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专题 09 三角函数
π π
1．【2022年全国甲卷】将函数f(x)=sin ( ωx+ ) (ω>0)的图像向左平移
个单位长
3 2
度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则ω的最小值是（ ）
1 1 1 1
A． B． C． D．
6 4 3 2
【答案】C
【解析】
【分析】
ωπ π π
先由平移求出曲线C的解析式，再结合对称性得 + = +kπ,k∈Z，即可求出ω的最
2 3 2
小值.
【详解】
[ ( π) π] ωπ π
由题意知：曲线C为y=sin ω x+ + =sin(ωx+ + )，又C关于y轴对称，则
2 3 2 3
ωπ π π
+ = +kπ,k∈Z，
2 3 2
1 1
解得ω= +2k,k∈Z，又ω>0，故当k=0时，ω的最小值为 .
3 3
故选：C.
π
2．【2022年全国甲卷】设函数f(x)=sin ( ωx+ ) 在区间(0,π)恰有三个极值点、两个
3
零点，则ω的取值范围是（ ）
[5 13) [5 19) (13 8] (13 19]
A． , B． , C． , D． ,
3 6 3 6 6 3 6 6
【答案】C
【解析】
【分析】
π
由x的取值范围得到ωx+ 的取值范围，再结合正弦函数的性质得到不等式组，解得即可．
3
【详解】π (π π)
解：依题意可得ω>0，因为x∈(0,π)，所以ωx+ ∈ ,ωπ+ ，
3 3 3
(π )
要使函数在区间(0,π)恰有三个极值点、两个零点，又y=sinx，x∈ ,3π 的图象如下
3
所示：
5π π 13 8 (13 8]
则 <ωπ+ ≤3π，解得 <ω≤ ，即ω∈ , ．
2 3 6 3 6 3
故选：C．
3．【2022年全国乙卷】函数f (x)=cosx+(x+1)sinx+1在区间[0,2π]的最小值、最大值
分别为（ ）
π π 3π π π π 3π π
A．− ， B．− ， C．− ， +2 D．− ， +2
2 2 2 2 2 2 2 2
【答案】D
【解析】
【分析】
利用导数求得f (x)的单调区间，从而判断出f (x)在区间[0,2π]上的最小值和最大值.
【详解】
f'(x)=−sinx+sinx+(x+1)cosx=(x+1)cosx，
π 3π
所以f (x)在区间 ( 0, ) 和 ( ,2π) 上f'(x)>0，即f (x)单调递增；
2 2
π 3π
在区间 ( , ) 上f'(x)<0，即f (x)单调递减，
2 2π π 3π 3π 3π
又f (0)=f (2π)=2，f ( )= +2，f ( )=− ( +1 )+1=− ，
2 2 2 2 2
3π π
所以f (x)在区间[0,2π]上的最小值为− ，最大值为 +2.
2 2
故选：D
π
4．【2022年新高考1卷】记函数f(x)=sin(ωx+ )+b(ω>0)的最小正周期为T．若
4
2π 3π π
0 B．cos2α<0 C．sin2α>0 D．sin2α<0
【答案】D
【解析】
【分析】
由题意结合二倍角公式确定所给的选项是否正确即可.
【详解】
方法一：由α为第四象限角，可得 ，
所以
此时 的终边落在第三、四象限及 轴的非正半轴上，所以
故选：D.
方法二：当 时， ，选项B错误；
当 时， ，选项A错误；
由 在第四象限可得： ，则 ，选项C错误，选项
D正确；
故选：D.
【点睛】
本题主要考查三角函数的符号，二倍角公式，特殊角的三角函数值等知识，意在考查学生
的转化能力和计算求解能力.
16．【2020年新课标3卷理科】已知2tanθ–tan(θ+ )=7，则tanθ=（ ）
A．–2 B．–1 C．1 D．2
【答案】D
【解析】
【分析】
利用两角和的正切公式，结合换元法，解一元二次方程，即可得出答案.
【详解】， ，
令 ，则 ，整理得 ，解得 ，即 .
故选：D.
【点睛】
本题主要考查了利用两角和的正切公式化简求值，属于中档题.
17．【2020年新课标3卷文科】已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
将所给的三角函数式展开变形，然后再逆用两角和的正弦公式即可求得三角函数式的值.
【详解】
由题意可得： ，
则： ， ，
从而有： ，
即 .
故选：B.
【点睛】
本题主要考查两角和与差的正余弦公式及其应用，属于中等题.
