[A4版]25李艳芳数一高数部分做题本_考研_数学_08.李艳芳_25李艳芳《900题》做题本_数一

900题 · 目录 目 录 第一章 函数、极限、连续 ......................................................... 3 A 类 ....................................................................... 3 B 类 ...................................................................... 16 C 类 ...................................................................... 25 第二章 一元函数微分学 .......................................................... 27 A 类 ...................................................................... 27 B 类 ...................................................................... 46 C 类 ...................................................................... 63 第三章 一元函数积分学 .......................................................... 65 A 类 ...................................................................... 65 B 类 ...................................................................... 82 第四章 向量代数与空间解析几何 ................................................. 104 A 类 ..................................................................... 104 第五章 多元函数微分学 ......................................................... 109 A 类 ..................................................................... 109 B 类 ..................................................................... 122 C 类 ..................................................................... 135 第六章 重积分及其应用 ......................................................... 137 A 类 ..................................................................... 137 B 类 ..................................................................... 149 C 类 ..................................................................... 160 第七章 常微分方程 ............................................................. 163 A 类 ..................................................................... 163 B 类 ..................................................................... 176 第八章 无穷级数 ............................................................... 188 A 类 ..................................................................... 188 第 1 页，共223页900题 · 目录 B 类 ..................................................................... 199 第九章 曲线积分与曲面积分 ..................................................... 208 A 类 ..................................................................... 208 B 类 ..................................................................... 217 第 2 页，共223页900题 · 1. 函数、极限、连续 第一章 函数、极限、连续 A 类 一、选择题 1 在下列区间内,函数 第 3 页，共223页 f ( x ) = 3 x e( x x − − 1 1 ) 有界的是 ( ) (A)  0 , 1 2  . (B)  1 2 ,1  . (C) ( 1 , )  + . (D) 以上都不正确. 2 设  a n  , b n  均为正项数列,其中  a n  无界,  b n  有界,则下列数列中,一定有界的是 ( ) (A)  b a n n  . (B)  1 + b na n b n  . (C)  n a n b n  . (D)  a n b n − a n − 1 b n − 1  . 3 设数列 a  满足 n a n = n n , n = 1 , 2 , ,则下列命题中,正确的是( ) (A) 数列 a  能取到最小值,但取不到最大值. n (B) 数列 a  能取到最大值,但取不到最小值. n (C) 数列 a  既能取到最大值,又能取到最小值. n (D) 数列 a  既不能取到最大值,又不能取到最小值. n900题 · 1. 函数、极限、连续 4 设 第 4 页，共223页 a n =  1 + s in 1 n  n , n = 1 , 2 , ,则下列命题中,正确的是 ( ) (A) 数列  a n  单调增加且收敛于 e . (B) 数列  a n  单调减少且收敛于 e . (C) 数列  a n  单调增加且收敛于esin1 . (D) 数列  a n  单调减少且收敛于esin1 . 5 设数列  x n  收敛,则 ( ) (A) 当 lim n ta n x n 0  → = 时, limx =0 . n n→ (B) 当 lim n ( x 3n x n ) 0  → + = 时, limx =0 . n n→ (C) 当 lim n ( x 2n x 3n ) 0  → + = 时, lim n x n 0  → = . (D) 当 lim n x n ln ( x n 1 ) 0  →  + +  = 时, limx =0 . n n→ 6 设数列  a n  , b n  满足 lim n a n , lim n b n     → = → = ,则下列结论中,正确的是 ( ) (A) lim n e a n   → = . (B) lim n ( a n b n )   → + = . a (C) lim n =1 . (D) lima b = . n→b n→ n n n900题 · 1. 函数、极限、连续 7 已知 第 5 页，共223页 lim n a n a  → = ,则下列关于数列  a n  的说法中,正确的是 ( ) (A) 若 a0 ,则当 n 充分大时, a n  0 . (B) 若 a  0 ,则  a n  中只存在有限个负项. (C) 若 a = 0 ,则当 n 充分大时, a n  − 1 n . (D) 若 a = 0 ,则当 n 充分大时, a n  1 n . ( ) 8 设  = x+ x, =3 xtan x+ x , =1−cos x . 当 1 2 3 x → 0 + 时,以上三个无穷小量按 照从低阶到高阶的排序是 ( ) (A) 1 , 2 , 3   . (B) 1 , 3 , 2   . (C) 2 , 1 , 3   . (D) 3 , 1 , 2   . 9 设 1−ex2 =xtan(x) ,其中 ( x ) 2    ,则当 x → 0 时, (x) 是 ( ) (A) 比 x 高阶的无穷小量. (B) 比 x 低阶的无穷小量. (C) 与 x 同阶但不等价的无穷小量. (D) 与 x 等价的无穷小量.公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取900题 · 1. 函数、极限、连续 10 当 第 6 页，共223页 x  → + 时,无穷大量 I 1 = x x (x+1) , I 2 = x ( x + 1 x) , I 3 = ( x + 1 ) x x 按照从高阶到低阶的排序是( ) (A) I 1 , I 2 , I 3 . (B) I 1 , I 3 , I 2 . (C) I 2 , I 1 , I 3 . (D) I 3 , I 2 , I 1 . 11 已知 lim x → 0 ( 1 − a x ) 12 + ( x 1 2 − b x ) 14 − 2 = − 2 ,则 a + b = ( ) (A) 2 . (B) 4 . (C) 6 . (D) 8 . 12 函数 f ( x ) = x ( x x + 2 x 2 − ) 1 ln x 的可去间断点的个数为 ( ) (A) 0 . (B) 1 . (C)2. (D) 3 .900题 · 1. 函数、极限、连续 sinx 13 函数 f (x)=lim  1+ sint t 在   t→0 x  第 7 页，共223页 ( , )   − + 内 ( ) (A) 连续. (B) 有可去间断点. (C) 有跳跃间断点. (D) 有无穷间断点. 14 设函数 f ( x ) lim n ( e n 1 x x 1 3 ) e s n in x x  = → + + ,则下列结论中,正确的是 ( ) (A) f ( x ) 不存在间断点. (B) x = 0 是 f ( x ) 的可去间断点. (C) x=0 是 f ( x ) 的跳跃间断点. (D) x=0 是 f ( x ) 的无穷间断点. 15 设函数 f ( x ) =  − 1 1 , , x x   0 0 , , g ( x ) =  2 x x + a 2 , 2 − x b 2 , , x − x  1   − 0 1 x . ,  0 , 若 f (x)+g(x)在R上连续,则( ) (A) a=1,b=1 . (B) a=1,b=2 . (C) a=−1,b=1 . (D) a=−1,b=2 .900题 · 1. 函数、极限、连续 16 设函数 第 8 页，共223页 f ( x ) a x c o s 1 x , , x x 0 0 , , g ( x ) x x 2 b , 2 , x x 0 0 , .  =  +   =  + −   已知 b0 ,若 f (x) 连续,且 f ( g ( x ) ) 在 x=0 处连续,则 a2+b2 =( ) (A) 1 . (B) 2 . (C) 3 . (D) 5 . 二、填空题 17 设函数 f ( x ) =  xs0 in x e 2t d t ,则 lim x → 0 ( 2 − c o s x ) f 1( x ) = _________. 18 当 x  → 时,   1 + e 1 x  x  x − e 与 xk 是同阶无穷小量,则 k =_________.900题 · 1. 函数、极限、连续 19 已知 第 9 页，共223页 lim x → 0 ln  1 + x e ( f s in − 1 x 2 ) x  = 1 ,则 lim x → 0 1 f − ( c x o ) s x = _________. 20 已知 lim x 0 a  x  4 b a r c ta n 1 x 4 1 e e 1 x 2 x 1  →  + + + + − −  = ,其中  x  表示不超过 x 的最大整数,则 a b = _________. 21 设 k 为非零整数,函数 f ( x ) = k + k 1 x + e kx 在 ( , )   − + 上连续,且 lim x f ( x )  → − 存在,则 k = _________.900题 · 1. 函数、极限、连续 22 设函数 第 10 页，共223页 f ( x ) = x x − 1 ,当 x  1 时, f n ( x ) = f { f { ...{ f { f ( x )} } } } ,即 n 个 f ( x ) 复合所 得函数, 则 lim x → 0 f 2 f n 2 + n 1( ( x x ) ) = _________. 三、解答题 23 求下列极限: (I) lim x → 0 1 s − in x x c o ta n tx x 3 x3+x2 − x ; (II) lim ; x→+ ln ( ex +x3) (III) lim x → 0 (  c x o s − x ln − ( 1 c + o s ta x n ) x s ) in (  ( e s x in − x 1 ) ) x2sin 2  x2 +x+4  x ; (IV) lim  ; x→x2 +2x+3公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取900题 · 1. 函数、极限、连续 (V) 第 11 页，共223页 lim x → 0 ( c o s x ) x − ln 1(1 + x ) ; (VI) lim x → 0  1 − c 1 o s 2 x − 2 ln ( 1 1 + x 2 )  ; (VII) lim x → 0 +  e 1 x − 1  1ln x ; (VIII) lim x 1 1 x x 3 e x 2 x2  → +  +  − + ; (IX) lim x s in ln ( 1 x ) s in ln x  → +  + −  ; (X) lim x → 0 x − x x ta − n s 2 in x x − ta n x ;900题 · 1. 函数、极限、连续 (XI) 第 12 页，共223页 lim x → 0 x s − in s x in ln (( x x e + − x 1 )) ; (XII) lim x → 0 1 − c o s x c o x s 2 2 x c o s 3 x . 24 求下列极限: ( I ) lim n 1 2 ! 2 3 ! ( n n 1 ) ! 2 n n !  →  + + + +   ; ( II ) limn cos012 + cos122 + + cos(n−1)n2 ; n→900题 · 1. 函数、极限、连续 ( III ) 第 13 页，共223页 lim n 3 n 2 2 1 s in 2 1 1 3 n 2 2 3 s in 2 2 2 3 n 2 2 n 2 s in 1 2 n n  →  + + + + + + + + − +  ; (IV) lim n 1 ! 2 ! n n ! n !  → + +  + . 25 设函数 f (x) 以 2 为周期. 记 a n = f ( n ) . 若 lim n a n  → 存在,证明: 数列 a  为常数 n 列.900题 · 1. 函数、极限、连续 26 已知函数 第 14 页，共223页 f ( x ) 具有一阶连续导数且 f ( 0 )  0 ,求极限 lim x → 0   x 0 2 f 1 ( t ) d t − x 2 f 1( x 2 )  . 27 已知当 x → 0 时, a x 2 + b x 4 + c  x 0 s in t t 2 d t 与 x 6 是等价无穷小,求 a + b + c . 28 已知当 x → 0 + 1 时, arcsinx,(x−sinx)  均为比 x 高阶的无穷小量,且函数 f ( x ) =  arcsinx  , x0,  x(x−sinx)  1 其中 0 . 若  为整数,且 f (x) 连续,求  .  , x0,900题 · 1. 函数、极限、连续 29 设函数 第 15 页，共223页 f ( x ) 为 ( , )   − + 上连续的奇函数,且满足 f ( a − x ) = f ( a + x ) ,其中 a  0 . 证明: (I) f ( x ) 为周期函数; (II) f (x) 在 (−,+) 上有界. 30 设 a b  0 ,证明方程 x = a s in x + b c o s x + a 2 + b 2 至少有一个不超过 2 a 2 + b 2 的正根. 31 (I) 证明方程 e − a x + e − (n − 1 )x + + e − x = 1 ( n  2 ) 在区间 (0,1) 内有且仅有一个实根. (II) 记 (I) 中的实根为 x n ,证明 lim n x n  → 存在,并求此极限.900题 · 1. 函数、极限、连续 B 类 一、选择题 1 设 f (x) 为 0, 上的连续函数,则下列命题中,正确的是( ) (A) 若 第 16 页，共223页 f ( a r c c o tx ) 在  0 ,   上单调增加,则 f ( x ) 在  0 ,   上单调增加. (B) 若 f (arccotx) 在  0 ,   上单调增加,则 f ( x ) 在  0 ,   上单调减少. (C) 若 f ( x ) 在  0 ,   上单调增加,则 f ( a r c c o tx ) 在  0 ,   上单调增加. (D) 若 f (x) 在 0, 上单调增加,则 f (arccotx) 在 0, 上单调减少. 2 已知数列 a  和连续函数 n f ( x ) . 若 b n = f ( a n ) ,且 limb =1 ,则下列条件中,可以 n n→ 推出“数列 a  收敛” 的条件个数是 ( ) n ① f ( x ) 是单调函数. ② f ( x ) 是偶函数. ③ f ( x ) 是有界函数. ④ f (x)是周期函数. (A) 0 . (B) 1 . (C) 2. (D) 3 . 3 函数 f (x)=x−x+ sinx,x(−,+) 是 ( ) (A) 周期函数. (B) 单调函数. (C) 奇函数. (D) 有界函数.900题 · 1. 函数、极限、连续 4 设函数 第 17 页，共223页 f ( x ) 满足 f ( x + 4 ) − f ( x ) = f ( 2 ) ,则下列结论中,正确的个数为( ) (1) 若 f (x) 为奇函数,则 f (x) 为周期函数. (2) 若 f ( x ) 为偶函数,则 f ( x ) 为周期函数. (3) 若 f (x) 为周期为 4 的函数,则 f (x) 为奇函数. (4) 若 f ( x ) 为周期为 4 的函数,则 f ( x ) 为偶函数. (A) 1 . (B) 2 . (C) 3 . (D) 4 . 5 已知数列  x n  , y n  满足 x 1 = y 1 = 1 2 , x n + 1 = 1 − c o s x n , y n + 1 = y 2n ( n = 1 , 2 , ) ,则当 n  → 时,( ) (A) lim n x n y n y n 0  → − = x + y . (B) lim n n =1 . n→ y n (C) lim n x n x n y n 0  → − = x + y . (D) lim n n =1 . n→ x n 6 已知数列  x n  ,其中 −x + ,函数 f (x)=e−x ,则 n ( ) (A) 当 lim n a r c ta n f ( x n )  → 存在时, lim n x n  → 存在. (B) 当 lim n f ( a r c ta n x n )  → 存在时, lim n x n  → 存在. (C) 当 limarctanf (x ) 存在时, lim f (x ) 存在,但 n n n→ n→ lim n x n  → 不一定存在. (D) 当 lim f (arctanx ) 存在时, n n→ lim n a r c ta n x n  → 存在,但 lim n x n  → 不一定存在.900题 · 1. 函数、极限、连续 7 设数列 第 18 页，共223页  x n  与  y n  满足 lim n x n y n 1  → = ,则下列结论中,正确的是 ( ) (A) 若  x n  发散,则  y n  必收敛. (B) 若  x n  无界,则  y n  必有界. (C) 若  x n  有界,则  y n   1  必收敛. (D) 若   为无穷小,则 x  n  y n  必为无穷小. 8 已知 a n = s in n n ( n = 1 , 2 , ) ,则数列  a n  ( ) (A) 有最大值, 有最小值. (B) 有最大值, 没有最小值. (C) 没有最大值, 有最小值. (D) 没有最大值, 没有最小值. 9 已知函数: ① f (x)=2x; ② f (x)=x2; ③ f (x)= ∣x∣; ④ f ( x ) = a r c ta n x ,则满足对于 任意的首项 a ,数列 1 a n = f ( a n − 1 ) ( n = 2 , 3 , ) 均收敛的函数个数为 ( ) (A) 1 . (B) 2 . (C) 3. (D) 4 .900题 · 1. 函数、极限、连续 10 设函数 第 19 页，共223页 f ( x ) 满足  x 0 f ( t ) d t + 2 f ( x ) + f  ( x ) = e − x s in 2 x ,且 f ( 0 ) = f  ( 0 ) = 0 ,则当 x → 0 时,与 f ( x ) 为同阶但不等价的无穷小量为 ( ) (A) s in 2 x . (B) 1 − c o s 2 x . (C) e x 2 − 1 . (D) 1 + x − 1 . 11 函数 f ( x ) =  a − a r c x ta n 2 ( x 1 x −  b ( e ) x − b ) ( b  0 ) 的可去间断点的个数最多为 ( ) (A) 0 . (B) 1 . (C) 2. (D) 3 . 二、填空题 12 设函数 f ( x ) lim n ln ( c o s x a r n c ta n 2 n 1 x )  = → + − ,记 f (x)的自然定义域为(a,b,则b−a= __________ .900题 · 1. 函数、极限、连续 13 设函数 f (x)=2x3+x2+1,x0,x= f−1(y) 为 f (x) 的反函数,若正整数 k 满足 第 20 页，共223页 lim t f 1 k ( 2 t t )  → + − 存在且非零,则 k = __________ . 14 设当 0  x  1 时,函数 f (x)=xsinx ,对于其他 x , f ( x ) = 2 f ( x + 1 ) − ln k .若 f ( x ) 在 x = 0 处连续,则 k = __________ . 1−x 15 设函数 f (x)=ln ,若在 1+x x = 0 的邻域内存在函数 ( x )   = ,使得 f ( x ) x 2 f ( )  =  ,则 lim x 0 2 x 1  → − = __________ .公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取900题 · 1. 函数、极限、连续 16 设 第 21 页，共223页 a n =  2 n 2 nn+ n + 1 1 1 x + n − 1 n x d x ,则 lim n n a n  → = __________ . 三、解答题 arctan2x−arctanx 17 (I) 求 lim ;  x→+ −arctanx 2 (II) 若 lim x x 1 f ( x )  → +  −  不存在,而 I lim x a r c ta n 2 x 2 b 1 a r c b ta f n ( x x ) a r c ta n x   = → + +  − − −  存在,试确 定 b 的值,并求 I .900题 · 1. 函数、极限、连续 18 设函数 第 22 页，共223页 f ( x ) 满足 f ( 0 ) = f  ( 0 ) = 0 x sinx asinx− ax− 1+bx2 1+bx2 ,且lim =1,lim =2.求 x→0 f (x) x→0 f (x) a , b 的值. 19 设函数 f ( x ) 在  0 , )  + 上具有一阶连续导数, f ( 0 ) = 0 ,且 lim x f ( x ) f ( x ) a 0  → +  +   =  . (I) 记 g ( x ) = e x f ( x ) ,求 g  ( x ) ; (II) 证明: 存在 x 0  0 ,使得当 x  x 0 时, f ( x )  a 2 .900题 · 1. 函数、极限、连续 20 设数列 第 23 页，共223页  x n  满足 x n 1 2 x n s in x n  + = ,且 0 x 1 2    .求 lim n s e c x n 2 ta x n n x n   → − − . nln3(n+2)−ln3n   21 计算 lim . n→ ln2(n+1) 22 已知 f ( x ) 为(0,+)上连续的有界函数,且满足 lim x → 0 + x f − ( x ta ) n x = 6 .证明:方程 f ( x ) + x 3 = 0 在(0,+)上必有一实根.900题 · 1. 函数、极限、连续 23 设数列 第 24 页，共223页  x n  满足 0  x 1  1 , x n + 1 = ln ( 1 + x n ) ( n = 1 , 2 , ) . (I) 证明 limx 存在,并求该极限; n n→ (II) 计算 lim n x nx n 1 1 xn  →  +  . 24 (I) 比较  1 0  s in x 2 x  n d x n 1 x 与  1− dx(n=1,2, ) 的大小,说明理由;   0 2 (II) 记 a n =  1 0  s in x 2 x  n d x ( n = 1 , 2 , ) ,求极限 lim n a n  → .900题 · 1. 