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专题18 函数中的新定义问题
一、单选题
1． ， 表示不超过 的最大整数，十八世纪，函数 被“数学王子”高斯采用，因此得名高
斯函数，人们更习惯称之为“取整函数”，则 （ ）
A．0 B．1 C．7 D．8
【解析】由题意可知 4－(－4)＝8.故选：D.
2．若一系列函数的解析式和值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，例如函数
与函数 即为“同族函数”．请你找出下面哪个函数解析式也能够被用来构
造“同族函数”的是（ ）
A． B． C． D．
【解析】对于选项AD，函数都为单调递增的，故不满足，因此AD都错；
对于选项C， 在区间 和 上都是单调递减的，且在两个区间上 的取值一正一负，故不
满足，因此C错；
对于选项B，函数 ， 和函数 ， 即为“同族函数”，故满足，因此B正
确.
故选：B.
3．已知函数 的定义域为实数集R，满足 （M是R的非空子集），在R上有两个非
空真子集A，B，且 ，则 的值域为（ ）
A． B． C． D．【解析】当 时， ， ， ，
同理得：当 时， ；当 时， ；
故 ，即值域为{1}．故选：B
4．在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并
构成一般不动点定理的基石，布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔（L. E. J.
Brouwer），简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数 存在一个点 ，使得 ，那么我们称
该函数为“不动点函数”，下列为“不动点函数”的是（ ）
A． B．
C． D．
【解析】对于A，由 ，得 ，即 ，方程无解，所以A不符合题意，
对于B，由 ，得 ，即 ，方程无解，所以B不符合题意，
对于C，由 ，得当 时， ，即 ，解得 或 ，所以此函数为“不
动点函数”，所以C正确，
对于D，由 ，得 ，即 ，方程无解，所以D不符合题意，，
故选：C
5．四参数方程的拟合函数表达式为 ，常用于竞争系统和免疫检测，它的图象是一个
递增（或递减）的类似指数或对数曲线，或双曲线（如 ），还可以是一条S形曲线，当 ，
， ， 时，该拟合函数图象是（ ）
A．类似递增的双曲线 B．类似递增的对数曲线C．类似递减的指数曲线 D．是一条S形曲线
【解析】依题意可得拟合函数为 ， ，
即 ， ，
由 向左平移 个单位，再向上平移 个单位得到 ， ，
因为 在 上单调递增，
所以拟合函数图象是类似递增的双曲线；故选：A
6．在函数 区间D上的导函数为 ， 在区间D上的导函数为 .若在区间D上，
恒成立，则称函数 在区间D上为“凸函数”.已知实数m为常数， ，若对满足
的任何一个实数m，函数 在区间 上都为“凸函数”，则 的最大值为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【解析】由题设， ，则 ，
∴对任意 ，在 上有 恒成立，
令 在 上恒成立，
∴ ，可得 ，
∴ ，故 的最大值为4.故选：A
7．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有数学王子的美誉，他和阿基米德、牛顿并列为
世界三大数学家，用其姓名命名的“高斯函数”为 ，其中 表示不超过 的最大整数，例如
，已知函数 ，令函数 ，则 的值域为（ ）A． B． C． D．
【解析】因为 ，所以 ，所以 ，
则 的值域 ．故选：C．
8．已知函数 ，若在定义域内存在实数 ，使得 ，其中 为整数，则称函数
为定义域上的“ 阶局部奇函数”，若 是 上的“ 阶局部奇函数”，则实
数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解析】由题意，函数 ，满足 ，解得 ，
因为函数 是 上的“ 阶局部奇函数”，
即关于 的方程 在 上有解，
即 在 上有解，
可得 ，所以 在 有解，
又由 ，因为 ，所以 ，解得 ，
实数 的取值范围是 .故选：B.
