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2025-2026学年安徽省部分高中学校高三（上）期末数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．（5分）设集合A＝{y|y＝2x}，B＝{x|log |x|≤2}，则A∩B＝（ ）
2
A．[0，4] B．（0，4]
C．[﹣4，0）∪（0，4] D．[0，1]
2．（5分）已知z＝1+i（i为虚数单位），则|z2+i|＝（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（5分）直线l⊥平面 ，则经过l且和 垂直的平面（ ）
A．有1个 αB．有2个 α C．有无数个 D．不存在
4．（5分）若奇函数 f（x）在区间[1，2]上是增函数，且最小值为 3，则它在区间[﹣2，﹣1]上是
（ ）
A．增函数且有最大值﹣3 B．增函数且有最小值﹣3
C．减函数且有最大值﹣3 D．减函数且有最小值﹣3
5．（5分）（ ）
A． B．﹣1 C． D．
6．（5分）已知等差数列{a }满足a ＝2n﹣1，在a 和a 之间插入k个1，得到新数列{b }，则{b }的前
n n k k+1 n n
90项和为（ ）
A．168 B．188 C．212 D．222
7．（5分）在平面直角坐标系xOy中，设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，点A，B在C上，若OA⊥OB，
则|AF|•|BF|的最小值为（ ）
A．4 B．9 C．16 D．25
8．（5分）记△ABC的面积为S，若，且BC＝1，则的最小值为（ ）
A．﹣1 B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选
对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
（多选）9．（6分）已知圆，圆，则（ ）
A．C 的半径为4
1
B．若C ，C 相切，则m＝±4
1 2
C．当m＝2时，C ，C 相交弦所在直线的方程为2x﹣3y+5＝0
1 2
第1页（共16页）D．当m＝2时，C ，C 相交弦的长度为
1 2
（多选）10．（6分）已知双曲线的左、右焦点分别为F ，F ，其渐近线与圆M：x2+（y﹣2）2＝r2（r＞
1 2
0）相切，点N在C左支上，则（ ）
A．r＝1
B．直线MF 与C的右支恰有两个交点
2
C．△F MN周长的最小值为
2
D．|MN|的最小值为2
（多选）11．（6分）已知正方体ABCD﹣A B C D 的棱长为2，E为CD的中点，F在棱CC 上（不包括
1 1 1 1 1
端点），则（ ）
A．若F为棱CC 的中点，则平面ADF截正方体ABCD﹣A B C D 所得截面为矩形
1 1 1 1 1
B．若F为棱CC 的中点，则B，D 到平面ADF的距离之比为2
1 1
C．三棱锥D﹣AFD 的体积为定值
1
D．三棱锥A﹣DEF外接球表面积的最小值为13
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分π。
12．（5分）已知向量满足，则在方向上投影向量的坐标为 ．．
13．（5分）若函数的图象关于点（a，0）对称，则a+b＝ ．
14．（5分）已知函数f（x）＝（1﹣x）ex，点（a，b）在曲线y＝f（x）上，则f（a）﹣f（b）的最大值
为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤。
15．（13分）已知函数f（x）＝sin（ x+ ）（0＜ ＜2，0＜ ＜ ）的最小正周期为T，；f（x）的图象
关于点中心对称． ω φ ω φ π
（1）求f（x）的解析式；