函数、极限、连续 25 (I) 证明: 当 第 25 页，共223页 x  0 时, 1 x + x  ln ( 1 + x )  x . (II) 设 x n =  1 + n 2 − n n 3 + 1   1 + n 2 − n n 3 + 3   1 + n 2 + n n 3 − 1  ,求 limx . n n→ C 类 一、选择题 1 设 f ( x ) , g ( x ) 均为  0 , )  + 上的连续函数,若对任意正数 x ,有 f ( 2 x ) = f ( x ) , g ( x 2 ) = g ( x ) ,且 f ( 0 )  g ( 0 ) ,则 ( ) (A) 对任意 x0 ,均有 f ( x )  g ( x ) . (B) 对任意 x0 ,均有 f (x)=g(x) . (C) 对任意 x0 ,均有 f (x)g(x) . (D) 存在 x 1  0 , x 2  0 ,使得 f (x )g(x ), f (x )g(x ) . 1 1 2 2900题 · 1. 函数、极限、连续 二、解答题 2 求极限 第 26 页，共223页 lim n 1 n k n 1 k k( 1 k 2 k 2 k k 1 )  →  = + − + − + + . 3 设周期函数 f ( x ) = ( − 1 ) x  x −  x + 1 2  ,其中  x  ,  x + 1 2  1 分别表示不超过 x,x+ 的最大 2 整数,记 a n =  1 0 f ( n x x ) d x . 证明: (I) 数列  a 2 n − 1  单调减少,  a 2 n  单调增加; (II) lim n a n  → 存在.900题 · 2. 一元函数微分学 第二章 一元函数微分学 A 类 一、选择题 1 设函数 第 27 页，共223页 f ( x ) 可导, y = f ( x ) c o s x 当自变量 x 在点 x = 0 处取得增量  x = 0 .2 时,相 应的函数增量  y 的线性主部为 0.4,则 f  ( 0 ) = ( ) (A) 2. (B) 0.2 . (C) 1. (D) 0.1 .  x+1 arctan +a, x1,  x−1  2 设函数 f (x)=c, x=1, 可导,则 f(1)=( )  x+1 arctan +b, x1  x−1 (A) − 1 2 . (B) 1 2 . (C) 1 . (D) 与 a,b 的值有关. 3 若函数 f (x),g(x) 满足 f ( x ) = f ( − x ) , g ( x ) = − g ( − x ) ,在 (0,+) 内, f(x)0 , f  ( x )  0 , g  ( x )  0 , g  ( x )  0 ,则在 (−,0) 内恒成立的是( ) (A) f(x)g(x) . (B) f(x)g(x) . (C) f  ( x )  g  ( x ) . (D) f  ( x )  g  ( x ) .900题 · 2. 一元函数微分学 4 设函数 第 28 页，共223页 f ( x ) = ( 1 − c o s x ) ( 2 − c o s x ) ( n − c o s x ) ,则 f  ( 0 ) = ( ) (A) (n−1)!. (B)n!. (C)(n+1)!. (D) 0 . 5 若函数 f ( x ) lim t 2 e , s in tx ( x a 2 t r c ta n 2 t e t ) , x x 0 0 , ,   =  → −  + +   = 则下列说法中,正确的是 ( ) (A) f ( x ) 在 x = 0 处的极限存在,但不连续. (B) f (x) 在 x=0 处连续,但不可导. (C) f ( x ) 在 x = 0 处可导,且 f  ( 0 ) = 0 . (D) f ( x ) 在 x = 0 处可导,且 f  ( 0 )  0 . 6 设函数 f ( x ) = 2 x 3 − 1 5 x 2 + 4 x ,则下列说法中,正确的是 ( ) (A) f ( x ) 恰有一个单调增加区间,两个单调减少区间. (B) f (x) 恰有一个单调增加区间,三个单调减少区间. (C) f ( x ) 恰有一个单调减少区间,两个单调增加区间. (D) f (x) 恰有一个单调减少区间,三个单调增加区间.900题 · 2. 一元函数微分学 7 设 第 29 页，共223页 f ( x ) 为 ( , )   − + 上的单调增加函数,则下列说法中,正确的是( ) (A)  f ( x )  2 单调增加. (B) −f (−x) 3 单调增加.   (C) 若 f ( x ) 可导,则对任意 x ( , )    − + ,都有 f  ( x )  0 . (D) 若 f ( x ) 可导,则 f ( x ) 存在反函数 x = f − 1 ( y ) ,且 − 1 ( ) 可导. 8 下列四个命题中,正确的是( ) (A) 设 x 0  ( a , b ) ,函数 f (x)在(a,x )内满足 0 f  ( x )  0 ,在(x ,b)内满足 0 f  ( x )  0 则 f (x)在 x = x 0 处取得它在 ( a , b ) 上的最小值. (B) 设函数 f ( x ) 在 x = x 0 处取得极小值,则存在 0   ,使 f ( x ) 在 ( x 0 , x 0 )  − 内单调减少,在 (x ,x +)内单调增加. 0 0 (C) 设 f ( x ) 为区间 ( − a , a ) 上的偶函数,则 x = 0 为 f ( x ) 的一个极值点. (D) 设 f ( x ) 在区间 ( − a , a ) 内二阶可导且为奇函数,则 f  ( 0 ) = 0 . 9 设函数 f (x) 在 (−,+) 内有定义, x 0 是函数 f (x) 的极小值点,则 0 ( ) (A) x 0 必是 f ( x ) 的驻点. (B) − x 0 必是 f (−x) 的极大值点. (C) − x 0 必是 − f ( − x ) 的极大值点. (D) − x 0 必是 −f (x) 的极大值点.900题 · 2. 一元函数微分学 10 设函数 第 30 页，共223页 f ( x ) 在 x = a 的某个邻域内具有二阶导数,且 f  ( a )  0 ,且存在 0   ,使得当 x  ( a , a )   − + 时, lim t→ a f ( ) t − ( t − x f ) (2 x ) 均存在,且当 x  a 时, lim t→ a f ( ) t − ( t − x f ) (2 x )  0 ,则 ( ) (A) x=a 是 f (x) 的极小值点. (B) x=a 是 f (x) 的极大值点. (C) x=a 不是 f (x) 的极值点. (D) 无法确定 x=a 是否为极值点. 11 设函数 f ( x ) 和 g ( x ) 在  0 ,1  上的最大值分别为 a , b ,则下列关于 f ( x ) g ( x ) 在  0 ,1  上的 最大值 c 的说法中,正确的是 ( ) (A) c  a b . (B) c  a b . (C) c = a b . (D) 以上都有可能. 12 已知函数 f ( x ) 的图形如右图所示,则导函数 f  ( x ) 的图形可能为( )公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取900题 · 2. 一元函数微分学 13 设函数 第 31 页，共223页 f ( x ) 在 ( , )   − + 上连续,其导函数 f  ( x ) 的图形如右图所示, 则下列说法中, 正确的是( ) (A) 函数 f ( x ) 有 1 个极值点,曲线 y = f ( x ) 有 1 个拐点. (B) 函数 f (x) 有 2 个极值点,曲线 y= f (x) 有 2 个拐点. (C) 函数 f ( x ) 有 3 个极值点,曲线 y = f ( x ) 有 2 个拐点. (D) 函数 f (x) 有 3 个极值点,曲线 y= f (x) 有 1 个拐点. 14 设 f ( x ) 是 ( 0 , )  + 上单调增加的正值函数,且存在二阶导数,则对于满足 0  x 1  x 2 的 任意 x 1 , x 2 ,下列说法中,正确的是( ) (A) 若 f  ( x )  0 ,则 f ( x 1 ) f ( x 2 )  f  x 1 + 2 x 2  . (B) 若 f  ( x )  0 f (x )+ f (x ) ,则 f ( xx )  1 2 . 1 2 2 (C) 若 f  ( x )  0 ,则 f ( x 1 ) f ( x 2 )  f  x 1 + 2 x 2  . (D) 若 f  ( x )  0 ,则 f ( x 1 x 2 )  f ( x 1 ) + 2 f ( x 2 ) . 15 曲线 y = ( x − 1 ) x 43 的拐点个数为 ( ) (A) 0 . (B) 1 . (C) 2. (D) 3 .900题 · 2. 一元函数微分学 16 下列曲线中有斜渐近线的是 第 32 页，共223页 ( ) (A) y = ln x + c o s 1 x . (B) y = x + c o s 1 x . (C) y = ln 1 x + c o s x . (D) y = 1 x + c o s x . 17 设函数 y ( x ) = lim t→ 0  1 − ln ( 1 x − 2 t )  x sin ,t ,则下列关于曲线 y = y ( x ) 的渐近线的说法中,正确的 是( ) ① 该曲线无渐近线. ② 该曲线有铅直渐近线. ③ 该曲线有水平渐近线. ④ 该曲线有斜渐近线. (A) ②. (B) ③. (C) ② ③. (D) ② ④. x2 +x+a x+ x2 +4(1−b)x+a 18 设函数 f (x)= ,g(x)= ,则当 x+b 2 x  → + 时,下列关于曲线 y= f (x) 与 y=g(x) 的渐近线的结论中,正确的是( ) (A) 没有公共斜渐近线. (B) 是否具有公共斜渐近线与 a,b 的取值有关. (C) 有公共斜渐近线,且公共斜渐近线的方程与 a 的取值有关. (D) 有公共斜渐近线,且公共斜渐近线的方程与 b 的取值有关.900题 · 2. 一元函数微分学 19 设函数 第 33 页，共223页 f ( x ) = ln 2 x , g ( x ) = 1 x , h ( x ) = c o t 2 x ,则当 x → 0 + 时,有 ( ) (A) g ( x )  h ( x )  f ( x ) . (B) h ( x )  g ( x )  f ( x ) . (C) f ( x )  g ( x )  h ( x ) . (D) g ( x )  f ( x )  h ( x ) . 20 设函数 f ( x ) =  x 0 4 , s in 1 x , x x  = 0 0 , , 则使得 f (n ) ( x ) 连续的最高阶数 n 为 ( ) (A) 0 . (B) 1 . (C) 2. (D) 3 . 21 设函数 y = f ( x ) 由  x y = = t t t s , in t 2 确定,则 ( ) (A) f ( x ) 连续, f  ( 0 ) 不存在. (B) f  ( 0 ) 存在, f  ( x ) 在 x=0 处不连续. (C) f(x) 连续, f(0) 不存在. (D) f(0) 存在, f  ( x ) 在 x=0 处不连续.900题 · 2. 一元函数微分学 22 设函数 第 34 页，共223页 f ( x ) e ta 1x n , x , x 2 0 , x 0 ,  =  − −    则 x = 0 是 f ( x ) 的 ( ) (A) 可导点, 极值点. (B) 不可导点, 极值点. (C) 可导点, 非极值点. (D) 不可导点, 非极值点. 23 设函数 f ( x ) 二阶可导,满足 f  ( a ) = 0 且 lim x → a f x (  − x a ) = 1 ,则 ( ) (A) x = a 是 f ( x ) 的极小值点. (B) x=a 是 f ( x ) 的极大值点. (C) ( a , f ( a ) ) 是曲线 y = f ( x ) 的拐点. (D) x=a 不是 f ( x ) 的极值点, ( a,f (a)) 也不是曲线 y= f (x) 的拐点. 24 设函数 f ( x ) f (x) 在 x=0 处连续,在 x=0 的某个去心邻域内可导,且 lim 存在,则 x→0 x 下列命题中, 错误的是 ( ) (A) f (0)=0 . (B) f(0) 存在. (C) lim f(x)=0 . x→0 (D) 在 x = 0 的某个去心邻域内,存在常数 C0 ,使得 f (x) C x .900题 · 2. 一元函数微分学 25 已知方程 第 35 页，共223页 x 4 − 2 x 2 − k = 0 有四个不同的实根,则 k 的取值范围是( ) (A) ( , 0 )  − . (B) ( − 1 , 0 ) . (C) ( − 1 ,1 ) . (D) ( 1 , )  + . 26 设函数 f ( x ) = c o t 2 x 在 x 4  = 处的 3 次泰勒多项式为 a b x 4 c x 4 2   d x 4 3 +  −  +  −  +   −  ,则 a c + b d = ( ) (A) − 8 3 . (B) 8 3 . (C) − 1 6 3 . (D) 1 6 3 . 27 设函数 f ( x ) = 1 ta − n x 2 x 在 x = 0 处的 3 次泰勒多项式为 a x + b x 2 + c x 3 ,则 ( ) (A) a = 1 , b = 0 , c = − 2 3 2 . (B) a=1,b=0,c= . 3 4 4 (C) a=1,b=0,c=− . (D) a=1,b=0,c= . 3 3900题 · 2. 一元函数微分学 28 设函数 第 36 页，共223页 f ( x ) 满足 f  ( x )  f ( x ) ,则 ( ) (A) e f ( 0 )  f ( 1 )  e 2 f ( − 1 ) . (B) e 2 f ( − 1 )  f ( 1 )  e f ( 0 ) . (C) ef (0)e2f (−1) f (1) . (D) e2f (−1)ef (0) f (1). 二、填空题 29 设函数 y= f (tanx)(tanx)n ,其中 f ( x ) 可微, f ( 1 ) = f  ( 1 ) = 1 ,则 y 4     = _________. 30 设正值函数 f ( x ) 1 可微,g(x)=arctan ( 2f (x)+1 ) ,f(0)=1,g(0)= ,则 2 f ( 0 ) = _________.900题 · 2. 一元函数微分学 31 设函数 第 37 页，共223页 y = f ( ln 1 + x 2 ) ,其中 f ( x ) 可微, f  ( 1 ) = 1 , f  ( 1 ) = 0 ( ) ,则y e2 −1 = _________. 32 设函数 y = y ( x ) 由方程 e x 2 + y 2 + s in ( x y ) = 0 确定,则 y  ( x ) = _________. 33 设函数 y = y ( x ) 由方程 x + y − e x s in 3 y = 0 确定,则 y  ( 0 ) = _________.900题 · 2. 一元函数微分学 34 设函数 第 38 页，共223页 f ( x ) xln a ( 1 c s c 2 t ) d t 0 a 2  =  +     ,若 y = f ( x ) 的反函数 x = f − 1 ( y ) 在 y = 0 处的导数 d d x y y = 0 = 1 ln 5 ,则 a = _________. 35 设函数 y = y ( x ) 由参数方程  x y = = f f (( a s r c in s t in + 2 c t o ) s + t 1 − , 1 ) 确定,其中 f ( u ) 可微,且 f  ( 0 )  0,则 d d y x t= 0 = _________. 36 设函数 y = y ( x ) 由参数方程  x y = = 2 t e a r c t , ta n t 2 确定,则 d d 2 x y 2 t= 1 = _________.900题 · 2. 一元函数微分学 37 设函数 第 39 页，共223页 f ( x ) = ln ( 1 + s in 2 x + s in x ) ,则 f (4 ) ( 0 ) = _________. 3 8  4 x x + + 1 1  (5 ) = _________. 39 设函数 f ( x ) = x 2 c o s 2 x ,则 f (1 0 ) ( 0 ) = _________.  x=t2, 40 曲线  在 y=t3−3t t = 3 对应点处的切线方程为_________.900题 · 2. 一元函数微分学 41 曲线 第 40 页，共223页  x y = = e a − r 12t c c , o s t 在 t = 1 2 对应点处的法线方程为_________. 42 设曲线 L 的参数方程为  x y = = ln ta n s in t , t 2 + c o s t ,  其中 t ,则曲线上一点 2 M 处的切 线 与 x 轴的交点 P 与点 M 之间的距离为_________ . 43 设曲线 L 的极坐标方程是 r 2  = 2  ,则 L 在点 (r,)= , 处的切线的直角坐标方程   是________ .公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取900题 · 2. 一元函数微分学 44 曲线 y+xy−ex +ey =0 在点 第 41 页，共223页 ( 0 , y ( 0 ) ) 处的曲率为_________. 45 如图所示,在距离海岸边点 A 1 8 0 m 的点P处有一灯塔,灯塔上的探照灯光以每秒r 弧度 (rad)的速率匀速转动,探照光线与 P A 的所成夹角为.若灯光经过岸边距离点 A 6 0 m 处的点 B 时,速率为 3 0 m / s ,则 r = _________. 46 记函数 f (x)=xne−3x(n0,x0) 的极值为 n a n ,则数列  a n  的最小值为_________.900题 · 2. 一元函数微分学 47 曲线 y=sinxe−x 在区间 第 42 页，共223页 ( 0 , )  内的拐点坐标为________ . 48 曲线 y = 2 x 5 x + 4 x + 3 1 − 1 + e arctan x 2 的斜渐近线方程为_________. 三、解答题 49 设函数 y ( x ) = ( 1 + x ) x ( x  0 ) ,记 y = y ( x ) 的反函数为x=x(y),求 d d x y y = 2 , d d 2 y x 2 y = 2900题 · 2. 一元函数微分学 50 设函数 第 43 页，共223页 y = y ( x ) 由方程组 x y e y t 3 1 ta n 3 t 4 t 2 , 2 ( 2 t 2 )   = + − + − = − −   确定,求 d d y x x = 0 . 51 设函数 f ( x ) 在 x = 0 处可导,在 x = 0 的某个去心邻域内满足等式 2 f ( x ) + f ( − x ) = 3 + 1 + ta n x − 2 x 1 + s in x , 且 f ( x ) 是周期为 5 的周期函数,求 y = f ( x ) 在 点 ( 5 , f ( 5 ) ) 处的切线方程.  x−sinx, 0x, 52 已知函数 f (x)= 求  xln(−x), x0, f  ( x ) ,并求 f ( x ) 的极值.900题 · 2. 一元函数微分学 53 设函数 第 44 页，共223页 f ( x ) 在 x 0 处连续且可导,在 x 0 的某个去心邻域 U ( x 0 ) 内二阶可导,且 f(x )=0, 0 lim x → x0 f  ( x )  0 .证明: x = x 0 为 f (x) 的极小值点. 54 在底面半径为1,高为2的圆锥体中挖去一个圆柱体(圆柱体与圆锥体的底面中心重合),当 被挖圆柱体的体积 V 最大时,圆柱体的底面半径和高分别为多少,并求出此最大体积. 55 在椭圆 x a 2 2 + y b 2 2 = 1 ( a  0 , b  0 , a  b ) 位于第一象限的部分上求一点 P ,使得该点处的 法线与两坐标轴所围成的三角形面积最大.900题 · 2. 一元函数微分学 56 设函数 第 45 页，共223页 f ( x ) 在  − 1 ,1  上连续,且当 x0 时, f ( x ) = c o e s a x x + + c e o b x s 2 − x 2 − 2 ,其中 a,b 为 非零常数. 求 f ( 0 ) ,并讨论 f ( x ) 在 x = 0 处的可导性. 57 设当 x  0 1 时,方程 kx2 + =1 有两个不同的解,求 x k 的取值范围. 58 设函数 f ( x ) =  x x ln x 2 e , 1x , x x   0 0 , , 根据 k 的不同取值,讨论方程 f ( x ) = k 的实根情况.900题 · 2. 一元函数微分学 59 证明: 当 −1x1 时, 第 46 页，共223页 e x 2 + ln  ( 1 − x 2 )  1 1 + − x x  x   1 + 2 x 2 . B 类 一、选择题 1 设函数 f ( x ) 为 ( , )   − + 上的单调增加的正值可导函数,且 f  ( 0 ) 存在,则下列关于极 限 I 1 = lim x → 0 +  f f (( x 0 ))  1x 和 I 2 = lim x → 0 +  1 x  f ( x )− f (0 ) 的结论中,正确的是 ( ) (A) I 1 与 I 2 是否存在均与 f ( x ) 的表达式有关. (B) I 1 与 I 2 均存在,且 I 1  I 2 . (C) I 1 与 I 2 均存在,且 I 1  I 2 . (D) 以上说法均不正确.900题 · 2. 一元函数微分学 2 设函数 第 47 页，共223页 f ( x ) 满足 f ( 0 ) = 0 ,则 f ( x ) 在 x = 0 处可导的充分必要条件为 ( ) (A) lim h → 0 1 h 3 f ( ta n h − h ) 存在. (B) lim h → 0 1 h 2 f ( ln ( 1 + h ) − h ) 存在. (C) lim h → 0 1 h f ( a r c ta n h − h ) 存在. (D) lim h → 0 1 h  f ( h ) − f ( − h )  存在. 3 设函数 f ( x ) 在 x = 0 处连续,则下列命题中,错误的是 ( ) (A) 若 lim x → 0 f ( x x ) = a ,则 f(0)=a . (B) 若 f (0)=0, f(0)=a ,则 lim x → 0 f ( x x ) = a . f (x) a (C) 若 lim = ,则 x→0 x2 2 f  ( 0 ) = a . (D) 若 f ( 0 ) = f  ( 0 ) = 0 , f  ( 0 ) = a ,则 lim x → 0 f ( x x 2 ) = a 2 .900题 · 2. 一元函数微分学 4 设函数 第 48 页，共223页 f ( x ) 具有二阶导数,  x 为自变量 x 在 x 0 处的增量,  y 与 d y 分别为 f (x) 在 x 0 处对 应的增量与微分, 则下列说法中, 正确的是( ) (A) 若在 x 0 的某邻域内有 d y   y ,则 f  ( x ) 在该邻域内恒大于 0 . (B) 若在 x 0 的某邻域内有 dy  y ,则 f(x) 在该邻域内恒大于 0 . (C) 若 f  ( x ) 在 x 0 的某邻域内恒大于 0,则在该邻域内有 d y   y . (D) 若 f(x) 在 x 0 的某邻域内恒大于 0,则在该邻域内有 dy  y . 5 设函数 f1 ( x ) , f 2 ( x ) , g ( x ) 在 x = 0 的某邻域内均可导,其中 f (x)0, f (x)0,g(x) 1 2 = e ( f1 x ) f2 ( x ) .令 ( x ) f1 e ( x x g ) ( f x 2 )( x )  = ,若 ' f1 ( 0 ) = f '2 ( 0 ) = 0 ,则 ( ) (A) ( 0 ) 0   = . (B) 0 ( 0 ) 1     . (C) ( 0 ) 1    . (D) ( 0 ) 1   = . 6 设椭圆 x a 2 2 + y b 2 2 = 1 与抛物线 y = 2 a b ( x − 1 ) 2 相切于一点,其中 a = 6 4 .记该切点的横坐 标为 x 0 ,则 ( )  1 1 2 (A) x 0   0, 3   . (B) x 0  3 , 3   . (C) x 0   2 3 ,1  . (D) 由已知条件不能确定 x 0 的范围.900题 · 2. 一元函数微分学 7 设函数 第 49 页，共223页 f ( x ) 有二阶连续导数, x=0 是 f ( x ) 的驻点,若在 x = 0 附近, f ( x ) 满足 s in x f  ( x ) + ta n x f  ( x ) = x c o s x − 1 ,则 ( ) (A) x = 0 是 f ( x ) 的极大值点. (B) x = 0 是 f ( x ) 的极小值点. (C) x = 0 不是 f ( x ) 的极值点. (D) 不能确定 x = 0 是否为 f (x) 的极值 点. 8 设函数 f ( x ) =  x 0 ( t 2 − 4 t + 3 ) e 2t d t , x   0 , 3  ,则下列说法中,正确的是 ( ) (A) f ( x ) 为单调函数. (B) 4 e − 9 为 f ( x ) 的一个上界. (C) f ( x ) 的最小值为 0 . (D) f ( x ) 不存在最大值. 9 若 f ( x ) 为区间 I 上的连续函数,且 f ( x ) 的值域包含于 I,x,x 为 1 2 I 中任意两个不 同的点,则 下列命题中, 正确的是( ) (A) 若在区间 I 上, f ( x )  0 , f  ( x )  0 ,则 f 2  x 1 + 2 x 2   f 2 ( x 1 ) + 2 f 2 ( x 2 ) . (B) 若在区间 I 上, f(x)0, f(x)0 ,则 f 2  x 1 + 2 x 2   f 2 ( x 1 ) + 2 f 2 ( x 2 ) .  x +x  f ( f (x )) + f ( f (x )) (C) 若在区间 I 上, f (x)0, f(x)0 ,则 f  f  1 2  1 2 .   2  2 (D) 若在区间 I 上, f  ( x )  0 , f  ( x )  0  x +x  f ( f (x )) + f ( f (x )) ,则 f  f  1 2  1 2 .   2  2900题 · 2. 一元函数微分学 10 设函数 第 50 页，共223页 f ( x ) 在  0 , 2  上二阶可导,且 f ( 0 ) + f ( 2 ) = 0 ,则 ( ) (A) 若 f(x)0 ,则  2 0 f ( x ) d x  0 . (B) 若 f(x)0 ,则  2 0 f ( x ) d x  0 . (C) 若 f  ( x )  0 ,则  2 0 f ( x ) d x  0 . (D) 若 f  ( x )  0 2 ,则  f (x)dx0 . 0 11 设函数 f ( x ) 可导,且 f  ( x )  0 , g ( x ) =  x 0 f ( t ) d t . 