2025年高考一卷（解析）(1)_高考真题2025年全国各地《高考真题汇总》9科全_2025《高考真题汇总》数学

绝密★启用前
22002255年年普普通通高高等等学学校校招招生生全全国国统统一一考考试试
数数 学学
类 型：新课标Ⅰ卷
命 制：教育部教育考试院
适 用：浙江、山东、江苏、河北、福建、湖北、湖南、广东、江西、安徽、河南
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干
净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的。
1 1+5i  i 的虚部为 ( C )
A. -1 B. 0 C. 1 D. 6
解：1+5i  i = i+5i2=i-5
2 设全集 U=x∣x<9,x∈Z
+
 ,集合 A={1,3,5} ,则 ∁ A 中元素个数为 ( C )
U
A. 0 B. 3 C. 5 D. 8
解：C A ={2,4,6,7,8}，共有 5 个元素,故选 C
U
3 若双曲线 C 的虚轴长为实轴长的 7 倍,则 C 的离心率为 ( D )
A. 2 B. 2 C. 7 D. 2 2
b2
解：∵b= 7a，∴e= 1+ = 8=2 2，故选 D
a2
4 若点 a,0  a>0 
π
是函数 y=2tanx-
3
 的图象的一个对称中心,则 a 的最小值为 ( B )
π π π 4π
A. B. C. D.
6 3 2 3
π
解：函数 y=2tanx-
3

π kπ
图像的对称中心为 + ,0
3 2
 ,k∈Z
π
又∵a>0 ,∴a的最小值为 ,故选B
3
5 设 fx  是定义在 R 上且周期为 2 的偶函数,当 2≤x≤3 时, fx 
3
=5-2x ,则 f-
4
 = ( A )
1 1 1 1
A. - B. - C. D.
2 4 4 2
解：∵f-x  =fx  ,fx+2  =fx 
3
,f-
4

3
=f
4

3
=f +2
4

11
=f
4

11 1
= 5-2× =- ,选 A
4 2
第1页,共7页6 帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小和方向，测出的结果在航海学中称为视风风速，视风风速
对应的向量，是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和．其中行船风速对应的向量与船速对应的
向量大小相等，方向相反,表中给出了部分风力等级、风速大小与名称的对应关系,已知某帆船运动员在某时
刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图(风速的大小和向量的大小相同，单位m/s)，则其风速
等级是
级别 名称 风速 y
2 轻风 1.6~3.3 3 风 风 速
视
2
3 微风 3.4~5.4
船速
1
4 和风 5.5~7.9
5 劲风 8.0~10.7 0 1 2 3 x
A. 轻风 B. 微风 C. 和风 D. 劲风

