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专题 18 数列的通项公式和数列求和
【考纲要求】
掌握数列求和的几种基本方法．
【思维导图】
【考点总结】
一、倒序相加法
如果一个数列{a}的前n项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的
n
前n项和即可用倒序相加法，如等差数列的前n项和即是用此法推导的．
二、错位相减法
如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即
可用此法来求，如等比数列的前n项和就是用此法推导的．
三、裂项相消法
把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．
裂项相消求和经常用到下列拆项公式：(1)＝－；
(2)＝；
(3)＝－．
【思维导图】
【考点总结】
一、分组求和法
分组求和一般适用于两种形式：
(1)若a＝b±c，且{b}，{c}为等差或等比数列，可采用分组求和法求{a}的前n项和；
n n n n n n
(2)通项公式为a＝的数列，其中数列{b }，{c}是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和．
n n n
二、并项求和法
一个数列的前n项和，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如a＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求
n
解．
【题型汇编】
题型一：倒序相加法数列的前n项和
题型二：错位相减法数列的前n项和
题型三：裂项相消法数列的前n项和
题型四：分组并项法数列的前n项和
题型五：数列求和的其他方法
【题型讲解】
题型一：倒序相加法数列的前n项和
1．（2022·甘肃省武威第一中学模拟预测（文））已知函数 ，则
______．
【答案】4043
【解析】
【分析】
根据题意，化简得到 ，结合倒序相加法求和，即可求解.
【详解】由题意，函数 ，
可得
，
设 ，
则
两式相加，可得
，
所以 .
故答案为： .
2．（2022·江西萍乡·二模（理））已知函数 ，等差数列 满足 ，则
__________．
【答案】 ##
【解析】
【分析】
利用倒序相加法求得正确答案.
【详解】
.
依题意 是等差数列，
令 ，，
结合等差数列的性质，两式相加得 .
故答案为： .
3．（2022·四川遂宁·三模（文））德国大数学家高斯年少成名，被誉为数学届的王子，19岁的高斯得到了
一个数学史上非常重要的结论，就是《正十七边形尺规作图之理论与方法》，在其年幼时，对
的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定
的规律生成，因此，此方法也称之为高斯算法，现有函数 ，设数列 满足
，若存在 使不等式 成立，则
的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意先求 ，然后利用倒序相加法求 ，则由 可得
，求出 的最小值即可求得 的取值
范围
【详解】
因为 ，
所以 ，
由 ，
，
所以 ，所以 ，所以由 ，得 ，
，
，
所以 ，
令 ，（ ）则当 ， 递减，当 时， 递增，
因为 ，
所以 ，
所以 ，
即 的取值范围是 ，
故答案为：
4．（2022·黑龙江齐齐哈尔·三模（文））已知数列 的前n项和为 ，且 ，设函
数 ，则 ______．
【答案】 ##
【解析】
【分析】
根据 可求 ，从而可求 .易验证 ，故可采用倒序相加法求题设式
子的值．
【详解】∵ ①，
∴当 时， ②，
①－②得 ，∴ ；
当 时， ，∴ ，此时 仍然成立，
∴ ．
∴当n=1时， ；
当 时， ，
当n=1时，上式也成立，故 ．
由于 ，
设
则 ，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】
本题关键是熟练掌握利用前n项和与通项公式的关系求得 ，观察猜测并发现 为定值，从
而利用倒序相加法即可求和．
题型二：错位相减法数列的前n项和
一、单选题1．（2022·广东·三模）在数学和许多分支中都能见到很多以瑞士数学家欧拉命名的常数､公式和定理，如：
欧拉函数 （ ）的函数值等于所有不超过正整数n且与n互素的正整数的个数，（互素是指两个
整数的公约数只有1），例如： ； （与3互素有1､2）； （与9互素有1､2､4､5､7､
8）.记 为数列 的前n项和，则 =（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据欧拉函数定义得出 ，然后由错位相减法求得和 ，从而可得 ．
【详解】
因为与 互素的数为1，2，4，5，7，8，10，11， ， ，共有 ，所以 ，则
，
于是 ①，
②，
由①-②得 ，
则 .于是 .