（2）将f（x）的图象向右平移个单位长度，得到函数g（x）的图象，求满足g（x）≥f（x）的x的取
值范围．
16．（15分）已知数列{a }的前n项和为S ，且．
n n
（1）求{a }的通项公式；
n
（2）设b ＝a ，b ＝b +na ，求数列{b }的通项公式．
1 1 n+1 n n n
17．（15分）已知四棱锥S﹣ABCD的底面是边长为2的正方形，SA＝2，SA⊥平面ABCD，Q，P分别为
SB，AC的中点．
（1）证明：PQ∥平面SAD；
（2）求平面CPQ和平面SAD的夹角的余弦值；
第2页（共16页）（3）求异面直线AB，SD公垂线段的长度（同时和两条异面直线都垂直并相交的直线叫做异面直线的
公垂线，交点之间的距离就是公垂线段的长度）．
18．（17分）已知椭圆的右焦点为F，离心率为，圆O：x2+y2＝r2（r＞0），过F的直线与C交于A，B
两点，当直线AB垂直于x轴时，|AB|＝3．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）当r＝1时，设D在圆O上，且D也在AB上，判断是否存在点D满足|AD|＝|DB|，若存在，求直
线AB的方程；若不存在，说明理由；
（3）当时，直线AB交圆O于P，Q两点，求的最大值．
19．（17分）已知函数f（x）＝ln2x．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）若存在a R，使得关于x的方程f（x）＝ax+b有三个不同的实数根，求b的取值范围；
（3）若x＝1为∈函数g（x）＝f（x）﹣m（x﹣1）2的极小值点，求m的取值范围．
第3页（共16页）2025-2026学年安徽省部分高中学校高三（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B C C A A D D B
二．多选题（共3小题）
题号 9 10 11
答案 AC AC ACD
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．（5分）设集合A＝{y|y＝2x}，B＝{x|log |x|≤2}，则A∩B＝（ ）
2
A．[0，4] B．（0，4]
C．[﹣4，0）∪（0，4] D．[0，1]
【分析】化简集合，根据交集的概念求解．
【解答】解：由题A＝{y|y＝2x}＝{y|y＞0}，
B＝{x|log |x|≤2}＝[﹣4，0）∪（0，4]，
2
故A∩B＝（0，4]．
故选：B．
2．（5分）已知z＝1+i（i为虚数单位），则|z2+i|＝（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】利用复数的四则运算求出z2+i后，再由复数的模的公式即得．
【解答】解：由z＝1+i，
得z2+i＝（1+i）2+i＝1+2i+i2+i＝3i，
所以|z2+i|＝3．
故选：C．
3．（5分）直线l⊥平面 ，则经过l且和 垂直的平面（ ）
A．有1个 αB．有2个 α C．有无数个 D．不存在
【分析】由平面与平面垂直的判定定理得经过直线l的所有的平面都和平面 垂直．
【解答】解：∵直线l⊥平面 ， α
α
第4页（共16页）∴由平面与平面垂直的判定定理得经过直线l的所有的平面都和平面 垂直，
∴经过l且和 垂直的平面有无数个． α
故选：C． α
4．（5分）若奇函数 f（x）在区间[1，2]上是增函数，且最小值为 3，则它在区间[﹣2，﹣1]上是
（ ）
A．增函数且有最大值﹣3 B．增函数且有最小值﹣3
C．减函数且有最大值﹣3 D．减函数且有最小值﹣3
【分析】先利用奇函数的对称性，判断单调性，再根据单调性，判断最值出现在区间的端点即可．
【解答】解：因为奇函数的图像关于原点对称，
若f（x）在[1，2]上是增函数，根据奇函数的对称性可知，f（x）在[﹣2，﹣1]上是增函数，