解：视风风速a=0,2  -3,3  =-3,-1 

,船速b=3,3  -2,0  =1,3 
  
∴真风风速n=b+a=-3,-1  +1,3  =-2,2 

,真风速大小n  =2 2≈2.828
7 若圆 x2+y+2  2=r2r>0  上到直线 y= 3x+2 距离为1的点有且仅有 2 个,则r的取值范围是 ( B )
A. (0,1) B. (1,3) C. 3,+∞  D. 0,+∞ 
解：设与直线y= 3x+2平行的直线为y= 3x+m，让两条直线之间的距离为1，则有：
m-2
=1
3+1
 m=0,或m=4
即两条平行直线为l ：y= 3x，l ：y= 3x+4
1 2
如图，设圆心为C，当圆与l 相交时，圆上只有两交点A，B到直线l的距离为1
1
当圆与l 相交时，圆上有4个点到直线l的距离为1。
2
由此可知临界为相切D，E时取到。
设圆心C到l 距离为d ，圆心C到l 距离为d ，
1 1 2 2
2 2+4
d = =1,d = =3
1 3+1 2 3+1
∴r∈1,3 
y
l 2 l l 1
x
D B
E A C
故选 B
8 若实数 x,y,z 满足 2+log x=3+log y=5+log z ,则 x,y,z 的大小关系不可能是 ( B )
2 3 5
A. x>y>z B. x>z>y C. y>x>z D. y>z>x
解：2+log x=3+log y=5+log z=k,
2 3 5
则 log x=k-2,x=2k-2，log y=k-3，y=3k-3log z=k-5，z=5k-5 ,
2 3 5
当 k=8 时, y>z>x,D 正确
1 1 1
当 k=0 时, x= ,y= ,z= ,x>y>z,A 正确
4 27 55
当 k=5 时, x=23=8,y=32=9,z=1,y>x>z,C 正确
设 2+log x=3+log y=5+log z=t
2 3 5
∴x=2t-2,y=3t-3,z=5t-5
第2页,共7页二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。全部选对得6分，选不全得3分，多选或选错一个得0分。
9 在正三棱柱 ABC-ABC 中, D 为 BC 中点,则 ( BC )
1 1 1
A. AD⊥AC B. BC⊥ 平面 AAD C. CC ⎳ 平面 AAD D. AD⎳AB
1 1 1 ! 1 1
解：设D 为BC 的中点
1 1 1
①由题得AD⊥AA,若AD⊥AC,则AD⊥平面AAC,则AD⊥AC,矛盾！A错误；
1 1 1
②由题得AD⊥BC, AA ⊥BC ,则BC⊥平面AAD ,故B正确；
1 1
③由题得AD⎳AD,若 AD⎳AB ,则AD ⎳AB ,矛盾！故D不正确；
1 1 1 1 1 1 1 1
④由题得CC ⎳AA,又 CC 不在面AAD上,故CC ⎳平面AAD ,故C 正确；
1 1 1 1 1 1
3
10 设抛物线 C：y2=6x 的焦点为 F ,过 F 的直线交 C 于A、B ,过F且垂直于AB 的直线交l：x=- 于
2
E ,过 A 作l的垂线,垂足为 D ,则 ( ACD )
A. AD=AF B. AE=AB C. AB≥6 D. AE⋅BE≥18
解：A：由抛物线的定义知：AD=AF，A对.
3
B:考虑特殊情况，即通径时，取A ,3
2

3
，B ,-3
2

3
，此时，E- ,0
2

此时有AB=6,EF=3,此时 EF≠AB ,∴B错.
C:∵抛物线焦点弦性质可知：AB≥2p通径  =6，C对.
3 1 3
D：设AB：x=my+ 2 ，则EF:x=- m y+ 2 ，Ax 1 ,y 1  ,Bx 2 ,y 2 
3
,E- ,3m 2 
3
x=my+
联立 2  y2-6my-9=0
y2=6x
y 1 +y 2 =6m,y 1 y 2 =-9,x 1 +x 2 =my 1 +y 2  +3=6m2+3 ,
当m=0时，AE=BE=3 2，AE⋅BE=18
1 1 1
当m≠0 时, EF= 9+9m2，S = AE⋅BEsin∠AEB= AB⋅EF= 6m2+6
△AEB 2 2 2
 9+9m2>9
18
∴AE⋅BE> >18,综上AE⋅BE≥18, D对.
sin∠AEB
1 1
11 已知 △ABC 的面积为 ,若 cos2A+cos2B+2sinC=2,cosAcosBsinC= ,则 ( ABC )
4 4
6
A. sinC=sin2A+sin2B B. AB= 2 C. sinA+sinB= D. AC2+BC2=3
2
解：cos2A+cos2B+2sinC=2⇒2sinC=1-cos2A+1-cos2B⇒2sinC=2sin2A+2sin2B ,
∴ sinC=sin2A+sin2B ,故 A 正确
a b c
= = =2R,a2+b2=c⋅2R≥c2 ,若 a2+b2>c2 ,即 △ABC 为锐角三角形,
sinA sinB sinC
π π π
则 A+B> ⇒A> -B ,则 sinA> sin -B
2 2 2
 ,即 sinA>cosB ,代 λsinC=sin2A+sin2B ,
有 sinC=sin2A+sin2B>cos2B+sin2B=1 ,矛盾,故 a2+b2=c2 ,
即 cosA+B 
1
=cosAcosB-sinAsinB=0⇒cosAcosB=sinAsinB= ,
4
1 1 1
∵ S= absinC= ⇒ab= ,
2 4 2
ab
∴ =2R
sinAsinB

