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→➌题型突破←→➍专题训练←
题型一全等测距
1．如图，点B、F、C、E在一条直线上（点F，C之间不能直接测量），点A，D在BE的异
侧，如果测得AB＝DE，AB∥DE，AC∥DF．若BE＝14m，BF＝5m，则FC的长度为 m．
【答案】4
【解析】解：∵AB∥DE，AC∥DF，
∴∠B＝∠E，∠ACB＝∠DFE，
在△ABC和△DEF中， ，
∴△ABC≌△DEF（AAS），
∴BC＝EF，
∴BC﹣FC＝EF﹣FC，
即BF＝CE＝5m，
∴FC＝BE﹣BF﹣CE＝14m﹣5m﹣5m＝4m；
故答案为：4．
【总结】：本题考查了全等三角形的判定与性质以及平行线的性质；熟练掌握全等三角形
的判定与性质是解题的关键．
2．如图，有一池塘，要测池塘两端A，B两点的距离，可先在平地上取一个可以直接到达
A，B两点的C，连接AC并延长AC到点D，使CD＝CA，连结BC并延长BC到点E，使CE＝
CB，连接 DE，那么量出 的长就等于 AB 的长． 这是因为可根据 方法判定
△ABC≌△DEC．
【解析】解：量出DE的长就等于AB的长． 这是因为可根据SAS方法判定△ABC≌△DEC．
故答案为：DE，SAS．
总结：本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．
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3．小明家门前有一条小河，村里准备在河面上架上一座桥，但河宽 AB无法直接测量，爱
动脑的小明想到了如下方法：在与AB垂直的岸边BF上取两点C、D使CD＝ C B ，再引出
BF的垂线DG，在DG上取一点E，并使A、C、E在一条直线上，这时测出线段 D E 的长度
就是AB的长．
（1）按小明的想法填写题目中的空格；
（2）请完成推理过程．
【解析】解：（1）在与AB垂直的岸边BF上取两点C、D使CD＝CB，再引出BF的垂线DG，
在DG上取一点E，并使A、C、E在一条直线上，这时测出线段DE的长度就是AB的长．
故答案为：CB，DE；
（2）由题意得DG⊥BF，
∴∠CDE＝∠CBA＝90°，
在△ABC和△EDC中，
，
∴△ABC≌△EDC（ASA），
∴DE＝AB（全等三角形的对应边相等）．
4．要测量河两岸相对的两点A，B的距离，先在AB的垂线BF上取两点C，D，使CD＝BC，
再定出BF的垂线DE，使A，C，E在一条直线上（如图所示），可以说明△EDC≌△ABC，得
ED＝AB，因此测得ED的长就是AB的长，请你运用自己所学知识说明他们的做法是正确的．
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【解析】证明：∵BF⊥AB，DE⊥BD，
∴∠ABC＝∠BDE
又∵CD＝BC，∠ACB＝∠DCE
∴△EDC≌△ABC（ASA），
∴DE＝BA．
总结：本题考查了全等三角形的判定方法；需注意根据垂直定义得到的条件，以及隐含的
对顶角相等，观察图形，找着隐含条件是十分重要的．
5．某海域有一小岛P，在以P为圆心，半径r为 海里的圆形海域内有暗礁．一海
监船自西向东航行，它在A处测得小岛P位于北偏东 的方向上，当海监船行驶 海
里后到达B处，此时观测小岛P位于B处北偏东 方向上．
（1）求A，P之间的距离AP；
（2）若海监船由B处继续向东航行是否有触礁危险？请说明理由．如果有触礁危险，那么
海监船由B处开始沿南偏东至多多少度的方向航行能安全通过这一海域？
【答案】（1） ；（2）海监船由B处开始沿南偏东小于 的方向航行能安全
通过这一海域
【分析】
(1)如图1, 作 ，交AB的延长线于C，利用等腰直角三角形PBC,含30°角的直角
三角形APC计算即可;
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(2)作差比较x与r的大小，判断有危险；以P为圆心，半径r为 作圆，作圆的切
线 计算∠PBD的大小，从而得到∠CBD的大小，从而判断即可.
