FY25暑假预初B13阶段复习教师版4.0_初中资料合集_2025年秋初中《789年级暑假数学讲义》含6升7衔接（学生+教师版）上海专版_预初_志高_教师版PDF

B13 阶段复习 考情链接 1. 本次任务由三个部分构成 （1）阶段真题选填练习 （2）阶段真题计算练习 （3）阶段真题解答题练习 2. 考情分析 （1）《数的整除》、《分数》、《有理数》、《一元一次方程》章节在真题试卷中的考查形式； （2）系统性复习整数和整除、分解素因数、公因数与公倍数、分数的意义和性质、分数的 运算、有理数、一元一次方程的解法等知识点，结合真题试卷巩固． 环节 需要时间 作业讲解及复习 10分钟 切片1：阶段真题选填练习 30分钟 切片2：阶段真题计算练习 30分钟 切片3：阶段真题综合题练习 35分钟 出门测 15分钟 1知识加油站 1——阶段真题选填练习【建议时长：30分钟】 考点一：阶段真题选填练习 例题1:【参考时间：15分钟】 （★★★☆☆） 一、填空题 1．既能被6整除，又能被9整除的数，它 能被54整除（填“一定”或“不一定”或“一定 不” )． 2．如果规定向南走为正，如：向南走10米，记为+10，那么−30表示：_______________． 3．甲乙两数的最大公约数是13，最小公倍数是195，如果甲数是39，则乙数是 ． 7 4．在 、 10 2 1 1 5 、 2 1 7 2 、 1 9 3 1 中，可以化成有限小数的有 ． 5． 把46写成两个素数的和的形式，可以是 （写一个即可），这样的素数对共有 对． 6．已知 a = 3  3  3  5  5  5 ，则a的素因数有 个，因数有 个． 7．某体育用品先降价 2 7 ，若要恢复到原价，则需要涨价 （填几分之几）． 8．比较大小： − ( − 1 3 5 ) _____−|−1.35|．（填“  ”、“  ”或“ = ” ) 9．如图，三个大小相同的长方形拼在一起，组成一个大长方形，把第二个长方形平均分成 2份，再把第三个长方形平均分成3份，那么图中阴影部分面积是大长方形面积的 ． 10．观察下面一列数的规律，第100个数是 ． 1 3 5 、 、 、 2 5 8 7 1 1 、 1 9 4 、  11． 6 1 3 12 ， ， 25 4 9 ， 7 1 5 这组数中，最小是 ；最大的是 ． 1 3 5 12．如果   ，那么满足条件的整数m有 个． 4 m 9 13 1 13．A、B、C为正整数，满足算式 = A+ ， 7 1 B+ C A + B + C = ．14．定义： 3 a 1 是不为 1 的有理数，我们称 为 1−a a 1 1 的差倒数．如 3 的差倒数是 =− ， 1−3 2 1 1 1 −1的差倒数是 = ．已知a = ，a 是a 的差倒数，a 是a 的差倒数，a 是a 的差 1−(−1) 2 1 2 2 1 3 2 4 3 倒数，，以此类推，则 a 2024 = ______． 二、单选题 15．下列说法正确的是( ) A．一个有理数不是正数就是负数 B．分数包括正分数、负分数和零 C．有理数分为正有理数、负有理数和零 D．整数包括正整数和负整数 a 16．如果一个真分数 (a， b b 为正整数）分子和分母都加上相同的正整数，所得的分数( ) A．一定比原来的分数大 B．一定比原来的分数小 C．与原来的分数相等 D．可能比原来的分数大，也有可能与原来的分数相等 17．下列运算正确的是 ( ) A． 1 1 4  3 = 1 + 1  4 3 B． 6  1 1 3 = 2  1 1 1 C． 6  (1 1 3 − 1 3 ) = 6  1 1 3 − 6  1 3 D． ( 2 2 5 + 1 5 7 )  6 = 2 2 5  6 + 1 5 7  6 18．一项工程，甲独做需10天完成，乙独做需6天完成，现由甲先做3天，乙再加入合做， 设完成此项工需 x 天，由题意得方程 ( ) x x A． + =1 B． 10 6 x 1 + 0 3 + x − 6 3 = 1 C． 1 x 0 + x − 6 3 = 1 D． x 1 − 0 3 + x 6 = 1 【常规讲解】 一、填空题 1．解：既能被6整除，又能被9整除的数可以是18，36等，但36不能被54整除， 既能被6整除，又能被9整除的数，它不一定能被54整除． 故答案为：不一定． 2．解：如果规定向南走为正，那么−30表示的意义是向北走30米． 故答案为：向北走30米．3．解： 甲乙两数的最大公约数是13，最小公倍数是195， 4 1 9 5 = 1 3  1 5 = 1 3  3  5 ，甲数是 3 9 = 1 3  3 ， 乙数是 1 3  5 = 6 5 ， 故答案为：65． 4．9．解： 1 7 0 是最简分数，分母中只含有质因数2和5，能化成有限小数； 1 1 5 是最简分数，分母中含有质因数3，不能化成有限小数； 2 1 7 2 = 9 4 9 ， 是最简分数，分母中只含有质因数2，能化成有限小数； 4 1 9 3 1 = 1 7 ， 1 7 是最简分数，分母中含有质因数7，不能化成有限小数； 所以能化成有限小数的有2个，分别是 1 7 0 和 2 1 7 2 ． 故答案为： 1 7 0 和 2 1 7 2 ． 5．解：46以内的质数有：2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43， 则可知 4 6 = 3 + 4 3 = 5 + 4 1 = 1 7 + 2 9 = 2 3 + 2 3 ， 故答案为：46=3+43，4． 6．解： a = 3  3  3  5  5  5 ，  a 的素因数有2个，因数有1， 3  3 ， 3  3  3 ， 3  3  3  5 ， 3  3  3  5  5 ，333555， 3  3  5 ，3355，33555，35，355， 3  5  5  5 ， 5  5 ， 555，3353，共15个． 