18．【2020年新课标3卷文科】在△ABC中，cosC= ，AC=4，BC=3，则tanB=（ ）
A． B．2 C．4 D．8
【答案】C
【解析】
【分析】
先根据余弦定理求 ，再根据余弦定理求 ，最后根据同角三角函数关系求
【详解】
设
故选：C
【点睛】
本题考查余弦定理以及同角三角函数关系，考查基本分析求解能力，属基础题.
19．【2019年新课标1卷理科】函数f(x)= 在[—π，π]的图像大致为
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
先判断函数的奇偶性，得 是奇函数，排除A，再注意到选项的区别，利用特殊值得正
确答案．
【详解】由 ，得 是奇函数，其图象关于原点对称．
又 ．故选D．
【点睛】
本题考查函数的性质与图象，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养．采取性质法或
赋值法，利用数形结合思想解题．
20．【2019年新课标1卷理科】关于函数 有下述四个结论：
①f(x)是偶函数 ②f(x)在区间（ , ）单调递增
③f(x)在 有4个零点 ④f(x)的最大值为2
其中所有正确结论的编号是
A．①②④ B．②④ C．①④ D．①③
【答案】C
【解析】
【分析】
化简函数 ，研究它的性质从而得出正确答案．
【详解】
为偶函数，故①正确．当
时， ，它在区间 单调递减，故②错误．当 时，
，它有两个零点： ；当 时， ，
它有一个零点： ，故 在 有 个零点： ，故③错误．当时， ；当 时，
，又 为偶函数， 的最大值为 ，故④正确．综上所述，
①④ 正确，故选C．
【点睛】
画出函数 的图象，由图象可得①④正确，故选C．
21．【2019年新课标1卷文科】tan255°=
A．－2－ B．－2+ C．2－ D．2+
【答案】D
【解析】
【分析】
本题首先应用诱导公式，将问题转化成锐角三角函数的计算，进一步应用两角和的正切公
式计算求解．题目较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查．
【详解】
详解： =
【点睛】
三角函数的诱导公式、两角和与差的三角函数、特殊角的三角函数值、运算求解能力．
22．【2019年新课标2卷理科】下列函数中，以 为周期且在区间( ， )单调递增的是
A．f(x)=│cos 2x│ B．f(x)=│sin 2x│C．f(x)=cos│x│ D．f(x)= sin│x│
【答案】A
【解析】
【分析】
本题主要考查三角函数图象与性质，渗透直观想象、逻辑推理等数学素养．画出各函数图
象，即可做出选择．
【详解】
因为 图象如下图，知其不是周期函数，排除D；因为 ，周期为
，排除C，作出 图象，由图象知，其周期为 ，在区间 单调递增，A
正确；作出 的图象，由图象知，其周期为 ，在区间 单调递减，排除B，
故选A．
【点睛】利用二级结论：①函数 的周期是函数 周期的一半；② 不是周
期函数；
23．【2019年新课标2卷理科】已知 ∈（0， ），2sin2α=cos2α+1，则sinα=
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
利用二倍角公式得到正余弦关系，利用角范围及正余弦平方和为1关系得出答案．
【详解】
， ．
，又 ， ，又 ，
，故选B．
【点睛】
本题为三角函数中二倍角公式、同角三角函数基本关系式的考查，中等难度，判断正余弦
正负，运算准确性是关键，题目不难，需细心，解决三角函数问题，研究角的范围后得出
三角函数值的正负，很关键，切记不能凭感觉．
24．【2019年新课标2卷文科】若x= ，x= 是函数f(x)= ( >0)两个相邻的极值
1 2
点，则 =
A．2 B．
C．1 D．【答案】A
【解析】
【分析】
从极值点可得函数的周期，结合周期公式可得 .