因为f（x）在[1，2]上的最小值为3，即f（1）＝3，
根据奇函数性质f（﹣x）＝﹣f（x），可得f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣3，
又因为f（x）在[﹣2，﹣1]上是增函数，
所以在区间右端点x＝﹣1处取得最大值f（﹣1）＝﹣3．
故选：A．
5．（5分）（ ）
A． B．﹣1 C． D．
【分析】根据两角和的正切公式，即可求得答案．
【解答】解：因为tan45°＝1，
所以tan（15°+45°）＝﹣tan60°．
故选：A．
6．（5分）已知等差数列{a }满足a ＝2n﹣1，在a 和a 之间插入k个1，得到新数列{b }，则{b }的前
n n k k+1 n n
90项和为（ ）
A．168 B．188 C．212 D．222
【分析】设新数列{b }的前90项包含原数列{a }的前m项，得到新数列到a 为止的总项数为，确定出
n n m
新数列{b }的前90项包含原数列{a }的前12项和78个1，结合等差数列的求和公式，即可求解．
n n
【解答】解：设{b }的前90项包含原数列{a }的前m项，
n n
由于a
k
和a
k+1
之间插入k个1，可得在a
m
前插入的1的总数为1+2+⋯+（m﹣1），
则新数列{b }到a 为止的前的总项数为，
n m
当m＝12时，可得；
当m＝13时，可得，
第5页（共16页）所以新数列{b }的前90项包含原数列{a }的前12项和78个1，
n n
因为等差数列{a }满足a ＝2n﹣1，
n n
所以新数列{b }的前90项和为．
n
故选：D．
7．（5分）在平面直角坐标系xOy中，设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，点A，B在C上，若OA⊥OB，
则|AF|•|BF|的最小值为（ ）
A．4 B．9 C．16 D．25
【分析】结合抛物线的定义与向量垂直的条件，通过代数变形求最值．
【解答】解：由抛物线C：y2＝4x，得F（1，0），
设，且y ≠y ，
1 2
由OA⊥OB，得，解得y y ＝﹣16（y ，y ≠0），
1 2 1 2
则，
又，当且仅当y ＝4，y ＝﹣4或y ＝﹣4，y ＝4时取等号，
1 2 1 2
可得|AF|•|BF|≥17+8＝25．
故选：D．
8．（5分）记△ABC的面积为S，若，且BC＝1，则的最小值为（ ）
A．﹣1 B． C． D．
【分析】先求出角A，再用角B表示，即可求出最小值．
【解答】解：因为，且，
所以由，得，
所以，因为A （0， ），所以，
由正弦定理得∈：，所π以BA＝2sinC，
所以，
因为，
所以
，
因为，所以，所以，
所以，即的最小值为．
故选：B．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选
对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
第6页（共16页）（多选）9．（6分）已知圆，圆，则（ ）
A．C 的半径为4
1
B．若C ，C 相切，则m＝±4
1 2
C．当m＝2时，C ，C 相交弦所在直线的方程为2x﹣3y+5＝0
1 2
D．当m＝2时，C ，C 相交弦的长度为
1 2
【分析】将C 的一般方程化为标准方程后可判断A；根据相切得圆心距，再求出m后可判断B的正误；
1
两圆方程相减后得相交弦方程，故可判断C的正误；利用几何法求出弦长后可判断D的正误．
【解答】解：已知圆，圆；
对于A选项，，
化为标准方程为：（x+m）2+（y﹣5）2＝16，
所以C 的半径为4，故A选项正确；
1
对于B选项，由A的判断可得C （﹣m，5），
1
圆，化为标准方程为：，
则C （0，2）且C 的半径为1，
2 2