故答案为：2，15． 2 5 7 7 2 7．解：由题可知，1(1− )=1 = ． −1= ， 7 7 5 5 5 2 即需要涨价 ， 5 2 故答案威： ． 5 3 8．解：−(−1 )=1.6，而−|−1.35|=−1.35， 5 由于1.6−1.35， 3 所以−(−1 5 )  − | − 1 .3 5 | ． 故答案为：． 9．解：阴影部分的面积是大长方形面积的：1 2 1 3 4 1 7 1 7 ( + ) =( + ) =  = ， 2 3 3 6 6 3 6 3 18 7 所以图中阴影部分的面积是大长方形面积的 ， 18 故答案为： 5 7 1 8 ． 10．解：由所给数列可知， 分数的分子为从1开始的连续奇数， 所以第n个数的分子为 2 n − 1 ． 分数的分母依次增加3，且第一个分数的分母为2， 所以第n个数的分母为3n−1． 所以第n个数可表示为： 2 3 n n − − 1 1 ． 当n=100时， 2100−1 199 = ． 3100−1 299 199 即第100个数是 ． 299 199 故答案为： ． 299 11．解： 6 1 3  0 .4 6 ， 1 2 2 5 = 0 .4 8 ， 4 9  0 .4 4 7 ， 0.47， 15 0.440.460.470.48，  6 1 3 ， 1 2 2 5 ， 4 9 ， 7 1 5 这组数中，最小是 4 9 ；最大的是 1 2 2 5 ． 4 故答案为： ， 9 1 2 2 5 ． 12．解： 1 4 = 1 6 5 0 ， 3 m = 1 5 5 m ， 5 9 = 1 2 5 7 ， 1 4  3 m  5 9 ， 275m60，  5 2 5  m  1 2 ， 满足条件的整数m有6，7，8、9、10、11共6个． 故答案为：6． 13 6 1 13．解： =1+ = A+ ，A、B、C为正整数 7 7 1 B+ CA=1， 6 B 1 + 1 C = 6 7 ，  B + 1 C = 7 6 = 1 + 1 6 ，  B = 1 ， 1 C = 1 6 ，  C = 6 ， A+B+C =1+1+6=8， 故答案为：8． 1 14．解： a = ，a 是a 的差倒数，a 是a 的差倒数，a 是a 的差倒数，， 1 2 2 1 3 2 4 3 1 a = =2； 2 1 1− 2 1 a = =−1； 3 1−2 1 1 a = = ； 4 1−(−1) 2 由此得出：这组数是以 1 2 ，2，−1为1个顺序循环， 20243=674 2，  a 2 0 2 4 = 2 ， 故答案为：2． 二、单选题 15．解：A．有理数包括正数、负数和0，不符合题意； B．分数包括正分数、负分数，不符合题意； C．有理数分为正有理数、负有理数和零，符合题意； D ．整数包括正整数，负整数和零，不符合题意； 故选：C． 5 5+3 8 16．解：假设分数为 ，分子与分母加上相同的正整数3后，得 = ， 6 6+3 9 5 45 8 48 = ， = ， 6 54 9 54 45 48 则  ， 54 545 8 即  ， 6 9 由此可见，一个真分数的分子和分母都加上相同的正整数，所得的分数一定比原来的分数大． 故选：A． 17．解：A． 7 1 1 4  3 = 3 + 1  4 3 ，因此选项A不符合题意； B． 6  1 1 3  2  1 1 1 ，因此选项B不符合题意； C ． 6  (1 1 3 − 1 3 )  6  1 1 3 − 6  1 3 ，因此选项C不符合题意； D ． ( 2 2 5 + 1 5 7 ) = 2 2 5  6 + 1 5 7  6 ，因此选项D符合题意． 故选：D． 18．解：设需x天完成， 根据题意得： 1 x 0 + x − 6 3 = 1 ， 故选：C．练习1:【参考时间：15分钟】【学习框4】 （★★★☆☆） 一、填空题 1．最小的自然数是 ． 2．分解素因数：24= ． 3．求12和18的最小公倍数是 ． 4．用最简分数表示：35分钟 8 = 小时． 5．已知m−2的相反数是3，那么m3的值等于 ． 3 5 6．若 x ，且x是分母为36的最简分数，则x= ． 4 6 4 4 7． 厘米的 是 厘米． 5 5 8．一个数的3倍是 5 4 ，这个数是 ． 9．若关于x的方程 1 3 x = 1 0 + m 的解是 x = − 6 ，则 m = ． 10．将2.84， 2 .8 3 ，2.8383按从小到大排列为 . （用“  ”连接） 11．小蚂蚁在数轴上爬，它从 A 点出发向右移动 2 个单位后到达点 B ，如果点B到原点的 距离为5，则点 A 表示的数是 ． 12．加工同样多的零件，王师傅用了 1 9 0 小时，张师傅用了 1 1 0 1 11 小时，李师傅用了 小时， 12 师傅加工速度最快． 13．有一张长方形纸片，长为36厘米，宽为24厘米，如果要把这张纸片裁剪成大小相等的 正方形纸片，而且没有剩余，裁出的正方形纸片的张数最少为 张． 1 1 14．我们将大于 而小于 的最简分数称为“顺利分数”，例如： 6 5 1 6  2 1 1  1 5 2 ，所以 是分子 11 为 2 的“顺利分数”， 1 3 6 和 1 3 7 是分子为 3 的“顺利分数”，那么分子为 4 的全部“顺利分数” 的倒数之和是 ． 二、选择题 15．下列说法正确的是 ( ) A．自然数就是非负整数 B．正数和负数统称为有理数 C．零是最小的有理数 D．有最小的正整数，没有最大的负整数16．下列说法中，正确的是 9 ( ) A．偶数都是合数 B．奇数都是素数 C．合数都是偶数 D．