【详解】
解：（1）如图1，作 ，交AB的延长线于C，
由题意知： ， ．
设 ：则 ，
，
解得 ，
经检验： 是原方程的根，且符合题意，
；
（2） ，
．
因此海监船继续向东航行有触礁危险；
设海监船无触礁危险的新航线为射线BD，
以 为圆心， 为半径作圆，过 作圆P的切线 交 于点D，
∴∠PDB=90°，
由（1）得：
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∴ ，
∴∠PBD=60°，
∴∠CBD=15°，
∴海监船由B处开始沿南偏东小于 的方向航行能安全通过这一海域．
【点睛】
本题考查了方位角，特殊角的三角函数值，解直角三角形，圆的切线的判定，直径所对的
圆周角是直角，熟练掌握特殊角的三角函数值，灵活解直角三角形是解题的关键．
题型二相似测距
6.在同一时刻，物体的高度与它在阳光下的影长成正比．在某一时刻，有人测得一高为
的竹竿的影长为 ，某一高楼的影长为 ，那么这幢高楼的高度是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
设此高楼的高度为x米，再根据同一时刻物高与影长成正比列出关于x的比例式，求出x
的值即可．
【解析】
解：设这幢高楼的高度为 米，依题意得： ，
解得： ．
故这栋高楼的高度为36米．
故选： ．
【点睛】
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本题考查的是相似三角形的应用，熟知同一时刻物高与影长成正比是解答此题的关键．
7.如图，小明探究课本“综合与实践”板块“制作视力表”的相关内容：当测试距离为
时，标准视力表中最大的“ ”字高度为 ，当测试距离为 时，最大的“ ”字
高度为（ ）mm
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据题意，得 、 ，结合相似三角形的性质，通过相似
比计算，即可得到答案．
【解析】
根据题意，得 ，且
∴
∴
∴
故选：C．
【点睛】
本题考查了相似三角形的知识；解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质，从而完成求解．
8.如图，小明想要测量学校操场上旗杆 的高度，他作了如下操作：（1）在点 处放
置测角仪，测得旗杆顶的仰角 ；（2）量得测角仪的高度 ；（3）量得
测角仪到旗杆的水平距离 ．利用锐角三角函数解直角三角形的知识，旗杆的高度
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可表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
延长CE交AB于F，得四边形CDBF为矩形，故CF=DB=b，FB=CD=a，在直角三角形ACF中，
利用CF的长和已知的角的度数，利用正切函数可求得AF的长，从而可求出旗杆AB的长．
【详解】
延长CE交AB于F，如图，
根据题意得，四边形CDBF为矩形，
∴CF=DB=b，FB=CD=a，
在Rt△ACF中，∠ACF=α，CF=b，
tan∠ACF=
∴AF= ,
AB=AF+BF= ，
故选：A．
【点睛】
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主要考查了利用了直角三角形的边角关系来解题，通过构造直角三角形，将实际问题转化
为数学问题是解答此类题目的关键所在．
9．一数学兴趣小组去测量一棵周围有围栏保护的古树的高，在G处放置一个小平面镜，当
一位同学站在F点时，恰好在小平面镜内看到这棵古树的顶端A的像，此时测得FG＝3m，
这位同学向古树方向前进了9m后到达点D，在D处安置一高度为1m的测角仪CD，此时测
得树顶A的仰角为30°，已知这位同学的眼睛与地面的距离EF＝1.5m，点B，D，G，F在
同一水平直线上，且AB，CD，EF均垂直于BF，求这棵古树AB的高．（小平面镜的大小和
厚度忽略不计，结果保留根号）
【答案】（9＋4 ）m
【分析】
过点C作CH⊥AB于点H，则CH＝BD，BH＝CD＝1m，由锐角三角函数定义求出BD＝CH＝
AH，再证△EFG∽△ABG，得 ，求出AH＝（8＋4 ）m，即可求解．
【详解】
解：如图，过点C作CH⊥AB于点H，
则CH＝BD，BH＝CD＝1m，
由题意得：DF＝9m，
∴DG＝DF﹣FG＝6（m），
在Rt△ACH中，∠ACH＝30°，
∵tan∠ACH＝ ＝tan30°＝ ，
∴BD＝CH＝ AH，
∵EF⊥FB，AB⊥FB，
∴∠EFG＝∠ABG＝90°．
由反射角等于入射角得∠EGF＝∠AGB，