若 g ( 1 ) = 1 , g ( 3 ) = 7 ,则 g ( 2 ) 的值 可能为( ) (A) 2. (B) 3 . (C) 4. (D) 5 . 12 设函数 f (x) 在 (0,+) 上具有二阶导数, f(x)0 ,记 u = f (n) ,则数列 u  发 n n 散是 u u 的 ( ) 1 2 (A) 充分必要条件. (B) 充分不必要条件. (C) 必要不充分条件. (D) 既不充分也不必要条件.公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取900题 · 2. 一元函数微分学 13 设函数 第 51 页，共223页 f ( x ) 具有二阶导数, f ( 0 )  0 , f  ( 0 )  0 ,当 x0 时, f(x)0 ,则下列说法 中,正确的是 ( ) (A) f ( − f ( 0 ) f  ( 0 ) )  0  f (0) . (B) f − 0 .  f(0)   (C) f (x) 在 0,+) 上只有一个零点. (D) f (x) 在 0,+) 上没有零点. 14 设函数 f ( x ) 在  0 , )  + 上二阶可导,且 f (0)=0.下列命题中,正确命题的个数为( ) ① 若在 ( 0 , )  + 上恒有 f(x)0 ,则 f ( x x ) 在 ( 0 , )  + 上单调减少. ② 若 f ( x x ) 在 ( 0 ,1  上单调减少,则在 ( 0 ,1  上恒有 f  ( x )  0 . ③ 若 lim x f ( x x )  → + 存在,则 lim f(x) 存在. x→+ ④ 若在 ( 0 , )  + 上恒有 f(x)0 ,且 lim x f ( x x )  → + 存在,则 lim x f ( x )  → +  存在. (A) 1 . (B) 2 . (C) 3 . (D) 4 .900题 · 2. 一元函数微分学 15 设函数 第 52 页，共223页 f ( x ) =  s in x 1 , x , x x  = 0 0 , , x 2x 则下列区间中,是函数g(x)= f (t)dt− 的单调增加区间为 0  ( ) (A)  , 0   − . (B)  0 ,  . (C)  2 , 2    −  . (D)  ,   − . 二、填空题 16 设函数 f ( x ) = 1 1 + − x x 4 1 1 + − 2 2 x x ,则 f  ( 0 ) = ________ . 17 设 f ( x ) 为定义在(−,0)(0,+)上的分段连续函数,且 lim x → 0 − f ( x ) = − 1 , lim x → 0 + f ( x ) = 1,则 x F(x)= (sinx−sint)f (t)dt 在 x=0 处可导的最高阶数为________ . 0900题 · 2. 一元函数微分学 18 设函数 第 53 页，共223页 y = y ( x ) 由方程组  x  = 2 0 a r c y u e d ta u n + t ,  0 t 1 c o + s u 2 u d u = 0 确定,则 y  ( 0 ) = ________ . 19 已知函数 f ( x ) 在 ( , )   − + 上连续,且 f ( x ) = x 2 +  x 0 ( x − t ) f ( t ) d t ,则对任意正整数 n , f (2 n ) ( 0 ) = ________ . 20 设函数 f ( x ) = ( x 3 − 1 ) n s in x ,则对任意正整数 n , f (n ) ( 1 ) = ________ .900题 · 2. 一元函数微分学 n ax2 +(1−2a)x−2 21 设函数 f (x)=   (a0) . 若 f (n)(2)=2nn! ,则 ex−2 第 54 页，共223页 a = _______ . 22 设函数 f ( x ) = x ln x + e 6 x 3 − e 2 x 2 +  e 2 − 1  x − e 6 , g ( x ) = x ( ln x − 1 ) + e x − e x . 若曲线 y = f ( x ) 与 y = g ( x ) 相切于一点,则它们的公共切线的方程为_______ . 23 已知质点以恒定速率沿曲线运动时,向心加速度大小为 v 2 ,其中  v 为质点的运动速率,  为曲率半径. 设单位质点以恒定的速率 v 0 沿着一个形状满足 y = x 2 的光滑轨道移动,则 其在点 ( 0 , 0 ) 处受到的向心力大小为_______ .900题 · 2. 一元函数微分学 24 设 第 55 页，共223页 f ( x ) 为可微函数,曲线 y = f ( x ) 与曲线 y=arctanx 在点 1 , 4    处有公共切线,则 lim n n f n n 1 a r c ta n n n 1  →   +  − −  = _______ . 25 设函数 f ( x ) 具有二阶导数,且在点 ( 0 , 0 ) 处的曲率圆为 ( x + 1 ) 2 + ( y + 2 ) 2 = 5 ,则  1  1 limn2  f  + f −  =_______ . n→  n  n 26 设函数 f ( x ) 具有二阶连续导数. 若曲线 y = f ( x ) 过点 (0,0) 且与曲线 y = ln x 在点 ( e ,1 ) e 处相切,则  xf(x)dx=_______ . 0900题 · 2. 一元函数微分学 27 曲线 x3 y3 y2 的斜渐近线方程为_______ . 28 设函数 第 56 页，共223页 y = f ( x ) 在区间  0 , c ) 上具有一阶连续导数,其值域为 1 , ) , f ( 0 ) 1  + = ,并且 y   y 2 恒成立,则区间  0 , c ) 内包含的最大整数是_______ . 三、解答题 29 设函数 f ( x ) 在  0 , )  + 上一阶可导,且当 x  0 时, f  ( x )  1 x , f ( 0 )  0 . 证明: f ( x ) 在 (0,+) 内有且仅有一个零点.900题 · 2. 一元函数微分学 30 设函数 第 57 页，共223页 f ( x ) 在 ( , )   − + 上二阶可导, f  ( x )  0 , x = c 是 f ( x ) 的最小值点, f ( c )  0.证 明: f (x) 在 (−,+) 上恰有两个零点. 31 设函数 f ( x ) 在  a , b  上连续, g ( x ) 在  a , b  上有连续导数,且 g(x)0 . 若  b a f ( x ) d x = 0 ,  b a f ( x ) g ( x ) d x = 0 ,证明: 至少存在两个不同的点 1 , 2 ( a , b )    ,使得 f ()= f ()=0 . 1 2 32 证明: 对任意的 0a1,0b1 ,均有 e − (a + 8 b 2)  e − 2 a8 + e − 2 b8 − 1 .900题 · 2. 一元函数微分学 33 设 第 58 页，共223页 f ( x ) 为 2 , 2    −  上的连续函数,满足 f ( − x ) = f ( x ) ,且当 x 0 , 2     时, s in( x x 1 − − x c c o o s s x x) f ( x ) = . 证明: 1 2  f ( x )  2 3 . 34 证明: 2 8 2 0 a x r c 1 ta n x 2 x d x ( 8 2 )      + +  + . 35 设函数 f (x) 在  0 , 3  上连续,在 (0,3) 内可导,且 f (0)+2f (1)=2f (2)+ f (3)=1 . 证明: 存在 ( 0 , 3 )   ,使得 f()=0 .900题 · 2. 一元函数微分学 36 设函数 第 59 页，共223页 f ( x ) 在  1 , e 2  上连续,在 ( 1 , e 2 ) 内具有二阶导数,且 = 2 f ( 1 ) = 0 , f ( e ) = 1 , f ( e 2 ) . 证明: 存在 ( 1 , e 2 )   ,使得 f ( ) 2 1   = − . 37 设函数 f ( x ) 在 0 , 2    上二阶可导,且 f ( 0 ) 0 , f 2 f ( 0 ) 1  =   =  = . 证明: 存在  0 , 2     ,使得 f ( ) s in    = − . 38 设在  0 ,1  上连续,在 ( 0 ,1 ) 内二阶可导的函数 f ( x ) 满足 lim x → 0 + f ( x x ) = lim x → −1 f ( x ) x − − 1 1 = − 1 , f  1 2  = 1 4 . 证明: 存在 ( 0 ,1 )   ,使得 f()=2 .900题 · 2. 一元函数微分学 39 设函数 第 60 页，共223页 f ( x ) 在  0 ,1  上二阶可导,且 f ( 0 ) = f  ( 0 ) = 1 . 证明: 对任意 x(0,1) ,均存 在 x ( 0 ,1 )   ,使得 f ( x ) x 1 2 x 2 f ( x )  − − =  . 40 设 a  0 ,函数 f ( x ) 在 a,b 上连续,在 ( a , b ) 内可导. 证明: 若对任意 x  ( a , b ) , 都有 f  ( x )  0 ,则存在 1 , 2 ( a , b )    ,使得 f f (( 1 2 )) a 2 a a b b b 2 2 3 122 .       = + + +  41 证明: 在区间 (0,2) 内存在三个不同的点 x,x ,x ,使得 1 2 3 1 − ( ln 1 + ( 1 x + 1 ) x 2 1 ) x 3 = 1 − ( ln 1 + ( 1 x + 2 ) x 2 2 ) ( 2 − x 3 ) .公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取900题 · 2. 一元函数微分学 42 设函数 第 61 页，共223页 f ( x ) 在  0 ,1  上二阶可导, f ( 0 ) = 0 , f ( 1 ) = 1 ,且 f  ( x )  0 . 证明: 存在唯一 的 ( 0 ,1 )   ,使得 f ( ) 1   = − ,且 1 2   . 43 设函数 f ( x ) 为  0 ,   上的连续正值函数, F(x) 为  0 ,   上的连续函数,且对 x ( 0 , )   , F ( x ) =  x 0 ( 1  − c o x 2 t0 s f t ( ) t f ) d ( t t ) d t . 求 F ( x ) 在  0 ,   上的最大值. 44 设函数 f ( x ) 为 1 , )  + 上的正值函数,且 f (x)e x . 证明: 存在 ( 1 , )    + ,使得 f() f ().900题 · 2. 一元函数微分学 45 设函数 第 62 页，共223页 f ( x ) 为  0 , )  + 上恒正且具有二阶连续导数的凹函数,且 f  ( 1 )  0 . 证明: 存 在 唯一的 x 0  ( 0 ,1 ) ,使得曲线 y = f ( x ) 在点 ( x 0 , f ( x 0 ) ) 处的切线在 y 轴上的截距等于  0 , x 0  上以 y = f ( x ) 为曲边的曲边梯形的面积. 46 设函数 f (x),g(x) 在  a , b  上连续,在 (a,b) 内具有二阶导数,且 f (a)=g(b), f (b)= g ( a ) ,  b a f ( x ) d x =  b a g ( x ) d x . 证明: 存在 ,(a,b) ,使得 f ( ) g ( )    =  .900题 · 2. 一元函数微分学 C 类 解答题 1 设函数 f (x) 二阶可导,且 f(0)0,ba0 . 若存在函数 (x) ,使得 第 63 页，共223页 f ( a x ) − f ( b x ) = f ( ( x ) x ) ( a b ) x , ( x )    − 介于 a , b 之间,求 lim x 0 ( x )  → . 2 设函数 f ( x ) 在 ( , )   − + 上二阶可导,且 f ( x ) 0 , lim x f ( x ) A    → − = ,其中 A 为常数. 证明: lim x f ( x )   → + = − . 3 设函数 f ( x ) 在  0 , )  + 上连续,在 ( 0 , )  + 上恒大于0,并且当 x  0 时,f (x) 3    3  x 0  f ( t )  2 d t .证明:当 x  0 时, f ( x )  x .900题 · 2. 一元函数微分学 4 设函数 第 64 页，共223页 f ( x ) 在 x = a 的某个邻域内具有三阶连续导数,且 f  ( a )  0 ,且存在 0   , 使得 当 x ( a , a ) ( a , a )    −  + f (t)− f (x) 时, lim 0 . 证明: t→a (t−x)2 (I) 对任意 x ( a , a ) ( a , a )    −  + ,都有 f ( x )  f ( a ) . (II) 不存在数列  x n  ,使得 x i x j ( i j ) , lim n x n a    → = 且 f ( x n ) = f ( a ) . (III) x = a 是 f ( x ) 的极大值点.900题 · 3. 一元函数积分学 第三章 一元函数积分学 A 类 一、选择题 1 设函数 第 65 页，共223页 f ( x ) 在 ( , )   − + 上连续,则 d   f d (( x x 2 2 )) d x  等于 ( ) (A) f ( x 2 ) . (B) f ( x ) . (C) f ( 2 x x 2 ) f (x) . (D) . 2x  1 1 ex, 0x1, 2xsin −cos , x−1,1\0,  2. 设函数 f (x)= x x g(x)=0, x=0, 则下列说法中,  0, x=0,   −e−x, −1x0, 正确的是( ) (A) f ( x ) 与 g(x) 在 −1,1 上均有第一类间断点. (B) f ( x ) 与 g(x) 在 −1,1 上均有第二类间断点. (C) f ( x ) 与 g(x) 在 −1,1 上均存在原函数. (D) 定积分  1 − 1 f ( x ) d x 1 与  g(x)dx 均存在. −1900题 · 3. 一元函数积分学 3 设函数 第 66 页，共223页 f ( x ) 在区间  0 , a  ( a  0 ) 上连续,则  a 0 f ( x ) d x = ( ) (A) lim n a 2 n k n 1 f 2 k a 2 n a  →  =  −  . (B) lim n a n k n 1 f k a 2 n a  →  =  −  . (C) lim n a 4 n k n 1 f 4 k a 4 n a  →  =  −  . (D) lim n a n k n 1 f 4 k a 4 n 3 a  →  =  −  . 4 若函数 f ( x ) 的导函数是 s 1 in 2 x ,则下列函数中,可能是 f ( x ) 的原函数的个数为 ( ) ① 1 − ln s in x . ② x − ln s in x . ③ 1 + ln s in x . ④ − x + ln s in x . (A) 1 . (B) 2 . (C) 3 . (D) 4 . 5 设函数 f ( x ) ( ) 2 1−x2 +xarcsinx 的导函数为 ,下列函数中,可能为 3 ( 1−x2) 2 f ( x ) 的原函数是( ) (A) x a r c s in x . (B) − x a r c s in x . (C) (arcsinx)2 . (D) −(arcsinx)2 .900题 · 3. 一元函数积分学 6 如图所示,连续函数 第 67 页，共223页 y = f ( x ) 在区间  − 6 , − 4  , 4 , 6  上的图形分别是长轴为2,短轴为1的上、 下半椭圆周,在区间  − 4 , 0  , 0 , 4  上的图形分别是直径为4的下、上半圆周.设  x 0 f ( t ) d t F ( x ) = ,则下列结论中,正确的是 ( ) (A) F ( − 6 ) = − 9 8 F ( 4 ) . (B) F ( 6 ) = − 7 8 F ( 4 ) . (C) F ( − 6 ) = 7 8 F ( − 4 ) 9 . (D) F(6)= F(−4) . 8 7 设函数 f ( x ) 与 g ( x ) 在区间0,2上均有连续导数,曲线段 y = f ( x ) 与 y = g ( x ) 的图形如图所 示.记 I 1 =  2 0  f  ( x ) + g  ( x )  d x , I 2 =  2 0  x f  ( x ) + g ( x )  d x , I 3 =  2 0  x g  ( x ) + f ( x )  d x ,则 ( ) (A) I 1  I 2  I 3 . (B) I I I . 1 3 2 (C) I 2  I 1  I 3 . (D) I I I . 3 1 2900题 · 3. 一元函数积分学 8 设在区间 第 68 页，共223页  a , b  上,函数 f ( x ) 满足 f ( x )  0 , f  ( x )  0 , f  ( x )  0 .令 = 1 2  f ( a ) + f ( b )  ( b − a ) , S 3 = f ( a ) ( b − a ) S 1 =  b a f ( x ) d x , S 2 ,则 ( ) (A) S 1  S 2  S 3 . (B) S 2  S 3  S 1 . (C) S S S . (D) S S S . 3 2 1 1 3 2 9 设 I 1 3 4 e co sx d x , I 2 3 4 e tan x d x , I 3 3 4 e co tx d x       =  =  =  ,则 ( ) (A) I 1  I 2  I 3 . (B) I 1  I 3  I 2 . (C) I 2  I 1  I 3 . (D) I 3  I 2  I 1 . 1 2+x 1 1 1 (x+1)2 10 设 I = ln dx,I = dx,I = dx ,则 ( ) 1 −1 2−x 2 −1ex +e−x 3 −1 x2 −4 (A) I 1  I 2  I 3 . (B) I 1  I 3  I 2 . (C) I 3  I 1  I 2 . (D) I 3  I 2  I 1 .900题 · 3. 一元函数积分学   11 若   ( sinx−a x−b x2)2 dx= min   ( sinx−ax−bx2)2 dx ,则 a x+b x2 =( ) 0 0 0 0 − a,bR − 3 3 (A) x . (B) x2 . (C) 2 2 第 69 页，共223页 3 2 x  2 . (D) x2 . 3 12 设函数 F ( x ) 为连续函数 f (x)在 0 , 2    上的一个原函数,且 F 4 1 , f ( x ) F ( x )    = − = −sin2x, 则 2 0 F ( x ) d x ( )   = (A) 2 2 . (B) 1 . (C) 2 . (D) 2 . 13 设函数 F ( x ) =  x 0 ( x − 2 t ) f ( x − t ) d t ,其中 f ( x ) 为连续函数,则下列命题中,正确的是( ) ① 若 f (x) 为单调减少函数,则 F(x) 为单调减少函数. ② 若 f ( x ) 为单调减少函数,则 F ( x ) 为单调增加函数. ③ 若 f (x) 为奇函数,则 F(x) 为奇函数. ④ 若 f ( x ) 为奇函数,则 F(x) 为偶函数. (A) ①③. (B) ①④. (C)②③. (D) ②④.900题 · 3. 一元函数积分学 14 设函数 第 70 页，共223页 f ( x ) s 1 e , c x , 0 4 x x 4 2 , , F ( x ) x 0 f ( t ) d t    =      =  ,则 ( ) (A) x 4  = 是函数 F ( x ) 的跳跃间断点. (B) x 4  = 是函数 F ( x ) 的可去间断点.  (C) F(x) 在 x= 处连续但不可导. (D) F(x) 在 4 x 4  = 处可导. 15 下列反常积分中, 发散的是 ( ) (A) 0 x e x d x   + − . (B) 0 x 3 e x 2 d x   + − . (C) 0 a r 1 c ta n 2 x x d x   + + . (D) 0 ( 1 x 2 1) a r c ta n x d x   + + . ln+1(1+x) 1  , 0x ,  1+x 2 16 设函数 f (x)= x 1 若积分  , x1.  2 ( 1−x2) 2   1 0 f ( x ) d x 收敛,则 ( ) (A) −20 . (B) −22 . (C) 02 . (D) −20 或 02 .公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取900题 · 3. 一元函数积分学 二、填空题 17 设函数 第 71 页，共223页 f ( x ) 连续,若  x tf (t)dt=ln ( 1+x4) ,则当 0 x  0 时,  f ( x ) d x = _______ . 18 设函数 f ( x )  连续,且 f (x)=cosx+22f (t)dt ,则 0 f ( x ) = _______ . 19 已知函数 f ( x ) 具有二阶连续导数,且满足 f ( 1 ) = − 1 , f  ( 0 ) = 0 1 及  f (x)dx=1 ,则 0 2 0 c o s 3 x f ( s in x ) d x    = _______ .900题 · 3. 一元函数积分学 20 第 72 页，共223页 lim n 1 n 2 a r c s in 1 n 2 a r c s in 2 n n a r c s in n n  →  + + +  = _______ . 21 函数 y = 1 x − 3 2 x 2 在区间  0 , 1 2  上的平均值为_______ . 22 设连续函数 f ( x ) 满足 f ( x + 3 ) − f ( x ) = 3 x + 9 2 ,  3 0 f ( x ) d x = 3 ,则  4 1 f ( x ) d x = _______ .900题 · 3. 一元函数积分学 23 设连续函数 第 73 页，共223页 f ( x ) 1 2 满足 f (2x)− f (x)=2x2, f (x)dx=1 ,则  f (x)dx=_______ . 0 1 2 4 lim n 1 a0 r c ta n n x d x  →  = _______ . 2 5 lim n 1 e0 x c o s n x d x  →  − = _______ .900题 · 3. 一元函数积分学 26 设函数 第 74 页，共223页 f ( x ) 连续,则 d d x  x 0 2tf ( x 4 − t 2 ) d t = _______ . 27 设曲线的极坐标方程为 =e2 ,则该曲线上相应于  从 0 变到  的一段弧与极轴所 围成的图形的面积为_____. 28 圆 x 2 + y 2 = 4 与椭圆 2 x 2 + y 6 2 = 1 所围公共部分的面积为_______ .900题 · 3. 一元函数积分学 29 设点 B 为曲线 y= x+1 与 第 75 页，共223页 y = a ( x + 1 ) ( a  0 ) 的不同于点 A(−1,0) 的交点. 由点 B 引垂线交 x 轴于点 C ,则曲边三角形 ABC 与三角形 A B C 的面积之比为_______ . 30 抛物线 y = 2 x 4 与过点 ( 0 ,1 ) 的直线所围成的平面图形面积的最小值为_______ . 31 由曲线 y c o s x 2 x 2   =  −    与 x 轴所围成的平面图形绕 x 轴旋转一周所成旋转体 的体积与绕 y 轴旋转一周所成旋转体的体积之差为_______ .900题 · 3. 一元函数积分学 32 设 第 76 页，共223页 y = f ( x ) 是定义在  0 , )  + 上的非负函数,且对于任意的 a  0 , x = 0 , x = a , y = f ( x ) 与 x 轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周与绕 y 轴旋转一周所形成的旋转体体积相同,则y= f (x) 与y=x3所围成的平面图形面积为______. 33 设直线 y = a x ( 0  a  1 ) , x = 1 与曲线 y = x 2 所围成的平面图形记为D ,直线 1 y = a x ( 0  a  1 ) 与曲线 y = x 2 所围成的平面图形记为 D 2 ,记 D = D 1  D 2 ,则当平面图形 D 绕 x 轴旋转所得旋转 体体积最小时, a = _______ . 34 设区域 D 由曲线 y= a2−x2(0xa) 与 x y a a c s o s in 3 t 3 t , 0 t 2   = =     所围成,则 D 绕 x 轴旋转一周所得旋转体的表面积为_______ .900题 · 3. 一元函数积分学 35 设质点以速度 第 77 页，共223页 tc o s t 2 m / s 沿某一方向做直线运动,则从时刻 t1 4 s  = 到时刻 t2 2 s  = 内质点 所经过的路程为 _______ m . 36 设一物体按规律 x=ct2 在某介质中做直线运动,其中 t 为时间参数. 已知介质的阻力与 速度成正比,比例系数为 k ,则物体由 x = 0 到 x = a 这段时间内克服介质阻力所做的功力 ______. 三、解答题 37 计算下列不定积分: (I)  3 x + 5 1 − x 2 d x dx ; (II)  ; ( x2 −3 ) x2 +1900题 · 3. 一元函数积分学 3 x3ln ( x2 +1 ) x (III) e2 arccos 1−exdx ; (IV)  dx; x2 +1 (V) 第 78 页，共223页  3 x 6 x + 4 2 − x 4 5 x − 2 1 6 d x ; (VI) 求  a r c ta n 1 + x 4 x d x ( x  0 ) . 38 求  m a x  x 2 , x + 2  d x .900题 · 3. 一元函数积分学 39 对 第 79 页，共223页 x 2 , 2     −  ,计算  a ta n 2 x d x + b s e c 2 x ,其中 a , b 为不全为零的非负常数. 40 求 lim n k n 1 k n 2 a r c ta n k n  →  = . 41 计算下列定积分: (I) 1 0 0 e arctan ( x 5 ) e arctan (5 x ) x c o s x 2 d x      − − − +  ; (II)  0 3 x 4 a x r 2 c ta n + 1 x d x .900题 · 3. 一元函数积分学 1 1 1 42 设函数 f (x)在0,1上连续,且 f (x)= +  f (x)dx.