若C ，C 相切，则|C C |＝5或|C C |＝3，
1 2 1 2 1 2
故或，
解得m＝±4或m＝0，故B选项错误；
对于C选项，当m＝2时，将C ，C 两圆方程相减可得4x﹣6y+10＝0即2x﹣3y+5＝0，
1 2
故相交弦所在直线方程为2x﹣3y+5＝0，故C选项正确；
对于D选项，由C可得相交弦方程为2x﹣3y+5＝0，
故C （0，2）到直线l：2x﹣3y+5＝0的距离为，
2
所以C ，C 相交弦的长度为，故D选项错误．
1 2
故选：AC．
（多选）10．（6分）已知双曲线的左、右焦点分别为F ，F ，其渐近线与圆M：x2+（y﹣2）2＝r2（r＞
1 2
0）相切，点N在C左支上，则（ ）
A．r＝1
B．直线MF 与C的右支恰有两个交点
2
C．△F MN周长的最小值为
2
D．|MN|的最小值为2
【分析】根据直线的距离即可求解A，根据直线MF 的斜率与渐近线的斜率比较，即可求解B，根据
2
双曲线的定义，结合三点共线即可求解C，根据两点距离公式，结合二次函数的性质即可求解D．
第7页（共16页）【解答】解：由题意得C的渐近线为，圆心为（0，2），
由于C的渐近线与圆M：x2+（y﹣2）2＝r2（r＞0）相切，
所以，故A正确；
且M（0，2），F （2，0），得到直线MF 的斜率为﹣1，
2 2
因为直线MF 的斜率大于渐近线的斜率，
2
所以直线MF 与C的左、右支各有1个交点，故B错误；
2
而△F MN周长为，
2
当且仅当M，N，F 三点共线时等号成立，故C正确；
1
设N（x，y），所以，即，
可得，
所以|MN|的最小值为，故D错误．
故选：AC．
（多选）11．（6分）已知正方体ABCD﹣A B C D 的棱长为2，E为CD的中点，F在棱CC 上（不包括
1 1 1 1 1
端点），则（ ）
A．若F为棱CC 的中点，则平面ADF截正方体ABCD﹣A B C D 所得截面为矩形
1 1 1 1 1
B．若F为棱CC 的中点，则B，D 到平面ADF的距离之比为2
1 1
C．三棱锥D﹣AFD 的体积为定值
1
D．三棱锥A﹣DEF外接球表面积的最小值为13
【分析】根据线面平行和垂直的性质可判断A；π
根据相似即可求解B；
根据等体积法，结合体积公式即可求解C；
根据正切的两角差公式，结合外接球的性质即可求解D．
【解答】解：A选项：过F作BC的平行线交BB 于点G，所以G为BB 中点，
1 1
故FG∥AD，FG＝AD，所以四边形ADFG为截面，
AD⊥面ABB A ，AG 面ABB A ，所以AD⊥AG，故四边形ADFG为矩形，A正确；
1 1 1 1
⊂
第8页（共16页）B选项：连接BD ，DG交于点O，则B，D 到平面ADF的距离之比为，B错误；
1 1
C选项：由题易知三棱锥D﹣AFD 与A﹣DFD 的体积相等，
1 1
因为△DFD 的面积为定值，F到面ADD 的距离为定值，
1 1
所以三棱锥D﹣AFD 的体积为定值，C正确；
1
D选项：设FC＝x，所以，
当且仅当时，tan∠DFE取得最大值，
此时，由于∠DFE取到最大值，
所以sin∠DFE的最大值为，△DFE外接圆半径最小值为，
故三棱锥A﹣DEF外接球的半径为，
所以三棱锥A﹣DEF外接球表面积的最小值为4 （r2+1）≥13 ，D正确．
π π
故选：ACD．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（5分）已知向量满足，则在方向上投影向量的坐标为 （ 1 ， 1 ） ．．
【分析】根据投影向量公式计算求解．
【解答】解：∵，
，
∴在方向上投影向量的坐标为．
故答案为：（1，1）．
13．（5分）若函数的图象关于点（a，0）对称，则a+b＝ 2 ．
【分析】由题意得到f（x）+f（2a﹣x）＝0，代入解析式求解即可．
【解答】解：由题意得，f（x）+f（2a﹣x）＝0，所以|x﹣1|ln|2a﹣1﹣x|ln0，