素数不都是奇数 1 1 17．一根绳子12米，截去它的 ，再截去 米，这时绳子的长度是是 4 4 ( ) A．6米 B． 8 3 4 米 C． 9 1 4 米 D． 1 1 1 2 米 18．如图流程图，如果输出的结果是 2 1 3 ，那么输入的数字是 ( ) A． 1 1 3 3 1 B． C．4 D． 4 12 1 1 3 1 或4 12 【常规讲解】 一、填空题 1．解： 自然数是指用以计量事物的件数或表示事物次序的数， 最小的自然数是0， 故答案为：0． 2．解： 2 4 = 2  2  2  3 故答案为： 2  2  2  3 ． 3．解：12=223，18=233； 根据最小公倍数的定义，可得12和18的最小公倍数是2233=36．故答案为：36． 4．解： 1小时=60分， 10  3 5 7 分钟= 小时， 12 故答案为： 1 7 2 ． 5．解： m − 2 的相反数是3， m−2=−3， 解得： m = − 1 ， m3 =(−1)3 =−1． 故答案为：−1． 3 27 5 30 6．解： = ， = ，满足条件的 4 36 6 36 x 29 的值为 ． 36 故答案为： 2 3 9 6 ． 4 4 16 7．解：  = （厘米）． 5 5 25 故答案为： 1 2 6 5 ． 8．解：设这个数是 x 5 ，3x= ． 4  x = 1 5 2 ． 5 故答案为： ． 12 9．解：把 x = − 6 代入方程得：−2=10+m， 解得： m = − 1 2 ． 故答案为：−12． 10．解： 2.832.8333，2.832.83832.84． 故答案为：2.832.83832.84． 11．解： 点B到原点的距离为5， 点B为： − 5 或5， ①当点B为 − 5 时， 从A点出发向右移动2个单位后到达点B， 点A表示的数是： − 5 − 2 = − 7 ； ②当点B为5时， 从A点出发向右移动2个单位后到达点B，点A表示的数是： 11 5 − 2 = 3 ； 故答案为： − 7 或3． 9 10 10 11 11 12 12．解：1 = ，1 = ，11 = ， 10 9 11 10 12 11 1 0 9  1 1 1 0  1 1 2 1 王师傅加工速度最快． 故答案为：王． 13．解：36和24的最大公因数：12， 3612=3，2412=2，32=6， 故答案为：6． 14．解：分子为4的“顺利分数”为 4 2 1 、 4 2 3 ． 它们的倒数和 2 4 1 + 2 3 4 = 1 1 ． 故答案为：11． 二、选择题 15．解：A、自然数就是非负整数，是正确的，故符合题意； B、正数、负数和0统称为有理数，是错误的，故不符合题意； C 、没有最小的有理数，是错误的，故不符合题意； D 、最小的正整数是1，最大的负整数是 − 1 ，是错误的，故不符合题意； 故选：A． 16．解：A、不是所有的偶数都是合数，例如：2，不符合题意； B、奇数不一定是素数，例如：9，不符合题意； C 、合数不一定是偶数，例如：9，不符合题意； D 、素数不都是奇数，符合题意． 故选：D． 1 17．解：12−12 =9（米)， 4 1 3 9− =8 （米 4 4 ) ， 故选：B． 1 3 1 18．解：A、2 1 =1 ，不符合题意； 3 4 33 3 21 B、 1 = ，不符合题意； 4 4 16 12 C 1 3 1 、4 1 =2 ，符合题意； 12 4 3 D、由A可知 1 1 3 不符合题意． 故选：C．知识加油站 2——阶段真题计算练习【建议时长：30分钟】 考点二：阶段真题计算练习 例题2的5*、6*两题难度较大，教师可以根据班级情况给出提示或选讲. 例题2:【参考时间：15分钟】 （★★★★☆） 1．计算以下两数的最大公因数和最小公倍数： （1）135和180； （2）10001和20075； （3）144、360和540． x x+1 2．解方程： − =1． 2 8 3． 13 4 2 5  3 2 − 1 .4  ( 2 − 4 3 ) ． 4． ( − 5 ) 3  ( − 3 5 ) + 3 2  ( − 2 2 )  ( − 1 1 4 ) ． 5*． 6 1 1 9  1 0 9 + 5 1 2 3  5 3 + 4 1 1 7  8 7 + 3 3 1 3  1 0 3 ． 1 1 1 1 1 1 6*．2023( − )+1011( + )−1012( − )． 1011 1012 1012 2023 1011 2023 【常规讲解】 1. 解：（1） 1 3 5 = 3  3  3  5 ， 1 8 0 = 2  2  3  3  5 ，  1 3 5 和180的最大公因数是：335=45， 135和180的最小公倍数是： 3  3  3  2  2  5 = 5 4 0 ； （2） 10001=13773， 2 0 0 7 5 = 2 7 5  7 3 ，  1 0 0 0 1 和20075的最大公约数是73， 最小公倍数是： 1 3 7  7 3  2 7 5 = 2 7 5 0 2 7 5 ； （3）144=222233，360=222335，540=223335，  1 4 4 、360和540的最大公因数是： 2  2  3  3 = 3 6 ， 144、360和540的最小公倍数是：22223335=2160． x x+1 2. − =1， 2 8 去分母，得，4x−(x+1)=8， 去括号，得， 4x−x−1=8， 移项，得， 4x−x=8+1， 合并同类项，得， 14 3 x = 9 ， 系数化为1，得， x = 3 ． 22 2 7 2 3．解：原式=  −  5 3 5 3 = 4 4 1 − 5 1 4 =2． 3 1 4．