求 f (x). 2+ 1−x2 1+cos  x+2sin  x 0 2 2 43 计算下列反常积分: (I) 第 80 页，共223页 1 a r c ta 2 x n x d x   + + ; (II)  e− 2x+1dx ; 0 (III) 4 2 x 2 1 1 1 x 1 5 d x   + − + ; (IV)  1 0 x 4 1 + − x x − 2 1 a r c c o s x d x ;公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取900题 · 3. 一元函数积分学 (V) 设函数 第 81 页，共223页 f ( x ) =  2 x 1 − 4 x − , 1 2 x 2 + 2 , x x   0 0 , , + 求  xf (x)dx. − 44 设函数 f ( x ) =  2 ln −( 1 e x 4 + x + x e x) , , − 0 1   x x   1 0 , , 求函数 F ( x ) =  x − 1 f ( t ) d t . 45 设非负函数 f ( x ) 在 ( , )   − + 上可导,且 f  ( x )  0 .函数 F ( x ) =   0 x 0 , ( x 2 − t x 2 2 ) f ( t ) d t , x x  = 0 0 , . (I) 计算 F  ( x ) ,并分析 F  ( x ) 的连续性; (II) 判断曲线 y=F(x) 的凹凸性.900题 · 3. 一元函数积分学 46 过点 第 82 页，共223页 ( 1 , 0 ) 作曲线y=ex的切线,该切线与曲线y=ex以及两坐标轴围成平面图形D. (I) 求 D A ; (II) 求 D 绕直线 y=e2 旋转一周所得旋转体的体积. B 类 一、选择题 1 设函数 f ( x ) x tc 1 o s td t , x 2 , 2   =  −   −  ,则曲线 y = f ( x ) 与 x 轴所围图形的面积为( ) 1 (A) 2 xsinxdx . (B) 0 2  1 0 x 2 s in x d x . (C) 2  1 0 x c o s x d x 1 . (D) 2 x2cosxdx . 0900题 · 3. 一元函数积分学 2 设二阶可导函数 第 83 页，共223页 f ( x ) 满足 f (0)= f (2)=0, f (1)=a0 且 f  ( x )  0 ,则( ) (A)  2 0 f ( x ) d x  a 2 . (B)  f (x)dxa . 0 (C)  1 0 f ( x ) d x   2 1 f ( x ) d x 1 2 . (D)  f (x)dx f (x)dx . 0 1 3 设 ( , )   − + 上的非负连续函数 f ( x ) 满足 f ( x ) f ( 1 − x ) = 1 ,则  1 0 1 x + − f 1 2( x ) d x = ( ) (A) 1 1 6 . (B) 1 8 . (C) 1 4 . (D) 1 2 . 4 设函数 f ( x )  连续,且 2 f (xcosx)cosxdx=1 ,则  − 2 2 2 f ( x c o s x ) x s in x d x ( )    − = (A) -1 . (B) 0 . (C) 1 . (D)  .900题 · 3. 一元函数积分学 5 若 第 84 页，共223页 e 2 1 , e 2 1     − − 分别为 e x 2 x − 1 在 ( 0 ,1 ) 和 (0,a)(0a1) 上的平均值,其中  ( 0 ,1 ) , ( 0 , a )    ,则  与  的大小关系为 ( ) (A)    . (B) = . (C)    . (D) 从已知条件无法确定.  6 设函数 F(x)=2 sinx−sint dt ,则 0 F ( x ) 在 0 , 2    上 ( ) (A) 单调增加. (B) 单调减少. (C) 有极小值点. (D) 有极大值点. 7 设函数 f ( x ) =  x 0 x 2 s in t t d t ,则下列命题中,正确的是 ( ) (A) f ( x ) 在 (0,) 内单调减少. (B) f (x) 是偶函数. (C) f  ( 1 ) = s in 1 . (D) f  ( 1 ) = 2 f ( 1 ) + s in 1 .900题 · 3. 一元函数积分学 8 设 第 85 页，共223页 F ( x ) x x 2 f ( t ) d t  =  + ,其中 f ( x ) = s in 2 x a r c ta n ( s in 2 x ) c o s 2 x ,则 F ( x ) ( ) (A) 为正数. (B) 为负数. (C) 恒为零. (D) 不是常数. 9 设定义在 ( , )   − + 上的连续函数 f ( x ) 的图形关于 x = 0 与 x = 1 均对称,则下列命题 中, 正确命题为 ( ) 1 x ① 若  f (x)dx=0 ,则  f (t)dt 为周期函数. 0 0 2 x ② 若  f (x)dx=0 ,则  f (t)dt 为周期函数. 0 0 ③  x 0 f ( t ) d t − x  2 0 f ( t ) d t 为周期函数. x x 2 ④  f (t)dt−  f (t)dt 为周期函数. 0 2 0 (A) ②③. (B) ②④. (C) ①②③. (D) ①②④.900题 · 3. 一元函数积分学 10 对于未知参数 第 86 页，共223页 a 和 b ,反常积分 1 a 2 e 2 2 a ( 1 2 x 2 e x x 2 ) a 1 2x a 2 x b x d x ( )   +  − + + − + + − +  (A) 一定不收敛. (B) 一定收敛. (C) 若收敛, 则其值为 1 . (D) 若收敛,则其值为 e . 二、填空题 1 1 lim n n i 1 i n n 2 1 i 2 i 3  →  =  + −  = _________ . 12 已知函数 f ( x ) = c o s x  xln 1 c o s t d t ,则  1 0 f ( x ) d x = _________ .900题 · 3. 一元函数积分学 13 已知 第 87 页，共223页 y  ( x ) = c o s ( 1 − x ) 2 ,且 y ( 0 ) = 0 ,则  1 0 y ( x ) d x = _________ . 14 2 1 s in x x ln x x c o s x d x   +  = _________ . 15 设函数 y ( x ) 满足 x y ln x + ( 1 − x ) y = ln ln x ,且  e e 2 y ( x ) d x = 0 ,则 2 y ( e 2 ) − y ( e ) = _________ .900题 · 3. 一元函数积分学 16 设函数 第 88 页，共223页 f ( x ) 连续,且 f ( 0 ) = 0 , f  ( 0 ) = 1 2 ,则 lim x → 0 +   ( ln 1 0 x  0 + ) x tf ( f t ( ) t d ) t d  t 2 = _________ . 17 设函数 f ( x ) x ( ) 可导,且 f (0)=0, f(0)=1,F(x)= t2n−1f n x2n −t2n dt ,则 0 lim x → 0 1 − F c ( o ) x n s x + 1 = _________ . x  sinxtlnxtdt 1 18 lim x =_________ . x→+  11 dt 1t x900题 · 3. 一元函数积分学 三、解答题 19 求 第 89 页，共223页 0 2 x s in x d x   + . 1 ( ) 1 1 1  20 (I) 求 lim 41+42+ +4n + + + ;   n→n2 41 42 4n (II) 求 lim n n 4 1 1 n 4 2 2 n 4 n n ( 4 1 4 2 4 n ) 1 4 1 4 1 2 4 1 n  →  + + + + + +  + + +  + + +  .900题 · 3. 一元函数积分学 21 求 第 90 页，共223页  1 0 1 + x x 2 f ( x ) d x x arctant ,其中 f (x)= dt . 3 1( 1+t2) 2ln ( 1+t2) 22 设函数 f ( x ) 连续,且 f ( 0 )  0 ,求 lim x → 0  x 0 ( s in x x 2  − s xtf 0 in ( t t 2 2 ) ) d f t ( t ) d t . 23 设函数 F ( x ) =  1 − 1 x − t e − 2t d t − 1 . 讨论 F ( x ) 在  − 1 ,1  上的零点个数.公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取900题 · 3. 一元函数积分学 24 设 第 91 页，共223页 f ( x ) 是区间  0 ,1  上的单调、可导函数,且满足  f 0 ( x ) f − 1 ( t ) d t =  x 0 e t td + t e − t , 其中 f − 1 是 f 的 反函数,求 f (x) . 25 求函数 f ( x ) x x 2 s in t c o s t d t  =  + + 的最值. 26 如图所示,曲线 C 的方程为 y = f ( x ) ,点 ( 2 .5 , 2 ) 是它的一个拐点,直线l 与 1 l2 分别是曲线 C 在 点 ( 1 , 2 ) 与点 ( 2 .5 , 2 ) 处的切线,其交点为 ( 1 .5 , 0 ) .设函数 f ( x ) 具有三阶连续导数,求  2.5( x2 −x ) f(x)dx. 1900题 · 3. 一元函数积分学 27 如图所示, 第 92 页，共223页 C 1 和 C 2 分别是 y = 1 2 ( e x + e − x ) 和 y = e 2 x 的图形,过点(0,1)的曲线 C 3 是某单调增 加函数的图形.过 C 2 上任一点 M ( x , y ) 分别作垂直于 x 轴和 y 轴的直线l 和 x l y .记 C 1 , C 2 与 l x 所 围图形的面积为S (x);C ,C 与 1 2 3 l y 所围图形的面积为S (y).如果总有2S (x)= S (y),求曲线 2 1 2 C 3 的方程 x ( y )  = . 28 设曲线 C 是以点(1,0)为圆心,1为半径的上半圆周.直线y=ax(a0),x=2与曲线 C 所围成 的平面图形记为 D 1 ,直线 y = a x ( a  0 ) 与曲线 C 所围成的平面图形记为D ,记 2 D = D 1  D 2 ,问: a为何值时,区域 D 的面积取得最小值?900题 · 3. 一元函数积分学 29 在第一象限内求曲线 第 93 页，共223页 y = 2 − 1 2 x 2 上的一点,使该点处的切线与所给曲线及两坐标轴所围 成的图形面积最小, 并求此最小面积. 30 已知抛物线 l1 : y = ( x + 1 ) 2 和l :y=ax2 +bx相切于唯一的公共点 2 P ,其中参数b(−,0). 记抛物线 l2 与 x 轴所围图形的面积为 A ,问: A 是否存在最值?若存在,求出该最值. 31 设xOy平面上有正方形D=(x,y丨)0x1,0y1及直线l:2x+ y=t(t0).若S(t)表示 正方形 D 位于直线 l 左下方部分的面积,求  xS 0 ( t ) d t ( x  0 ) .900题 · 3. 一元函数积分学 32 设函数 第 94 页，共223页 f ( x ) = 1 + x 2 x 2 , x   0 ,1  .定义函数列: f1 ( x ) = f ( x ) , f (x)= f ( f (x)) , , 2 1 f n ( x ) = f ( f n − 1 ( x ) ) , . 记 S n 是由曲线 y = f n ( x ) ,直线 x = 1 及 x 轴所围平面图形的面 积,求极限 lim n n S n  → . 33 设 n 为正整数,记 S n 为曲线 y e n x s in x ( 0 x n )  = −   与 x 轴所围图形的面积,求 S n ,并 求 limn2S . n n→900题 · 3. 一元函数积分学 34 设函数 第 95 页，共223页 f ( x ) 在区间a,b上二阶可导,且在(a,b)内有 f  ( x )  0 .对任意 x   0 , b − 2 a  ,均有 f  a + 2 b + x  = f  a + 2 b − x  . (I) 求 f   a + 2 b  ; (II) 证明:在 ( a , b ) 内恰好存在两个点, ( ),使得当 1 2 1 2 i = 1 , 2 时,曲线y= f (x)与直线 y f ( i )  = 所围平面图形面积 S i 均为曲线 y = f ( x ) 与两直线 y f ( 1 ) , x a  = = 所围平面图形面积 S 0 的4倍. 35 设曲线方程为 x y (( t t )) t 1 s c in o t , s t , t ( 0 , 2 )   = = − −  .分别以曲线上的点A(a,c),B(b,d)为切点作斜率 为 3 , − 3 的切线,求由曲线上的弧 A B ,直线x=a,x=b以及 轴所围区域绕 轴旋转一周所得旋 x x 转体的体积.900题 · 3. 一元函数积分学 36 设区域 第 96 页，共223页 D 如图所示,由上半圆周 x 2 + y 2 = 1 ( y  0 ) ,直线 y = a ( 0  a  1 ) , x = 1 , x = − 1 所围成. 记区域 D 绕直线 y = a 旋转一周所得旋转体的体积为V(a).求V(a)的最大值与最小值. 37 设函数 f ( x ) 满足方程 e x f ( x ) 3 e x f ( x ) 2 c o s x , x ( , )     + − − =  − + . (I) 求 f ( x ) 在 ( 0 , 2 ) 内的极值;  (II) 求曲线 y = f ( x ) 在 0 , 2    的部分与 轴所围图形绕 x x 轴旋转一周所成旋转体 的体积.900题 · 3. 一元函数积分学 38 一容器的内侧是由图中曲线绕 第 97 页，共223页 y 轴旋转一周而成的曲面,该曲线由 4 2 7 x 2 + ( y − 1 ) 2 = 1 ( y  1 ) 与 x 9 2 + y 4 2 = 1 ( y  1 ) 连接而成. (I) 求容器的容积; (II) 如图所示,现容器中的液面位于x轴下方,若将容器中的水从容器顶部全部抽出,顶部出口 在图中 ( 0 , 2 ) 处,至少需要做多少功?(长度单位: m ,重力加速度为 g m / s 2 ,水的密度为 1 0 3 k g / m 3 ) 39 记 a n 2 4 c o t n x d x   =  . 证明 lim n a n  → 存在,并求此极限.900题 · 3. 一元函数积分学 40 设函数 第 98 页，共223页 f ( x ) 在  − 1 ,1  上具有连续导数,且 m  f ( x )  M .证明: 1 2  1 − 1 f ( x ) ( 3 x 2 + 1 ) d x − 2 f ( x )  2 ( M − m ) . 41 设函数 f ( x ) 在  0 , )  + 上连续,且 f  ( x ) 连续, f ( 0 ) = 0 , 2 f ( x ) − f  ( x )  1 .证明:对 x ( 0 , )   + ,有 f ( x )  1 2 ( e 2 x − 1 ) .900题 · 3. 一元函数积分学 42 设函数 第 99 页，共223页 f ( x ) 在  0 ,1  上连续,在  0 , 1 2    1 2 ,1  上可导,对任意 x   0 , 1 2    1 2 ,1  , f  ( x )  1 , f ( 0 ) = f (1 ) = 0 . 证明:  1 0 f ( x ) d x  1 4 . 43 设函数 f ( x ) ( x  x  ) s in x  = − ,其中x表示不超过 x 的最大整数,求 lim x x 0 f ( x t ) d t  → +  .900题 · 3. 一元函数积分学 44 设定义在 第 100 页，共223页 ( , )   − + 上的函数 f ( x ) 满足 f ( x + 2 ) = 2 f ( x ) ,且当 x   − 1 ,1 ) 时, f ( x ) = − x ,求 lim x x 1 f 2 ( t x ) d t  → +  . 45 设函数 f ( x ) 在  0 , )  + f (x) 上连续,且 lim =1 . x→+ 2 ( ) 1−cos x2 +1−x    x + (I) 证明  f (x)dx 收敛. 0 (x+2)2 + (II) 若 f (x)= +e−xsinx f (x)dx ,求 与 a a ( x2 +1 )2 0 f ( x ) .公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取900题 · 3. 一元函数积分学 46 设 第 101 页，共223页 I n 1 t t n 1 d t ( n 2 )  =  + −  . (I) 计算 I 2 ; I (II) 求 lim n+1. n→ I n 47 设 a 0 , f ( a ) 0 ( a x 2 1 1 ) x 2 1 d x   =  + + + .判断 f(1)是否存在,若存在,试求其值.900题 · 3. 一元函数积分学 48 已知函数 第 102 页，共223页 f ( x ) 在 ( 0 , )  + 上有定义, f ( x )  0 ,且满足 f ( x ) lim t tta n x t g a a x a r c x t ta n t x g ( a x ) ,  = → +   − +  −  其中函数 g ( x ) 可导,且 a r c ta n 1 x 是 g ( x ) 的一个原函数. (I) 求参数 a 的值; (II) 计算 2 f ( x ) d x    + . 49 (I) 证明: 对于任意实数 x ,均有 e − x 2  1 + 1 x 2 . (II) 证明: 0 e x 2 d x   + − 收敛,且对任意正整数 n ( n  2 ) ,均有 0 e x 2 d x 2 n (( 2 2 n n 3 2 )) ! ! ! !    + −   − − .900题 · 3. 一元函数积分学 50 设函数 第 103 页，共223页 f ( x ) 在  0 , )  + 上连续,且反常积分 0 f ( x ) d x   + 收敛. 证明: (I) 反常积分 0 e x f ( x ) d x   + − 收敛; (II) 存在 ( 0 , )    +  + ,使得  f (x)dx= e−xf (x)dx . 0 0 x lnt 51 (I) 证明:  dt 对任意 0t−3 x  ( 0 , 3 ) x lnt 均收敛,且 lim  dt=−. x→3− 0t−3 x lnt (II) 证明: f (x)= dt 在区间 (0,3) 内存在唯一零点. 0t−3 (III) 求  3 0 f ( x ) d x .900题 · 4. 向量代数与空间解析几何 第四章 向量代数与空间解析几何 A 类 一、选择题 1 已知 第 104 页，共223页 α , β , γ 为单位向量且它们在同一平面内, α 与 β 的夹角为 6  ,若以 α 和 β 为邻边的三角形 面积为 S 1 ,以 α 和γ为邻边的三角形面积为 S 2 3 ,且S +S = ,则 1 2 4 β 与γ的夹角可能为 ( ) ① 3  ; ② 2  ; ③ 2 3  ; ④  . (A) ①②. (B) ①③. (C)②④. (D) ③④. 2 已知向量 α = ( 0 , − 2 , − 2 ) , β = ( 1 , 0 ,1 ) , γ = ( − 1 ,1 , 0 ) ,则下列算式的结果中与其他3个不同的是( ) (A) ( α + γ )  β . (B) α ( β  γ ) . (C) ( β + γ )  γ . (D) ( α + β )  ( β + γ ) . 3 已知直线l 过点(1,2,3)和(9,4,1),则直线l 与直线 1 1 l2 :  x 9 + x 2 + y 4 + y 3 + z z = = 1 1 , 的夹角为( )    (A) 0 . (B) . (C) . (D) . 6 3 2900题 · 4. 向量代数与空间解析几何 4 已知平面过原点且直线 第 105 页，共223页 l : x − 1 3 = y + 2 2 = z − 3 6 在平面上,则下列直线在平面上的是( ) (A) l1 : x + 1 1 = y − − 6 6 = z − 1 . (B) l2 : x − 2 2 = y + − 3 4 = z − 3 3 . x−1 y−1 z−3 x+1 y−6 z (C) l : = = . (D) l : = = . 3 4 2 −4 3 1 2 3 5 若二次曲面的方程为 x a 2 2 + ( − 1 ) m y b 2 2 + ( − 1 ) n z c 2 2 = ( − 1 ) m + 2 ( − 1 ) n ,其中 a , b 和 c 为 正数, m 和 n 为自然数,则该二次曲面不可能是 ( ) (A) 椭圆锥面. (B) 椭球面. (C) 单叶双曲面. (D) 双叶双曲面. 3x+ y+2z−2=0,  6 直线l: 3 绕 x+2y−z− =0   2 z 轴旋转一周的曲面记为,则下列说法中,正确的是( ) 1 1 y= 2z (A) 直线 x− = −y=−z 在曲面  上. (B) 直线  在  上. 2 2 x=0 1 (C) 曲面  的方程为 −x2 +y2 +2z2 = . (D) 曲面  的方程为 2 x 2 − y 2 + 2 z 2 = 1 2 .900题 · 4. 向量代数与空间解析几何 二、填空题 7 若向量 α=(1,0,0),β=(0,1,0),γ=(0,0,1) ,则 第 106 页，共223页  ( α + β + γ )  ( α + β )   α = ________ . 8 点 ( 1 , 2 , 0 ) 到平面 3x+4y+5z=0 的距离 d = ________ . 9 若直线 l1 : x − 1 4 = y − 3 2 = z − 5 1 在平面  上的投影直线为 l2 : x − 3 4 = y − 2 2 = z − 1 1 ,则平 面  的方程为________ .900题 · 4. 向量代数与空间解析几何 10 与两直线 第 107 页，共223页  x y z = = = 2 t 1 , , + t 及 x 1 = y + 2 1 = z − 3 1 都平行,且过原点的平面方程为________ . 11 已知两条直线的方程是 L 1 : x − 1 1 = y − 1 2 = z − − 1 1 , x+2 y−1 z L : = = ,则过 2 2 1 1 L 1 且平行于 L 2 的平面方程是________ . 三、解答题 12 求直线 l : x 2 = y − 2 1 = z − − 1 1 在平面 :x−y+2z−1=0 上的投影直线 l 的方程,并求 0 l0 绕 y 轴旋转一周所成曲面的方程.900题 · 4. 向量代数与空间解析几何 13 过原点 第 108 页，共223页 O 作两条与直线 l :  3 2 x x + − y y + + 2 3 z z − − 3 2 = = 0 0 , 1 的夹角均为 arccos 的直线 3 l1 , l2 ,记 l 与 1 l 的交点为 A,l 与 2 l 的交点为 B ,计算 O A B S . y=0, 14 已知平面  经过直线  且被圆锥面 z=1 z 2 = x 2 + y 2 所截部分在 xOy 面的投影为闭 区域 D ,求闭区域 D 的面积的最小值.900题 · 5. 多元函数微分学 第五章 多元函数微分学 A 类 一、选择题 1 设二元函数 第 109 页，共223页 f ( x , y ) 在点 ( x 0 , y 0 ) 处有定义,则下列说法中,正确的是( ) (A) 若 lim x → x0 f ( x , y 0 ) , lim y → y 0 f ( x 0 , y ) 均存在,则 ( x ,y lim( )→ x0 ,y 0 ) f ( x , y ) 存在. (B) 若 lim x → x0 f ( x , y 0 ) , lim y → y 0 f ( x 0 , y ) 均存在,则 f 'x ( x 0 , y 0 ) , f 'y ( x 0 , y 0 ) 均存在. (C) 若 ( x ,y lim( )→ x0 ,y 0 ) f ( x , y ) 存在,则 f 'x ( x 0 , y 0 ) , f 'y ( x 0 , y 0 ) 均存在. (D) 若 f 'x ( x 0 , y 0 ) , f 'y ( x 0 , y 0 ) 均存在,则 lim x → x0 f ( x , y 0 ) , lim y → y 0 f ( x 0 , y ) 均存在. 2 设 f1 ( x , y ) =  0 y , 2 x − − x y y , x x  = y y , , f 2 ( x , y ) =  x 0 x 4 , 2 + y y 2 , ( ( x x , , y y ) )  = ( ( 0 0 , , 0 0 ) ) , , 则 ( ) (A) f1 ( x , y ) , f 2 ( x , y ) 在点 (0,0) 处均连续. (B) f (x,y), f (x,y) 在点 (0,0) 处均不连续. 1 2 (C) f1 ( x , y ) 在点 (0,0) 处连续, f (x,y) 在点 (0,0) 处不连续. 2 (D) f1 ( x , y ) 在点 ( 0 , 0 ) 处不连续, f 2 ( x , y ) 在点 ( 0 , 0 ) 处连续.900题 · 5. 多元函数微分学 3 已知函数 f (x,y)=esinx −cosy ,则 ( ) (A) 第 110 页，共223页   f x (0 ,0 ) 不存在,   f y (0 ,0 ) 存在. (B)   f x (0 ,0 ) 存在,   f y (0 ,0 ) 不存在. f f f f (C) , 均存在. (D) , 均不存在. x y x y (0,0) (0,0) (0,0) (0,0) 4 设函数 f ( x , y ) 满足 ( x lim ) ,y (0 ,0 ) s in f ( ( x x , y ) y ) 1 , 0   →  +  =  且 f ( 0 , 0 ) = 0 ,则下列结论中, 错 误的是 ( ) (A) f ( x , y ) 在点 ( 0 , 0 ) 处连续. (B) f ( x , y ) 在点 ( 0 , 0 ) 处取得极小值. (C) 若 1  = ,则 f 'x ( 0 , 0 ) 和 f 'y ( 0 , 0 ) 都不存在. (D) 若 1 ,则 f 'x ( 0 , 0 ) 和 f 'y ( 0 , 0 ) 都存在且均不为 0 .公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取900题 · 5. 