【详解】
由题意知， 的周期 ，得 ．故选A．
【点睛】
本题考查三角函数的极值、最值和周期，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养．采
取公式法，利用方程思想解题．
25．【2019年新课标3卷理科】设函数 =sin（ ）( ＞0)，已知 在
有且仅有5个零点，下述四个结论：
① 在（ ）有且仅有3个极大值点
② 在（ ）有且仅有2个极小值点
③ 在（ ）单调递增
④ 的取值范围是[ )
其中所有正确结论的编号是
A．①④ B．②③ C．①②③ D．①③④
【答案】D
【解析】
【分析】
本题为三角函数与零点结合问题，难度大，通过整体换元得 ，结合正弦
函数的图像分析得出答案．
【详解】
当 时， ，∵f（x）在 有且仅有5个零点，
∴ ，
∴ ，故④正确，
由 ，知 时，
令 时取得极大值，①正确；
极小值点不确定，可能是2个也可能是3个，②不正确；
因此由选项可知只需判断③是否正确即可得到答案，
当 时， ，
若f（x）在 单调递增，
则 ，即 ，
∵ ，故③正确．
故选D．
【点睛】
极小值点个数动态的，易错，③正确性考查需认真计算，易出错，本题主要考查了整体换
元的思想解三角函数问题，属于中档题．
26．【2019年新课标3卷文科】函数 在 的零点个数为
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【解析】
令 ，得 或 ，再根据x的取值范围可求得零点.
【详解】由 ，
得 或 ， ，
．
在 的零点个数是3，
故选B．
【点睛】
本题考查在一定范围内的函数的零点个数，渗透了直观想象和数学运算素养．采取特殊值
法，利用数形结合和方程思想解题．
27．【2018年新课标1卷文科】已知函数 ，则
A． 的最小正周期为 ，最大值为
B． 的最小正周期为 ，最大值为
C． 的最小正周期为 ，最大值为
D． 的最小正周期为 ，最大值为
【答案】B
【解析】
【分析】
首先利用余弦的倍角公式，对函数解析式进行化简，将解析式化简为 ，
之后应用余弦型函数的性质得到相关的量，从而得到正确选项.
【详解】
根据题意有 ，
所以函数 的最小正周期为 ，
且最大值为 ，故选B.
【点睛】该题考查的是有关化简三角函数解析式，并且通过余弦型函数的相关性质得到函数的性质，
在解题的过程中，要注意应用余弦倍角公式将式子降次升角，得到最简结果.
28．【2018年新课标1卷文科】已知角 的顶点为坐标原点，始边与 轴的非负半轴重合，
终边上有两点 ， ，且 ，则
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
首先根据两点都在角的终边上，得到 ，利用 ，利用倍角公式以及余弦函数
的定义式，求得 ，从而得到 ，再结合 ，从而得到 ，
从而确定选项.
【详解】
由 三点共线，从而得到 ，
因为 ，
解得 ，即 ，
所以 ，故选B.
【点睛】
该题考查的是有关角的终边上点的纵坐标的差值的问题，涉及到的知识点有共线的点的坐
标的关系，余弦的倍角公式，余弦函数的定义式，根据题中的条件，得到相应的等量关系
式，从而求得结果.29．【2018年新课标2卷理科】若 在 是减函数，则 的最大值是
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【详解】
因为 ，
所以由 得
因此 ，从而 的最大值为 ，故选：
A.
30．【2018年新课标3卷理科】若 ，则
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【详解】
分析：由公式 可得结果.
详解：
故选B.
点睛：本题主要考查二倍角公式，属于基础题.
31．【2018年新课标3卷文科】函数 的最小正周期为
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【详解】分析:将函数 进行化简即可
详解：由已知得
的最小正周期
故选C.
点睛：本题主要考查三角函数的化简和最小正周期公式，属于中档题
32．【2022年新高考2卷】已知函数f(x)=sin(2x+φ)(0<φ<π)的图像关于点
(2π
)
,0 中心对称，则（ ）
3
(
5π
)
A．f(x)在区间 0, 单调递减
12
( π 11π )
B．f(x)在区间 − , 有两个极值点
12 12
7π
C．直线x= 是曲线y=f(x)的对称轴
6
√3
D．直线y= −x是曲线y=f(x)的切线
2
【答案】AD
【解析】
【分析】
根据三角函数的性质逐个判断各选项，即可解出．
【详解】
(2π
)
(4π
)
4π
由题意得：f =sin +φ =0，所以 +φ=kπ，k∈Z，
3 3 3
4π
即φ=− +kπ,k∈Z，
32π
(
2π
)
又0<φ<π，所以k=2时，φ= ，故f(x)=sin 2x+ ．
3 3
(
5π
)
2π (2π 3π
)
对A，当x∈ 0, 时，2x+ ∈ , ，由正弦函数y=sinu图象知
12 3 3 2
(
5π
)
y=f(x)在 0, 上是单调递减；
12
( π 11π ) 2π (π 5π )
对B，当x∈ − , 时，2x+ ∈ , ，由正弦函数y=sinu图象知
12 12 3 2 2
2π 3π 5π 5π
y=f(x)只有1个极值点，由2x+ = ，解得x= ，即x= 为函数的唯一极
3 2 12 12
值点；
7π 2π 7π 7π
对C，当x= 时，2x+ =3π，f( )=0，直线x= 不是对称轴；
6 3 6 6
( 2π ) ( 2π ) 1
对D，由y'=2cos 2x+ =−1得：cos 2x+ =− ，
3 3 2
2π 2π 2π 4π
解得2x+ = +2kπ或2x+ = +2kπ,k∈Z,
3 3 3 3
π
从而得：x=kπ或x= +kπ,k∈Z,
3
( √3) 2π
所以函数y=f(x)在点 0, 处的切线斜率为k= y'| =2cos =−1，
2 x=0 3
√3 √3
切线方程为：y− =−(x−0)即y= −x．
2 2
故选：AD．
33．【2020年新高考1卷（山东卷）】下图是函数y= sin(ωx+φ)的部分图像，则sin(ωx+φ)=
（ ）A． B． C． D．
【答案】BC
【解析】
【分析】
首先利用周期确定 的值，然后确定 的值即可确定函数的解析式，最后利用诱导公式可
得正确结果.