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∴△EFG∽△ABG，
∴ ，
即 ，
解得：AH＝（8＋4 ）m，
∴AB＝AH＋BH＝（9＋4 ）m，
即这棵古树的高AB为（9＋4 ）m．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，相似三角形的应用等知识，正确作出辅
助线构造直角三角形，证明△EFG∽△ABG是解题的关键．
10.如图，一艘轮船以每小时30海里的速度自东向西航行，在 处测得小岛 位于其西北
方向（北偏西 方向），2小时后轮船到达 处，在 处测得小岛 位于其北偏东
方向．求此时船与小岛 的距离（结果保留整数，参考数据： ，
）．
【答案】此时船与小岛 的距离约为44海里
【解析】
【分析】
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过P作PH⊥AB，设PH=x，由已知分别求PB、BH、AH，然后根据锐角三角函数求出x值即可
求解
【详解】
如图，过P作PH⊥AB，设PH=x，
由题意，AB=60，∠PBH=30º，∠PAH=45º，
在Rt△PHA中，AH=PH=x,
在Rt△PBH中，BH=AB-AH=60-x，PB=2x，
∴tan30º= ，
即 ，
解得： ，
∴PB=2x= ≈44（海里），
答：此时船与小岛 的距离约为44海里．
【点睛】
本题考查了直角三角形的应用，掌握方向角的概念和解直角三角形的知识是解答本题的关
键．
11．如图，小华遥控无人机从点A处飞行到对面大厦MN的顶端M，无人机飞行方向与水平
方向的夹角为37°，小华在点A测得大厦底部N的俯角为31°，两楼之间一棵树EF的顶
点E恰好在视线AN上，已知树的高度为6米，且 ，楼AB，MN，树EF均垂直于地面，
问：无人机飞行的距离AM约是多少米？（结果保留整数．参考数据：cos31°≈0.86，
tan31°≈0.60， cos37°≈0.80， tan37°≈0.75）
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【答案】38米
【分析】
过 作 于 ，易证 ，得 ，则 ，再由锐角
三角函数求出 ，然后在 中，由锐角三角函数定义求出 的长即可．
【详解】
解：过 作 于 ，如图所示：
则 ， ，
，
，
由题意得： ， ， ，
，
，
，
，
，
在 中， ，
，
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在 中， ，
，
即无人机飞行的距离 约是 ．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用 仰角俯角问题，相似三角形的应用等知识，正确作出辅
助线构造直角三角形，证明 是解题的关键．
题型三锐角三角函数测距
12．如图，在一次数学实践活动中，小明同学要测量一座与地面垂直的古塔 的高度，
他从古塔底部点 处前行 到达斜坡 的底部点 处，然后沿斜坡 前行 到达最
佳测量点 处，在点 处测得塔顶 的仰角为 ，已知斜坡的斜面坡度 ，且点 ，
， ， ， 在同一平面内，小明同学测得古塔 的高度是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
过 作 于 ， 于 ，得到 ， ，设 ，
，根据勾股定理得到 ，求得 ，
， ，于是得到结论．
【详解】
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解：过 作 于 ， 于 ，
， ，
斜坡的斜面坡度 ，
，
设 ， ，
，
，
， ，
，
，
，
，
故选：A．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用 仰角俯角问题，解直角三角形的应用 坡角坡度问题，
正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
13．无人机低空遥感技术已广泛应用于农作物监测．如图，某农业特色品牌示范基地用无
人机对一块试验田进行监测作业时，在距地面高度为 的 处测得试验田右侧出界
处俯角为 ，无人机垂直下降 至 处，又测得试验田左侧边界 处俯角为 ，则
， 之间的距离为（参考数据： ， ， ，
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，结果保留整数）（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
根据题意易得OA⊥MN，∠N=43°，∠M=35°，OA=135m，AB=40m，然后根据三角函数可进