多元函数微分学 5 设函数 第 111 页，共223页 f ( x , y ) 在点 ( x 0 , y 0 ) 处连续,则下列命题中,正确的是 ( ) (A) 若 f ( x , y ) 在点 ( x 0 , y 0 ) 处沿 ( 1 , 0 ) 与沿 ( − 1 , 0 ) 的方向导数均存在,则偏导数 f 'x ( x 0 , y 0 ) 存在. (B) 若偏导数 f 'x ( x 0 , y 0 ) 存在,则 f ( x , y ) 在点 ( x 0 , y 0 ) 处沿(−1,0)的方向导数等于 − f 'x ( x 0 , y 0 ) . (C) 若偏导数 f 'x ( x 0 , y 0 ) , f 'y ( x 0 , y 0 ) 均存在,则 f (x,y)在点(x ,y )处沿任意方向的方向导数均 0 0 存在. (D) 若 f ( x , y ) 在点 ( x 0 , y 0 ) 处沿任意方向的方向导数均存在,则 f ( x , y ) 在点 ( x 0 , y 0 ) 处的偏导 数均存在. 6 设函数 f ( x , y ) 可微,且对任意的 x , y 都有  f (  x x , y )  0 ,  f (  x y , y )  0 ,则使不等式 f (x ,y )  f (x ,y )成立的一个充分条件是 ( ) 1 1 2 2 (A) x 1  x 2 , y 1  y 2 . (B) x 1  x 2 , y 1  y 2 . (C) x 1  x 2 , y 1  y 2 . (D) x 1  x 2 , y 1  y 2 . 7 已知二元函数 f ( x , y ) 存在一阶偏导数.对于任意 y ,若 x 1  x 2 ,则 f ( x 1 , y )  f ( x 2 , y ) ;对于 任意x,若 y 1  y 2 ,则 f ( x , y 1 )  f ( x , y 2 ) .下列结论中,正确的是 ( ) f f f f (A)  . (B)  . x y x y (−1,1) (1,−1) (1,−1) (−1,1) f f f f (C)  . (D)  . x y x y (1,1) (−1,−1) (−1,−1) (1,1)900题 · 5. 多元函数微分学 8 设函数 第 112 页，共223页 u ( x , y ) = f ( x y ) +  x 0 + y f ( x + y − t ) d t , v ( x , y ) = y f ( x + y ) +  y y − x f ( x + t ) d t ,其中函数 f ( t ) 具有一阶导数,则下列结论中,正确的是 ( ) (A) 若 x = y u u ,则 = . (B) 若 x y x = y ,则   u x =   v x . (C) 若 x  y u u ,则  . (D) 若 x y x  y ,则   u x    v x . 9 若由方程 F ( x , y , z ) = 0 可确定有连续偏导数的三个函数 x = f ( y , z ) , y = g ( z , x ) , z = h ( x , y ) , 则下列结论中,正确的是 ( ) (A)   F x =   F y =   F z z x y . (B) = = . x y z (C)   z x    x y    y z = 1 . (D)   z x    x y    y z = − 1 . 10 设有三元方程 x a r c ta n x ln ln x y z e sin z 4  + + = ,根据隐函数存在定理,存在点 ( 1 , e , 0 ) 的一个邻 域, 在此邻域内该方程 ( ) (A) 只能确定一个具有连续偏导数的隐函数 z = z ( x , y ) . (B) 可确定两个具有连续偏导数的隐函数 y = y ( x , z ) 和 z = z ( x , y ) . (C) 可确定两个具有连续偏导数的隐函数 x = x ( y , z ) 和 z = z ( x , y ) . (D) 可确定两个具有连续偏导数的隐函数 x = x ( y , z ) 和 y = y ( x , z ) .900题 · 5. 多元函数微分学 11 已知函数 f (u)可导,且 f (1)=e.二元函数 第 113 页，共223页 z ( x , y ) = f ( x y ) f  y x  满足 x   z x + y   z y = y xy+ 2xye x , 则下列关于函数 f ( u ) 的说法中,正确的是 ( ) (A) f ( u ) 满足微分方程 f(u)+ f (u)=0 . (B) f ( u ) 满足微分方程 f(u)+ f (u)=1 . (C) f ( u ) 满足微分方程 f(u)− f (u)=0 . (D) f ( u ) 满足微分方程 f  ( u ) − f ( u ) = 1 . 12 设函数 f ( x ) 具有二阶连续导数,且 f ( x )  0 , f  ( 0 ) = 0 ,则函数 z(x,y)= f (x)f(y) 在点 ( 0 , 0 ) 处取得极小值的一个充分条件是 ( ) (A) f ( 0 )  1 , f  ( 0 )  0 . (B) f ( 0 )  1 , f  ( 0 )  0 . (C) f ( 0 )  1 , f  ( 0 )  0 . (D) f ( 0 )  1 , f  ( 0 )  0 .900题 · 5. 多元函数微分学 13 设正值函数 第 114 页，共223页 f ( x , y , z ) 与 g ( x , y , z ) 在点 ( 0 , 0 , 0 ) 处的各个偏导数均存在且连续, g ( 0 , 0 , 0 ) = 1 , f ( x , y , z ) f ( 0 , 0 , 0 ) = 在点 ( 0 , 0 , 0 ) 处沿方向n的方向导数   f n (0 ,0 ,0 ) = 1 , g ( x , y , z ) 在点 ( 0 , 0 , 0 ) 处 沿方向 n 的 方 向 导 数   g n (0 ,0 ,0 ) = 2 ,则   1 f  + n 1 g  (0 ,0 ,0 ) = ( ) (A) 1 . (B) 3 . (C) -1 . (D) -3 . 二、填空题 x+ycost 14 设函数 F(x,y)= dt ,则 0 1+t   2 x F 2 x = − 1 y = 1 = ________ . 15 已知函数 f ( u , v ) 可微,且 f (0,1)=0,f'(0,1)=1,f'(0,1)=2.令 1 2 y ( x ) = f ( f ( x , e x ) , e x ) ,则 d d y x x = 0 = ________ .900题 · 5. 多元函数微分学 16 设函数 第 115 页，共223页 z = z ( x , y ) 由方程 ln ( z + 1 ) + e z = y c o s x + 2 x 确定,则   z x (0 ,1 ) = ________ . 17 设函数 f (x,y,z)=ezyz2 ,若 z = z ( x , y ) 是由方程 x + y + z + x y z = 0 所确定的隐函数, 记 g ( x , y ) = f ( x , y , z ( x , y ) ) ,则 g 'y ( 0 ,1 ) = ________ . 18 设函数 F ( u , v ) 具有一阶连续偏导数,满足 F '1 + 1 3 F '2  0 ,已知 z = z ( x , y ) 是由方程 F ( x y z , x 2 + y 2 + z 2 ) = 0 所确定的隐函数,且 z(1,1)=1 ,则 dz =________ . (1,1)900题 · 5. 多元函数微分学 19 已知函数 第 116 页，共223页 z = z ( x , y ) 由方程 e z + x z − y ln x = 1 所确定,则   x 2  z y (1 ,1 ) = ________ . 20 设曲面方程为 z = w ( x ) e sin ( xy ) ,其中 w = w ( x ) ( w  0 ) 由方程 x 2 + w 2 + e xw = 5 确定,则 曲面在点 ( 0 ,1 , z ( 0 ,1 ) ) 处的切平面方程为_____. 21 设函数 f ( x , y ) 具有一阶连续偏导数,且df (x,y)=cos(x−y)−sin(x−y)ey−x(dx     − d y ) , f ( 0 , 0 ) = 0 ,则 f ( x , y ) = ________ .900题 · 5. 多元函数微分学 22 函数 f (x,y)=x4 + y4 −(x+ y)2 的极小值为________ . 23 圆 第 117 页，共223页 x 2 + y 2 = 3 上到点 ( 0 ; 0 ) , ( 2 , 0 ) , ( 0 ,1 ) 的距离的平方和最小的点为______. 三、解答题 24 设函数 z= f ( xcosy,yg(x)) ,其中函数 f 具有二阶连续偏导数,且 f'' (1,0)=1 ,函数 12 g ( x ) 可导,且在 x = 1 处取得极值 g ( 1 ) = 2 . 求   x 2  z y x y = = 1 0 .900题 · 5. 多元函数微分学 25 设函数 第 118 页，共223页 f ( u , v ) 具有二阶连续偏导数,函数 g ( x , y ) = x 2 + y 2 − f ( x + y , x y ) . 求   2 x g 2 − 2   2 g x  y 2g + y2 26 设函数 f ( u , v ) 具有二阶连续偏导数, y= y(x) 由方程 ta n y y x 2 y 2   − =  −    所确 定,令 z ( x ) = f ( x , x − y ) ,计算 d d 2 x z 2 x 1 4  = − . 27 设函数 u ( x , y ) = f ( x , y , z ( x , y ) ) 有连续偏导数,且 z=z(x,y) 由方程 x s in x − y c o s y = zarctanz所确定,求 du .900题 · 5. 多元函数微分学 28 已知函数 第 119 页，共223页 u ( x , y ) 2u 2u u u 满足 −2 +3 −4 =0 ,求 x2 y2 x y a , b 的值,使得在变换 v ( x , y ) e a x + b y u ( x , y ) = 下,上述等式可化为不含 v ( x , y ) 的一阶偏导数的等式. 29 设函数 f ( u ) 具有二阶连续导数, f ( 0 ) = 0 , f  ( 0 ) = 1 ,而 z = f ( e − x s in y ) 满足方程   2 x z 2 +   2 y z 2 = e − 2 4 x z ,求 f ( u ) . 30 求函数 f (x,y)= ( 3x3−y ) ex−y 的极值.900题 · 5. 多元函数微分学 31 设函数 第 120 页，共223页 f ( x , y ) = 2 x + 5 y − a x 2 − 3 a y 2 − b x y ,问: 当参数 a,b 满足什么条件时, f ( x , y ) 有唯一极小值? 32 求函数 f ( x , y , z ) = x 2 + 2 y 2 + 3 z 2 在约束条件 z = x 2 + 2 y 2 和 x+ y−z=−3 下的最大值 和最小值. 33 求函数 f ( x , y ) = x y ( 4 − 3 x 2 + y ) 在闭区域 D 上的最大值和最小值,其中区域 D 是由曲 线 y=3x2(x0) ,直线 y = 3 及 y 轴所围成的闭区域.公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取900题 · 5. 多元函数微分学 34 设函数 第 121 页，共223页 z = z ( x , y ) 由方程 x 2 + y 2 + z 2 − 4 z = 0 ( z  2 ) 确定,求函数 z = z ( x , y ) 在条件 2 x 2 + y 2 = 1 下的最大值和最小值. 35 设函数 f ( x , y ) = x 2 − a y 2 ( a  0 ) 在点 O(0,0) 处沿着从点 O 到点 P ( 1 , − 1 ) 的方 向 的方向导数为 2 . (I) 求曲面 z = f ( x , y ) 与平面 y=1 的交线在 z O x 面上的投影曲线绕 z 轴旋转一周所 得旋转 曲面  的方程; (II) 求函数 g ( x , y , z ) = x 2 − a y 2 − z 2 在曲面  位于 x 2 + y 2  5 的部分上沿方向 ( 1 , − 1 , 2 ) 的方向导数的最小值.900题 · 5. 多元函数微分学 B 类 一、选择题 1 已知函数 第 122 页，共223页 f ( x , y ) = g ( x 2 + y 2 ) 可微,其中 g(t) 为可导函数,则 g(t) 可能是以下四个函 数中的 ( ) (A) 2 t . (B) e t . (C) c o s t 2 . (D) s in t . 2 设函数 f ( x , y ) =  c c c o o o s s s x y x y , , , x x y y = =  0 0 0 , , , 则下列结论中,正确的是 ( ) (A) 函数 f ( x , y ) 在点 ( 0 , 0 ) 2f 处连续,且 存在. xy (B) 函数 f ( x , y ) 在点 ( 0 , 0 ) 2f 处连续,但 不存在. xy (C) 函数 f ( x , y ) 在点 ( 0 , 0 ) 2f 处不连续,但 存在. xy (D) 函数 f ( x , y ) 在点 ( 0 , 0 ) 处不连续,且   2 x  f y 不存在.900题 · 5. 多元函数微分学 3 设函数 第 123 页，共223页 f ( x , y ) 在点 ( 0 , 0 ) 处连续,则下列命题中,正确的是 ( ) (A) 若极限 lim x → y → 0 0 ( f x ( x + , y ) y ) 2 存在,则 f (x,y) 在点 ( 0 , 0 ) 处可微. f (x,y) (B) 若极限 lim 存在,则 f (x,y) 在点 (0,0) 处可微. x→0x4 + y4 y→0 (C) 若 f ( x , y ) 在点 ( 0 , 0 ) 处可微,则极限 lim x → y → 0 0 ( f x ( x + , y ) y ) 2 存在. (D) 若 f (x,y) 在点 ( 0 , 0 ) 处可微,则极限 lim x → y → 0 0 f x (4 x + , y y )4 存在. 0, xy=0, 4 设函数 g(x,y)= 若函数 F(x,y)= f (x,y)g(x,y) 在点 (0,0) 处可微,则 1, xy0. f ( x , y ) 可能为 ( ) (A) y + c o s x y . (B) y + s in x y . (C) s in y + x y . (D) x 2 + y 2 .900题 · 5. 多元函数微分学 5 设函数 第 124 页，共223页 f ( x , y ) =  ( 0 x , y + a x + b y ) a r c ta n x 1 + y 2 , ( ( x x , , y y ) )  = ( ( 0 0 , , 0 0 ) ) , , 则下列说法中,错误的是( ) (A) 函数 f ( x , y ) 在点 ( 0 , 0 ) 处的连续性与 a , b 的取值无关. (B) 函数 f ( x , y ) 在点 ( 0 , 0 ) 处的偏导数是否存在与 a,b 的取值无关. (C) 函数 f ( x , y ) 在点 ( 0 , 0 ) 处的可微性与 a,b 的取值有关. (D) 若函数 f ( x , y ) 在点 ( 0 , 0 ) 处的偏导数存在,则 f ( x , y ) 在点 ( 0 , 0 ) 处可微. 6 设函数 f ( x , y ) x y g ( x , y ) ( 0 )   = −  ,其中 g ( x , y ) 在原点的某邻域内连续,则下列命题 中, 错误的是 ( ) (A) f ( x , y ) 在原点处连续. (B) 若 1 ,则 f 'x ( 0 , 0 ) , f 'y ( 0 , 0 ) 存在. (C) 若 1   ,则 f ( x , y ) 在原点处可微. (D) 若 g ( 0 , 0 )  0 ,则 f ( x , y ) 在原点处取得极小值.900题 · 5. 多元函数微分学 7 已知函数 第 125 页，共223页 f ( u ) 可导,二元函数 z ( x , y ) = f ( x y ) f  y x  满足 x   z x + y   z y = 2 x y e xy + yx ,则下列 关于函数 f ( u ) 的说法中,正确的是( ) (A) 曲线 y = f ( u ) 是凸曲线. (B) 曲线 y = f ( u ) 是凹曲线. (C) 曲线 y = f ( u ) 存在拐点. (D) 曲线 y = f ( u ) 存在渐近线. 8 设函数 f ( x , y ) 在点 ( 0 , 0 ) f (x,y)−xy 1 处连续且 lim = ,则 (x,y)→(0,0) x2 + y2 2 ( ) (A) 点 ( 0 , 0 ) 是 f (x,y) 的极大值点. (B) 点 ( 0 , 0 ) 是 f (x,y) 的极小值点. (C) 点 ( 0 , 0 ) 不是 f (x,y) 的极值点. (D) 根据已知条件无法判断点 ( 0 , 0 ) 是否为 f ( x , y ) 的极值点.900题 · 5. 多元函数微分学 9 设函数 第 126 页，共223页 f ( x , y ) 在点 ( 1 ,1 ) 处连续,且满足 ( x lim) ,y → (1 ,1 ) x 3 + y 3 − 9 2 ( x f 2 ( + x , y 2 y ) ) + 6 ( x + y ) − 5 = 1 , 则( ) (A) 点 ( 1 ,1 ) 是 f ( x , y ) 的极大值点. (B) 点 (1,1) 是 f (x,y) 的极小值点. (C) 点 (1,1) 不是 f (x,y) 的极值点. (D) 无法确定点 ( 1 ,1 ) 是否为 f ( x , y ) 的极值点. 10 设函数 f ( x , y ) 连续, z ( x , y )  = 的全微分为dz= ( 2x−y2−2y ) dx+ ( −2xy−2x+y3+3y ) dy, 且(0,0)=0.若 ( x lim ) ,y (0 ,0 ) f (( x x , , y y )) 1  → = ,则 ( ) (A) 点 ( 0 , 0 ) 是 f (x,y) 的极大值点. (B) 点 (0,0) 是 f (x,y) 的极小值点. (C) 点 (0,0) 不是 f (x,y) 的极值点. (D) 不能确定点 (0,0) 是否为 f (x,y) 的极值点.900题 · 5. 多元函数微分学 10 某敞口长方体型鱼缸的底部由大理石制作, 侧面由玻璃制作. 已知大理石单位面积的成本 为玻璃单位面积的成本的 6 倍. 若长方体的体积为定值 1m3 ,则 第 127 页，共223页 ( ) (A) 当鱼缸的底边长均为 3 1 3 m ,高为 3 23 m 时,鱼缸的耗材成本最低. 2 1 (B) 当鱼缸的底边长均为 3 m ,高为 63m 时,鱼缸的耗材成本最低. 6 (C) 当鱼缸的底边长均为 3 1 3 m ,高为 3 23 m 时,鱼缸的耗材成本最高. (D) 当鱼缸的底边长均为 3 1 6 m 2 ,高为 63m 时,鱼缸的耗材成本最高. 12 已知函数 f ( x , y ) = x 2 + 2 k x y + y 2 在点 ( 0 , 0 ) 处取得极值,则参数 k 的取值范围是 ( ) (A)  − 1 ,1  . (B)  − 1 , 0 )  ( 0 ,1  . (C) ( − 1 ,1 ) . (D) ( − 1 , 0 )  ( 0 ,1 ) .900题 · 5. 多元函数微分学 13 设函数 第 128 页，共223页 u ( x , y ) 在有界闭区域 D 上连续,在 D 的内部具有二阶连续偏导数,且满足   2 x u 2 + 2u =0,则 ( ) y2 (A) 若   2 x u 2  0 ,则 u ( x , y ) 的最大值在 D 的内部取得,最小值在 D 的边界上取得. (B) 若   2 x u 2  0 ,则 u ( x , y ) 的最小值在 D 的内部取得,最大值在 D 的边界上取得. (C) 若 2  u  x  y  0 ,则 u ( x , y ) 的最大值和最小值都在 D 的边界上取得. (D) 若 2  u  x  y  0 ,则 u ( x , y ) 的最大值和最小值都在 D 的内部取得. 二、填空题 x2y 2f 14 设函数 f (x,y)= yeytdt ,则 =_________ . 0 yx (1,1) 15 设函数 f (x,y) 可微,满足 f x 2 f y 2 1 , z ( r , )      +     = 为 f (x,y) 在极坐标系下的表示, 则对单位圆周上的任一点 ( 1 , ) , z r 2 z 2       +     = _________ .900题 · 5. 多元函数微分学 16 设可微函数 z= f (x,y) 在极坐标变换下满足 第 129 页，共223页   z r = r ,则 f 'x ( 1 , 0 ) + f 'y ( 0 ,1 ) = _________ . 17 设函数 z ( x , y ) 满足   x 2  z y = e x + 2 y ,且 z ( x , 0 ) = x , z ( 0 , y ) = 2 y ,则 z ( x , y ) = _________ . 18 设连续函数 z = f ( x , y ) 满足 ( x lim ) ,y → (1 ,2 ) f ( x ( x , − y 1 ) ) + 2 x + − ( y 2 y − + 2 ) 3 2 = 0 ,则 d z (1 ,2 ) = _________ .900题 · 5. 多元函数微分学 19 设两曲面 第 130 页，共223页 S 1 : 2 x 2 2 y 2 1 6 z 2 2 , S 2 : z a r c ta n y x    − + = = 在第一卦限内的点 P 处有公共切 平面,则此切平面的方程为_________ . 20 函数 f ( x , y ) = x 2 − y 2 在点 P(0,0) 处沿着从 P ( 0 , 0 ) 到 Q ( 1 , − 3 ) 方向的方向导数 为_________ .公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取900题 · 5. 多元函数微分学 三、解答题 21 设 第 131 页，共223页 z = z ( x , y ) 是由方程 2 x y z ( x 2 y 3 z )  − = + + 所确定的函数,其中 ( t )  具有二阶导 数,且 ( t ) 1 3    − . (I) 求 d z ; (II) 记 u ( x , y ) = x − 1 2 y  2   z x −   z y  ,求   u x −   u y . 22 设 f ( u )  u  1 2  为可微函数, z = x f  y x  满足   z x + x − x y   z y = z + x y ,且 f (1)=0 . 求 f ( u ) 的表达式.900题 · 5. 多元函数微分学  1  1  23 求函数 f (x,y)= x+ y2 x− y3 的极值.     2  3  24 已知函数 第 132 页，共223页 z = z ( x , y ) 由方程 ( x 2 + y 2 ) z + e z − 1 + 2 ( x + y ) + 1 = 0 确定,求 z = z ( x , y ) 的极值. 25 已知函数 f ( x , y ) 满足 f ''xy ( x , y ) = 2 x ( 1 − x 2 ) e − x 2 , f 'x ( x , 0 ) = 0 , f ( 0 , y ) = y 2 2 ,求 f ( x , y ) 的极值.900题 · 5. 多元函数微分学 1 26 设函数 f (x,y,z)= x3+y2 −2lnz ,求该函数在条件 3 第 133 页，共223页 x 2 + 2 y 2 + z 2 = 3 下的最小值. 27 某行星上的磁场强度为 M ( x , y , z ) = 6 x − y 2 + x z + 5 0 ,行星表面的点 ( x , y , z ) 满足方程 x 2 + y 2 + z 2 = 2 0 .科学家欲在该行星表面磁场强度最小处架设一台天文望远镜进行探测,求该 望远镜的选址坐标 ( x 0 , y 0 , z 0 ) . 28 某几何体由底面圆相同的半球体、圆柱体与圆锥体拼接在一起构成.若该几何体的表面积为 定值 ( 2 5 )  + ,则球半径 r ,圆柱体高 H ,圆锥体高 h ( r , H , h 均 大 于 0 ) 分 别 为 何 值 时 几, 何 体 的 体积最大?并求此最大体积.900题 · 5. 多元函数微分学 29 设函数 z= f (x,y) 满足 第 134 页，共223页   z x = 2 3 ,   z y = − 2 k 3  1 y 3 ( k  0 ) ,且 f ( 0 , k ) = 1 3 k . (I) 求 f ( x , y ) ; (II) 设数列  x n  满足 x n + 1 = f ( x n , x n ) ( n = 0 ,1 , 2 , ) . 证明: 对任意 x 0  0 ,数列  x n  均收敛,并求 limx . n n→ 30 设旋转曲面  由 z O x 面上的曲线 k x 2 + z 2 = 4 绕 z 轴旋转一周所得. 已知点  1 2 , 1 2 , c  ( c  0 ) 位于曲面 上,且该点处的切平面方程为 2 x + 2 y + c z = 4 . (I) 求 c 以及旋转曲面的方程; (II) 设 f ( x , y , z ) = x y + y z ,求 f ( x , y , z ) 在曲面  上的方向导数的最大值.900题 · 5. 多元函数微分学 C 类 一、填空题 1 设连续函数 第 135 页，共223页 f ( x , y ) 满足 ( x lim ) ,y → (0 ,0 ) f ( x , y ) + 2 ( x x 2 + + 1 y 2 )2 ( x − y ) = 1 ,则df (x,y) (0,0) = ________. 二、解答题 2 设 f ( x , y ) f 1 为定义在全平面上的正值可微函数,满足 f (0,0)=1, = .若对任意 y ey +e−y x ,都 有 lim t→ 0  f ( f x ( + x , t , 0 ) 0 )  1t = e x 2 x − − 2 1 x + 4 ,求 f ( x , y ) .900题 · 5. 多元函数微分学 3 设函数 第 136 页，共223页 f ( u , v ) 有一阶连续偏导数, f ( x ,1 − x ) = 1 , ' f1 ( x ,1 − x ) = x . (I) 设 z ( t ) = f ( c o s t , s in t ) ,计算 z  ( 0 ) . (II) 证明: f ( u , v ) 在单位圆周 u 2 + v 2 = 1 上至少存在两个不同的点满足方程 v   f u = u   f v .900题 · 6. 