故选：A．
二、填空题
1．（2022·山东聊城·二模）已知数列 ，当 时， ，则数列 的前 项的和
为______．【答案】
【解析】
【分析】
分别取 、 、 、 时，满足 的项数，计算得出 ，利用错位相减法可求得数列 的
前 项的和.
【详解】
当 时， ，共 项，
当 时， ，共 项，
当 时， ，共 项，
当 时， ，共 项，又因为 ，
所以，数列 的前 项的和为 ，
记 ，
则 ，
上述两个等式作差可得 ，
所以， ，
因此，数列 的前 项的和为 .
故答案为： .
2．（2022·陕西·安康市高新中学三模（文））已知 为等差数列 的前n项和， ， ，设
，且数列 的前n项和为 ，则使 恒成立的实数 的取值范围是______．【答案】
【解析】
【分析】
先求得数列 的通项公式，由此求得 ，利用错位相减求和法求得 ，由 分离常数 ，从而
求得 的取值范围.
【详解】
设 的公差为d，由 ，得 ，解得 ，
故数列的通项公式为 ，所以 ．
则 ①，
②，
由①－②得 ，
所以 ．
因为 等价于 恒成立，
而 ，
所以 ．
故答案为：
3．（2022·陕西·略阳县天津高级中学二模（理））已知数列 满足 ， ，则数
列{ }的前9项和为______________．【答案】8149
【解析】
【分析】
利用通项公式求出 ，然后利用错位相减求和即可.
【详解】
由题可知： ，所以 是以 为首项，2为公比的等比数列，所以 ，
所以 ，设 的前9项和为 ， 的前9项和为
所以 ①，
②，
①-②得 ，
所以
．
故答案为：8149.
三、解答题
1．（2022·河北邯郸·二模）已知等比数列{ }的公比 ，且 ， ．
(1)求数列{ }的通项公式；
(2)设数列{ }的前n项和为 ，求数列{ }的前n项和．
【答案】(1) ；
(2) .
【解析】
【分析】（1）根据等比数列的通项公式进行求解即可；
（2）利用错位相消法进行求解即可.
(1)
由 ，或 （舍去），
所以 ；
(2)
由（1）可知 ，所以 ，
所以 ，设数列{ }的前n项和为 ，
，
，
，得 ，
即 .
2．（2022·河南许昌·三模（文））已知等差数列 的前n项和为 ，数列 满足
．
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前n项和 ．
【答案】(1) ，
(2)
【解析】【分析】
（1）设等差数列 的公差为 ，由 可求出 ，从而得出 的通项公式，根据等比数列的定义
可求出数列 的通项公式；
（2）根据错位相减法即可求出．
(1)
设等差数列 的公差为 ， ，解得 ，所以 ；
又 ，所以数列 是以 为首项， 为公比的等比数列，即 ．
(2)
因为 ，
所以， ①
②.
①－②得，
， .
3．（2022·江西·二模（文））已知等比数列 的前n项和为 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，求数列 前n项和 ．
【答案】(1)
(2)【解析】
【分析】
（1）根据 求出 通项，再验证 即可
（2）先求出 的通项公式，再用错位相减求和法求 前n项和 即可
(1)
由 得
相减得
当 时， 也满足上式，
∴ ．
(2)
由
①
②
①-②得
∴
4．（2022·广东·华南师大附中三模）已知等差数列 中， ， ，且 .
(1)求数列 的通项公式及前2n项和；(2)若 ，记数列 的前n项和为 ，求 .
【答案】(1) ，数列 的前2n项和为
(2)
【解析】
【分析】
（1）结合 ， 求得等差数列 的通项公式，即可得 的通项公式，利用分组求和的方法，
根据等差数列和等比数列的前n项和公式求解即可；
（2）由（1）可知 ，利用错位相减法求解即可.
(1)
设等差数列 的公差为d，则 ，
所以 ，从而 ．
.
(2)
∵ ，
∴ ，
，
相减得， ，，
即 .