c
2=2⇒2R= 2, =2R= 2⇒c= 2 ,故 B 正确;
sinC
sinA+sinB 
A C
D
B
A C
1 1
D
B 1
1
y
D
A
E
O F x
B
1 3 6
2=sin2Asin2B+2sinAsinB=sinC+ = ⇒sinA+sinB= ,故 C 正确;
2 2 2
AC 2+BC 2=AB 2=c2=2 ,故 D 错误. 故选择: ABC
第3页,共7页三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12 若直线 y=2x+5 是曲线 y=ex+x+a 的切线,则 a= 4 .
解：y=ex+1 令 y=ex+1=2⇒x=0
代入 y=2x+5⇒ 切点为(0,5)
再将(0,5)代入 y=ex+x+a⇒a=4
13 若一个等比数列的前 4 项和为 4 , 前 8 项和为 68 , 则该等比数列的公比为 ±2 .
解：S =a +a +a +a =4
4 1 2 3 4
S =a +a +a +a +a +a +a +a
8 1 2 3 4 5 6 7 8
=a 1 +a 2 +a 3 +a 4 +q4a 1 +a 2 +a 3 +a 4 
=1+q4  a 1 +a 2 +a 3 +a 4  =41+q4  =68
⇒1+q4=17⇒q4=16⇒q=±2
14 一个箱子里有 5 个球,分别以 1 ~5 标号,若有放回取三次,记至少取出一次的球的个数 X ,
则 EX 
61
= 25 .
解：X可取1,2,3
PX=1 
5 1
= = ，PX=2
53 25

C2C1C1 12
= 5 2 3 = ，PX=3
53 25

5×4×3 12
= =
53 75
X 1 2 3
P 1 12 12
75 25 25
∴ EX 
1 12 12 61
=1× +2× +3× =
25 25 25 25
四、解答题：本题共5小题，共77分。应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15 (本小题 13 分)
调查 1000 人是否患某疾病与超声波检测结果的 2×2 到联表如下:
检测结果是否患病 正常 不正常 合计
患病 20 180 200
不患病 780 20 800
合计 800 200 1000
(1)若检测结果不正常者患病的概率为 p ,求 p 的估计值；
(2)能否根据小概率 α=0.001 的 χ2 独立性检验认为样本数据中超声波检测结果是否患该疾病有关?
nad-bc
附: χ2=
 2
a+b  c+d  a+c  b+d 
Pχ2≥k
，
 0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
180
解：(1) 超声波检查结果不正常患者有200人,患病有180人,∴ p= =0.9
1200
100020×20-180×780
(2) χ2=
 2 400-140400
=
800×200×200×800
 2 140000×140000
=
8×20×200×800 8×20×200×800
14000×14
= >10.828=χ
8×2×2×8 0,001
∴说认为样本数据中超声波检测结果是患该疾病有关.
第4页,共7页16 (本小题 15 分)
设数列 a
n

a a 1
满足 n+1 = n +
n n+1 nn+1 
.
(1) 证明: na
n
 为等差数列;
(2)设 fx  =a 1 x+a 2 x2+⋯+a m xm ,求 f2  .
解：1 
a a 1 1 a 1 a 1
∵ n+1 = n + - ，∴ n+1 - = n -
n n+1 n n+1 n n n+1 n+1
a -1 a -1
n+1 = n  n+1 n n+1  a n+1 -n+1  =na n -n，∴ n+1  a -na =1,1×a =3 n+1 n 1
∴ na n  以 3 为首项, 1 为公差的等差数列.∴na n =3+n-1  ×1=n+2
(2)fx  =a 1 x+a 2 x2+a 3 x3+a 4 x4+⋯+a m xm，fx  =a +2a x+3a x2+4a x3+⋯+ma xm-1 1 2 3 4 m
xfx  =ax+2a x2+3a x3+4a x4+⋯+ma xm 1 2 3 4 m
1-x  fx  =a 1 +x+x2+x3+x4+⋯+xm-1-ma m xm，1-x  fx 
x1-xm-1
=a + 1

-ma ⋅xm 1-x m
令 x=-2 .-2 
-2 1--2
=3+
 m-1  
-m+2
3
 ⋅-2  m
f-2 
-2 1--2
=1+
 m-1   m+2
-
9