9．如图所示的曲线就像横放的葫芦的轴截面的边缘线，我们把这样的曲线叫葫芦曲线（也像湖面上高低
起伏的小岛在水中的倒影与自身形成的图形，也可以形象地称它为倒影曲线），它每过相同的间隔振幅就
变化一次，且过点 ，其对应的方程为 （ ，其中 为不超过x的最
大整数， ）．若该葫芦曲线上一点N的横坐标为 ，则点N的纵坐标为（ ）A． B． C． D．
【解析】由曲线过 知， ，
即 ，则 ，解得 ，
又 ，则 ，若该葫芦曲线上一点N的横坐标为 ，即 ，
代入曲线方程得到 ，
则 ，即点N的纵坐标为 ．故选：D
10．设函数 的定义域为 ，若函数 满足条件：存在 ，使 在 上的值域为
，则称 为“倍缩函数”.若函数 （其中 ）为“倍缩函数”，则 的取值
范围是（ ）
A． B． C． D．
【解析】由已知可得， 在 上是增函数；即 ， 是方程 的两个根，
设 ，则 ，此时方程为 即方程有两个不等的实根，且两根都大于 ；
解得： ， 满足条件 的范围是 .故选：A
二、多选题
11．具有性质： 的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数中满足“倒负”变换
的函数是（ ）
A． B． C． D．
【解析】对于A选项，x＝0在定义域内，不满足“倒负”变换；
对于B选项， ，满足“倒负”变换；
对于C选项， ， ，不满足“倒负”变换；
对于D选项，当 时， ，此时 ；
当x＝1时， ，此时 ；
当 时， ，此时 ， 满足“倒负”变换．
故选：BD.
12．对于函数 ，若 ，则称 是 的不动点：若 ，则称 是 的稳
定点，则下列函数有稳定点的是（ ）
A． B．C． D．
【解析】A：函数 的定义域为 ，
假设存在稳定点 ，则 ， ，
所以对 ，均有 ，故A有稳定点；
B：函数 的定义域为R，
假设存在稳定点 ，则 ， ，
而 在R上无解，故B无稳定点；
C： ，当 时， ，
而 ，故 ，故C有稳定点；
D： ，当 时， ，
而 ，故 ，故D有稳定点.
故选：ACD.
13．华人数学家李天岩和美国数学家约克给出了“混沌”的数学定义，由此发展的混沌理论在生物学､经
济学和社会学领域都有重要作用.在混沌理论中，函数的周期点是一个关键概念，定义如下：设 是定义
在R上的函数，对于 R，令 ，若存在正整数k使得 ，且当0<j<k时，，则称 是 的一个周期为k的周期点.若 ，下列各值是 周期为2的周
期点的有（ ）
A．0 B． C． D．1
【解析】A： 时， ，周期为1，周期为2也正确，故A正确；
B： 时， ，
所以 不是 的周期点.故B错误；
C： 时， ，周期为1，周期为2也正确.故C正确；
D： 时， ，
不是 周期为2的周期点，故D错误.
故选：AC.
14．中国传统文化中很多内容体现了数学的“对称美”.如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形
图案，充分体现了相互转化、对称统一的形式美、和谐美.在平面直角坐标系中，如果一个函数的图象能够
将某个圆的周长和面积同时平分，那么称这个函数为这个圆的“优美函数”.则下列说法中正确的有（
）
A．对于一个半径为1的圆，其“优美函数”仅有1个
B．函数 可以是某个圆的“优美函数”
C．若函数 是“优美函数”，则函数 的图象一定是中心对称图形D．函数 可以同时是无数个圆的“优美函数”
【解析】对于A，过圆心的任一直线都可以满足要求，故A错误；
对于B，函数 为奇函数，关于原点对称，可以是单位圆的“优美函数”，故B正确；
对于C，函数y=f(x)的图象是中心对称图形，函数一定是“优美函数”，但“优美函数”不一定是中心对
称函数，如图，故C错误；
对于D，函数 关于原点对称，是圆 ，的“优美函数”，满
足无数个，故D正确.
故选：BD.
15．德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，狄利克雷函数就以其名命名，其解析式为
为有理数， 为无理数），关于函数 ，下列说法正确的是（ ）．
A． 既不是奇函数，也不是偶函数 B． ，
C． 是周期函数 D． ，使得
【解析】因为有理数的相反数还是有理数，无理数的相反数还是无理数，所以对 ， ，
故 是偶函数，故A错误；当 为有理数时， ，当 为无理数时， ，当 为有理数时，
，当 为无理数时， ，所以 恒成立，B正确；若 是有
理数， 是有理数，则 是有理数；若 是无理数， 是有理数，则 是无理数，所以任取一个不为0的有理数 ， 恒成立，即 是周期函数，故C正确；若 ， 为无理数，则 也
为无理数，所以 ，故D正确．
故选：BCD
16．函数 满足条件：①对定义域内任意不相等的实数 ， 恒有 ；②对定义域内
任意两个实数 ， 都有 成立，则称为 函数，下列函数为 函数的是
（ ）
A． B．
C． ， D． ，
【解析】因为对定义域内任意不相等的实数 ， 恒有 （a） （b） ，
所以 是增函数，
因为对定义域内任意两个实数 ， 都有 成立，
所以 为上凸函数，
对于 ，函数 是增函数，且 成立，所以函数为 函数，故选项 正
确；
对于 ，函数 是增函数，且函数的图象是上凸函数，所以函数为 函数，故选项 正确；
对于 ，函数 ， 是增函数，且函数的图象是上凸函数，所以函数为 函数，故选项
正确；
对于 ，函数 ， 是增函数，但是函数的图象是下凹函数，所以函数不是 函数，故选项
错误．
故选： ．17．已知函数 ，如果函数 满足对任意 ，都存在 ，使
得 ，称实数 为函数 的包容数，下列数中可以为函数 的包容数的是（ ）
A． B． C． D．
【解析】记 的值域为 ， 的值域为 ，由题意可知： ；
对于A，当 时， ； ；
则 ， ，满足 ，A正确；
对于B，当 时， ， ；
则 ， ，满足 ，B正确；
对于C，当 时， ， ；
则 ， ，满足 ，C正确；
对于D，当 时， ； ；
则 ， ，不满足 ，D错误.