题型三：裂项相消法数列的前n项和
一、单选题
1．（2022·广西柳州·三模（理））我国古代数学名著《九章算术》中，有已知长方形面积求一边的算法，
其方法的前两步为：
第一步：构造数列1， ．
第二步：将数列的各项乘以n，得数列(记为)a，a，a，…，an．
1 2 3
则aa＋aa＋…＋a a 等于（ ）
1 2 2 3 n-1 n
A．n2 B．(n－1)2 C．n(n－1) D．n(n＋1)
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意可得 ，再利用裂项相
消求和法可求得结果
【详解】
故选：C．2．（2022·陕西·西安中学三模（文））数列 ， 满足 ， ， ，则 的
前10项之和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
求出 的通项，利用裂项相消法可求前10项之和.
【详解】
因为 ， ，故 ，
故 的前10项之和为 ，
故选：D.
3．（2022·广东广州·三模）已知数列 满足 ， ，则数列 的前2022项和
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由已知可得出 为等差数列，即可求出 ，进而得出 ，利用裂项相消法可求出.
【详解】
当 时， ；当 时 .
所以 ，所以 .
因为 ，所以 ，
所以 是一个首项为3，公差为1的等差数列，所以 ，故 .
所以 ，
所以 .故选：A
4．（2022·云南·二模（文））设等差数列 的前n项和为 ．若 ， ，则数列 的前
项和是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
设等差数列的公差为 ，进而得 ， ，故 ，再根据裂项求和
求解即可.
【详解】
解：设等差数列的公差为 ，
因为 ， ，则 ，解得
所以 ，所以 ，
所以数列 的前 项和为：故选：B
5．（2022·黑龙江·哈尔滨三中二模（文））数列 中， ， ，
.当 时，n等于（ ）
A．98 B．99 C．100 D．101
【答案】B
【解析】
【分析】
根据累加法求出数列 的通项公式，再利用裂项相消法求出 ，
结合 即可求解.
【详解】
由 ，得 ，
.
当 时，此式也满足 ，故数列 的通项公式为：
.
.
又因为 ，所以 ，解得 .
故选：B.二、解答题
1．（2022·江西萍乡·三模（文））已知正项数列 的前 项和 满足： .
(1)求数列 的通项公式；
(2)令 ，求证：数列 的前 项和 .
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）利用 可证 是首项为 ，公比为 的等比数列；（2）整理
，利用裂项相消求和证明．
(1)
由题意： ，
当 时，可得 ，
两式相减得到
又 ， 是首项为 ，公比为 的等比数列
的通项公式为 .
(2)
由题意知，2．（2022·山东威海·三模）已知等比数列 的各项均为正值， 是 、 的等差中项， ，记
．
(1)求数列 和 的通项公式；
(2)设数列 的前 项和为 ，证明： ．
【答案】(1) ，
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）设数列 的公比为 ，则 ，根据题意可得出关于 、 的方程组，解出这两个量的值，即可
求得数列 和 的通项公式；
（2）求得 ，利用裂项相消法可证得结论成立.
(1)
解：设数列 的公比为 ，则 ，
由题意知 ，可得 ，解得 ，
所以， ， ．
(2)
证明：因为 ，所以 .
2．（2022·黑龙江·哈尔滨三中三模（理））等比数列 中，首项 ，前n项和为 ，且满足
.
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前n项和 .
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）设数列 公比为q，根据通项公式列式求出 ，即可得解；
（2）根据 进行裂项求和可求出结果.
(1)
设数列 公比为q，由 ， ，可得 ，
化简得 ，即 ，所以 .
(2)
，
则 .
3．（2022·宁夏石嘴山·一模（文））已知 为等比数列，前n项和为 ， ， .(1)求 的通项公式及前n项和 ；
(2)若 ，求数列 的前100项和 .
【答案】(1) ；
(2)
【解析】
【分析】
（1）设公比为 ，依题意根据等比数列通项公式得到方程求出 ，即可求出 与 ；
（2）由（1）可得 ，利用裂项相消法求和即可；
(1)
解：设公比为 ，
∵ ， ，∴ ，∴ ，
∴ ；
(2)
解：∵ ，
∴ ，
∴ .
4．（2022·内蒙古通辽·二模（理））已知数列 的前 项和为 ，且 .
(1)证明： 为等比数列.(2)若 ，求数列 的前 项和 .