解：(−5)3(− )+32(−22)(−1 ) 5 4 3 5 =(−125)(− )+32(−4)(− ) 5 4 5 =75+(−8)(− ) 4 =75+10 = 8 5 ． 5*．解：原式 = ( 6 0 + 1 0 9 )  1 9 0 + ( 5 0 + 5 3 )  3 5 + ( 4 0 + 8 7 )  7 8 + ( 3 0 + 1 0 3 )  1 3 0 9 10 9 3 5 3 7 8 7 3 10 3 =60 +  +50 +  +40 +  +30 +  10 9 10 5 3 5 8 7 8 10 3 10 = 5 4 + 1 + 3 0 + 1 + 3 5 + 1 + 9 + 1 =132． 1 1 1 1 1 1 6*．解：原式=(1011+1012)( − )+1011( + )−1012( − ) 1011 1012 1012 2023 1011 2023 = 1 0 1 1  ( 1 1 0 1 1 − 1 0 1 1 2 ) + 1 0 1 2  ( 1 1 0 1 1 − 1 0 1 1 2 ) + 1 0 1 1  ( 1 0 1 1 2 + 2 1 0 2 3 ) − 1 0 1 2  ( 1 1 0 1 1 − 2 1 0 2 3 ) 1 1 1 1 1 1 1 1 =1011( − + + )+1012( − − + ) 1011 1012 1012 2023 1011 1012 1011 2023 = 1 0 1 1  ( 1 1 0 1 1 + 2 1 0 2 3 ) + 1 0 1 2  ( 2 1 0 2 3 − 1 1 0 1 2 ) 1011 1012 =1+ + −1 2023 2023 =1．练习2:【参考时间：15分钟】【学习框6】 （★★★☆☆） 3 1 1 1．计算：1 +2 −1 8 4 2 2．计算： 15 6 7  3 1 2  1 7 2 3．计算： 3 5  ( 2 .5 − 2 3 ) + 1 5 2  0 .2 5 4．计算： ( − 4 1 2 )  7 2 5  ( − 4 3 )  ( − 1 2 5 ) 5．计算： − 2 4 − ( − 4 1 3 + 2 + 7 9 )  ( − 1 3 ) 3 ． 6．解方程： y − 3 y − 4 5 = 1 − 3 − 2 2 y ． 【常规讲解】 3+2−4 1．解：原式=(1+2−1)+ 8 = 2 1 8 ． 2．解： 6 7  3 1 2  1 7 2 = 6 7  2 7  1 7 2 1 = ． 7 3．解： 3 5  ( 2 .5 − 2 3 ) + 1 5 2  0 .2 5 = 3 5  ( 1 5 6 − 4 6 ) + 1 5 2  4 = 3 5  1 1 6 + 5 3 = 1 1 1 0 + 5 3 = 3 3 3 0 + 5 3 0 0 = 8 3 3 0 ． 4．解： ( − 4 1 2 )  7 2 5  ( − 4 3 )  ( − 1 2 5 ) 9 25 4 7 =−  (− )(− ) 2 7 3 5 =−30． 14 1 5．解：原式=−16−(− )(− ) 9 27 = − 1 6 − 1 4 9  2 7 =−16−42 =−58． 6．解：去分母，可得：4y−(3y−5)=4−2(3−2y)，去括号，可得： 16 4 y − 3 y + 5 = 4 − 6 + 4 y ， 移项，可得：4y−3y−4y=4−6−5， 合并同类项，可得：−3y=−7， 系数化为1，可得： y = 7 3 ．知识加油站 3——阶段真题综合题练习【建议时长：35分钟】 考点三：阶段真题综合题练习 例题3:【参考时间：20分钟】 （★★★☆☆） 1. （2023 杨浦区民办兰生中学期中）为了丰富学生的课余生活，学校计划新买一批球类体 3 5 育用品，其中购买的篮球数量占这批球类体育用品的 ，购买的排球数量是篮球数量的 ， 5 12 其余是足球． （1）如果购买的足球数量是6个，那么该学校计划新买的球类体育用品的总数量是多少个？ （2）如果要使得购买的足球数量与排球数量相等，那么要将计划购买的排球数量的几分之 几改去购买足球？ 2. 为庆祝中国共产党建党100周年华诞，A班同学们用花球来布置教室，一共准备了72束 红花和54束黄花来扎花球．如果要使每个花球里红花束的数量相同，黄花束的数量也相同， 那么最多可以扎成多少个花球？每个花球至少有多少束红花和多少束黄花？ 3. 某日一辆交通巡逻车从甲地出发，在东西向的马路上巡逻，约定向东为正，向西为负，巡 逻车从出发至收工所走的路线记录如下（单位：千米）: −10，+3， 17 − 4 ， + 2 ， − 8 ， + 1 2 ，−2，+10， − 6 ， + 1 ； （1）收工时距甲地多远？在甲地的什么位置？ （2）巡逻车在巡逻过程当中，离开甲地最远是多少千米？ （3）若每千米耗油0.2升，该车这一次巡逻共耗油多少升？ 4．阅读下面材料并回答问题：点A、B在数轴上分别表示数 a 、b，A、B两点之间的距 离表示为AB．当A、B两点中有一点在原点时，不妨设A在原点，如图1，AB=|b|=|a−b|； 当A、B两点都不在原点时， （1）如图②，点A、B都在原点的右边，AB=OB−OA=|b|−|a|=b−a=|a−b|； （2）如图③，点A、B都在原点左边， A B = O B − O A = | b | − | a |= ( − b ) − ( − a ) = | a − b | ； （3）如图④，点A、B在原点的两边，AB=OA+OB=|a|+|b|=a+(−b)=|a−b|； 综上，数轴上A、B两点之间的距离AB=|a−b|．