故选：ABC.
18．若正整数 ， 只有1为公约数，则称 ， 互质.对于正整数 ， 是小于或等于 的正整数中与
互质的数的个数，函数 以其首名研究者欧拉命名，称为欧拉函数，例如： ， ，
，则下列说法正确的是（ ）A． B．
C．数列 为等比数列 D． ，
【解析】因为 ，故A正确；
因为当 时， ，故B不正确；
因为与 互质的数为1，2，4，5，7，8，10，11，…， ， ，共有 个，
所以 .则数列 为等比数列，故C正确；
因为 ，故D不正确；
故选：AC
三、填空题
19．若存在常数k和b，使得函数 和 对其公共定义域上的任意实数x都满足： 和
恒成立（或 和 恒成立），则称此直线 为 和 的
“隔离直线”．已知函数 ， ，若函数 和 之间存在隔离直线
，则实数b的取值范围是______．
【解析】因为函数 和 之间存在隔离直线 ，
所以当 时，可得 对任意的 恒成立，
则 ，即 ，所以 ；
当 时，对 恒成立，即 恒成立，
又当 时， ，当且仅当 即 时等号成立，所以 ，
综上所述，实数 的取值范围是 .20．如果函数 在其定义域上有且仅有两个不同的数 ，满足 ，那么就称函数
为“单值函数”，则下列四个函数：① ；② ；③ ；
④ .其中为“单值函数”的是______．(写出所有符合题意的函数的序号)
【解析】① ，
，方程只有一个解，
故该函数不为“单值函数”；
② ，
，∵x≠0，故方程无解，该函数不是“单值函数”；
③ ，
当 时， ， ；
当 时， ，
，
故f(x)在其定义域上有且仅有两个不同的数 ，满足 ，故该函数为“单值函数”；
④ ，
，
方程有无数个解，故该函数不是“单值函数”﹒故选：③．
21．若函数 的定义域为 ，且满足如下两个条件：① 在 内是单调递增函数；②存在，使得 在 上的值域为 那么就称函数 为“希望函数”，若函数
是“希望函数”，则实数 的取值范围为___________.
【解析】∵函数 是“希望函数”，
∴ ，即 有两个解，
∴m，n是方程 的两个不等的实根，设 ，则 ，
∴方程等价为 的有两个不等的正实根，
即 ，∴ ，解得 ，故答案为： .
22．若函数 在区间 上，对 ， ， ， 为一个三角形的三边长，则称函数
为“三角形函数”.已知函数 在区间 上是“三角形函数”，则实数 的取值范
围为____
【解析】 ，
令 ，得 ，令 ，得 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 在区间 上的值域为 ，因为函数 在区间 上是“三角形函数”，
所以 ，解得 .
四、解答题
23．函数 的定义域为 ，且存在唯一常数 ，使得对于任意的x总有 ，成立．
(1)若 ，求 ；
(2)求证：函数 符合题设条件．
【解析】(1)因为 ，所以 ，
又 ，所以 ，又 ，所以 ，
所以
(2)因为 的定义域为 ，
假设存在常数 满足 ，即 ，所以 ，
设 ，显然 在 上单调递增，又 ， ，
所以存在唯一的常数 使得 ，即存在唯一的常数 使得函数
符合题设条件；
24．已知函数 和 的定义域分别为 和 ，若对任意的 ，都恰好存在n个不同的实数
，使得 （其中 ），则称 为 的“n重覆盖函数” .