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）由 可求得 的值，令 ，由 可得 ，两式作差可推导出数列 为
等比数列；
（2）求出 ，利用裂项相消法可求得 .
(1)
证明：因为 ，所以当 时， ，可得 ；
当 时，由 可得 ，
所以 ，所以 .
即 是首项为 ，公比为 的等比数列，所以， .
(2)
解：由（1）知 ，
所以 .
题型四：分组并项法数列的前n项和
一、单选题
1．（2022·广东·华南师大附中三模）已知数列 满足 ， ， ，数列 的前n
项和为 ，则 （ ）
A．351 B．353 C．531 D．533【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意讨论 的奇偶，当 为奇数时，可得 ，按等差数列理解处理，当 为偶数时，可得
，按并项求和理解出来，则 按奇偶分组求和分别理解处理．
【详解】
依题意， ，
显然，当n为奇数时有 ，
即有 ， ，…， ，
令 ，故 ，
所以数列 是首项为1，公差为3的等差数列，
故 ；
当n为偶数时有 ，
即 ， ，…， ，
于是，
，
故选：B．
2．（2022·四川·仁寿一中二模（理））数列{ }中， ，前 和为 ，则 为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【解析】
【分析】
利用数列通项公式求和，然后可得答案.
【详解】
解：由题意得：
故选：C
3．（2022·福建漳州·二模）已知 是数列 的前n项和， ， ， ，记
且 ，则 （ ）
A．171 B．278 C．351 D．395
【答案】C
【解析】
【分析】
通过 得出数列 隔两项取出的数是等差数列，按照等差数列求和和分组求和计算得出答案.
【详解】
由 ， ，
是首项为1，公差为2的等差数列， 是首项为2，公差为2的等差数列，
是首项为3，公差为2的等差数列，
.
故选：C.
4．（2022·陕西·西安中学二模（理））已知数列 满足 ， ，则数列 的前 项和 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
将递推公式变形，可得数列相邻奇数项和相邻偶数项的和的通项公式，再求前40项的和.
【详解】
由题意可得， ，两式相减得： ， ，两式相加得：
，故
.
故选：A
【点睛】
关键点点睛：将两式相减得相邻奇数项的和，将第一个式子中的 换成 ，再与第二个式子相加，得相
邻偶数项的和，最后再计算前40项的和.
二、解答题
1．（2022·上海松江·二模）在等差数列 中，已知 ， ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)若数列 是首项为1，公比为3的等比数列，求数列 的前 项和 ．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】（1）通过基本量列方程组求解可得；
（2）先求 通项，结合（1）可得 通项，然后分组求和可得.
(1)
设等差数列 的公差为 ，
由 ，
可得 ，
解得 ，
∴ ；
(2)
∵数列 是首项为1，公比为3的等比数列，
∴ ，
又 ，可得 ，
所以
．
2．（2022·广东韶关·二模）已知数列 前 项和为 ，
(1)证明：
(2)设 求数列 的前 项和 ．
【答案】(1)证明见解析
(2)【解析】
【分析】
（1）根据 与前 项和为 的关系， 即可证明结果；
（2）由（1），对 分奇数和偶数两种情况讨论，可得 ，由此可得 ，
再根据分组求和即可求出结果.
(1)
解：由题可知 ，
当 时，解得 ，所以
又因为 ，
将其与 两式相减得： ，
因为 ，有 .
当 时，上式也成立，
综上， .
(2)
解：当n为大于1的奇数时，
有 ， ， ，…，
累加得
又 满足上式，所以n为奇数时 ；
当n为大于2的偶数时，有 ， ， ，…，
累加得 ， 满足上式，又 ，
综上可知.
3．（2022·重庆·二模）设 为数列 的前 项和，已知 ， .若数列 满
足 ， ， .
(1)求数列 和 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项的和 .
【答案】(1) ，
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据 求解 的通项，根据 ，可得 为等比数列，求解计算即可；（2）根
据通项采用分组求和即可.
(1)
由 ， ①，得：
当 时， ,解得 或 （负值舍去），
当 时， ②，
得： ，所以 ，所以数列 是以3为首项，2为公差的等差数列.
所以 .