【详解】
由函数图像可知： ，则 ，所以不选A,
不妨令 ,
当 时， ，
解得： ，
即函数的解析式为：
.
而
故选：BC.
【点睛】
已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A比较容易看图得出，困难
的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法：(1)由ω＝ 即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零
点”横坐标x，则令ωx＋φ＝0(或ωx＋φ＝π)，即可求出φ.
0 0 0
(2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合
图形解出ω和φ，若对A，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要
求.
34．【2022年全国乙卷】记函数f(x)=cos(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的最小正周期为T，
√3 π
若f(T)= ，x= 为f(x)的零点，则ω的最小值为____________．
2 9
【答案】3
【解析】
【分析】
√3 π
首先表示出T，根据f (T)= 求出φ，再根据x= 为函数的零点，即可求出ω的取值，从
2 9
而得解；
【详解】
解： 因为f (x)=cos(ωx+φ)，（ω>0，0<φ<π）
2π ( 2π ) √3
所以最小正周期T= ，因为f (T)=cos ω⋅ +φ =cos(2π+φ)=cosφ= ，
ω ω 2
π ( π)
又0<φ<π，所以φ= ，即f (x)=cos ωx+ ，
6 6
π π π π
又x= 为f (x)的零点，所以 ω+ = +kπ,k∈Z，解得ω=3+9k,k∈Z，
9 9 6 2
因为ω>0，所以当k=0时ω =3；
min
故答案为：3
35．【2021年甲卷文科】已知函数 的部分图像如图所示，则
_______________.【答案】
【解析】
【分析】
首先确定函数的解析式，然后求解 的值即可.
【详解】
由题意可得： ，
当 时， ，
令 可得： ，
据此有： .
故答案为： .
【点睛】
已知f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A比较容易看图得出，困
难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法：
(1)由ω＝ 即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零
点”横坐标x，则令ωx＋φ＝0(或ωx＋φ＝π)，即可求出φ.
0 0 0(2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合
图形解出ω和φ，若对A，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要
求.
36．【2021年甲卷理科】已知函数 的部分图像如图所示，则满足条件
的最小正整数x为________．
【答案】2
【解析】
【分析】
先根据图象求出函数 的解析式，再求出 的值，然后求解三角不等式可
得最小正整数或验证数值可得.
【详解】
由图可知 ，即 ，所以 ；
由五点法可得 ，即 ；
所以 .
因为 ， ；所以由 可得 或 ；
因为 ，所以，
方法一：结合图形可知，最小正整数应该满足 ，即 ，
解得 ，令 ，可得 ，
可得 的最小正整数为2.
方法二：结合图形可知，最小正整数应该满足 ，又 ，符合
题意，可得 的最小正整数为2.
故答案为：2.
【点睛】
关键点睛：根据图象求解函数的解析式是本题求解的关键，根据周期求解 ，根据特殊点
求解 .
37．【2020年新课标2卷文科】若 ，则 __________．
【答案】
【解析】
【分析】
直接利用余弦的二倍角公式进行运算求解即可.
【详解】
.
故答案为： .
【点睛】
本题考查了余弦的二倍角公式的应用，属于基础题.