⋅-2
3

7 -2
m= -
9
 m m+2
-
9

⋅-2
3
 m
7 1 m+2
= - +
9 9 3
 ⋅-2  m.
17 (本小题 15 分)
如图所示的四棱锥 P-ABCD 中, PA⊥平面 ABCD,BC⎳AD,AB⊥AD .
(1) 证明: 平面 PAB⊥ 平面 PAD ;
(2) 若 PA=AB= 2,AD= 3+1,BC=2,P,B,C,D 在同一个球面上,设该球面的球心为 O .
(i) 证明: O 在平面 ABCD 上;
(ii) 求直线 AC 与直线 PO 所成角的余弦值.
解：(1) ∵PA⊥ 面 ABCD AB⊂ 面 ABCD ∴ AB⊥PA
又 ∵AB⊥AD且 PA∩AD=A∴ AB⊥ 面 PAD
又 ∵AB⊂ 面 PAB∴面 PAB⊥ 面 PAD
取 PB 中点 M,PC 中点 N,AH=1
(2) i  ∵PA⊥ 面 ABCDBC⊂ 面 ABCD∴ BC⊥PA
BC⊥ADPA∩AD=A∴ BC⊥PB .
∴ △PBC 截面圆的圆心为 PC 中点 N∴ PA=AB= 2
又 ∵AM⊥PB,AM⊥BC,PB∩BC=B .∴ AM⊥ 面 PBC
四边形 AHNM 为平行四边形∴ HN⊥ 面 PBC ,球心在直线 NH 上
又 ∵HB=HC=HD= 3 .∴ H 即为球心 O .
法二：设 △BCD 外接圆圆心为 O ,易知 BC 中垂线为 y=1;BD中垂线
1
2
为 y= 3+1 x+1,联立解得 O 10,1,0  ,由于 PO = 3,BO = 3 ,∴ 1 1
PO =BO ,此时 O 与 O 重合,故 O 在平面 ABCD 上.
1 1 1
(ii)由 (1),(2) 知,建立如图所示坐标系 A-xyz，
A0,0,0  ,C 2,2,0  ,P0,0, 2  ,O0,1,0 

AC= 2,2,0 

，PO=0,1,- 2 
P
A
D
B C
z
P
A D
y
x
B C
 
  AC⋅PO 2 2 2
cos‹AC,PO›=   = = = .
ACPO 6⋅ 3 3 2 3
2
∴ AC 与 PO 的夹角余弦值为 .
3
第5页,共7页18 (本小题 17 分)
x2 y2
设椭圆 C： + =1a>b>0
a2 b2
 ,记 A 为椭圆下端点, B 为右端点, AB= 10 ,且椭圆 C 的
2 2
离心率为 .
3
(1) 求椭圆的标准方程:
(2) 设点Pm,n  . R 是射线 AP 上一点.
(i) 若P不在 y 轴上, AR⋅AP=3 ,用 m,n 表示点R的坐标;
(ii)设O为坐标原点, Q 是C上的动点,直线 OR 的斜率是直线 OP 的斜率的 3 倍,求 PQ 的最大值.
解：1 
a2=b2+c2
c 2 2 
= .AB=a2+b2=10， c 2 2
a 3 =
a 3
x2
∴ a=3,b=1,c=2 2 .∴ C 的方程: +y2=1 .
9
(2) i  由题可知直线 AP 斜率存在,设其为 k ,则直线 AP 的方向向量为(1, k),

故可设 AP=λ 11,k 

,AR=λ 21,k  ,
 
∵点 R 在射线 AP 上,故 λ 1 λ 2 >0 ,∴AP⋅AR=λ 1 λ 21+k2  =3,

AP=m,n+1 

,AR=x ,y +1
R R
 ,
m=λ 1 n+1=λk
1
x =λ R 2
y +1=λ k R 2 λ 1 λ 21+k2 
λ =m 1
n+1
k=
⇒ m
3 λ = =3 2 λ 11+k2 
    
 
 
      
3
x =λ =
R 2 λ 11+k2 
3
=
m+1 m 1+
m
  2 


3m
=
m2+n+1 
3m
=
2 m2+n+1  2
n+1 3m
y =kλ = ×
R 2 m m2+n+1 
3n+1
-1=
2

m2+n+1 
-1
2
3m
∴ R 的坐标为
m2+n+1 
3n+1
,
2

m2+n+1 
 -1
2
 .
 
法二：AP⋅AR=3，令 AR=tAP,t>0 .
 