（1）回答问题：数轴上表示−3和−8的两点之间的距离是_____． （2）若数轴上表示 18 x 和−2的两点分别是点A、B， A B = 5 ，那么x= ． （3）若数轴上点 A 表示数 − 1 ，点B表示数7，动点P、 Q 分别同时从点 A 、点B出发沿着 数轴正方向移动，点P的移动速度是每秒 3 个单位长度，点Q的移动速度是每秒 2 个单位 长度，求①运动几秒后，点P追上点Q？②运动几秒后，P、 Q 两点相距3个单位长度？ 【常规讲解】 1. 解：（1）购买的足球数量所占的比例为： 1 − 3 5 − 3 5  1 5 2 = 3 2 0 ， 3 6 =40（个 20 ) ， 答：该学校计划新买的球类体育用品的总数量是40个； （2）要使得购买的足球数量与排球数量相等，购买的足球数量与排球数量所占的比例为： 3 1 (1− )2= ， 5 5 1 5 − 3 2 0 = 1 2 0 ， 答：要将计划购买的排球数里的 1 2 0 改去购买足球． 2. 解：∵72＝2×2×2×3×3， 54＝2×3×3×3， ∴72和54的最大公因数是2×3×3＝18， ∴最多可以扎成18个花球； 72÷18＝4， 54÷18＝3， 答：最多可以扎成18个花球，每个花球至少有4束红花和3束黄花． 3. 解：（1）−10+3−4+2−8+12−2+10−6+1=−2， 答：收工时距甲地2千米，在甲地的西面；（2）第一次：−10千米； 第二次：−10+3=−7千米； 第三次：−7−4=−11千米； 第四次：−11+2=−9千米； 第五次：−9−8=−17千米； 第六次： 19 − 1 7 + 1 2 = − 5 千米； 第七次： − 5 − 2 = − 7 千米； 第八次：−7+10=3千米； 第九次：3−6=−3千米； 第十次：−3+1=−2千米；  巡逻车在巡逻过程当中，离开甲地最远是17千米， 答：巡逻车在巡逻过程当中，离开甲地最远是17千米． （3）(10+3+4+2+8+12+2+10+6+1)0.2 =580.2 = 1 1 .6 （升 ) ， 答：该车这一次巡逻共耗油11.6升． 4. 解：（1） 点A表示的数为−3，点B表示的数为−8， |AB|=|−3+8|=5． 故答案为：5； （2）当|AB|=5时，|x+2|=5， 解得x=3或 − 7 ； 故答案为：3或 − 7 ； （3）①设运动 x 秒时，点 P 追上点Q， 根据题意得： 3 x − 2 x = 8 ， 解得：x=8． 答：运动8秒后，点P追上点Q． ②设运动 y 秒时，P， Q 两点相距3个单位长度． 当点P在点Q左侧时，(8+2y)−3y=3， 解得：y=5； 当点P在点Q右侧时，3y−(8+2y)=3，解得： 20 y = 1 1 ． 答：运动5或11秒后，P，Q两点相距3个单位长度． 练习3:【参考时间：20分钟】【学习框8】 （★★★★☆） 1．某校六年级3个班人数如图． （1）六年级（2）班女生人数是六年级（2）学生人数的几分之几？ （2）六年级男生人数是六年级全年级人数的几分之几？ 2．某学校同学参加松江区“鼓乐大赛”（此次比赛要求参赛总人数不少于 49 人），要求除了 指挥1人及旗手4人外，其他同学既能平均分成6组，又能平均分成8组，进行队形变换， 这个学校至少要选拔多少人参加“鼓乐大赛”？ 3．小东的爸爸是出租车司机，为了计算汽车每千米的耗油量，某天上午，他从单位出发， 在沿着南北方向行驶时详细记录了行车的路程情况．他规定向南为正，向北为负，下面是他 这天上午行驶的路程记录（单位：千米） : + 2 1 ， − 1 6 ， + 4 ， − 5 .2 ， − 3 .8 ，−3.4，−12.6， + 1 4 ． （1）已知该出租车这天上午共耗油 9.6 升，你能计算出小东爸爸的出租车每千米的耗油量 是多少吗？ （2）上午运营结束后，小东的爸爸应该向 行驶 千米返回单位．4．如图，由 20 个相同的小正方形组成的一个大长方形 21 A B C D ，其中点D、点E、点F 均 在图中的格点上（即图中小正方形的顶点）． （1）三角形DEF 的面积（即图中阴影部分的面积）占整个大长方形 A B C D 面积的 ； （填“几分之几” ) （2）如果三角形 D E F 的面积是20平方厘米，那么图中每个小正方形的面积是 平方厘 米； （3）如备用图，若点G 也在图中的格点上，且三角形DEG的面积是大长方形ABCD面积的 3 ，那么符合要求的点G 有 个． 20 【常规讲解】 1. 解：（1） 2 0  ( 2 0 + 2 5 ) = 4 9 ， 答：六年级（2）班女生人数是六年级（2）学生人数的 4 9 ． 16 （2）(30+25+25)(30+25+25+20+20+25)= ， 29 16 答：六年级男生人数是六年级全年级人数的 ． 29 2. 解： 6 ，8的最小值公倍数为24， 设参加松江区“鼓乐大赛”的人数为24n+1+4， 根据题意得： 2 4 n + 1 + 4 4 9 ， 11 解得：n ， 6 又 n为正整数， n的最小值为2，此时24n+1+4=242+1+4=53． 答：这个学校至少要选拔53人参加“鼓乐大赛”．3. 解：（1） 22 | + 2 1 | + | − 1 6 | + | + 4 | + | − 5 .2 | + | − 3 .8 | + | − 3 .4 | + | − 1 2 .6 | + |1 4 |= 8 0 （千米）， 9.680=0.12（升/千米）， 答：小东爸爸的出租车每千米的耗油量是0.12升 / 千米； （2）+21−16+4−5.2−3.8−3.4−12.6+14=−2（千米）， 故上午运营结束后，小东的爸爸应该向南行驶2千米返回单位． 故答案为：南；2． 4. 