行求解．
【详解】
解：由题意得：OA⊥MN，∠N=43°，∠M=35°，OA=135m，AB=40m，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ；
故选C．
【点睛】
本题主要考查解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数是解题的关键．
14．小明用一块含有60°（∠DAE＝60°）的直角三角尺测量校园内某棵树的高度，示意
图如图所示，若小明的眼睛与地面之间的垂直高度AB为1.62m，小明与树之间的水平距离
BC为4m，则这棵树的高度约为 ___m．（结果精确到0.1m，参考数据： 1.73）
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【答案】8.5
【分析】
先根据题意得出AD的长，在Rt△AED中利用锐角三角函数的定义求出CD的长，由CE＝
CD+DE即可得出结论．
【详解】
解：∵AB⊥BC，DC⊥BC，AD∥BC，
∴四边形ABCD是矩形，
∵BC＝4m，AB＝1.62m，
∴AD＝BC＝4m，DC＝AB＝1.62m，
在Rt△AED中，
∵∠DAE＝60°，AD＝4m，
∴DE＝AD•tan60°＝4× ＝4 （m），
∴CE＝ED+DC＝4 +1.62≈8.5（m）
答：这棵树的高度约为8.5m．
故答案为：8.5．
【点睛】
本题考查的是解直角三角形在实际生活中的应用，熟知锐角三角函数的定义是解答此题的
关键．
15．某校数学社团开展“探索生活中的数研学活动，准备测量一栋大楼 的高度．如图
所示，其中观景平台斜坡 的长是20米，坡角为 ，斜坡 底部 与大楼底端 的
距离 为74米，与地面 垂直的路灯 的高度是3米，从楼顶 测得路灯 项端
处的俯角是 ．试求大楼 的高度．
（参考数据： ， ， ， ， ，
）
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【答案】96米
【分析】
延长AE交CD延长线于M，过A作AN⊥BC于N，则四边形AMCN是矩形，得NC=AM，AN=MC，
由锐角三角函数定义求出EM、DM的长，得出AN的长，然后由锐角三角函数求出BN的长，
即可求解．
【详解】
延长 交 于点 ，
过点 作 ，交 于点 ，
由题意得， ，
∴四边形 为矩形，
∴ ， .
在 中， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ .
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
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∴ ，
∴ .
答：大楼 的高度约为96米.
【点睛】
本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题意作出辅助线，
构造出直角三角形是解答此题的关键．
16．在一次课外活动中，某数学兴趣小组测量一棵树 的高度．如图所示，测得斜坡
的坡度 ，坡底 的长为8米，在 处测得树 顶部 的仰角为 ，在 处测得
树 顶部 的仰角为 ，求树高 ．（结果保留根号）
【答案】 米．
【分析】
作BF⊥CD于点F，设DF=x米，在直角△DBF中利用三角函数用x表示出BF的长，在直角
△DCE中表示出CE的长，然后根据BF-CE=AE即可列方程求得x的值，进而求得CD的长．
【详解】
解：作 于点 ，设 米，
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在 中， ，
则 （米 ，
∵ ，且AE=8
∴
∴
在直角 中， 米，
在直角 中， ，
米．
，即 ．
解得： ，
则 米．
答： 的高度是 米．
【点睛】
本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，坡度坡角问题，掌握仰角俯角的概念、
熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
17．如图，某校教学楼AB后方有一斜坡，已知斜坡CD的长为12米，坡角α为60°．根
据有关部门的规定，∠α≤39°时，才能避免滑坡危险．学校为了消除安全隐患，决定对
斜坡CD进行改造，在保持坡脚C不动的情况下，学校至少要把坡顶D向后水平移动多少米
才能保证教学楼的安全？（结果取整数）（参考数据：sin39°≈0.63，cos39°≈0.78，
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tan39°≈0.81， ≈1.41， ≈1.73， ≈2.24）