重积分及其应用 第六章 重积分及其应用 A 类 一、选择题 1. 设 第 137 页，共223页 lim a → 0 1 a 2 D  =  D  ( f x ( , x y , )∣ y ) x d 2 x d + y y = 2 ( 2  a )  , f ( x , y ) =  s in 1 , ( x 2 x 2 + + y y 2 2 ) e x 2 + y 2 , ( ( x x , , y y ) )  = ( ( 0 0 , , 0 0 ) ) , , (A) 不一定存在. (B) 1 . (C)  . (D) 1 .  2 设 D 1 =  ( x , y ) x 2 + y 2  1 , , D 2 =  ( x , y ) x 2 + y 2  4  , D 3 =  ( x , y ) 4 x 2 + y 2  4  D = (x,y∣) x2 +4y2 4  .令 4 I i =   D i  1 − x 2 − y 4 2  d x d y ,则 i m1 a x ,2 ,3 ,4  I i = ( ) (A) I . (B) 1 I 2 . (C) I . (D) 3 I 4 .900题 · 6. 重积分及其应用 3 设平面区域 第 138 页，共223页 D ( x , y ) x y 4  =  + ∣   .记 , I 2 =   D ( x 2 + y 2 − s in x 2 + y 2 ) d x d y , I 3 = I 1  =  D   D ( ta n x 2 x + 2 + y 2 y d 2 x d − y x 2 + y 2 )d x d y ,则 ( ) (A) I 3  I 2  I 1 . (B) I 2  I 1  I 3 . (C) I 1  I 3  I 2 . (D) I 2  I 3  I 1 . 4 设 D 是 x O y 平面上以 ( 1 ,1 ) , ( − 1 ,1 ) 和 ( − 1 , − 1 ) 为顶点的三角形区域, D 1 是D在第一象限的部分, 则   D ( x y + x a r c ta n y ) d x d y = ( ) (A) 2   D 1 x a r c ta n y d x d y . (B) 2   D 1 x y d x d y . (C) 4   D 1 ( x y + x a r c ta n y ) d x d y . (D) 0 . 5 设区域 D= (x,y∣) x2+y2 4,x0,y0  ,f (x) 为 D 上的正值连续函数,则 f (x)+2 f (y)  dxdy=( ) D f (x)+ f (y)  (A) . (B)  . (C) 2 3 2  . (D) 2  .900题 · 6. 重积分及其应用 6 设区域 第 139 页，共223页 D =  ( x , y )∣ x 2 + y 2  1  ,函数 f ( x , y ) 在 D 上连续, D 1 是 D 在第一象限的部分,则下列 说法中,错误的是 ( ) (A) 若 f ( − x , − y ) = − f ( x , y ) ,则   D f ( x , y ) d x d y = 0 . (B) 若 f (−x,y)= f (x,−y)=−f (x,y) ,则   D f ( x , y ) d x d y = 0 . (C) 若 f ( − x , − y ) = f ( x , y ) ,则   D f ( x , y ) d x d y = 4   D 1 f ( x , y ) d x d y . (D) 若 f ( − x , y ) = f ( x , − y ) = f ( x , y ) ,则   D f ( x , y ) d x d y = 4   D 1 f ( x , y ) d x d y . 7 设函数 f ( x , y ) 连续,则  3d 1 y  3 y2 f ( x , y ) d x +  5d3 x  6 1 − x f ( x , y ) d y = ( ) (A)  3d 1 y  5 y2 f ( x , y ) d x 3 6−y . (B)  dy f (x,y)dx . y 1 2 (C)  5 12 d x  6 1 − x f ( x , y ) d y . (D)  5 12 d x  2 1 x f ( x , y ) d y . 8 设函数 f ( x , y ) 连续,则二次积分 32 d x co 0 sx f ( x , y ) d y ( )     = 0 2−arccosy 0 2−arccosy (A)  dy f (x,y)dx . (B) − dy f (x,y)dx . −1  −1  (C) 0 d1 y 2 arcco sy f ( x , y ) d x    −  + . (D) 0 d1 y 2 arcco sy f ( x , y ) d x   −  −  + .900题 · 6. 重积分及其应用 9 设函数 第 140 页，共223页 f ( t ) 连续,则二次积分 2 0 d 4 2 sin sin f ( r 2 ) d r ( )       = (A)  1 d0 x  2 2 + 4 − x 2 f ( x 2 + y 2 ) d y +  2d 1 x  2 2 + − 4 4 − − x x 2 2 f ( x 2 + y 2 ) d y . (B)  2d0 y  4 2 y y − − y y 2 2 f ( x 2 + y 2 ) d x +  4d2 y  0 4 y − y 2 f ( x 2 + y 2 ) d x . (C)  1 d0 x  2 2 + 4 − x 2 f ( x x 2 2 + + y y 2 2 ) d y +  2d 1 x  2 2 + − 4 4 − − x x 2 2 f ( x x 2 2 + + y y 2 2 ) d y . (D)  2d0 y  4 2 y y − − y y 2 2 f ( x x 2 2 + + y y 2 2 ) d x +  4d2 y  0 4 y − y 2 f ( x x 2 2 + + y y 2 2 ) d x . 10 设函数 f ( x , y ) 连续,曲线 C : y 2 = x 在点 ( 1 ,1 ) 处的切线为 l1 ,在点(1,−1)处的切线为 l2 .记曲 线C与 l1 , l2 所围成的平面区域为D,则   D f ( x , y ) d x d y = ( ) (A)  1 − d1 x  1 2 − ( ) x + 1 1 ( x + 1 2 ) f ( x , y ) d y . (B)  1 − d1 y  y 2 2 y − 1 f ( x , y ) d x . (C)  0 − d1 x  1 2 − ( ) x + 1 1 ( x + 1 2 ) f ( x , y ) d y + 2  1 d0 x  1 2 ( x x + 1 ) f ( x , y ) d y . (D)  1 d0 y  y 2 2 y − 1 f ( x , y ) d x +  0 − d1 y  y − 2 2 y − 1 f ( x , y ) d x .公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取900题 · 6. 重积分及其应用 11 设函数 f (x) 连续, 第 141 页，共223页 F ( t ) =  td1 y  t y f ( x ) d x ,则 F(a)=( ) (A) a f ( a ) . (B) ( a − 1 ) f ( a ) . (C) − f ( a ) . (D) 0 . 12 设 a , b , c 为常数,  =  ( x , y , z )∣ x 2 + y 2 + z 2  a 2  ,则      ( b + 2 c ) x 2 + ( c − 2 b ) y 2 + ( b + c + 1 ) z 2  d v ( ) (A) 与 c 有关但与 a , b 无关. (B) 与 a , c 有关但与 b 无关. (C) 与 b 有关但与 a , c 无关. (D) 与 b , c 有关但与 a 无关. 二、填空题 13 设 a  0 , f ( x ) = g ( x ) =  1 a 0 , , 0 其  他 x  , a , 而 D 表示全平面,则 I =   D f ( x ) g ( y − x ) d x d y = _________ .900题 · 6. 重积分及其应用 14 第 142 页，共223页 2 2 d x x 2 s in x c o s x 1 s in 2 x s in 2 y d y     −  − − + = _________ . 15  4d 1 x  13 x1 x e xy 2 d y +  8 d4 x  13 x 1 2 e xy 2 d y = _________ . 16  1 d0 x  xs0 in ( 1 − y ) s in ( x − y ) d y = _________ .900题 · 6. 重积分及其应用 17 第 143 页，共223页  0 − d1 y  1 1 −2 y e (2 x − 1 2) d x = _________ . 18 设函数 f ( u ) 连续, f ( 0 ) = 1 , D =  ( x , y )∣ x 2 + y 2  t , F ( t ) =   0  , D ( x 2 + y 2 ) f ( x 2 + y 2 ) d x d y , t t   0 0 , , 则 F ''+ ( 0 ) = _________ . 19 设有两个沙堆.沙堆 A 的外形为底面半径2,高 h 的圆锥.沙堆 B 的外形为钟形,如果以其底 面中心为原点建立坐标系,那么其侧面为函数 f ( x , y ) = 2 − x 2 + 2 y 2 的图形位于 x O y 面上方的部 分.已知两个沙堆的体积相等,则 h=_________ .900题 · 6. 重积分及其应用 20 设一物体占有区域 第 144 页，共223页  =  ( x , y , z )∣ x 2 + y 2 + z 2  a 2 , x  0 , y  0 , z  0  ( a  0 ),其内部点 ( x , y , z ) 处的密度 ( x , y , z ) x 2 y 2 z 2  = + + ,则该物体的质心的竖坐标 z=________. 三、解答题 21 求极限 lim x → 0 +  0 x   u 0 s 2ln in x ( 1 ( e + c x o − s t 1 ) ) d t  d u .900题 · 6. 重积分及其应用 22 设区域D如图所示,其边界分别为x=−1,y=1,y= −1+ 1−x2 在第三象限的部分以及 第 145 页，共223页 y = 1 − 1 − x 2 在第一象限的部分. f ( x ) 是定义在  − a , a  ( a  1 ) 上的连续函数,求   D y  ( x + 1 ) f ( x ) + ( x − 1 ) f ( − x )  d x d y . 23 计算二重积分   D ( x 2 + 2 x y + 3 y ) d x d y ,其中 D =  ( x , y )∣ x 2 + y 2  4 , y  3 x 2  .900题 · 6. 重积分及其应用 24 设平面区域 第 146 页，共223页 D 由直线 y = x , y = − x , y = 1 与 y = 2 围成. 计算二重积分 1+xy I = dxdy . Dx2 + y2 25 设平面区域 D =  ( x , y )∣ 1  x 2 + y 2  4 , x  0 , y  0  xln ( x2 + y2) . 计算  dxdy . D x+ y 26 设区域 D 由曲线 ( x 2 + y 2 ) 3 2 = x 2 − y 2 ( 0  y  x ) ,直线 y = x 及 x = 1 所围成,计算二重积分 I = ( x4 −y4) dxdy . D900题 · 6. 重积分及其应用 27 计算 第 147 页，共223页   D m in  x 2 y ,1  d x d y ,其中 D =  ( x , y )∣ 0  x  4 , 0  y  4  . 28 设区域 D 为由圆x2 +y2 =1,x2 +y2 =9以及直线 y = 3 3 x , y = 3 x 围成的区域在第一象限的 部分, x2 + y2表示不超过 x2 +y2 的最大整数,计算二重积分     D y x  x 2 + y 2  d x d y . 29 设区域 D  ( x , y ) x 0 , y 0 , x y 2   = ∣   +  ,计算二重积分 I = sin(x+ y)dxdy. D900题 · 6. 重积分及其应用 30 设函数 f (x)在区间0,1上连续,且 第 148 页，共223页  1 0 f ( x ) d x = 1 2 ,  1 0 x f ( x ) d x = 1 3 .求  1 d0 x  1 x  f ( x ) + 1  f ( y ) d y . 31 设曲线 L 的方程为 y = 1 2 x 2 − ln x ( 1  x  e 2 ) , D 是由曲线 L ,直线 x = 1 , x = e 2 及 x 轴所围平面图形,求 D 的形心的横坐标. 32 设  是由平面 x + y + z = 2 , x + y = 1 ,以及三个坐标平面所围成的空间区域,求     ( x 2 + 2 y ) d x d y d z .900题 · 6. 重积分及其应用 B 类 一、选择题 1 设 第 149 页，共223页 D 1 ( x , y ) 0 y x 2 ,  =      D 2 ( x , y ) 0 x y 2 ,  =      D 3 ( x , y ) 2 x y   =      . 记 I 1 =   D 1 e x 2 c o s y d x d y , I 2 =   D 2 e x 2 c o s y d x d y , I 3 = −   D 3 e x 2 c o s y d x d y ,则 ( ) (A) I 3  I 1  I 2 . (B) I 3  I 2  I 1 . (C) I 1  I 3  I 2 . (D) I 2  I 1  I 3 . 2 设函数 f ( x , y ) 连续, a  0 ,则  a 2a − 2 d x  x a 2 − x 2 f ( x , y ) d y = ( ) (A) 2  0 a 2 d x  x a 2 − x 2 f ( x , y ) d y . (B)  − 0 a 2 d x  − a x 2 − x 2 f ( x , y ) d y +  0 a 2 d x  x a 2 − x 2 f ( x , y ) d y . (C) 2  0 a 2 d y  y 0 f ( x , y ) d x + 2  a a 2 d y  0 a 2 − y 2 f ( x , y ) d x . (D)  0 a 2 d y  y − y f ( x , y ) d x +  a a 2 d y  − a 2 a − 2 y − 2 y 2 f ( x , y ) d x .900题 · 6. 重积分及其应用 3 设函数 第 150 页，共223页 f ( x , y ) 连续,且为关于 x 的偶函数,区域 D 由曲线 y = 1 4 x 2 , x 2 + ( y − 1 ) 2 = 1 以 及直线 y = 1 围成,则   D f ( x , y ) d x d y = ( ) (A)  1 d0 y  − − 2 1 y ( − y − 1 2) f ( x , y ) d x +  1 d0 y  2 1 y ( − y − 1 2) f ( x , y ) d x . (B) 2   1 d0 x  1 + 1 x 4 1 2 − x 2 f ( x , y ) d y +  2d 1 x  1 14 x 2 f ( x , y ) d y  .   1  (C) 2 arctan2 d 4tansec f (rcos,rsin)rdr+4 dsin f (rcos,rsin)rdr .  0 2sin arctan2 2sin    (D) 2 a 0 rc ta n 12 d 4 2 ta n sin se c f ( r c o s , r s in ) r d r 4 a rc ta n 12 d 1 sin 2 sin f ( r c o s , r s in ) r d r                +    . 4 设D是由曲线x2 +y2 =1(y0), x 2 + ( y − 1 ) 2 = 1 ( x  0 ) x 2 + y 2 = 4 ( x  0 , y  0 ) , y = 0 ( 1  x  2 ) , 所围成的平面区域,函数 f (x,y)在区域 D 上连续,则   D f ( x , y ) d x d y = ( ) 5 2 (A)  6d f (rcos,rsin)rdr . (B) 0 1 56 0 d 2 1 sin f ( r c o s , r s in ) r d r        . r 2 arcsin (C)  rdr 2f (rcos,rsin)d . (D) 1 0 2r 1 d r 0 arcsin r2 f ( r c o s , r s in ) d       − .公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取900题 · 6. 重积分及其应用 5 设函数 第 151 页，共223页 f ( t ) 在 ( , )   − + 上二阶可导,且满足 f ( 0 ) = 0 , f  ( t )  0 .记D为单位圆盘 x 2 + y 2  1 ,则 I =   D f ( x + y ) d x d y 不可能等于 ( ) (A) -1 . (B) 0 . (C) 1 . (D) 2 . 6 设一元函数 f 连续. 若 F ( u , v ) =   D uv f ( x x 2 2 + + y y 2 2 ) d x d y ,其中区域 D 为图中阴影部 uv 分,则   F u = ( ) (A) v u f ( u ) . (B) u v 2 f ( u ) . (C) v u f ( u ) . (D) v 2 u f ( u ) . 7 设函数 f ( t ) =   D t t 2 2 − + x x 2 2 − + y y 2 2 d x d y ( t  0 ) ,其中 D 是由曲线 x 2 + y 2 = t 2 , x 轴及 y 轴所围成的 位于第一象限的区域, 则下列说法中正确的是( ) (A) t = 1 是函数 f(t) 的极值点. (B) 函数 f(t) 是单调函数. (C) 曲线 y= f (t) 是凸曲线. (D) 曲线 y= f (t) 有渐近线.900题 · 6. 重积分及其应用 二、填空题 n n 1 8 lim =_________ . n→ 2n2 +ni+nj i=1 j=1 9 第 152 页，共223页 lim n 1 n 2 n i 1 2 j n 1 e m ax 2 i j , n n  →  =  =   = _________ . 10 设函数 f ( x , y ) 连续,区域 D 是由曲线 ( x 2 + y 2 ) 2 = 2 x y 在第一象限所围成的部分,则  f (x,y)dxdy在极坐标系下先,后 r 的二次积分为_________ . D900题 · 6. 重积分及其应用 11 设区域 第 153 页，共223页 D t =  ( x , y ) x 23 + y 23  t 2  ,则 lim t→ 0 + D t ( c o s x + t s 6 in y ) d x d y = _________ . 12 设函数 f ( x , y ) = e x + y ,点 ( a , b ) 为圆周 x 2 + y 2 = 1 上的动点,D为中心在原点的正方形.若要 使积分 I ( a , b ) =   D f ( a + x , b + y ) d x d y 最大,则 ( a , b ) 应取_________ . 13 由曲面 x + y 2 + z 2 = 1 所围成的立体体积为_________ .900题 · 6. 重积分及其应用 三、解答题 14 已知平面区域D=   (x,y) 3 y∣x, ( x2 +y2)3 x4  ,计算二重积分  3  第 154 页，共223页   D x x 2 + + y y 2 d x d y . 15 设平面有界区域 D 位于第四象限,由曲线 4x2+y2+2xy=1,4x2+y2+2xy=4 与直线 y = − x , y = 0 围成,计算   D 4 x 2 + 1 y 2 + 2 x y d x d y .900题 · 6. 重积分及其应用 16 设曲线 第 155 页，共223页 y = 2 x − x 2 与坐标轴围成的区域为 D 1 , x = 2 y − y 2 与坐标轴围成的区域为 D 2 , D = D 1  D 2 ,记函数 s g n ( x ) =  1 , 0 , − 1 , x x x  =  0 0 0 , , . 计算 I =   D  ( x 2 − y 2 ) s g n ( y − x ) + ( x 2 + y 2 )  ( s e c 2 x − ta n 2 y ) d x d y . ; 17 设直线 x + y 2 = 1 与坐标轴围成的区域为 D 1 , x 2 + y = 1 与坐标轴围成的区域为 D 2 , D=D D .计算 1 2 I =   D e − 1 2 x − y + 3 2 ( x + y ) 2 ( s e c 2 x − ta n 2 y )d x d y .900题 · 6. 重积分及其应用 18 计算二重积分 第 156 页，共223页 I D 1 r 2 c r o 3 s s 2 in 2 4 r 2 s in 2 d r d     =   + − ,其中  1 D= (r,∣) secr2sec,0arctan .  2 19 计算   D ( x − y ) a r c ta n y x d x d y ,其中 D 是由圆周 x 2 + y 2 = 4 , x 2 + y 2 = 1 ,直线 y = x 以及x轴所 围成的在第一象限内的闭区域.900题 · 6. 重积分及其应用 20 设二元函数 第 157 页，共223页 f ( x , y ) =  3 2 x y , x x 2 + + y y 2 , x 1 +  y x  + 1 y ,  2 , 计算二重积分   D f ( x , y ) d x d y ,其中 D 是由 直线 x + y = 2 以及坐标轴围成的平面区域. 21 设函数 f ( x ) 连续,平面区域 D =  ( x , y ) x + ∣y  a  ( a  0 ) . (I) 证明:   D f ( x + y ) d x d y = a  a − a f ( t ) d t . (II) 若 a  = ,计算 I =   D c o s 2 A ( x + y ) d x d y ,其中 A 2 x 2 y  =  +  表示不超过 2 x 2 y  + 的 最大整数.900题 · 6. 重积分及其应用 22 设平面区域 第 158 页，共223页 D 由曲线 x y t 1 s c in o t , s t ( 0 t 2 )   = = − −   与 x 轴围成,计算二重积分 x(y+1)dxdy. D 23 设区域D= (x,y∣) x2 +y2 2y,y1  .连续函数 f (x,y)满足 f ( x , y ) = x x 2 + + y y 2 + x   D f ( x , y ) d x d y . 求函数 f ( x , y ) 的表达式.900题 · 6. 重积分及其应用 24 设平面区域 第 159 页，共223页 D =  ( x , y )∣ 3  x 2 + y 2  8  . (I) 计算 I =   D 1 + x x 2 2 + y 2 d x d y ; (II) 证明:存在(,)D ,使得 2 1 1 6 5 2 2 1    = + + . 25 设 D =  ( x , y )∣ x 23 + y 23  a 23  ( a  0 ) .二元函数 f ( x , y ) 在 D 上连续,且当 ( x , y )  ( 0 , 0 ) 时, f ( x , y ) = e − x 2 + y 2 − 1 − x 2 ln + ( 1 y − 2 x 2 + y 2 ) .求 lim a → 0 +   D f ( x a 2 y ) x y .900题 · 6. 重积分及其应用 26 设某物体 第 160 页，共223页 A 占据由曲面 z = 1 − x 2 − y 2 以及 z = x 2 + y 2 所围成的空间区域  ,密度函数 ( x , y , z ) 2  满足(x,y,z)=8z+ x2+y2 (x,y,z)dv.   (I) 求 (x,y,z) ; (II) 设 A 的质心坐标为 ( x , y , z ) ,证明: 1 4 5  x + y + z  1 . C 类 一、选择题 1 n n−i  i j 1 −1 n+i  i j 1记I = lim  sin −sin , I =−lim  sin +sin , 1 n→n2   n n   2 n→n2   n n   i=1 j=1 i=−nj=1 I 3 lim n 1 n 2 i 1 n j 1 n i s in i n s in j n ,  = → −= − −= − −  +  I 4 lim n 1 n 2 n i 1 j 1 i n s in i n s in j n ,  = →  = −= −  −  则 I 1 , I 2 , I 3 , I 4 中,( ) (A) I 1 最小, I 2 最大. (B) I 1 最小, I 最大. 4 (C) I 最小, 3 I 2 最大. (D) I 最小, 3 I 4 最大.900题 · 6. 重积分及其应用 2 设点 第 161 页，共223页 O , A , B 的坐标分别为(0,0),(1,0),(0,1),点C 为区域 D={(x,y∣)0x1,y0} 内一点,则 下列区域中,四边形 AOBC 的形心不可能在其中出现的是 ( ) (A)  ( x , y ) 0  x  1 3 , 0  y  1   1  . (B)  (x,y) 0x ,1 y2 .  3  (C)  ( x , y ) 1 3  x  2 3 , 0  y  1   2  . (D)  (x,y) x1,0 y1 .  3  二、解答题 3 设函数 f ( x ) 二阶可导,且 f (0)= f(0)=0, f(0)=2.对每个正数 r ,令平面区域  ( x , y )∣ x 2 + y 2  r 2  D r = ,并选取一点 ( , ) D r   使得 D r f ( x 2 y 2 )d x d y r 2 f ( 2 2 )      + = + .求 2 +2 lim . r→0+ r2900题 · 6. 