解：（1）设小正方形的边长为a厘米，则大正方形的面积为： 5 a  4 a = 2 0 a 2 （平方厘米）， 1 阴影部分的面积为 2a4a=4a2（平方厘米）， 2  S S 大 阴 正 影 方 形 = 4 a 2 0 a 2 2 = 1 5 ，  S  D E F = 1 5 S 大 正 方 形 ， 故答案为：五分之一； （2）由（1）得：三角形DEFS =4a2， DEF 4a2 =20， a 2 = 5 ， 图中每个小正方形的面积是5平方厘米， 故答案为：5； （3） 大正方形的面积为 2 0 a 2 （平方厘米），   D E G 3 的面积为：20a2 =3a2（平方厘米）， 20 每个小正方形的边长为 a 厘米，   D E G 的边 D E = 2 a 厘米， 设DE边上的高为 h ，列方程得： 1 2ah=3a2， 2 ah=3a2， h = 3 a （厘米）， 距离 D E 为 3 a 的各点有6个， 如图所示：符合要求的点 23 G 有6个， 故答案为：6．全真战场 教师可以根据课堂节奏将“全真战场”作为课堂补．充．练习或课后补．充．练习让学生的完成 关卡一 练习1: （★★★☆☆） 一、单选题 1+a 1．若 是分母为12的最简真分数，则a可取的自然数个数是（ ） 12 A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 2．两个正整数的和是72，它们的最大公因数是8，则它们的积不可能是( 24 ) A．512 B．896 C．1152 D．1280 3．（2021•徐汇区校级月考）下列说法正确的是 ( ) A．自然数和负整数统称为整数 B．所有的素数都是奇数 C．因为 3 .9  1 .3 = 3 ，所以3.9能被1.3整除 D．8的因数有2，4，8 4．有数字卡片8、12、6、18、2、24，既是24的因数，又是6的倍数的是（ ） A．12、6、2 B．6、18、24 C．12、6、24 D．8、12、2 5．在 − ( − 1 2 ) ，0， − 2 2 ，(−3)2， − | 1 2 − 1 2| 中，非负数有 ( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 1. 若|a+2|+(b−3)2 =0，则 a b = ． 2. （2016•宝山区校级自主招生）正整数2015的不同正因数的个数为 个 3. （2020•浦东新区期中）两个合数的最大公因数是3，最小公倍数是30，则这两个数分别 是： ． 4. 绝对值小于3的所有整数的积是 ． 5. （2021•宝山区校级月考）一个数的最小倍数是24，这个数的素因数有 ． 6. 当真分数 x n 5 是最简分数，且x是素数时，我们把该真分数叫做n的“素分数”，例如： 是 8 8的一个“素分数”，请求出12的所有“素分数”的和： ． 8 8 3 7. 8 减去某数与7 的和，所得差为 ，则这个数字是 ． 9 9 48. 一只老鼠从A点沿长方形逃跑，一只花猫同时从 A点朝另一方向沿着长方形去捉老鼠， 结果在距B点6米的 25 C 7 点处抓住了老鼠．已知，老鼠的速度是花猫速度的 ，则长方形的 11 周长是 米． 三、计算题 x−1 x−3 1．解方程：x− =2− ． 2 5 2．计算： 3 .4  1 5 6 + 1 8 5  1 5 6 − 1  6 1 1 3．计算： 2 5 9 0  4 3 + 2 5 9 0  5 8 − 2 5 9 0 4．计算： 4 9   4 5 −  1 5 + 1 3   ． 5．计算： − 1 4 − ( 0 .5 − 2 3 )  1 3  [ − 2 − ( − 3 ) 3 ] 四、综合题 1. 用短除法求54与144的最大公因数和最小公倍数． 3 2. 一袋大米有若干千克，楠楠家用了三个月吃完了这袋大米．第一个月吃了13 千克，占总 4 重量的 1 5 6 ，第二个月比第一个月少吃了 1 5 6 千克，那么楠楠家第三个月吃了多少千克大米？ 3. 甲，乙两地相距 162 千米，甲地有一辆货车，速度为每小时 48 千米，乙地有一辆客车， 速度为每小时60千米，求： （1）若两车同时相向而行，货车在路上耽误了半小时，多长时间可以相遇？ （2）若两车相向而行，同时出发，多长时间两车相距54千米？ 4. 探究理解：如图，在数轴上放置一个长方形块，长方形的长为 3 4 1 ，宽为 ，长方形的初始 4 位置如图所示，沿A点做数轴垂线，在数轴上所对应的数字为1，现将长方形沿数轴正方向 做顺时针翻动，请寻找规律并填空．第1次翻动长方形后，A点在数轴上所对应的数字表示为： 26 1 + 3 4 = 1 3 4 ． 3 3 第2次翻动长方形后，A点在数轴上所对应的数字表示为：1+ +0=1 ． 4 4 （1）第3次翻动长方形后，A点在数轴上所对应的数字表示为：________． （2）第8次翻动长方形后，A点在数轴上所对应的数字表示为：________． （3）第101次翻动长方形后，A点在数轴上所对应的数字表示为：_______． 【常规讲解】 一、单选题 1. 解： | a + 2 | + ( b − 3 ) 2 = 0 ， a+2=0， b − 3 = 0 ，即a=−2，b=3． 所以ab =(−2)3 =−8． 2. 解：当两个数为8和64时，满足和是72，最大公因数是8，这两个数的积为512，故 A 不符合题意； 当两个数为16和56时，满足和是72，最大公因数是8，这两个数的积为896，故B不符合 题意； 当两个数为 32和40 时，满足和是 72，最大公因数是 8，这两个数的积为 1280，故D不符 合题意； 而1152=2448，满足24+48=72，但不满足最大公因数是8，故C符合题意； 故选：C． 3. 解：自然数包括正整数和0，整数包括正整数，负整数和0，故选项 A 符合题意； 素数2不是奇数是偶数，故选项B不符合题意； 3.9和1.3不是整数，是小数，不能说3.9能被1.3整除，故选项C不符合题意； 8的因数有1，2，4，8，故选项D不符合题意； 故选：A． 