【答案】7
【分析】
假设点D移到D′的位置时，恰好∠α=39°，过点D作DE⊥AC于点E，作D′E′⊥AC于点
E′，根据锐角三角函数的定义求出DE、CE、CE′的长，进而可得出结论．
【详解】
假设点D移到D’的位置时，恰好∠α=39°，过D点作DE⊥AC于E点，作D’E⊥AC于E’
∵CD=12，∠DCE=60°
∴DE=CD·sin60°=6 ，CE=CD·cos60°=6
∵DE⊥AC，D’E’⊥AC，DD’∥CE’
∴四边形DEE’D’是矩形
∴DE=D’E’=6 ，
∵∠D’CE’=39°
∴CE′= ≈13
∴EE′=CE′﹣CE=13﹣6=7（米）．
即
答：学校至少要把坡顶D向后水平移动7米才能保证教学楼的安全．
【点睛】
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本题考查了解直角三角的应用，锐角三角函数是解题的关键．
18.如图，某楼房 顶部有一根天线 ，为了测量天线的高度，在地面上取同一条直线
上的三点 ， ， ，在点 处测得天线顶端 的仰角为 ，从点 走到点 ，测得
米，从点 测得天线底端 的仰角为 ，已知 ， ， 在同一条垂直于地面
的直线上， 米．
（1）求 与 之间的距离；
（2）求天线 的高度．（参考数据： ，结果保留整数）
【答案】（1） 之间的距离为30米；（2）天线 的高度约为27米．
【解析】
【分析】
（1）根据题意，∠BAD=90°，∠BDA=45°，故AD=AB，已知CD=5，不难算出A与C之间的
距离．
（2）根据题意，在 中， ，利用三角函数可算出AE的长，又已知
AB，故EB即可求解．
【详解】
（1）依题意可得，在 中， ，
米，
米， 米.
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即 之间的距离为30米．
（2）在 中， ， 米，
（米），
米， 米．
由 ．并精确到整数可得 米．
即天线 的高度约为27米．
【点睛】
（1）本题主要考查等腰直角三角形的性质，掌握等腰直角三角形的性质是解答本题的关键．
（2）本题主要考查三角函数的灵活运用，正确运用三角函数是解答本题的关键．
19．如图，平地上一幢建筑物AB与铁塔CD相距50m，在建筑物的顶部A处测得铁塔顶部C
的仰角为28°、铁塔底部D的俯角为40°，求铁塔CD的高度．
（参考数据：sin28°≈0.47，cos28°≈0.8，tan28°≈0.53，sin40°≈0.64，
cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）
【答案】68.5m
【分析】
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过A作AE⊥CD，垂足为E．分别在Rt△AEC和Rt△AED中，由锐角三角函数定义求出CE和
DE的长，然后相加即可．
【详解】
解：如图，过A作AE⊥CD，垂足为E．
则AE＝50m，
在Rt△AEC中，CE＝AE•tan28°≈50×0.53＝26.5（m），
在Rt△AED中，DE＝AE•tan40°≈50×0.84＝42（m），
∴CD＝CE＋DE≈26.5＋42＝68.5（m）．
答：铁塔CD的高度约为68.5m．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用--仰角俯角问题，求出CE、DE的长是解题的关键．
20.如图， 两楼地面距离BC为 米，楼AB高30米，从楼AB的顶部点A测得
楼CD顶部点D的仰角为45度．
（1）求 的大小；
（2）求楼CD的高度（结果保留根号）．
【答案】（1）75°；（2）
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【解析】
【分析】
（1）如图：过点A作 于点E，在Rt△ABC中运用三角函数可得
，即 、进一步可得∠EAC=30°，再结合 即可
解答；
（2）先根据题意求得DE=AE= ,然后在Rt△ACE中解直角三角形求得CE，最后利用
CD=CE+DE进行计算即可．
【详解】
（1）如图：过点A作 于点E，
∵在Rt△ABC中，
∵AE//BC
；
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(2)∵在RtAED中，AE=BC= ，∠DAE=45°
∴DE=AE=
∵在Rt△ACE中，∠CAE=30°
∴CE=tan30°·AE=30
．
【点睛】
本题主要考查了运用三角函数值求角的大小和解直角三角形，灵活应用三角函数知识是解
答本题的关键．
24