因为数列 满足 ， ， .
所以数列 是等比数列，首项为2，公比为2.
所以 .
(2)
因为 ，所以 ，
所以
.
4．（2022·陕西宝鸡·三模（文））已知数列 中 ，且 .记
(1)求证：数列 是等比数列；
(2)若数列 的前 项和为 ，求数列 的前 项和.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】
【分析】（1）由递推公式代入可得 ，即可证明 是以2为首项，2为公比的等比数列.
（2）先求出 ，再由分组求和法求出数列 的前 项和.
(1)
证明：由 ，得 ，
又 ，所以 是以2为首项，2为公比的等比数列.
(2)
由（1）知， ，
令数列 的前 项和为 ，由 知
.
题型五：数列求和的其他方法
一、单选题
1．（2022·宁夏·石嘴山市第三中学三模（文））已知数列 的前n项之和 ，则
的值为
A．61 B．65 C．67 D．68
【答案】C
【解析】
【分析】
首先运用 求出通项 ，判断正负情况，再运用 即可得到答案．
【详解】
当 时， ，
当 时， ，故 ，
据通项公式得
．
故选C．
【点睛】
本题主要考查数列的通项与前n项和之间的关系式，注意 的情况，是一道基础题．
二、多选题
1．（2022·重庆·三模）数列 依次为：1， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，
， ， ， ，…，其中第一项为 ，接下来三项均为 ，再接下来五项均为 ，依此类推.记 的前
项和为 ，则（ ）
A． B．存在正整数 ，使得
C． D．数列 是递减数列
【答案】ACD
【解析】
【分析】
根据数列的规律即可求出 ，即可判断A选项；求出数列的通项公式，做差法推出矛盾即可说明B选项；
求出数列的前n项和公式，做差法即可说明C选项；根据数列单调性的概念，比较 即可判断D选项.
【详解】
A：由数列可知 占了数列的 项，且相对应的 项的和为1，
， ，所以 ，故 ，故A正确；
B：若 ，则 ，故 ，即 ，与
矛盾， 故B错误；
C： 若 ，则 ，
而 ，
若 ，则 ，故 ；
若 ，则 ，
故 ，
即 ，因为 ，故 ，即 ，即
，综上： ，故C正确；
D：因为 ，则 ，
所以 ，
则，
所以 ，故数列 是递减数列，故D正确.
故选：ACD.
【点睛】
数列求和的方法技巧：
（1）倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和．
（2）错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和．
（3）分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和，或者奇偶项通项公式不同的数列，或
者周期性数列．
（4）裂项相消.
三、解答题
1．（2022·广东佛山·三模）设各项非零的数列 的前 项和记为 ，记 ，且满足
．
(1)求 的值，证明数列 为等差数列并求 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和 ．
【答案】(1) ；证明见解析；
(2)【解析】
【分析】
（1）依据题意列出关于 的方程即可求得 的值，依据等差数列的定义去证明数列 为等差数列，进而
求得 的通项公式；
（2）先求得数列 的通项公式，再分类讨论去求数列 的前 项和 ．
(1)
由题意可知， ，且 ，解得： 或 （舍去）
又当 时， ，所以有
化简得： ，所以数列 是以 为首项，以 为公差的等差数列
所以
(2)
由(1)可知
当 时，
当 时，
则 ，
①当 是奇数时，
②当 是偶数时，综上所述：
2．（2022·安徽省舒城中学模拟预测（理））已知数列 的前 项和为 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前 项和 ．
【答案】（1） ；（2）
【解析】
【分析】
（1）由 和 的关系式，得到 和 的递推关系式，从而得到 的通项公式；
（2）根据（1）中求得的 通项，求出 通项公式，然后分奇偶，分别求出其前 项的和 .
【详解】
（1）当 时， .
因为 ，所以 ，所以 .
因为 ，所以 .
两式相减，得 ，即
又因为 ，所以 .
所以数列 是以 为首项， 为公比的等比数列.
所以 .（2）由（1）可知
故当 为偶数时，
当 为奇数时，
所以
【点睛】
本题考查通过 与 的关系求通项公式，分奇偶求数列的前 项和，属于中档题.