重积分及其应用 4 设平面区域 第 162 页，共223页 D =  ( x , y )∣ 0  x  2 , 0  y  2  . (I) 求二重积分   D x 2 + y 2 − 1 d x d y . (II) 设 f ( x , y ) 在区域 D 上连续,且 D f ( x , y ) d x d y 4 ,    = −   D f ( x , y ) ( x 2 + y 2 ) d x d y = 2 0 3 . 证明: 存在点 ( , ) D   ,使得 f ( , ) 1   . 5 设二元函数 f ( x , y ) 具有一阶连续偏导数,且满足 f ( 0 , 0 ) = 0 , ' f1 ( 0 , 0 ) = k  0 以及对于任意 x ,都有 f '2 ( x , y )  0 . (I) 设 n  1 ,证明:当 x  0 时,对所有的 0 x n    f (x,) ,都有 lim 存在,并计算该极限. x→0+ x (II) 若当 x → 0 + 1 xn un 时, du f (t,u)dt与 0 x 1 − c o s x 2 是等价无穷小,求 n ,k .900题 · 7. 常微分方程 第七章 常微分方程 A 类 一、选择题 1 若y =(x−1)2 ,y =(x+1)2是微分方程y+ p(x)y=q(x)的两个解,则 1 2 第 163 页，共223页 p ( x ) + q ( x ) =( ) (A) x 2 − x 1 . (B) x 2 − x 2 . (C) 1 − x x 2 . (D) 2 − x x 2 . 2 设 y = e 2 x + ( x + 1 ) e x 是二阶常系数非齐次线性微分方程 y  + a y  + b y = c e x 的一个特解, 则( ) (A) a=3,b=2,c=1 . (B) a = 3 , b = − 2 , c = 1 . (C) a = − 3 , b = 2 , c = − 1 . (D) a = − 3 , b = 2 , c = 1 . 3 设 y ,y 是一阶线性非齐次微分方程 1 2 y  + p ( x ) y = q ( x ) 的两个特解,若常数,使3y 1 +y 是该方程的解, 2 y 1 2 y 2   − 是该方程对应的齐次方程的解,则 ( ) 1 2 2 1 (A) = ,= . (B) =− ,= . 5 5 5 5 (C) 1 7 , 2 7   = = . (D) 2 7 , 1 7   = = .900题 · 7. 常微分方程 4 下列各项中,是常系数齐次线性微分方程 第 164 页，共223页 y (4 ) − 1 6 y = 0 的解的为( ) (A) ( e x e 2 x ) 2 s in 2 x 4  + − +  +  . (B) ( e x e 2 x ) 2 s in 2 x 4  − − +  −  . (C) ( e x + e 2 − x ) 2 + 2 c o s 2 x . (D) ( e x − e 2 − x ) 2 + 2 s in 2 x . 5 设 y 1 ( x ) 和 y 2 ( x ) 是微分方程 y  − y  + y = 0 的两个特解,则该方程的通解能表示成 C y (x)+C y (x)(C ,C 是任意常数 1 1 2 2 1 2 ) 的充分条件为 ( ) (A) y 1 ( x ) y '2 ( x ) − y '1 ( x ) y 2 ( x )  0 . (B) y 1 ( x ) y '2 ( x ) − y '1 ( x ) y 2 ( x ) = 0 . (C) y 1 ( x ) y '2 ( x ) + y '1 ( x ) y 2 ( x )  0 . (D) y 1 ( x ) y '2 ( x ) + y '1 ( x ) y 2 ( x ) = 0 . 6 微分方程 y  + 4 y = x 2 − 2 x − s in 2 x 的特解形式为 ( ) (A) a x 2 + b x + c + A c o s 2 x + B s in 2 x . (B) x ( a x 2 + b x + c ) + A c o s 2 x + B s in 2 x . (C) ax2+bx+c+x(Acos2x+Bsin2x) . (D) x ( a x 2 + b x + c + A c o s 2 x + B s in 2 x ) .900题 · 7. 常微分方程 7 设定义在区间 第 165 页，共223页 ( , 2 )  − 上的连续函数 y ( x ) 单调增加且 y  ( x )  0 , y (1 ) = 2 .过曲线 y = y ( x ) 上任一 点P作切线 l 与 轴交于点 x A ,过点 P 作 x 轴的垂线与 x 轴交于点 B .若三角形 P A B 的面积为 1,则曲线 y= y(x)的渐近线条数为 ( ) (A) 0 . (B) 1 . (C) 2. (D) 3 . 二、填空题 1 8 微分方程 y= 的通解为 _________ . (1−x)siny 9 微分方程 ydx+ ( 16−x2) dy=0 满足条件 y ( 0 ) = 1 的特解为 y= .900题 · 7. 常微分方程 ( ) 10 微分方程 x2 + y2 −y dx+xdy=0(x0) 满足条件 第 166 页，共223页 y ( 1 ) = 0 的特解为 y=_________ . 11 过点 2 3 , 3 3    且满足关系式 y a r c s in x + 1 y − x 2 = 2 的曲线方程为_________ . 12 微分方程 y  + y − y 2 e x = 0 满足初始条件 y ( 0 ) = 2 的特解为_________ .900题 · 7. 常微分方程 13 微分方程 第 167 页，共223页 y  + x y = x 3 y 3 满足 y ( 0 ) = 1 的特解为_________ . 14 微分方程 y  + 2 x y  = x ( x  0 ) 的通解为 y=_________ . IS 设 y = y ( x ) 为微分方程 y  + y = 0 的解,当 x → 0 时, y ( x )  x ,则 y ( x ) = .900题 · 7. 常微分方程 16 微分方程 第 168 页，共223页 y  − 4 y  = c o s 4 x 满足 y ( 0 ) = y  ( 0 ) = 0 的特解为 y = . 17 以 y = x + e 2 x 和 y = x 为特解的一阶非齐次线性微分方程为_________ . 18 若微分方程 y  + p ( x ) y  = q ( x ) 有一特解 x3 ,其对应齐次方程有一特解 x−3 ,则此非齐 次方程的通解为 y = _________ .900题 · 7. 常微分方程 10 若微分方程 第 169 页，共223页 y  + p ( x ) y  + q ( x ) y = f ( x ) 有三个解 y 1 = x , y 2 = e x , y 3 = e − x ,则该方程满 足 y ( 0 ) = y  ( 0 ) = 3 的特解为 y = _________ . 20 已知 s in x , x e x 是某四阶常系数齐次线性微分方程的两个解,则该方程的通解为 y = _________ . 21 设 ( 0 , )  + 上的连续函数 f ( x ) 满足 x f ( x ) = 1 +  xt0 3 f ( t ) d t ,则 f ( x ) = _________ .900题 · 7. 常微分方程 22 设曲线 第 170 页，共223页 y = f ( x ) 过点  1 , 1 5 e 2  ,且在点 ( x , y ) 处的切线在 y 轴上的截距为 y + 3 x y − x e 2 x ,则 f ( x ) = _________ . 23 设函数 f ( x ) 连续,且满足 f ( x ) =  x 0 ( x − t ) f ( t ) d t + 2 x + 6 ,则 f ( x ) = _________ . 24 若函数 f ( x ) 满足方程 f  ( x ) − f  ( x ) − 2 f ( x ) = 0 及 f  ( x ) − 2 f ( x ) = 2 e 2 x ,则 f ( x ) = _________ .900题 · 7. 常微分方程 25 设函数 第 171 页，共223页 y = y ( x ) 是微分方程 y  − 4 y  + 3 y = 0 的解,且 y ( x ) 在 x = 0 处取得极值 4,则 y ( x ) = _________ . 26 设 y = y ( x ) 满足 y+3y+2y=0 ,且 y ( 0 ) = 1 , y  ( 0 ) = 1 + ,则  y(x)dx=_________ . 0 三、解答题 27 求微分方程 y  + 2 y  + y = e a x 的通解,其中 a 为实数.900题 · 7. 常微分方程 28 设函数 第 172 页，共223页 y ( x ) 是微分方程 y  + y = 2 x e − x 满足条件 y ( 0 ) = 1 的特解. (I) 求 y ( x ) ; (II) 求曲线 y = y ( x ) 的凹、凸区间及拐点. 29 设函数 f (x) 连续,且满足  x 0 2 f ( x 2 − t ) d t =  x 0 2 ( x 2 − t ) f ( t ) d t + x 4 ,求 f (x) .900题 · 7. 常微分方程 30 设函数 第 173 页，共223页 F ( x ) = f ( x ) g ( x ) ,其中 f ( x ) , g ( x ) 在 ( , )   − + 内满足以下条件: f  ( x ) = 4 g ( x ) , g  ( x ) = f ( x ) 且 f ( 0 ) = 0 , f ( x ) + 2 g ( x ) = e 2 x . (I) 求 F ( x ) 所满足的一阶微分方程; (II) 求 F ( x ) 的表达式. 31 设函数 y = f ( x ) 由参数方程 x y ( t ( 1 ) t ) 2 , ( t 1 )   = = +  − 所确定,其中 ( t )  具有二阶导数, 且 ( 1 ) 0 , ( 1 ) 4   =  = d2y 1 ,已知 = ,求函数 dx2 t+1 ( t )  .900题 · 7. 常微分方程 32 设二阶常系数线性微分方程 第 174 页，共223页 y  + p y  + q y = e x 的一个特解为 y = e 2 x + e x ,试确定 p , q , 并 求该方程的通解. 33 设曲线 y = f ( x ) ,其中 f ( x ) 是可导函数,且 f ( x )  0 .记曲线 y = f ( x ) 与直线 y = 0 , x = 1及 x = t ( t  1 ) 所围成的曲边梯形绕 x 轴旋转一周所得的立体体积为 V 1 ,绕y轴旋转一周所得的立体 体积为V .已知是V +V 是该曲边梯形面积值 2 1 2 S 的 3 t  倍,求该曲线的方程.900题 · 7. 常微分方程 34 设长度为 1 的非均匀细直杆一端放在原点,另一端放在 第 175 页，共223页 x = 1 处,其密度函数 (t) 满足 ( 0 ) 0 , ( 1 ) 1   =  = ,且 3 ( t ) t ( t ) 0 .    +  = 求: (I) (t) 的表达式; (II) 此细直杆的质心. 35 一单位质点从原点 O 出发,以初速度 1 2 k m / h 开始运动.在运动过程中,该质点受到一个方向 与初速度方向一致,大小等于其与原点距离2倍的力的作用,又受到大小等于该质点运动速度 的阻力的作用.问:经过1小时后, 该质点与原点的距离为多少?900题 · 7. 常微分方程 B 类 一、选择题 1 设函数 第 176 页，共223页 f ( x ) 为 y  + y = q ( x ) 在 ( , )   − + 上的解,其中 q ( x ) =  0 x , , x x   0 0 , . 又 lim f (x)=0,则 x→0− ( ) (A) f (x) 不唯一. (B) 当 x→0+时, f (x) 与 x2 为同阶无穷小量. (C) f ( x ) 不存在. (D) 当 x  0 时, f ( x ) 不一定是 0 . 2 设 A , B , C 为常数,则微分方程 y  + y  − 2 y = e x s in 2 x 有特解形如 ( ) (A) e x ( A + B c o s 2 x + C s in 2 x ) . (B) e x ( A − B x c o s 2 x − C x s in 2 x ) . (C) ex(Ax+Bcos2x+Csin2x) . (D) ex(Ax−Bxcos2x−Cxsin2x) . 3 已知 e x 是方程 y  − 2 x + x 1 y  + x + x 1 y = 0 的解. 若非零函数 u ( x ) 是该方程的一个解,则 下列说法中,正确的是( ) (A) x2u(x) 一定是该方程的解. (B) x2u(x) 一定不是该方程的解. (C) exu(x) 一定是该方程的解. (D) exu(x) 一定不是该方程的解.900题 · 7. 常微分方程 4 设可导函数 第 177 页，共223页 f ( x ) 在  0 ,1  上是方程 y  − y  = 0 的解,并且在 ( , 0   − 上满足 f (x)= g ( x ) .若 f ( 1 )  1 ,则 g ( x ) 可能为 ( ) (A) x . (B) x 2 . (C) x 3 . (D) x 4 . 5 下列四种情形中,可使得微分方程 y  + a y  + b y = 0 的所有解在 ( , )   − + 上都有界的个数 为 ( ) ① a = 0 , b  0 . ② a = 0 , b  0 . ③ 0, =0 . ④ a  0 , b = 0 . (A) 1 . (B) 2 . (C) 3 . (D) 4 . 6 设 a  2 ,函数 f ( x ) 满足 f(x)+af(x)+ f (x)=0, f (0)= f(0)=1 ,则下列结论中, 正确的个数是 ( ) ① 若 a  0 ,则 0 f ( x ) d x   + − 必收敛. ② 若 a  0 ,则 0 f ( x ) d x   + 必收敛. ③ 若 a  0 + ,则  f (−x)dx 必收敛. ④ 若 0 a  0 + ,则  f (x)dx 必收敛. 0 (A) 1 . (B) 2 . (C) 3 . (D) 4 .900题 · 7. 常微分方程 7 设定义在 第 178 页，共223页  0 , )  + 上的二阶可导函数 f ( x ) 满足 f  ( x ) + f  ( x ) = 1 e + − x x 2 ,则下列结论中, 错误的是( ) (A) f  ( x ) 有界. (B) f ( x ) 有界. (C) lim x f ( x )  → +  一定存在. (D) lim x f ( x )  → + 不一定存在. 二、填空题 8 微分方程 3xdy= y ( 1+2xy3lnx ) dx 满足条件 y ( 1 ) = 3 2 的解为 y = . 9 已知二阶常系数齐次线性微分方程 y  − 3 y  + 2 y = 0 的解都是三阶常系数齐次线性微分方 程 y  − 2 a y  + ( a 2 + 2 ) y  − 2 a y = 0 的解,则 a = _ _ _ _ _ _ _ _ _ .900题 · 7. 常微分方程 10 若 xsinx,e2x 均为某常系数齐次线性微分方程的解,则满足该要求的最低阶微分方程为 ________. 11 设定义在 第 179 页，共223页  − 1 ,1  上的函数 f ( x ) c o 8 s , x ( ) x c o s 2 x 2 , x x 0 0 ,  =  − + −  = 连续,其中 ( x )  满足微分 方程 y  − 4 y  = 0 ,则 ( x )  = ________. 12 已知函数 f (x)为三次多项式,且 f ( x ) = 0 与 y  − ( k + 2 ) y  + ( 2 k + 1 ) y  − k y = 0 ( k  1 ) 的特征 方程同根,且根的重数相同.若 lim x → k f x ( − ) x k = 1 ,且 f ( 2 ) = − 1 4 ,则 k = ________.900题 · 7. 常微分方程 13 若函数 第 180 页，共223页 f ( x ) 满足 f(x)+af(x)+bf (x)=0(a,b0), f (1)=1, f(1)=−1,则 0 f ( 1 2 x ) d x   − − = ________. 三、解答题 14 用变量代换 x s in t 2 t 2   =  −    化简微分方程 ( 1 − x 2 ) y  − x y  − 4 y = 0 ,并求其满足 y x = 0 = 1 , y  x = 0 = 6 的特解. 15 已知 y 1 ( x ) = e x , y 2 ( x ) = u ( x ) e x 是二阶微分方程 ( x − 1 ) y  − ( x + 1 ) y  + 2 y = 0 的两个解. 若 u(−1)=2e,u(0)=1 ,求 u(x) ,并写出该微分方程的通解.900题 · 7. 常微分方程 16 设函数 第 181 页，共223页 f ( u ) 在 ( 0 , )  +  y 内具有二阶连续导数. 二元函数 F(x,y)=x2f  + f (xy) , x 且 满足   2 x F 2 − y x 2 2   2 y F 2 = 2 y x ln y x . 若 f ( 1 ) = 1 ,求 f ( u ) 的表达式. 17 设 f ( x ) 是定义在 ( 0 , )  + 上的具有二阶连续导数的函数,满足 f ( 1 ) = f  ( 1 ) = 1 . 记 u ( ) = f 3 x2 + y2 ,当 3 x2 +y2 0 时,   2 x u 2 +   2 y u 2 = 0 . (I) 记 p = f  ( x ) ,求 f  ( x ) 满足的微分方程; (II) 求 f ( x ) 的表达式.900题 · 7. 常微分方程 18 设函数 第 182 页，共223页 f ( t ) 在 1 2 ,   +  上连续, D ( t ) =  ( x , y )∣ 1  x 2 + y 2  4 t 2  ,且满足方程 f ( t ) e 4 2t D ( )t f 1 2 x 2 y 2 d x d y .  = +    +  求 f ( t ) . 19 设函数 f ( x ) 在 ( 0 , )  + 上可导, f ( 1 ) = 0 ,且满足  x 1 f ( t ) d t = x − 1 . x ( x + 1 ) f  ( x ) − ( x + 1 ) f ( x ) + xsin(t−1)2  dt 求 2 f (x)dx−3f (2)+lim 1 t−1 . 1 x→1 f (x)900题 · 7. 常微分方程 20 设当 第 183 页，共223页 x  0 时,连续函数 y = y ( x ) 满足 y  + x x y = a s in x y(x) ,且 lim =1 ,求 x→0 x2 y ( x ) . 21 已知微分方程 y ( x ) y f ( x ) e x 0 ( )t d t    − =  ,其中 ( x ) , f ( x )  均为 R 上的连续函数,且 ( x )  以 为周期. (I) 求方程的通解. (II) 若 f (x)=ecos2x −k,且 0 ( x ) d x 0    = ,求 k 满足什么条件时,方程有周期为的解. (III) 若 k 0  满足第(II)问所求条件,证明:存在0 ,使得 2 k 0 e co 2s  = .900题 · 7. 常微分方程 22 设凹曲线 第 184 页，共223页 y = y ( x ) 在点 ( 3 , 2 ) 处的切线倾角为 4  ,且其上任一点处的曲率 K 2 y 2 1 c o s  ( c o s 0 ) =   ,其中  为该曲线上相应点处的切线倾角. 求该曲线方程. 23 设 y = y ( x ) ( x  0 ) 为 x O y 平面上过点 ( 1 , 0 ) 的一条单调增加的曲线,其上任意一点 P ( x , y ) 处的切线与 y 轴正方向的夹角 0 2        等于原点与 P 的连线 O P 与该切 线的夹角. (I) 求曲线 y = y ( x ) 的方程; (II) 若某种镜面的表面为由曲线 y = y ( x ) ( 0  x  3 ) 绕 y 轴旋转一周所得旋转曲面,求 该镜面的表面积.900题 · 7. 常微分方程 24 有一平底容器,其内侧壁是由曲线 第 185 页，共223页 x ( y ) ( y 0 , ( y )   =   0 ) 绕 y 轴旋转而成的旋转曲面 (如图),容器的底面圆的半径为 1 m .根据设计要求,当以 2 m 3 / m in 的速率向容器内注入液体 时,液体的面积将以 m 2 / m in  的速率均匀扩大(假设注人液体前,容器内无液体). (I) 根据 t 时刻液面的面积,写出 t 与 (y) 之间的关系式; (II) 求曲线 x ( y )  = 的方程. (注: m 表示长度单位米, m in 表示时间单位分.) 25 设函数 f ( x ) 二阶可导,满足 f ( x ) f ( x ) f ( x ) f ( x ) , 2 f ( x ) 3 f ( x )   5 f ( x ) + − =  +  −  + =  − .若 f ( 0 ) = 1 ,求 f ( x ) .900题 · 7. 常微分方程 26 若函数 第 186 页，共223页 f ( x ) 满足 f ( x ) 2 f ( x ) , F ( x )   = − − 是 e−2xf (−x)+2f (x) 的一个原函   数, 且 f ( 0 ) = F ( 0 ) = 1 . (I) 求 f (x) ; (II) 求 F(x) . 27 若 u 1 ( x ) c o s x + u 2 ( x ) s in x 为二阶常系数非齐次线性微分方程 y  + y = g ( x ) ( g ( x )  0 ) 的一 个解,且满足 u '1 ( x ) c o s x + u '2 ( x ) s in x = 0 ,  u '1 ( x )  2 +  u '2 ( x )  2 = 1 . (I) 若 u 1 ( 0 ) = 1 , u 2 ( 0 ) = 0 ,求 u 1 ( x ) , u 2 ( x ) ; (II) 若该方程的另一特解 y ( x ) 满足 y ( 0 ) = 0 , y  ( 0 ) = 1 ,求 y ( x ) .900题 · 7. 常微分方程 28 设函数 第 187 页，共223页 a r c ta n x 是二阶常系数线性微分方程 y  + c y = g ( x ) 的一个特解.若存在一个不同于 a r c ta n x 的有界奇函数 f ( x ) ,它也是该方程的一个解,求常数 c 的取值范围. 29 设二元函数 f ( x , y ) 具有连续偏导数,其偏导数满足恒等式 yf'(x,y)−xf'(x,y)=0 . x y (I) 对正常数 r ,令一元函数 G r ( ) f ( r c o s , r s in )    = ,求 G 'r ( )  . (II) 若函数 y = f ( x , 0 ) 是方程 x 2 y  − y = 在 ( 0 , )  + 上的一个解,且 f ( 0 ,1 ) = 1 ,求 f ( x , y ) 的表达式.900题 · 8. 无穷级数 第八章 无穷级数 A 类 一、选择题 1 1 设 a = ,已知 n n2 第 188 页，共223页 n 1 a 2 n 1 8 2    = − =  ,则级数 (−1)n a 等于 ( ) n n=1 (A) 6 2  − . (B) 8 2  − . (C) 1 2 2  . (D) 1 2 2  − . 2 下列命题中, 正确的是( ) (A) 若正项级数 n 1 a n   = 收敛,则 lim n n a n 0  → = . (B) 若正项级数 n 1 a n   = 收敛,则 lim n n 2 a n 0  → = . (C) 若正项级数 n 1 a n   = 收敛,则 n 1 a n n   = 必收敛. (D) 若正项级数 n 1 a n   =  a 收敛,则  n 必收敛. n n=1900题 · 8. 无穷级数 3 下列无穷级数收敛的是 第 189 页，共223页 ( ) (A) n 1 n 3 n n 2   = − + . (B) n 1 n 1 n n   = . (C) n 2 n 1 ln n   =  1 . (D)  . nlnnln2(lnn) n=3 4 下列级数中, 收敛的是 ( ) (A) n 1 ( n n 1 )   = − . (B) n 1 ln n n n   = . (C) n 1 ( n n n (n 1 ) 1 n ) 2   = + +   1 1  . (D)  en2 − cos  .  n n=1  5 已知两个正项级数 n 1 a n , n 1 1 b n    =  =  a sinn 收敛,则级数  n ( ) b2 +1 n=1 n (A) 绝对收敛. (B) 发散. (C) 条件收敛. (D) 无法判定.900题 · 8. 无穷级数 6 设有两个数列 第 190 页，共223页  a n  , b n  ,则下列命题中,错误的是 ( ) (A) 若 n 1 a n , n 1 b n    =  = 均条件收敛,则 n 1 m in  a n , b n    = 可能条件收敛.    (B) 若 a ,b 均条件收敛,则 maxa ,b  可能发散. n n n n n=1 n=1 n=1    (C) 若 a ,b 均绝对收敛,则 mina ,b  可能绝对收敛. n n n n n=1 n=1 n=1    (D) 若 a ,b 均绝对收敛,则 maxa ,b  可能条件收敛. n n n n n=1 n=1 n=1 7 若级数 n 1 a n   =   条件收敛,则 x= 与 x=4 依次为幂级数 na (x−2)n 的 n 2 n=1 ( ) (A) 收敛点, 收敛点. (B) 收敛点, 发散点. (C) 发散点, 收敛点. (D) 发散点, 发散点.    1 n2 8 幂级数  ln 1+ xn 的收敛区间为      n n=1 ( ) (A)  − 1 e , 1 e  . (B) (−1,1) . (C) (−e,e) . (D) (−,+) .900题 · 8. 无穷级数 9 设幂级数 第 191 页，共223页 n 0 a n x n   = 与幂级数 n 0 b n x n   = 的收敛半径分别为 R 1 与R ,记幂级数 2 n 0 ( a n b n ) x n   = + 的收敛 半径为 R ,则 ( ) (A) R=minR,R  . (B) minR,R RmaxR,R  . 1 2 1 2 1 2 (C) RmaxR,R  . (D) 以上说法均不正确. 1 2 二、填空题 10 设 a n 1 x 32 ln n x d x  =  + − ,则 n 0 n a ! n   = = __________ . 11 已知幂级数 n 0 a n ( x 1 ) n   = + 在点 x = 1 处收敛, x = − 3 处发散,则 n 0 a n ( x 6 ) n   = − 的收敛域 为______900题 · 8. 无穷级数 12 在区间 (0,2) 上将 f (x)=lnx 展开成 x−1 的幂级数为__________ . 