AP⋅AR=tAP⋅AP=3，∴ t m2+n+1  2  
3
=3，∴ t=
m2+n+1 
，设 Rx,y
2

 
,AR=tAP
x,y+1 
3
=
m2+n+1 
m,n+1
2

3m
，∴ x=
m2+n+1 
3n+1
,y=
2

m2+n+1 
-1
2
3m
∴R
m2+n+1 
3n+1
,
2

m2+n+1 
 -1
2

3n+1
(ii)k =
OR

m2+n+1 
-1
2
3m
m2+n+1 
3n+1
=
2
 -m2-n+1  2 n
,k =
3m OP m
3n 3n+1
∴ =
m
 -m2-n+1  2
9n=3n+3-m2-n2-2n-1m2+n2+8n-2=0
3m
m2+n+4  2=18  P 在以(0, - 4)为圆心, 3 2 半径的圆上.
PQ =P到圆心(0, - 4)的距离d + 半径r
max
设Q3cosθ,sinθ  ,θ∈0,2π  ,
∴d= 3cosθ  2+sinθ+4  2= 9cos2θ+sin2θ+8sinθ+16= -8sin2θ+8sinθ+25
令 t=sinθ ∴ t∈-1,1 
y
B x
A
R P
8 1
，y=-8t2+8t+25，当t 0 = 16 = 2 时,PM max = 27+3 2=3 3+3 2.
第6页,共7页19 (本小题 17 分)
设函数 fx  =5cosx-cos5x .
(1) 求 fx 
π
在  0,
 4
 的最大值:
(2) 给定 θ∈0,π  ,a 为给定实数,证明: 存在 y∈a-θ,a+θ  ,使得 cosy≤cosθ ;
(3) 若存在 φ ,使得对任意 x ,都有 5cosx-cos5x+φ  ≤b ,求 b 的最小值.
解：(1)fx  =5sin5x-sinx  =5 sin3x+2x  -sin3x-2x    =10cos3x⋅sin2x,
令 fx 
π
=0 ,∵ x∈ 0,
 4

π
,解得 x=0 或 .
6
π
结合单调性可知,当 x∈0,
6
 时, fx  >0,fx 
π π
单调递增; 当 x∈ ,
6 4
 时, fx  <0 ,
fx  单调递减. 故 fx 
π
=f
max 6
 =3 3 .
(2) 证明: 不妨设 a∈[0,2π) ,令 gy  =cosy-cosθ ,则ga  =cosa-cosθ .
只需证明: gy  ≤0 .
而 ga-θ 
θ θ
=-2sin sin -a
2 2

θ
=2sina-
2

θ
sin ,
2
ga+θ 
θ
=-2sina+
2

θ
sin ,
2
(i) 若 a-θ<θ<a+θ ,则 a<2θ .
令 y=θ∈a-θ,a+θ  ,则 cosy≥cosθ ;
(ii) 若 θ≤a-θ,a≥2θ ,令 y=a-θ ,则 y∈0,π  且 y∈a-θ,a+θ  ,cosy≥cosθ .
由周期性, ∀a∈ 2kπ,2k+1   π  k∈Z  ,上述结论都成立.
综上,存在 y∈a-θ,a+θ  ,使得 cosy≤cosθ .
(3) 令 hx  =5cosx-cos5x+φ  ,hx  =-5sinx+5sin5x+φ  ,
由于 hx  周期为 2π ,不妨设 x∈-π,π  ,φ∈-π,π  ,
因为 hx  连续且处处可导,所以 hx  最大值在极值点处取到,
令 hx  =0,sin5x+φ  =sinx ,所以 5x+φ=x+2kπ 或 5x+φ=π-x+2k π , 1 2
φ kπ π φ k π
所以 x=- 4 + 2 1 或 x= 6 - 6 + 3 2 k 1 ,k 2 ∈Z  ,
φ kπ
当 x=- + 1 时, hx
4 2

φ k
=5cosx-cosx=4cosx=4cos- + 1 π
4 2
 ,
π φ k π
当 x= - + 2 ,hx 6 6 3  =5cosx-cosπ-x+2k 2 π 
π φ k
=6cosx=6cos - + 2 π 6 6 3  ,
所以 hx 
φ k
=max 4cos- + 1 π max 4 2 
π φ k
,6cos - + 2 π 6 6 3     ,
φ k
显然 4cos- + 1 π
4 2
 ≤4 ,记 qφ 
π φ k
=6cos - + 2 π
6 6 3
 ,
取值情况最多有 6 种,相当于 px 
π φ π φ
=6cosx 图象上以 A - ,p -
6 6 6 6
  
π
为起点,横坐标以 为跨
3
度,往后总共取 6 个点,由 px  图象可知, φ=0 时, qφ  取最小值 3 3,3 3>4 ,
所以 b≥5cosx-cos5x+φ  ,所以 b≥qφ  =3 3 ,
min
此时 hx 
π
≤3 3 恒成立,且 x=± 时取等号,所以 b 的最小值为 3 3 .
6
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