4. 解：由题意得， ( − 2 )  ( − 1 )  0  1  2 = 0 ． 故答案为：0． 1 1 1 1 5．解： −(− )= ，−22 =−4，(−3)2 =9，−| −1|2=− ； 2 2 2 41 非负数是−(− )，0，(−3)2，有3个． 2 故选：C． 二、填空题 1. 解： 能被2整除的数末尾是0，2，4，6，8，能被5整除的数末尾是0或5， 如果一个三位数能同时被2、5整除，那么这个三位数的末尾数字是0， 即如果一个三位数31〇能同时被2、5整除，那么〇应该填的数字是0． 故答案为：0． 2. 解：正整数2015的不同正因数有1，5，13，155，31，65，403，2015，一共8个． 故答案为：8． 3. 解： 27 3 0  3 = 9 0 ， 因为90=615，所以这两个数分别为6和15； 故答案为：6和15． 4. 解：① 1 8 和72的公因数有1，2，3，6，18，  1 8 和72不是互素数； ② 4和6的公因数有1，2，  4 和6不是互素数； ③ 9和5的公因数只有1，  9 和5是互素数； ④ 22和33的公因数有1，11， 22和33不是互素数．  两个数是互素的数是③． 故答案为：③． 5. 解：把24分解质因数为： 2 4 = 2  2  2  3 ， 故这个数的素因数有：2，2，2，3． 故答案为：2，2，2，3． 6. 解：∵素分数必须是真分数，分子是素数，而且是最简分数， 5 7 11 ∴12的“素分数”有： 、 、 ， 12 12 12 5 7 11 23 ∴ + + = ， 12 12 12 1223 故答案为： ． 12 8 8 3 7. 解：8 减去某数与7 的和，所得差为 ， 9 9 4 8 3 8 1 这个数为8 − −7 = ， 9 4 9 4 1 这个数为 ． 4 8. 解：设长方形周长为 28 x 米， 7 x x 根据题意得： ( +6)= −6， 11 2 2 解得：x=54，  长方形周长为54米； 故答案为：54． 三、解答题 1. 解：去分母得：10x−5(x−1)=20−2(x−3)， 去括号得： 1 0 x − 5 x + 5 = 2 0 − 2 x + 6 ， 移项、合并同类项得： 7 x = 2 1 ， 系数化为1得： x = 3 ． 2. 解：原式= 1 7 5  1 1 6 + 1 8 5  1 1 6 − 1  1 1 6 =  1 7 5 + 1 8 5 − 1   1 1 6 = 6  1 1 6 = 1 1 3. 解： 2 5 9 0  4 3 + 2 5 9 0  5 8 − 2 5 9 0 29 = (43+58−1) 50 = 2 5 9 0     =58． 4. 4 9   4 5 −  1 5 + 1 3   = 4 9   4 5 − 1 5 − 1 3  4 3 1 4  9 5  =  − =  −  9 5 3 9 15 15 4 4 4 15 =  =  9 15 9 4 5 = 31 2 1 5．解：原式=−1−( − ) (−2+27) 2 3 3 1 =−1+ 325 6 23 = ． 2 四、综合题 1. 解：短除法如下： 29 2 5 3 4 2 3 7 9 3 1 4 4 7 2 2 4 8 所以54和144的最大公因数为233=18 ，54和144的最小公倍数为 2  3  3  3  8 = 4 3 2 ． 2. 解：这袋大米的总重量为 1 3 3 4  1 5 6 = 5 5 4  1 6 5 = 4 4 （千克）， 3 5 9 10 11 第二个月吃的重量为13 −1 =13+ −1− =11 （千克）， 4 6 12 12 12 3 11 1 ∴第三个月吃的重量为44−13 −11 =18 （千克）． 4 12 3 1 ∴楠楠家第三个月吃了18 千克大米． 3 3. 解：（1）设经过 x 小时可以相遇， 48(x−0.5)+60x=162， 31 解得：x= ， 18 答：经过 3 1 1 8 小时可以相遇． （2）设经过 y 小时两车相距54千米， 48y+60y=162−54， 解得：y=1， 答：经过1小时两车相距54千米． 3 3 4.（1）解：第1次翻动长方形后，A点在数轴上所对应的数字表示为：1+ =1 ， 4 4 3 3 第2次翻动长方形后，A点在数轴上所对应的数字表示为：1+ +0=1 ， 4 4 3 1 第3次翻动长方形后，A点在数轴上所对应的数字表示为：1+ +0+ =2； 4 43 3 （2）第1次翻动长方形后，A点在数轴上所对应的数字表示为：1+ =1 ， 4 4 3 3 第2次翻动长方形后，A点在数轴上所对应的数字表示为：1+ +0=1 ， 4 4 3 1 第3次翻动长方形后，A点在数轴上所对应的数字表示为：1+ +0+ =2； 4 4 3 1 第4次翻动长方形后，A点在数轴上所对应的数字表示为：1+ +0+ +1=3， 4 4 第5次翻动长方形后，A点在数轴上所对应的数字表示为： 30 1 + 3 4 + 0 + 1 4 + 1 + 3 4 = 3 3 4 ， 发现是4次一循环，加一个周长； 3 做顺时针的翻动时边依次相加 ，0， 4 1 4 3 ，1， ， 4 所以第8次翻动长方形后，A点在数轴上所对应的数字表示为：1+22=5． （3）∵1014=25 1， ∴第101次翻动，即翻动了25个长方形的周长还余一次， 由（2）可得： 即 1 + 2 5  2 + 3 4 = 5 1 3 4 ． 关卡二 练习2: （★★★★☆）（2023 杨浦区校级期中）甲、乙、丙三个非零自然数满足：甲和乙的最大公约 数恰有1个约数，乙和丙的最大公约数恰有2个约数，丙和甲的最大公约数恰有3个约数．