即|x﹣1|ln|2a﹣1﹣x|ln恒成立，
所以|x﹣1|＝|2a﹣1﹣x|恒成立，得2a﹣1＝1，解得a＝1，
即|x﹣1|（lnln）＝0，恒成立，
因为|x﹣1|在定义域内不恒为0，
所以•1，
第9页（共16页）即（2b﹣x）（2b﹣2+x）＝x（2﹣x）恒成立，
整理得b2﹣b＝0，解得b＝1或b＝0，
当b＝0时，f（x）＝|x﹣1|ln的定义域为空集，舍去，
所以b＝1，a+b＝2．
故答案为：2．
14．（5分）已知函数f（x）＝（1﹣x）ex，点（a，b）在曲线y＝f（x）上，则f（a）﹣f（b）的最大值
为 1 ．
【分析】利用导数判断函数单调性，进而求解值域范围，计算得到结果．
【解答】解：由题意函数f（x）＝（1﹣x）ex，
对函数求导可得f′（x）＝﹣xex，
当x （0，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
当x∈（﹣∞，0）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；
所以∈f（x）≤f（0）＝1，
点（a，b）在曲线y＝f（x）上，则b （﹣∞，1]，所以f（a）﹣f（b）＝b﹣f（b）＝b+（b﹣1）eb，
设g（b）＝b+（b﹣1）eb，g′（b）＝∈ 1+beb，[g′（b）]′＝（b+1）eb，
当b （﹣1，1）时，g′（b）单调递增，当b （﹣∞，﹣1）时，g′（b）单调递减；
所以∈，故g（b）单调递增， ∈
故g（b）≤g（1）＝1，即f（a）﹣f（b）的最大值是1．
故答案为：1．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤。
15．（13分）已知函数f（x）＝sin（ x+ ）（0＜ ＜2，0＜ ＜ ）的最小正周期为T，；f（x）的图象
关于点中心对称． ω φ ω φ π
（1）求f（x）的解析式；
（2）将f（x）的图象向右平移个单位长度，得到函数g（x）的图象，求满足g（x）≥f（x）的x的取
值范围．
【分析】（1）根据列式算出，由f（x）的图象关于点对称，结合0＜ ＜2求得 ＝1，可得f（x）的
解析式； ω ω
（2）根据函数图象的平移变换，求出g（x）＝sin（x），然后根据三角恒等变换公式化简g（x）≥f
（x），得到，结合正弦函数的性质求出x的取值范围．
【解答】解：（1）根据f（x）的周期，可得f（）＝sin（ • ），
即sin（），即cos ，结合0＜ ＜ ，可得， ω φ
φ φ π
第10页（共16页）因为f（x）的图象关于点对称，
所以，
即，k Z，结合0＜ ＜2，解得 ＝1，可得；
（2）∈将f（x）的图象ω向右平移个ω单位长度，得到g（x）的图象，
所以，
可得g（x）≥f（x）即，
等价于，整理得，
所以sinx﹣cosx≥0，即，可得，k Z，
即，所以满足条件的x的取值范围∈为．
16．（15分）已知数列{a }的前n项和为S ，且．
n n
（1）求{a }的通项公式；
n
（2）设b ＝a ，b ＝b +na ，求数列{b }的通项公式．
1 1 n+1 n n n
【分析】（1）根据通项与前n项和的关系得到a
n
＝2a
n﹣1
，再根据等比数列通项公式求解；
（2）利用累加法和错位相减法求解．
【解答】解：（1）因为，所以当n≥2时，，
则，即a
n
＝2a
n﹣1
，
又因为，
所以数列{a }是以2为首项，2为公比的等比数列，
n
所以；
（2）因为，所以，
所以，
令，设数列{c }的前n项和为T ，
n n
则，①
，②
①﹣②得：，
所以，
所以，
又因为b ＝a ＝2，所以，
1 1
所以当n≥2时，，
又因为当n＝1时，b ＝2符合上式，
1
所以．
17．（15分）已知四棱锥S﹣ABCD的底面是边长为2的正方形，SA＝2，SA⊥平面ABCD，Q，P分别为
