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专题18 函数中的新定义问题
一、单选题
1． ， 表示不超过 的最大整数，十八世纪，函数 被“数学王子”高斯采用，因此得名高
斯函数，人们更习惯称之为“取整函数”，则 （ ）
A．0 B．1 C．7 D．8
【解析】由题意可知 4－(－4)＝8.故选：D.
2．若一系列函数的解析式和值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，例如函数
与函数 即为“同族函数”．请你找出下面哪个函数解析式也能够被用来构
造“同族函数”的是（ ）
A． B． C． D．
【解析】对于选项AD，函数都为单调递增的，故不满足，因此AD都错；
对于选项C， 在区间 和 上都是单调递减的，且在两个区间上 的取值一正一负，故不
满足，因此C错；
对于选项B，函数 ， 和函数 ， 即为“同族函数”，故满足，因此B正
确.
故选：B.
3．已知函数 的定义域为实数集R，满足 （M是R的非空子集），在R上有两个非
空真子集A，B，且 ，则 的值域为（ ）
A． B． C． D．【解析】当 时， ， ， ，
同理得：当 时， ；当 时， ；
故 ，即值域为{1}．故选：B
4．在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并
构成一般不动点定理的基石，布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔（L. E. J.
Brouwer），简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数 存在一个点 ，使得 ，那么我们称
该函数为“不动点函数”，下列为“不动点函数”的是（ ）
A． B．
C． D．
【解析】对于A，由 ，得 ，即 ，方程无解，所以A不符合题意，
对于B，由 ，得 ，即 ，方程无解，所以B不符合题意，
对于C，由 ，得当 时， ，即 ，解得 或 ，所以此函数为“不
动点函数”，所以C正确，
对于D，由 ，得 ，即 ，方程无解，所以D不符合题意，，
故选：C
5．四参数方程的拟合函数表达式为 ，常用于竞争系统和免疫检测，它的图象是一个
递增（或递减）的类似指数或对数曲线，或双曲线（如 ），还可以是一条S形曲线，当 ，
， ， 时，该拟合函数图象是（ ）
A．类似递增的双曲线 B．类似递增的对数曲线C．类似递减的指数曲线 D．是一条S形曲线
【解析】依题意可得拟合函数为 ， ，
即 ， ，
由 向左平移 个单位，再向上平移 个单位得到 ， ，
因为 在 上单调递增，
所以拟合函数图象是类似递增的双曲线；故选：A
6．在函数 区间D上的导函数为 ， 在区间D上的导函数为 .若在区间D上，
恒成立，则称函数 在区间D上为“凸函数”.已知实数m为常数， ，若对满足
的任何一个实数m，函数 在区间 上都为“凸函数”，则 的最大值为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【解析】由题设， ，则 ，
∴对任意 ，在 上有 恒成立，
令 在 上恒成立，
∴ ，可得 ，
∴ ，故 的最大值为4.故选：A
7．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有数学王子的美誉，他和阿基米德、牛顿并列为
世界三大数学家，用其姓名命名的“高斯函数”为 ，其中 表示不超过 的最大整数，例如
，已知函数 ，令函数 ，则 的值域为（ ）A． B． C． D．
【解析】因为 ，所以 ，所以 ，
则 的值域 ．故选：C．
8．已知函数 ，若在定义域内存在实数 ，使得 ，其中 为整数，则称函数
为定义域上的“ 阶局部奇函数”，若 是 上的“ 阶局部奇函数”，则实
数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解析】由题意，函数 ，满足 ，解得 ，
因为函数 是 上的“ 阶局部奇函数”，
即关于 的方程 在 上有解，
即 在 上有解，
可得 ，所以 在 有解，
又由 ，因为 ，所以 ，解得 ，
实数 的取值范围是 .故选：B.
9．如图所示的曲线就像横放的葫芦的轴截面的边缘线，我们把这样的曲线叫葫芦曲线（也像湖面上高低
起伏的小岛在水中的倒影与自身形成的图形，也可以形象地称它为倒影曲线），它每过相同的间隔振幅就
变化一次，且过点 ，其对应的方程为 （ ，其中 为不超过x的最
大整数， ）．若该葫芦曲线上一点N的横坐标为 ，则点N的纵坐标为（ ）A． B． C． D．
【解析】由曲线过 知， ，
即 ，则 ，解得 ，
又 ，则 ，若该葫芦曲线上一点N的横坐标为 ，即 ，
代入曲线方程得到 ，
则 ，即点N的纵坐标为 ．故选：D
10．设函数 的定义域为 ，若函数 满足条件：存在 ，使 在 上的值域为
，则称 为“倍缩函数”.若函数 （其中 ）为“倍缩函数”，则 的取值
范围是（ ）
A． B． C． D．
【解析】由已知可得， 在 上是增函数；即 ， 是方程 的两个根，
设 ，则 ，此时方程为 即方程有两个不等的实根，且两根都大于 ；
解得： ， 满足条件 的范围是 .故选：A
二、多选题
11．具有性质： 的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数中满足“倒负”变换
的函数是（ ）
A． B． C． D．
【解析】对于A选项，x＝0在定义域内，不满足“倒负”变换；
对于B选项， ，满足“倒负”变换；
对于C选项， ， ，不满足“倒负”变换；
对于D选项，当 时， ，此时 ；
当x＝1时， ，此时 ；
当 时， ，此时 ， 满足“倒负”变换．
故选：BD.
12．对于函数 ，若 ，则称 是 的不动点：若 ，则称 是 的稳
定点，则下列函数有稳定点的是（ ）
A． B．C． D．
【解析】A：函数 的定义域为 ，
假设存在稳定点 ，则 ， ，
所以对 ，均有 ，故A有稳定点；
B：函数 的定义域为R，
假设存在稳定点 ，则 ， ，
而 在R上无解，故B无稳定点；
C： ，当 时， ，
而 ，故 ，故C有稳定点；
D： ，当 时， ，
而 ，故 ，故D有稳定点.
故选：ACD.
13．华人数学家李天岩和美国数学家约克给出了“混沌”的数学定义，由此发展的混沌理论在生物学､经
济学和社会学领域都有重要作用.在混沌理论中，函数的周期点是一个关键概念，定义如下：设 是定义
在R上的函数，对于 R，令 ，若存在正整数k使得 ，且当0