那 么，甲、乙、丙三数之和的最小值是 ． 【常规讲解】 解： 甲和乙的最大公约数恰有1个约数，  甲乙互质， 甲、乙的最大公因数是1， 乙和丙的最大公约数恰有2个约数， 乙、丙的最大公因数是质数， 丙和甲的最大公约数恰有3个约数， 甲、丙的最大公因数是质数的平方， 故甲、乙不能有相同质因数，还要尽量小， 则取甲、丙最大公因数为4，乙、丙最大公因数为3，甲为4、乙为3、丙为12， 31  4 + 3 + 1 2 = 1 9 ， 故答案为：19． 练习3: （★★★★☆）如图在数轴上A点表示数a，B点表示数 b ， a 、 b 满足|a+2|+(b−4)2 =0． （1）点A表示的数为 ；点B表示的数为 ； （2）若在原点O处放一挡板，一小球甲从点A处以 1 个单位 / 秒的速度向左运动；同时另 一小球乙从点B处以3个单位/秒的速度也向左运动，在碰到挡板后（忽略球的大小，可看 作一点）以原来的速度向相反的方向运动，设运动的时间为t（秒 ) ， ①当t =1时，甲小球到原点的距离= ；乙小球到原点的距离= ； 当t =2时，甲小球到原点的距离= ；乙小球到原点的距离 = ； ②试探究：甲，乙两小球到原点的距离可能相等吗？若不能，请说明理由若能，请求出甲， 乙两小球到原点的距离相等时t的值． ③若当甲和乙开始运动时，挡板也从原点以1个单位/秒的速度向右运动，直接写出甲，乙 两小球到挡板的距离相等时 t 的值． 【常规讲解】 解：（1） | a + 2 | + | b − 4 |= 0 ， a=−2， b = 4 ，  点 A 表示的数为 − 2 ，点 B 表示的数为4， 故答案为： − 2 ，4； （2）①当t =1时， 一小球甲从点 A 处以1个单位 / 秒的速度向左运动， 甲小球1秒钟向左运动1个单位，此时，甲小球到原点的距离=2+1=3， 一小球乙从点B处以3个单位/秒的速度也向左运动， 乙小球1秒钟向左运动3个单位，此时，乙小球到原点的距离=4−3=1， 当t =2时， 一小球甲从点A处以1个单位 / 秒的速度向左运动， 甲小球1秒钟向左运动2个单位，此时，甲小球到原点的距离=2+2=4， 一小球乙从点B处以3个单位/秒的速度也向左运动，乙小球1秒钟向左运动6个单位，此时，乙小球到原点的距离 32 = 3  2 − 4 = 2 ， 故答案为：3，1，4，2； ②当 0  t 2 时，得 t + 2 = 4 − 3 t ， 1 解得t = ； 2 当t 2时，得 t + 2 = 3 t − 4 ， 解得t =3； 1 故当t = 秒或 2 t = 3 秒时，甲乙两小球到原点的距离相等； （3）B碰到挡板需要4(3+1)=1（秒)，A碰到挡板需要22=1（秒)， ①都向左运动时，则2+t+t =4−3t−t，即 6 t = 2 ， 1 解得t= ， 3 ②反弹时，则 t − 1 + t − 1 = ( 3 − 1 ) ( t − 1 ) ，即 − 2 = 2 ，  当t 1时，不符合题意舍去，  t 1 值为 时，甲，乙两小球到挡板的距离相等． 3 练习4: （★★★★☆）将 3 2 0 = 1 A − 1 B ， A 、 B 为非零自然数，则 A + B 最大值是 ． 【常规讲解】解： 求 A + B 的最大值，就是使 A 和 B 尽量大，  1 A 尽量小，且大于并接近 3 2 0 1 ，这样 尽量小， B 最接近 3 2 0 ，分子为1，分母为自然数，且大于 3 2 0 的分数为 1 6 ， 不防设 1 A = 1 6 ，此时A=6， 1 1 3 1 则 = − = ，此时B=60， B 6 20 60 A+B=6+60=66， 故答案为：66．练习5: （★★★★★）将 33 1 ~ 8 排列成一圈，使得相邻两数互质的排列方式有 种（旋转后可以重 叠的当做同一种）． 【常规讲解】 解： 相邻两数互质， 先排列4个奇数，有 4  3  2  1 = 2 4 种， 旋转后可以重叠的当做同一种， 排列方式有6种， 在奇数与奇数之间的空，把偶数排进去，且6不能与3相邻， 6有2个空可以放， 其他3个偶数可以随意放，有321=6种，  共有 6  2  6 = 7 2 种， 故答案为：72． 练习6: （★★★★★）在一个神话故事中，有一只小兔子住在一个周长1千米的神湖旁，A，B两点 把这个神湖分成两等份（如图）．已知小兔子从B点出发，沿着逆时针方向绕神湖做跳跃运 动，它每跳 3 8 千米休息一次，如果它跳到A点正好休息，那么就会经过特别通道AB滑到B 点，从B点继续跳．它每经过一次特别通道，神湖的半径就扩大一倍．现在已知小兔子共休 息了1000次，这时神湖的周长是多少千米？ 【常规讲解】 3 1 解：第一次跳到A点： 4=1+ ，神湖的周长为 8 2 1  2 = 2 （千米）； 3 第二次跳到A点： 8=12+1，神湖的周长为 8 2  2 = 4 （千米）； 3 第三次跳到A点： 16=22+2，神湖的周长为42=8（千米）； 83 第四次跳到A点： 32=42+4，神湖的周长为82=16（千米）； 8 3 第五次跳到A点： 64=82+8，神湖的周长为 8 34 1 6  2 = 3 2 （千米）； 3 第六次跳到A点： 128=162+16，神湖的周长为 8 3 2  2 = 6 4 （千米）； 3 第七次跳到A点： 256=322+32，神湖的周长为 8 6 4  2 = 1 2 8 （千米）； 3 第八次跳到A点： 512=642+64，神湖的周长为 8 1 2 8  2 = 2 5 6 （千米）， 4+8+16+32+64+128+256=508（次)1000， 4+8+16+32+64+128+256+512=1020（次)1000， 第七次跳到A点，神湖的周长为128千米， 答：这时神湖的周长是128千米．