(1)判断下面两组函数中， 是否为 的“n重覆盖函数”，并说明理由；
① ， ，“4重覆盖函数”；② ， ，“2重覆盖函数”；
(2)若 ， 为 ， 的“9重覆盖函数”，求 的最大值.
【解析】(1)①：当 时， ，根据余弦函数的图象可知，
是 的“4重覆盖函数”；
②：由 可知： ，函数 的图象如下图所示：
当 时， ，当 ，
所以 不是 的“ 重覆盖函数”；
(2)因为 ，所以 ，因为 ，
所以当 时， ，当 时， ，
函数 和函数 都是单调递减函数，故该函数单调递减，
当 时， ，
函数 是单调递增函数，函数 是单调递减函数，而函数 递增的速度快于函数
递减的速度，所以函数单调递增，而函数 的最小正周期为： ，
因此函数 ， 的图象如下图所示：因此要想 ， 为 ， 的“9重覆盖函数”，只需
，所以 的最大值 .
25．已知O为坐标原点， ，对于函数 ，称向量 为函数 的伴
随向量，同时称函数 为向量 的伴随函数.已知函数 ，
(1)求 的伴随向量 ，并求 .
(2)关于x的方程 在 内恒有两个不相等实数解，求实数 的取值范围.
(3)将函数 图象上每一点纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，再把整个图象向左平移 个单位长度
得到函数 的图象，已知 ， ，在函数 的图象上是否存在一点P，使得 ，若
存在，求出点P坐标；若不存在，说明理由.
【解析】(1)因为
，所以 ， .
(2)因为关于x的方程 在 内恒有两个不相等实数解，
所以 的图象与直线 在 内恒有两个不同的交点，的图象如图：
由图可知， .
(3)依题意可得 ，
， 的中点为 ，
假设在函数 的图象上是否存在一点 ，使得 ，则点 在以 为直径的圆上，该圆的
圆心为 ，半径为 ，所以 ，即 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，又 ，所以 ，所以 ，
所以 ，所以 ，所以 .
综上所述：在函数 的图象上是否存在一点P，使得 ，且 .
26．若函数 和 的图象均连续不断， 和 均在任意的区间上不恒为0， 的定义域为 ，
的定义域为 ，存在非空区间 ，满足： ，均有 ，则称区间A为
和 的“ 区间”
(1)写出 和 在 上的一个“ 区间”，并说明理由；(2)若 ，且 在区间 上单调递增， 是 和 的“ 区间”，证明：
在区间 上存在零点.
【解析】(1) ， ，
令 则 ，因为 ，所以 ，
，即 ，
，所以 ，令 ，解得 ， ，
和 在 上的一个“ 区间”为
（答案为 的非空子集都可）
(2) 是 和 的“ 区间”， 均有
在区间 上单调递增，而 ，则
又 ，则
在 内有零点， 在区间 上存在零点.
27．对于函数 ，若在其定义域内存在实数 ，t，使得 成立，称 是“t跃
点”函数，并称 是函数 的“t跃点”．
(1)若函数 ，x∈R是“ 跃点”函数，求实数m的取值范围；
(2)若函数 ，x∈R，求证：“ ”是“对任意t∈R， 为‘t跃点’函数”的充要
条件；(3)是否同时存在实数m和正整数n使得函数 在 上有2021个“ 跃点”？若存在，
请求出所有符合条件的m和n的值；若不存在，请说明理由．
【解析】(1)由已知得存在实数 ，使得 ，
∴ ，
∴实数m的取值范围是 .
(2)由题意得“对任意t∈R， 为‘t跃点’函数”等价于：
对是任意实数 ，关于 的方程 都有解，
则对于 时有解，即 ,∴ ；
反之，当 时， , 等价于
，显然， 是此方程的解，故此方程对于任意实数 都有实数解.
综上所述，“ ”是“对任意t∈R， 为‘t跃点’函数”的充要条件；
(3)由已知得， ，
化简得 ， 的最小正周期为 ；
根据函数 在 上的图象可知：
①当 时，在 有 个“ 跃点”，故不可能有2021个“ 跃点”；
②当 时，在 有 个“ 跃点”，此时 ；
③当 或 时，在 上有 个“ 跃点”，故 ；综上： 或 或 .
28．对于函数 ，若存在正常数 ，使得对任意的 ，都有 成立，我们称
函数 为“ 同比不减函数”.
(1)判断函数 是否为“ 同比不减函数”？并说明理由；
(2)若函数 是“ 同比不减函数”，求实数 的取值范围；
(3)是否存在正常数 ，使得函数 为“ 同比不减函数”？若存在，求 的取值范围；
若不存在，请说明理由.
