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专题18 函数中的新定义问题
一、单选题
1． ， 表示不超过 的最大整数，十八世纪，函数 被“数学王子”高斯采用，因此得名高
斯函数，人们更习惯称之为“取整函数”，则 （ ）
A．0 B．1 C．7 D．8
2．若一系列函数的解析式和值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，例如函数
与函数 即为“同族函数”．请你找出下面哪个函数解析式也能够被用来构
造“同族函数”的是（ ）
A． B． C． D．
3．已知函数 的定义域为实数集R，满足 （M是R的非空子集），在R上有两个非
空真子集A，B，且 ，则 的值域为（ ）
A． B． C． D．
4．在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并
构成一般不动点定理的基石，布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔（L. E. J.
Brouwer），简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数 存在一个点 ，使得 ，那么我们称
该函数为“不动点函数”，下列为“不动点函数”的是（ ）
A． B．
C． D．5．四参数方程的拟合函数表达式为 ，常用于竞争系统和免疫检测，它的图象是一个
递增（或递减）的类似指数或对数曲线，或双曲线（如 ），还可以是一条S形曲线，当 ，
， ， 时，该拟合函数图象是（ ）
A．类似递增的双曲线 B．类似递增的对数曲线
C．类似递减的指数曲线 D．是一条S形曲线
6．在函数 区间D上的导函数为 ， 在区间D上的导函数为 .若在区间D上，
恒成立，则称函数 在区间D上为“凸函数”.已知实数m为常数， ，若对满足
的任何一个实数m，函数 在区间 上都为“凸函数”，则 的最大值为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
7．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有数学王子的美誉，他和阿基米德、牛顿并列为
世界三大数学家，用其姓名命名的“高斯函数”为 ，其中 表示不超过 的最大整数，例如
，已知函数 ，令函数 ，则 的值域为（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数 ，若在定义域内存在实数 ，使得 ，其中 为整数，则称函数
为定义域上的“ 阶局部奇函数”，若 是 上的“ 阶局部奇函数”，则实
数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．如图所示的曲线就像横放的葫芦的轴截面的边缘线，我们把这样的曲线叫葫芦曲线（也像湖面上高低
起伏的小岛在水中的倒影与自身形成的图形，也可以形象地称它为倒影曲线），它每过相同的间隔振幅就变化一次，且过点 ，其对应的方程为 （ ，其中 为不超过x的最
大整数， ）．若该葫芦曲线上一点N的横坐标为 ，则点N的纵坐标为（ ）
A． B． C． D．
10．设函数 的定义域为 ，若函数 满足条件：存在 ，使 在 上的值域为
，则称 为“倍缩函数”.若函数 （其中 ）为“倍缩函数”，则 的取值
范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
11．具有性质： 的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数中满足“倒负”变换
的函数是（ ）
A． B． C． D．
12．对于函数 ，若 ，则称 是 的不动点：若 ，则称 是 的稳
定点，则下列函数有稳定点的是（ ）A． B．
C． D．
13．华人数学家李天岩和美国数学家约克给出了“混沌”的数学定义，由此发展的混沌理论在生物学､经
济学和社会学领域都有重要作用.在混沌理论中，函数的周期点是一个关键概念，定义如下：设 是定义
在R上的函数，对于 R，令 ，若存在正整数k使得 ，且当0<j<k时，
，则称 是 的一个周期为k的周期点.若 ，下列各值是 周期为2的周
期点的有（ ）
A．0 B． C． D．1
14．中国传统文化中很多内容体现了数学的“对称美”.如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形
图案，充分体现了相互转化、对称统一的形式美、和谐美.在平面直角坐标系中，如果一个函数的图象能够
将某个圆的周长和面积同时平分，那么称这个函数为这个圆的“优美函数”.则下列说法中正确的有（
）
A．对于一个半径为1的圆，其“优美函数”仅有1个
B．函数 可以是某个圆的“优美函数”
C．若函数 是“优美函数”，则函数 的图象一定是中心对称图形
D．函数 可以同时是无数个圆的“优美函数”15．德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，狄利克雷函数就以其名命名，其解析式为
为有理数， 为无理数），关于函数 ，下列说法正确的是（ ）．
A． 既不是奇函数，也不是偶函数 B． ，
C． 是周期函数 D． ，使得
16．函数 满足条件：①对定义域内任意不相等的实数 ， 恒有 ；②对定义域内
任意两个实数 ， 都有 成立，则称为 函数，下列函数为 函数的是
（ ）
A． B．
C． ， D． ，
17．已知函数 ，如果函数 满足对任意 ，都存在 ，使
得 ，称实数 为函数 的包容数，下列数中可以为函数 的包容数的是（ ）
A． B． C． D．
18．若正整数 ， 只有1为公约数，则称 ， 互质.对于正整数 ， 是小于或等于 的正整数中与
互质的数的个数，函数 以其首名研究者欧拉命名，称为欧拉函数，例如： ， ，
，则下列说法正确的是（ ）
A． B．C．数列 为等比数列 D． ，
三、填空题
19．若存在常数k和b，使得函数 和 对其公共定义域上的任意实数x都满足： 和
恒成立（或 和 恒成立），则称此直线 为 和 的
“隔离直线”．已知函数 ， ，若函数 和 之间存在隔离直线
，则实数b的取值范围是______．
20．如果函数 在其定义域上有且仅有两个不同的数 ，满足 ，那么就称函数
为“单值函数”，则下列四个函数：① ；② ；③ ；
④ .其中为“单值函数”的是______．(写出所有符合题意的函数的序号)
21．若函数 的定义域为 ，且满足如下两个条件：① 在 内是单调递增函数；②存在
，使得 在 上的值域为 那么就称函数 为“希望函数”，若函数
是“希望函数”，则实数 的取值范围为___________.