第11页（共16页）SB，AC的中点．
（1）证明：PQ∥平面SAD；
（2）求平面CPQ和平面SAD的夹角的余弦值；
（3）求异面直线AB，SD公垂线段的长度（同时和两条异面直线都垂直并相交的直线叫做异面直线的
公垂线，交点之间的距离就是公垂线段的长度）．
【分析】（1）连接BD，证得PQ∥SD，利用线面平行的判定定理，即可证得PQ∥平面SAD；
（2）以A为原点，建立空间直角坐标系，分别求得平面CPQ和平面SAD的一个法向量和，结合向量
的夹角公式，即可求解；
（3）过A作AM垂直于SD，证得AM为异面直线AB，SD的公垂线，在直角△SAD中，求得AM长度，
即可求解．
【解答】解：（1）证明：连接BD，因为P为AC的中点，且四边形ABCD为正方形，
所以P为BD的中点，又因为Q为SB的中点，所以PQ∥SD，
因为SD 平面SAD，PQ 平面SAD，
所以PQ⊂∥平面SAD； ⊄
（2）以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则C（2，2，0），P（1，1，0），Q（1，0，1），可得，
设平面CPQ的法向量为，
则，则，
取z＝1，可得x＝﹣1，y＝1，所以，
第12页（共16页）又由向量为平面SAD的一个法向量，
设平面CPQ与平面SAD的夹角为 ，
则， θ
所以平面CPQ与平面SAD的夹角的余弦值为．
（3）因为SA⊥平面ABCD，AB 平面ABCD，所以SA⊥AB，
又因为四边形ABCD为正方形，⊂所以AB⊥AD，
因为SA∩AD＝A，SA，AD 平面SAD，
所以AB⊥平面SAD， ⊂
过A作AM垂直于SD，即AM⊥SD，因为AM 平面SAD，所以AB⊥AM，
所以AM为异面直线AB，SD的公垂线， ⊂
在直角△SAD中，SA＝2，AD＝2，可得，
所以，
所以异面直线AB，SD的公垂线的长度为．
18．（17分）已知椭圆的右焦点为F，离心率为，圆O：x2+y2＝r2（r＞0），过F的直线与C交于A，B
两点，当直线AB垂直于x轴时，|AB|＝3．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）当r＝1时，设D在圆O上，且D也在AB上，判断是否存在点D满足|AD|＝|DB|，若存在，求直
线AB的方程；若不存在，说明理由；
（3）当时，直线AB交圆O于P，Q两点，求的最大值．
【分析】（1）由离心率和通径的计算即可求解；
（2）通过斜率为0，斜率不存在，和斜率存在且不为0三种情况讨论求解即可；
（3）①当直线AB的斜率为0时，得到，②当直线AB的斜率不为0时，设直线AB：x＝my+1，联立
椭圆方程，结合椭圆弦长公式和圆的弦长公式得到，再令t＝m2+1＞1，构造函数f（x）＝（2﹣x）
（x+3）2（0＜x＜1），求导确定单调性即可求解．
【解答】解：（1）由题可得，解得，
所以椭圆C的方程为；
（2）易知F（1，0），设D（x ，y ），显然当直线AB斜率为0时，不符合题意；
0 0
当直线AB斜率不存在时，D（1，0），满足题意，此时直线方程为x＝1；
当直线AB斜率存在时，如图，
第13页（共16页）设A、B两点的坐标分别为（x ，y ），（x ，y ），则x +x ＝2x ，y +y ＝2y ，
1 1 2 2 1 2 0 1 2 0
则，两式相减变形得，
又，
所以，因为，
即（x ﹣1）（x +4）＝0，解得x ＝1或x ＝﹣4，均不符题意，
0 0 0 0
综上所述，存在点D满足|AD|＝|DB|，此时直线AB的方程为x＝1；
（3）①当直线AB的斜率为0时，|AB|＝4，，所以，
②当直线AB的斜率不为0时，如图，
设直线AB：x＝my+1，
联立，化简得（3m2+4）y2+6my﹣9＝0，
所以，
则
，
圆心（0，0）到直线AB的距离，
则，
所以，
令t＝m2+1＞1，则，
设f（x）＝（2﹣x）（x+3）2（0＜x＜1），