13 函数 第 192 页，共223页 f ( x ) n 1 1 x x n  =  =  −  在 x = 1 4 处的幂级数展开式为__________ . 14 设 f ( x ) 是周期为 2 的周期函数,且当 x ( , )   − 时, f ( x ) = x s in x .若 n 1 a n c o s n x f ( x ) = a 02 +   = ,则 n 2 a n   = = __________ .900题 · 8. 无穷级数 三、解答题 15 判断下列级数的收敛性: 1 2 n (I) + + + + ; 2! 3! (n+1)! (II) 第 193 页，共223页 ( 1 − 2 2 + 3 ) + ( 2 − 2 3 + 4 ) + + ( n − 2 n + 1 + n + 2 ) + ; (III) sinx+sin2x+ +sinnx+ ;900题 · 8. 无穷级数 (IV) 第 194 页，共223页 a r c ta n 1 + 0 1 + 0 2 + a r c ta n 1 + 1 1 + 1 2 + + a r c ta n 1 + n 1 + n 2 + . 16 判断下列级数的敛散性: (I) n 1 c o s ( n 2 1 )    = + ; (II) n 1 n s in n n    =     ;  ( ) (III) (−1)n n n2 +1−n . n=1900题 · 8. 无穷级数 17 (I) 设 a = 1 x2(1−x)n dx.证明级数 n 0 第 195 页，共223页 n 1 a n   = 收敛并计算 n 1 a n   = . (II) 设 a n =  1p 0  1 p − x  x n  2 p − x  n d x , p  1 , n  N .证明级数 n 1 a n   = 收敛. 18 设 0x 1,x =x (1−x ),n=1,2,3, 证明: 1 n+1 n n (I) lim n x n  → 存在,并计算该极限; n (II) 若 lim =1 ,则级数 n→n−1 1 + 1 i=11−x x i 1 n 1 ln ( c o s x n )   = 收敛.900题 · 8. 无穷级数 19 记 第 196 页，共223页 a n 4 0 ta n n x d x  =  . 证明:   (I) a 发散; (II) (−1)n a 条件收敛. n n n=1 n=1 20 求幂级数 n 0 ( 1 ) n ( n 2 n 1 1 ) x 2 n   = − + + 的收敛域及和函数 S ( x ) . 21 求幂级数 n 1 2 n 2 n 1 x 2 n 2   = − −  2n−1 的收敛域以及和函数,并计算  . 22n−1 n=1900题 · 8. 无穷级数 22 计算幂级数 第 197 页，共223页 n 1 n 2 n 1 ( 3 x 2 ) 2 n 1   = + − − 的收敛域及和函数 s ( x ) . 23 计算级数 n 1 ( n ) 1 ( 3 n 2 n 1 ) 3 2 n n 1   = − + + + 的和. 24 设幂级数 n 0 a n x n   = 在 ( , )   − + 内收敛,其和函数y(x)满足 y  − x y = 1 , y ( 0 ) = 1 . (I) 求 y ( x ) ,将结果用  ( x ) 表示 (  ( x ) 为 标 准 正 态 分 布 的 分 布 函 数 ) ; a (II) 证明: a = n ,n=0,1,2, . n+2 n+2900题 · 8. 无穷级数 25 设函数 第 198 页，共223页 f ( x ) = ln 1 1 + − x x . (I) 求 f ( x ) 在 x = 0 处的 n ( n  1 ) 阶导数 f (n ) ( 0 ) ; (II) 求 n 1 f (2 n 1 1 ) ( 0 )   = − . 26 将函数 f ( x ) = 3 − 2 x ( − 1  x  1 ) 展开成以2为周期的傅里叶级数,并求级数 n 1 1 n 2   = 的和.900题 · 8. 无穷级数 B 类 一、选择题 1 已知级数 第 199 页，共223页 n 1 1 2 ( 1 ) n a n 1 , n 1 2 ( 1 ) n a n 2    =  + −  =  =  − −  = ,则 n n 1 a 1 2 a n 2 n 1 ( )    =  = − = (A) 1 . (B) 2 . (C) 3 . (D) 4 . 2 若级数 n 1 u n   = 收敛,则下列级数中,收敛级数的个数为 ( ) ① n 1 ( u 2 n 1 u 2 n )   = − − ; ② n 1 ( u 2n 1 u 2n )   = + − ; ③ n 1 u n n   =   u  ; ④  1− n  . n=1  u n+1 (A) 1 . (B) 2 . (C) 3 . (D) 4 .  1 xp 3 设 p0 ,若级数 n dx 发散,则 ( ) 01+xq n=1 (A) p  0 , q  0 . (B) p  0 , q  0 . (C) p = 0 , q  0 . (D) p = 0 , q  0 .900题 · 8. 无穷级数 4 设函数 第 200 页，共223页 f ( x ) 在区间  0 ,1  上连续,且 0  f ( x )  1 .又设 a n =  1n 0 1 +  f ( x )  n d x ,则幂级数 n 1 a n x n   = 的收敛域为 ( ) (A) ( − 1 ,1 ) . (B)  − 1 ,1 ) . (C) ( − 1 ,1  . (D)  − 1 ,1  . 5 设数列  b n  为正项数列,数列  c n  中每一项为 1 2 或者 -1 . 若级数 n 1 a n   = 条件收敛, 则下列选项中, 收敛半径可能大于 1 的幂级数是 ( ) (A) n 1 b n a n x n   = . (B) n 1 c n a n x n   = . (C) n 1 a n x n   = . (D) n 1 a n x n   = . 6 若幂级数 n 1 a n x n   = 的收敛半径为 R 1 , n 1 b n x n   = 的收敛半径为 R 2 ,则 ( ) (A) 若 r  R 1 R 2 ,则 n 1 a n b n r n   = 收敛. (B) 若 r  R 1 R 2 ,则 n 1 a n b n r n   = 发散.  (C) 若(a +b )rn收敛,则 n n n=1 r  m in  R 1 , R 2   . (D) 若(a +b )rn发散,则 n n n=1 r  m in  R 1 , R 2  .900题 · 8. 无穷级数 7 下列幂级数的和函数在区间 第 201 页，共223页 ( 0 ,1 ) 内必有零点的是 ( ) (A) n 1 ( ) 1 n n 1 x n   = − − . (B) n 2 n (( n 1 ) n 1 ) x n   = − − . (C) n 0 ( 1 ( ) 2 n n ) 2 ! n x 2 n    = − . (D) n 0 ( 2 ( n 1 ) 1 n ) ! ( 2 2 n n 1 1 ) x 2 n 1    = − + + + + . 8 设 f ( x ) m a x  s in x , c o s x  ( x  0 ,  )  =  ,令 b n 2 0 f ( x ) s in n x d x ( n 1 , 2 , )   =  =  , S(x)=b sinnx, n n=1 则 S 7 4 ( )    = (A) 2 . (B) 2 2 . (C) − 2 . (D) − 2 2 . 9 设 a  b ,函数 f ( x ) a b , , 0 x x , 0 ,   =  −     a  且其傅里叶级数展开式为 0 +(a cosnx+ 2 n n=1 b n s in n x ) , 则 ( )     (A) a 发散. (B) b 收敛. (C) a2 发散. (D) b2 收敛. n n n n n=1 n=1 n=1 n=1900题 · 8. 无穷级数 二、填空题 10 记幂级数 第 202 页，共223页 n 1 1 2 n x n   =  −  的和函数为 f ( x ) ,则 f ( x ) 在 x = 0 处的幂级数展开式为 __________ .(请指出该幂级数的收敛区间). 11 将函数 f ( x ) =  x2 0  s in t t  2 d t ( x  0 ) 展开成 x 的幂级数为_________ . 12 设 f ( x ) 是周期 2  的连续函数, F ( x ) 1 f ( t ) f ( x t ) d t    =  − + . 若 f ( x ) n 1 b n s in n x  =  = , 则 F ( x ) 的傅里叶级数展开式中, c o s n x 的系数为_________ .900题 · 8. 无穷级数 三、解答题 13 已知函数 第 203 页，共223页 f ( x ) 连续, lim x → 0 f ( x ) x − 2 s in x = 1   1 1  .证明:级数 nf (x)dx− 绝对收敛.  0 2n n=1  14 设  a n  为单调增加的无界正项数列, f ( x ) 为  a 1 , )  + 上的单调增加正值函数,且 a1 x d f x( x )    +  + . 证明: (I) 级数 n 1 a a n n 1 1f ( a a n n 1 )   = + + − + 收敛; (II) 若 a 1 = 1 ,则级数 n 1 a a n n ( 1 a ( n 1 1 a a n n) )   = + + + − 收敛,且其值小于 2 1  + .900题 · 8. 无穷级数 15 设 第 204 页，共223页 u n ( x ) = ( x 2 − 1 ) n ,记 p n ( x ) 为 u n ( x ) 的 n 阶导数. (I) 证明 p n ( x ) 为 ( 1 − x 2 ) y  − 2 x y  + n ( n + 1 ) y = 0 的一个解; (II) 计算 k 1 p p 2 k ''2 k ( ( 0 0 ) )   = . 16 设  u n  为一个收敛数列, u 1 = a  0 , u n + 1 = 1 2 u n ( u 2n + 1 ) ( n = 1 , 2 , ) . (I) 求 a 的取值范围和 lim n u n  → . (II) 证明: 级数 n 1 u n ( u n u n 1 )   = − + 收敛.900题 · 8. 无穷级数 1 1 17 设函数 f (x)= cosx− ,数列 2 3 第 205 页，共223页  x n  满足 x 1 3 , x n 1 f ( x n ) , n 1 , 2 ,  = + = = . 证明: (I) n 1 ( x n 1 x n )   = + − 绝对收敛; (II) lim n x n a  → = ,且 a   0 , 1 6  ; (III) 对任意正整数 n ,均有 x 0 ,且 n n 1 1 x n x 1 n 1   =  − +  收敛. 18 (I) 证明: 当 x  0 x 时, ln(1+x)x . 1+x (II) 设 a 1  0 , ln ( a 1 n+ a n ) = 1 + a n + 1 ,求幂级数 n 1 a n x n   = 的收敛半径.900题 · 8. 无穷级数 19 设数列 第 206 页，共223页  a n  满足 a 0 = 1 ,且当 n  1 时, 2 n a n =  n + 3 2  a n − 1 . (I) 求幂级数 n 0 a n x n   = 的收敛半径 R ; (II) 求幂级数 n 0 a n x n   = 在 ( − R , R ) 上的和函数. 20 设幂级数 n 0 a n x n   = 在 ( , )   − + 内收敛,其和函数 y ( x ) 满足 2 y  − x y  − y = 0 , y ( 0 ) = 4 , y  ( 0 ) = 0 (I) 证明: a n + 2 = 2 ( n 1 + 2 ) a n , n = 1 , 2 , . (II) 求 y ( x ) 的表达式.900题 · 8. 无穷级数 21 记 a = 1 x2(lnx)n dx,n=0,1,2, . n 0 (I) 求 第 207 页，共223页 lim n ( a ) 1 n n  → − ; (II) 求 n 0 x a n n   = 的收敛域,并计算其和函数. 22 设定义在  ,   − 上的函数 f n ( x ) =  x 0 ( t − 1 − t ) s in 2 n td t . (I) 求 f n ( x ) 的最大值点; (II) 记 m a xx f n ( x ) a n   −   = ,证明: n 0 a n   = 3 收敛,且级数和小于 ln3−2ln2 . 2900题 · 9. 曲线积分与曲面积分 第九章 曲线积分与曲面积分 A 类 一、选择题 1 设椭圆 第 208 页，共223页 L : x 5 2 + y 4 2 = 1 的周长为 2 a ,则曲线积分  L ( 4 x 2 + 3 x y + 5 y 2 + x 3 y 3 − y ) d s = ( ) (A) 1 0 a . (B) 2 0 a . (C) 3 0 a . (D) 4 0 a . 2 已知曲线  x2 + y2 +z2 =1, 的方程为  则曲线积分 x+ y+z=0,   x z d s = ( ) (A) 3  . (B) 3  − 2 . (C) . (D) 3 2 3  − . 3 设曲面S是由 x 2 + y 2 = 1 以及y2 +z2 =1所围成的立体的表面, S 1 为S在第一卦限的部分, 则 下列等式正确的个数是( ) ①   S x d S =   S y d S ; ②  xdS = zdS; ③  zdS =4 zdS. S S S S 1 1 1 (A) 0 . (B) 1 . (C) 2. (D) 3 .900题 · 9. 曲线积分与曲面积分 二、填空题 4 已知曲线 第 209 页，共223页 L : y = x 2 ( 0  x  1 ) ,则  L x d s = __________ . 5 设  为球面 x 2 + y 2 + z 2 = 5 2 与平面 x + z = 1 的交线,则曲线积分   ( x 2 + y 2 + z 2 ) d s = __________ . 6 设 L 为抛物线 y = x 2 ( − 1  x  1 ) ,则  L  x c o s y ( e sin x + e − sin x ) + 1 1 + 4 y  d s = __________ .900题 · 9. 曲线积分与曲面积分 7 设 第 210 页，共223页  是从点 ( 1 ,1 ,1 ) 到点 ( 3 , 4 , 5 ) 的一段直线,则   y d x + z d y + x d z = __________ . 8 设曲线 L 为圆周 x 2 + y 2 = 1 ,沿逆时针方向,则 I ∮= L y 2 − x d x + x 3 d y = __________ . 9 已知积分  L  f ( x ) − e x  s in y d x + f ( x ) c o s y d y 与路径无关,函数 f ( x ) 可导,且 f ( 1 ) = 0 , 则 f (0)=__________ .900题 · 9. 曲线积分与曲面积分 10 已知曲线 第 211 页，共223页 L 为 2 x 2 + 3 y 2 = 5 且取逆时针方向,则  L 3 x 2 y d − x 2 − x y x d + y 3 y 2 = __________ . 11 设 C 是从球面 x 2 + y 2 + z 2 = a 2 上任一点到另一球面 x 2 + y 2 + z 2 = b 2 上任一点的任一 条 光滑曲线 ( a  0 , b  0 ) ,则  C x d x + y d y + z d z = __________ . 12 抛物线 ( x + y ) 2 = y 与 y 轴所围成区域的面积为__________ .900题 · 9. 曲线积分与曲面积分 13 设曲面 第 212 页，共223页  为 z = x 2 + y 2 , z  1 ,则曲面积分     3 2 x 2 − x 2 y + 5 2 y 2 − 3 z  d S = __________ . 14 已知曲面  : z 2 = x 2 + y 2 ( − 1  z  0 ) ,方向向上,曲面  1 :  x z 2 = + − y 1 2 ,  1 , 方向向下,则    +  1 x 3 d y d z + y 3 d z d x + z 3 d x d y = __________ . 15 设  为曲面 z = 1 − x 2 − y 4 2 ( 0  z  1 ) 的上侧,则 I =    2 x z d y d z + z y d z d x + x 3 y d x d y = __________ .900题 · 9. 曲线积分与曲面积分 16 设 第 213 页，共223页  为球体 x 2 + y 2 + z 2  4 ,  是  表面的外侧,则曲面积分    x d y d z + y d z d x + z 2 ln ( x 4 + y 4 + z 4 ) d x d y = __________ . 17 已知  是球面 x 2 + y 2 + z 2 = 1 ,位于第 I 卦限部分的上侧,则曲面积分    x c 5 o s 2 x d y d z − y c 3 o s 2 y d z d x − z c 2 o s 2 z d x d y = __________ . 18 向量场 A(x,y,z)= ( x+y3) i+yzj+xz2k 的散度 divA=__________ .900题 · 9. 曲线积分与曲面积分 19 向量场 u(x,y,z)=xy2i+yz2j+zx2k 在点 第 214 页，共223页 M ( 1 ,1 ,1 ) 处的旋度 r o tu = _ _ _ _ . 20 设向量场 A ( x , y , z ) = e xy i + y ln z j + s in x y z k ,则其在点 ( 0 ,1 ,1 ) 处的旋度 c o tA (0 ,1 ,1 ) 的长度 为_____ 三、解答题 21 设 f (x,y)在单位圆盘D= (x,y∣) x2 +y2 1  上有二阶连续偏导数,且满足 2f + 2f x2 y2 e x2+y2 f = .证明:0 ∮ dse,其中 1+ x2 + y2 Ln L 为 D 的正向边界曲线, n 为 L 的外法线方向.900题 · 9. 曲线积分与曲面积分 22 设曲线 第 215 页，共223页 L 为圆周 x 2 y 2 4 2  + =     上从点  ,0 到点 0,  上的一段,计算曲线积分 2   2 I =  L e y + 2 e − y c o s x d x + e y − 2 e − y s in x d y . 23 已知平面 : x y z 1 0  + + + = ,方向向上,  是  上的椭圆,  的定向与  的定向成 右手系,  的面积为 1,计算   ( z − y ) d x + ( x x − + z y ) + d y z + ( y − x ) d z .900题 · 9. 曲线积分与曲面积分 24 设曲面 第 216 页，共223页  =  ( x , y , z )∣ x 2 + y 2 + z 2 = 1 , x , y , z  0  , f ( x , y , z ) 为  上的连续函数, 且 f ( x , y , z ) = z + x ∬  f ( x , y , z ) d S ,求 f ( x , y , z ) . 25 设 f ( u ) 具有连续导数, , 分别为由 1 2 x O y 面上的曲线 x 2 = y , x 2 = 2 y 绕 y 轴旋转而成的旋 转曲面.计算曲面积分 I =    x f ( x e z ) d y d z +  x 2 − f ( x e z )  y d z d x +  3 z 3 − f ( x e z )  d x d y , 其中  为 由 , 以及平面 1 2 y = 2 所围成立体表面的外侧.900题 · 9. 曲线积分与曲面积分 26 设 第 217 页，共223页 L 为 y O z 面上的一条曲线,其方程为 z = 4 y − y 2 − 3 . (I) 求 L 绕 y 轴旋转一周所得曲面的方程; (II) 记旋转曲面的外侧为  ,计算曲面积分 I =    ( x 2 + s in x z ) d y d z + ( 2 y 2 + 3 c o s x y ) d z d x + 3 z ( 1 + x s in x y ) d x d y . B 类 一、选择题 1 设曲线积分  L e y s in x d x + f ( x ) e y − x d y 与路径无关,其中 f ( x ) 具有一阶连续偏导数,且当 x → 0 时, f ( x ) 为无穷小量,则 f ( x ) 与下列哪一项是同阶无穷小量 ( ) (A) x . (B) x2 . (C) x 3 . (D) x 4 . 2 设封闭曲面  :x2 + y2 +z2 =1, 1  2 : x 2 + 2 y 2 + z 2 = 1 ,  :(x−1)2 + y2 +z2 =1, 3  :x2 + y2 +(z−1)2 =1 均取外侧,则第二类曲面积分 4 I = 4dydz+yzdzdx+3x2dxdy(i=1,2,3,4) 中, 最大的是( ) i  i (A) I 1 . (B) I . (C) 2 I 3 . (D) I . 4900题 · 9. 曲线积分与曲面积分 二、填空题 3 设 第 218 页，共223页 L 是柱面 x 2 + y 2 = 1 与平面 z = x + y 的交线,从 z 轴正向往 z 轴负向看去为顺时针方向, 则 y2 曲线积分  xzdx+xdy+ dz=__________ . L 2 4 设空间曲线 L 的方程为  x x 2 + + 2 4 y y + 2 = z 1 = , 1 , 从 z 轴正向看去是顺时针的,则 ∮ L − y d x + x d y x + 2 + z ( 4 x y 2 2 + 4 y 2 ) d z = ___________ . 1 5 在定向为逆时针方向的椭圆 C: x2 +y2 =1 上选取一段曲线 L ,使得曲线积分 4  dx+2dy 最大, 则这个最大值为______. L900题 · 9. 曲线积分与曲面积分 6 设曲线积分 第 219 页，共223页  L f  ( x ) d y − 4 y f ( x ) d x 与路径无关,其中 f ( x ) 具有二阶连续导数,并且 lim x → 0 f ( x x )2 − 1 存在,则 f (x)=___________ . 7 设 f ( ) L x 2 c o x s d 2 y y y d 2 x s in 2 0 2      ∮= − +     ,其中 L 为单位圆周 x 2 + y 2 = 1 ,取逆时针 方向,则 f ( )  的最小值为___________ . 8 设  为曲面 z = x 2 + y 2 ( z  1 ) 的下侧,则曲面积分    ( x − 1 ) 3 d y d z + ( y − 1 ) 3 d z d x + ( z − 1 ) d x d y = ___________ .900题 · 9. 曲线积分与曲面积分 9 设向量场 第 220 页，共223页 A ( x , y , z ) = ( z 2 , x 2 , y 2 ) ,以点 M 0 ( 1 ,1 , 0 ) 为圆心,  为半径,在 x O y 面上作一 圆盘  ,面积为 , 为该圆盘的正向边界,  为  上点   ( x , y , z ) 处的单位切向量,则 1 lim ∮ Ads =___________ . →0+   10 设向量场 A = x y i + y z j + z x k ,  为曲面 z = 1 − x − y ( x + y  1 ) 的上侧,则向量场 A 通 过  上侧的流量 I = ___________ . 三、解答题 11 已知曲线 L 为 x 4 + y 4 = 1 4x−y x+ y ,方向为逆时针方向,计算曲线积分 ∮ dx+ dy. L4x2 + y2 4x2 + y2900题 · 9. 曲线积分与曲面积分 12 设 第 221 页，共223页 u ( x , y ) = a r c ta n x y , D 为由 x 2 + y 2 = 1 , x 2 + y 2 = 4 , y = x , y = − x 所围成区域在上半平面 中的部分, L 为其正向边界. (I) 当 y  0 时,计算   2 x u 2 +   2 y u 2 ; (II) 求 ∮ L u ( x , y )   u n d s ,其中 n 为 L 的外法线方向. 13 设曲线  为曲面 z = 4 − x 2 − 8 y 2 与平面 z = y 的交线上从点 ( 2 , 0 , 0 ) 到点  1 , 3 3 , 3 3  的一段弧, f ( u ) 是一元连续函数. (I) 计算  在点 ( x , y , z ) 处的单位切向量 (用 x , y 表示); (II) 计算曲线积分 I =   2 9 x 1 2 + 9 y 2   x 2 f ( x y ) + 3 y   ( − 3 y ) +  3 y f ( x y ) + x 2 + 3 2 z f ( x z )   x 3  d s .900题 · 9. 曲线积分与曲面积分 14 设 第 222 页，共223页 L 为 x O y 面上的曲线,方程为 y = 1 − x 2 ( x  0 ) ,  是以 L 为准线,母线平行于 z 轴的柱面 位于xOy面与曲面z=x2 +2y2之间的部分.计算曲面积分 I =    ( x 2 + y 2 − z ) d S . 15 设  为曲面 z = x 2 + y 2 ( 1  x 2 + y 2  4 ) 的下侧,计算曲面积分    ( x e xy + 2 x − y ) d y d z + ( y e xy + 2 y + x ) d z d x + ( z e xy + z ) d x d y .900题 · 9. 曲线积分与曲面积分 16 设 第 223 页，共223页  为球心在原点的单位球面,  为所围成的空间区域.函数 f ( x , y , z ) 在  上具有2阶 连续偏导数,且 2 x f 2 2 y f 2 2 z f 2 ( x 2 y 2 z 2 )    +   +   = + + ,其中 ( r )  满足微分方程 y  − 2 y  + y = 0 . 已知 ( 1 ) e , ( 1 ) 2 e   =  = . (I) 求 ( r )  ; (II) 求     x   f x + y   f y + z   f z  d S . 17 设  为曲面 4 x 2 + y 2 + z 2 = 1 ( z  0 ) 的下侧,计算曲面积分 I =    ( x + 2 y ) d y d z + x 2 + z y 2 + z 2 d z d x +  x 2 − x 2 + y y 2 + z 2  d x d y .