椭圆C： （ ）上的动点， ， 分别为椭圆C的左、右焦点， 为
的内心，则直线 与直线 的斜率积（ ）
A．非定值，但存在最大值且为 B．是定值且为
C．非定值，且不存在定值 D．是定值且为
二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符
合题目要求的.
9．点 分别为椭圆 的左、右焦点且 ．点P为椭圆上任意一点，
的面积的最大值是1，点M的坐标为 ，过点 且斜率为k的直线L与椭圆C相交于A，B两点，则
下列结论成立的是（ ）A．椭圆的离心率 B． 的值与k相关
C． 的值为常数 D． 的值为常数-1
10．如图，已知椭圆 ： 的左、右焦点分别为 ， ， 是 上异于顶点的一动点，
圆 （圆心为 ）与 的三边 ， ， 分别切于点A，B，C，延长 交x轴于点D，作
交 于点 ，则（ ）.
A． 为定值 B． 为定值
C． 为定值 D． 为定值
11．已知椭圆 和 ，点 在 上，且直线
与 交于 、 两点，若点 在 上，使得 ，则下列结论正确的为（ ）
A． 、 的离心率相等 B．
C．直线 、 的斜率之积为定值 D．四边形 的面积为
12．已知椭圆 ，点 为右焦点，直线 与椭圆交于 两点，直线 与椭圆交于
另一点 ，则（ ）
A． 周长为定值 B．直线 与 的斜率乘积为定值
C．线段 的长度存在最小值 D．该椭圆离心率为
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13．已知点 为 上一动点．过点 作椭圆 的两条切线，切点分别 ，当点 运动时，
直线 过定点，该定点的坐标是 ．
14．已知点 分别为曲线 的左、右焦点，点P为曲线C与曲线正 在第一象限
的交点，直线l为曲线C在点P处的切线，若点M为 的内心，直线 与直线l交于点N，则，点
N的横坐标为 ．
15．已知椭圆C： ，A，B分别为其左，右顶点，对于椭圆上任意一点P（不包括左、右顶点），
直线AP，BP分别交直线l： 于点M，N，则以线段MN为直径的圆所过定点的坐标为 ．
16．已知椭圆 离心率 ， 过椭圆中心的直线交椭圆于 两点 ( 在第一象限)， 过
作 轴垂线交椭圆于点 ， 过 作直线 垂直 交椭圆于点 ， 连接 交 于点 ， 则
．
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知椭圆 的右顶点为 ，上顶点为 ，左､右焦点分别为 为原点，
且 ，过点 作斜率为 的直线 与椭圆 交于另一点 ，交 轴于点 .
(1)求椭圆 的方程；
(2)设 为 的中点，在 轴上是否存在定点 ，对于任意的 都有 ？若存在，求出
定点 的坐标；若不存在，请说明理由.
18．已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，A，B分别是C的右、上顶点，且
，D是C上一点， 周长的最大值为8.(1)求C的方程；
(2)C的弦 过 ，直线 ， 分别交直线 于M，N两点，P是线段 的中点，证明：以
为直径的圆过定点.
19．已知椭圆 ： 的离心率为 ，右焦点为 ， ， 分别为椭圆 的左、
右顶点.
(1)求椭圆 的方程；
(2)过点 作斜率不为 的直线 ，直线 与椭圆 交于 ， 两点，记直线 的斜率为 ，直线 的
斜率为 ，求证： 为定值；
(3)在（2）的条件下，直线 与直线 交于点 ，求证：点 在定直线上.
20．已知椭圆 经过点 ，两个焦点为 和 .
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)直线 过点 且与椭圆 相交于 、 两点， ，点 与 关于 轴对称，
点 与 关于 轴对称，设直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 .
（i）求证： 为定值，并求出这个定值；
（ii）若 ，求直线 的方程.21．已知椭圆 ： 的短轴长为 ，离心率为 ．
(1)求椭圆 的方程；
(2)过点 的动直线 与椭圆 相交于不同的 两点，在线段 上取点 ，满足
，证明：点 总在某定直线上．
22．已知双曲线 与椭圆 的焦点重合，且 与 的离心率之积为 ．
(1)求双曲线 的标准方程；
(2)设双曲线 的左､右顶点分别为 ，若直线 与圆 相切，且与双曲线左､右两支
分别交于 两点，记直线 的斜率为 的斜率为 ，那么 是否为定值？并说明理由．