则f′（x）＝﹣（3+x）2+（2﹣x）2（x+3）＝（x+3）（1﹣3x），
所以当时，f（x）取得极大值，也是最大值，
所以，
第14页（共16页）因为，所以的最大值为．
19．（17分）已知函数f（x）＝ln2x．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）若存在a R，使得关于x的方程f（x）＝ax+b有三个不同的实数根，求b的取值范围；
（3）若x＝1为∈函数g（x）＝f（x）﹣m（x﹣1）2的极小值点，求m的取值范围．
【分析】（1）确定函数的定义域，求出函数的导数，判断其正负，即可得答案；
（2）由题意可得方程有三个不同实数根，由此构造函数，讨论 b的取值范围，从而判断函数单调性，
即可求解；
（3）求出g（x）＝f（x）﹣m（x﹣1）2的导数，利用构造函数，结合分类讨论m的范围判断其单调
性，判断x＝1是否为函数g（x）＝f（x）﹣m（x﹣1）2的极小值点，即可确定答案．
【解答】解：（1）由题意知f（x）的定义域为（0，+∞），．
∴当x （0，1）时，f′（x）＜0，f（x）在（0，1）上单调递减，
当x （∈1，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）在（1，+∞）上单调递增，
∴f（∈x）在区间（0，1）上单调递减，在区间（1，+∞）上单调递增；
（2）依题意，方程有三个不同实数根，
设，则，
由于2lnx﹣ln2x＝﹣（lnx﹣1）2+1≤1，
当b≤﹣1时，F′（x）≤0，F（x）在（0，+∞）上单调递减，F（x）＝a至多有一个实数根，不符
合题意；
当b＞﹣1时，令2lnx﹣ln2x＝﹣b，则，
y＝2lnx﹣ln2x+b恰有两个零点，设为x ，x （x ＜x ），
1 2 1 2
令lnx＝t，则y＝2lnx﹣ln2x+b即y＝2t﹣t2+b，其两零点为t ＝lnx ，t ＝lnx ，
1 1 2 2
当t＜t 或t＞t 时，y＝2t﹣t2+b＜0，即F′（x）＜0，
1 2
当t ＜t＜t 时，y＝2t﹣t2+b＞0，即F′（x）＞0，
1 2
∴F（x）在区间（0，x ）上单调递减，在区间（x ，x ）上单调递增，在区间（x ，+∞）上单调递减，
1 1 2 2
又当x→0时，F（x）→+∞，当x→+∞时，F（x）→0，
∴存在a R，使得方程有三个不同实数根，
∴b的取∈值范围是（﹣1，+∞）；
（3），设h（x）＝g′（x），则h（1）＝0，
，设，
当2lnx﹣3＜0，即时，Q′（x）＜0；
第15页（共16页）当2lnx﹣3＞0，即时，Q′（x）＞0；
∴h'（x）在区间上单调递减，在区间上单调递增，
当m＞1时，h′（1）＜0，，
∴存在使得h′（x ）＝0，
0
∴当时，h′（x）＜0，g′（x）单调递减，
∵g′（1）＝0，∴g（x）在区间（x ，1）上单调递增，在区间（1，e2）上单调递减，
0
∴x＝1为g（x）的极大值点，不符合题意；
当m＝1时，，
∴g′（x）在区间上单调递增，在区间（1，e2）上单调递减，∵g′（1）＝0，
∴当时，g′（x）≤0，∴g（x）单调递减，不符合题意；
当m≤0时，h′（1）＞0，，
∴当时，h′（x）＞0，g′（x）单调递增，
∵g′（1）＝0，∴g（x）在区间上单调递减，在区间（1，e）上单调递增，
∴x＝1为g（x）的极小值点，符合题意；
当0＜m＜1时，，
存在x （1，e），使得h′（x ）＝0，
3 3
∴当时∈，h′（x）＞0，g′（x）单调递增，
∵g′（1）＝0，∴g（x）在区间上单调递减，在区间（1，x ）上单调递增，
3
∴x＝1为g（x）的极小值点，符合题意，
综上所述，m的取值范围是（﹣∞，1）．
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