【解析】(1)依题意 ，函数 不是“ 同比不减函数”，理由如下：
， 不恒大于零，
所以 不恒成立，所以函数 不是“ 同比不减函数”.
(2)函数 是“ 同比不减函数”，
恒成立， ，
，由于 ，所以 .
所以 的取值范围是 .
(3)存在，理由如下： ，
画出 的图象如下图所示， 的图象是由 的图象向左平移 个单位所得，由图可知，当 时，对任意的 ，都有 成立，
所以存在正常数 ，使得函数 为“ 同比不减函数”，且 .
29．若函数 自变量的取值区间为[a, b]时，函数值的取值区间恰为 ，就称区间[a, b]为
的一个“和谐区间”．已知函数 是定义在R上的奇函数，当 时， ．
(1)求 的解析式；
(2)求函数 在 内的“和谐区间”；
(3)若以函数 在定义域内所有“和谐区间”上的图像作为函数 的图像，求函数 的值域
【解析】(1)因为 为R上的奇函数，则 ，
设 ，则 ， ；
(2)设 ，由 在 上递单调递减，
可得 ，即 是方程 的两个不等正根．
∵ ∴ ∴ 在 内的“和谐区间”为 ．
(3)设[a, b]为 的一个“和谐区间”，则 ，∴ a，b同号．当 时，同理可求 在 内的“和谐区间”为 ．
， 的值域是
30．对于定义域为 的函数 ，如果存在区间 ，同时满足：① 在 内是单调增
函数；②当定义域是 时， 的值域是 ，则称 是该函数的“翻倍区间”．
(1)证明： 是函数 的一个“翻倍区间”；
(2)判断函数 是否存在“翻倍区间”？若存在，求出所有“翻倍区间”；若不存在，请说明理由；
(3)已知函数 有“翻倍区间” ，求实数 的取值范围．
【解析】(1)证明：由函数 在 上单调增函数知， 的值域为 ，
故 是函数 的一个“翻倍区间”；
(2)假设 存在一个“翻倍区间” ，由函数 是 上的单调增函数，有
解得 ， ，
由 知所有“翻倍区间”为 ；
(3)由函数 有“翻倍区间” 知， 为 上的单调增函数，
而 ，可得 ，解得 ，
由 知 可得 ， 是方程 的两个根，
等价于方程 在 上有两个不等实根或者在 上有两个不等实根，即方程 在 上有两个不等实根或者在 上有两个不等实根，
则有 或 ，
解得 或 ，
综上，实数 的取值范围为 ．
31．根据人教2019版必修一P87页的13题介绍： 函数 的图象关于点 成中心对称图形的
充要条件是函数 为奇函数．
题：设函数 ，且 ， (其中 是常数)， 函数 ．
(1)求 的值， 并证明 是中心对称函数;
(2)是否存在点 ，使得过点 的直线若能与函数 围成两个封闭图形，则这两个封闭图形的面积总
相等？若存在，求出点 的坐标；若不存在，说明理由．
【解析】(1)∵函数 ，且 ，
，∴ ，所以 ；
依题假设存在点 使函数 为奇函数，
则 对 恒成立，
， ， ，
， ，，对 恒成立， ， ，
∴对于 存在 ，使函数 为奇函数，
∴ 是以 为对称中心的中心对称函数.
(2)设 ，
所以 即
，即 关于 对称，
又 ， ， 的对称中心是 ，
依题意，使得过点 的直线若能与函数 围成两个封闭图形，则这两个封闭图形的面积总相等，则
直线必过 的对称中心，所以所求为 ；
32．定义：如果函数 在定义域内的给定区间 上存在 （ ），满足
，则称函数 为 上的“平均值函数”， 为它的平均值点．
(1)函数 是否为 上的“平均值函数”？如果是，请求出它的平均值点；如果不是，请说明理由．
(2)若函数 是 上的平均值函数，求实数 的取值范围．
【解析】(1)函数 是 上的“平均值函数”．
令 ，因为 ，
设 是它的平均值点，则有 ，解得 ， ，
故 为 上的“平均值函数”，1是它的平均值点．(2)令 ， ，
设 是它的平均值点，则 ，即 ，
整理得 ．
令 ，则 ，则需方程 在 上有解，
令 ， ， ，
①当 在 内有一个实根时， ，即 ，
解得 ，或 ；
②当 在 内有两个不等的实根时，需满足 ，
可得 ，无解．
综上，实数 的取值范围是 ．