38．【2020年新高考1卷（山东卷）】某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的
截面如图所示．O为圆孔及轮廓圆弧AB所在圆的圆心，A是圆弧AB与直线AG的切点，B是圆弧AB与直线BC的切点，四边形DEFG为矩形，BC⊥DG，垂足为C，tan∠ODC=
， ，EF=12 cm，DE=2 cm，A到直线DE和EF的距离均为7 cm，圆孔半径为1
cm，则图中阴影部分的面积为________cm2．
【答案】
【解析】
【分析】
利用 求出圆弧 所在圆的半径，结合扇形的面积公式求出扇形 的面积，
求出直角 的面积，阴影部分的面积可通过两者的面积之和减去半个单位圆的面积求
得.
【详解】
设 ，由题意 ， ，所以 ，
因为 ,所以 ，因为 ，所以 ，
因为 与圆弧 相切于 点，所以 ，
即 为等腰直角三角形；
在直角 中， ， ，
因为 ，所以 ，
解得 ；
等腰直角 的面积为 ；
扇形 的面积 ，
所以阴影部分的面积为 .
故答案为： .
【点睛】
本题主要考查三角函数在实际中应用，把阴影部分合理分割是求解的关键，以劳动实习为
背景，体现了五育并举的育人方针.
39．【2019年新课标1卷文科】函数 的最小值为___________．
【答案】 .
【解析】
【分析】
本题首先应用诱导公式，转化得到二倍角的余弦，进一步应用二倍角的余弦公式，得到关
于 的二次函数，从而得解.
【详解】
，
， 当 时， ，故函数 的最小值为 ．
【点睛】
解答本题的过程中，部分考生易忽视 的限制，而简单应用二次函数的性质，出
现运算错误．
40．【2018年新课标2卷理科】已知 ， ，则
__________．
【答案】
【解析】
【详解】
因为 ，
所以 ，①
因为 ，
所以 ，②
① ②得 ，
即 ，
解得 ，
故本题正确答案为
41．【2018年新课标2卷文科】已知 ，则 __________．
【答案】 .
【解析】
【分析】
利用两角差的正切公式展开，解方程可得 .
【详解】，解方程得 .
【点睛】
本题主要考查学生对于两角和差公式的掌握情况，属于简单题型，解决此类问题的核心是
要公式记忆准确，特殊角的三角函数值运算准确.
42．【2018年新课标3卷理科】函数 在 的零点个数为________．
【答案】
【解析】
【分析】
求出 的范围，再由函数值为零，得到 的取值可得零点个数．
【详解】
详解：
由题可知 ，或
解得 ,或
故有3个零点．
【点睛】
本题主要考查三角函数的性质和函数的零点，属于基础题．
43．【2019年新课标1卷文科】已知函数f（x）=2sinx－xcosx－x，f′（x）为f（x）的导数．
（1）证明：f′（x）在区间（0，π）存在唯一零点；
（2）若x∈[0，π]时，f（x）≥ax，求a的取值范围．
【答案】（1）见解析；
（2） .
【解析】
【分析】（1）求导得到导函数后，设为 进行再次求导，可判断出当 时， ，
当 时， ，从而得到 单调性，由零点存在定理可判断出唯一零点所
处的位置，证得结论；（2）构造函数 ，通过二次求导可判断出
， ；分别在 ， ，
和 的情况下根据导函数的符号判断 单调性，从而确定 恒
成立时 的取值范围.
【详解】
（1）
令 ，则
当 时，令 ，解得：
当 时， ；当 时，
在 上单调递增；在 上单调递减
又 ， ，
即当 时， ，此时 无零点，即 无零点
，使得又 在 上单调递减 为 ，即 在 上的唯一
零点
综上所述： 在区间 存在唯一零点
（2）若 时， ，即 恒成立
令
则 ，
由（1）可知， 在 上单调递增；在 上单调递减
且 ， ，
，
①当 时， ，即 在 上恒成立
在 上单调递增
，即 ，此时 恒成立
②当 时， ， ，
，使得
在 上单调递增，在 上单调递减
又 ，
在 上恒成立，即 恒成立③当 时， ，
，使得
在 上单调递减，在 上单调递增
时， ，可知 不恒成立
④当 时，
在 上单调递减
可知 不恒成立
综上所述：
【点睛】
本题考查利用导数讨论函数零点个数、根据恒成立的不等式求解参数范围的问题.对于此类
端点值恰为恒成立不等式取等的值的问题，通常采用构造函数的方式，将问题转变成函数
最值与零之间的比较，进而通过导函数的正负来确定所构造函数的单调性，从而得到最值.