22．若函数 在区间 上，对 ， ， ， 为一个三角形的三边长，则称函数
为“三角形函数”.已知函数 在区间 上是“三角形函数”，则实数 的取值范
围为____
四、解答题23．函数 的定义域为 ，且存在唯一常数 ，使得对于任意的x总有 ，成立．
(1)若 ，求 ；
(2)求证：函数 符合题设条件．
24．已知函数 和 的定义域分别为 和 ，若对任意的 ，都恰好存在n个不同的实数
，使得 （其中 ），则称 为 的“n重覆盖函数” .
(1)判断下面两组函数中， 是否为 的“n重覆盖函数”，并说明理由；
① ， ，“4重覆盖函数”；
② ， ，“2重覆盖函数”；
(2)若 ， 为 ， 的“9重覆盖函数”，求 的最大值.
25．已知O为坐标原点， ，对于函数 ，称向量 为函数 的伴随向量，同时称函数 为向量 的伴随函数.已知函数 ，
(1)求 的伴随向量 ，并求 .
(2)关于x的方程 在 内恒有两个不相等实数解，求实数 的取值范围.
(3)将函数 图象上每一点纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，再把整个图象向左平移 个单位长度
得到函数 的图象，已知 ， ，在函数 的图象上是否存在一点P，使得 ，若
存在，求出点P坐标；若不存在，说明理由.
26．若函数 和 的图象均连续不断， 和 均在任意的区间上不恒为0， 的定义域为 ，
的定义域为 ，存在非空区间 ，满足： ，均有 ，则称区间A为
和 的“ 区间”
(1)写出 和 在 上的一个“ 区间”，并说明理由；
(2)若 ，且 在区间 上单调递增， 是 和 的“ 区间”，证明：
在区间 上存在零点.27．对于函数 ，若在其定义域内存在实数 ，t，使得 成立，称 是“t跃
点”函数，并称 是函数 的“t跃点”．
(1)若函数 ，x∈R是“ 跃点”函数，求实数m的取值范围；
(2)若函数 ，x∈R，求证：“ ”是“对任意t∈R， 为‘t跃点’函数”的充要
条件；
(3)是否同时存在实数m和正整数n使得函数 在 上有2021个“ 跃点”？若存在，
请求出所有符合条件的m和n的值；若不存在，请说明理由．
28．对于函数 ，若存在正常数 ，使得对任意的 ，都有 成立，我们称
函数 为“ 同比不减函数”.
(1)判断函数 是否为“ 同比不减函数”？并说明理由；
(2)若函数 是“ 同比不减函数”，求实数 的取值范围；(3)是否存在正常数 ，使得函数 为“ 同比不减函数”？若存在，求 的取值范围；
若不存在，请说明理由.
29．若函数 自变量的取值区间为[a, b]时，函数值的取值区间恰为 ，就称区间[a, b]为
的一个“和谐区间”．已知函数 是定义在R上的奇函数，当 时， ．
(1)求 的解析式；
(2)求函数 在 内的“和谐区间”；
(3)若以函数 在定义域内所有“和谐区间”上的图像作为函数 的图像，求函数 的值域
30．对于定义域为 的函数 ，如果存在区间 ，同时满足：① 在 内是单调增函数；②当定义域是 时， 的值域是 ，则称 是该函数的“翻倍区间”．
(1)证明： 是函数 的一个“翻倍区间”；
(2)判断函数 是否存在“翻倍区间”？若存在，求出所有“翻倍区间”；若不存在，请说明理由；
(3)已知函数 有“翻倍区间” ，求实数 的取值范围．
31．根据人教2019版必修一P87页的13题介绍： 函数 的图象关于点 成中心对称图形的
充要条件是函数 为奇函数．
题：设函数 ，且 ， (其中 是常数)， 函数 ．
(1)求 的值， 并证明 是中心对称函数;
(2)是否存在点 ，使得过点 的直线若能与函数 围成两个封闭图形，则这两个封闭图形的面积总
相等？若存在，求出点 的坐标；若不存在，说明理由．
32．定义：如果函数 在定义域内的给定区间 上存在 （ ），满足
，则称函数 为 上的“平均值函数”， 为它的平均值点．
(1)函数 是否为 上的“平均值函数”？如果是，请求出它的平均值点；如果不是，请说明理由．
(2)若函数 是 上的平均值函数，求实数 的取值范围．
