2016年高考数学试卷（理）（上海）（解析卷）_历年高考真题合集_数学历年高考真题_新·PDF版2008-2025·高考数学真题_数学（按年份分类）2008-2025_2016·高考数学真题

考生注意： 1. 本试卷共4页，23道试题，满分150分.考试时间120分钟. 2. 本考试分设试卷和答题纸.试卷包括试题与答题要求.作答必须涂（选择题）或写 （非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分. 3. 答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号，并将核 对后的条形码贴在指定位置上，在答题纸反面清楚地填写姓名. 一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结 果，每个空格填对得4分，否则一律得零分. 1．设xR,则不等式 x3 1的解集为_____________． 【答案】（2,4） 【解析】试题分析： 由题意得：1x31，解得2x 4. 考点：绝对值不等式的基本解法. 3+2i 2．设z= ，其中i为虚数单位，则Imz=_____________． i 【答案】-3 【解析】 试题分析： 3+2i z = =23i,Imz=3. i 考点：1.复数的运算；2.复数的概念. 3．已知平行直线l :2x+ y1=0,l :2x+ y+1=0，则l 与l 的距离是_____________． 1 2 1 2 2 5 【答案】 5 【解析】试题分析： |c c | |11| 2 5 利用两平行线间的距离公式得d= 1 2 = = . a2 +b2 22 +12 5 第1页 | 共15页考点：两平行线间距离公式. 4．某次体检，6位同学的身高（单位：米）分别为1.72，1.78，1.75，1.80，1.69，1.77，则 这组数据的中位数是_________（米）． 【答案】1.76 考点：中位数的概念. 5．已知点(3,9)在函数 f(x)=1+ax的图像上，则 f(x)的反函数f 1(x)= ________． 【答案】log (x1) 2 【解析】试题分析： 将点（3，9）代入函数fx=1+ax中得a =2，所以fx=1+2x，用y表示x得 x =log (y1)，所以f1x=log (x1). 2 2 考点：反函数的概念以及指、对数式的转化. 6．如图，在正四棱柱ABCDABC D 中，底面ABCD的边长为3，BD 与底面所成的 1 1 1 1 1 2 角的大小为arctan ，则该正四棱柱的高等于____________． 3 【答案】2 2 【解析】试题分析： DD 2 DD 2 连结BD，则由题意得tanÐDBD = 1 = Þ 1 = ÞDD =2 2 . 1 BD 3 3 2 3 1 考点：线面角 7．方程3sinx=1+cos2x在区间0,2π上的解为___________ . 第2页 | 共15页p 5p 【答案】 ， 6 6 【解析】试题分析： 化简3sinx =1+cos 2x得：3sinx =22sin2 x，所以2sin2 x+3sinx2=0，解得 1 p 5p sinx = 或sinx =2（舍去），又x0,2π，所以x= 或 . 2 6 6 考点：二倍角公式及三角函数求值. n  2 8．在3 x   的二项展开式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于_______  x __． 【答案】112 【解析】试题分析： 由二项式定理得：所有项的二项式系数之和为2n，即2n =256，所以n =8，又二项展开 2 8  4 r 8 4 式的通项为T =Cr(3 x)8r( )r =(2)rCrx3 3 ，令  r =0，所以r =2，所以 r+1 8 x 8 3 3 T =112，即常数项为112. 3 考点：二项式定理. 9．已知ABC的三边长分别为3,5,7，则该三角形的外接圆半径等于_________． 7 3 【答案】 3 【解析】试题分析： 32 +52 72 1 利用余弦定理可求得最大边7所对应角的余弦值为 = ，所以此角的正弦值 2´3´5 2 3 7 7 3 为 ，由正弦定理得2R = ,所以R = . 2 3 3 2 考点：正弦、余弦定理. ìax+ y =1 10．设a0,b0.若关于x,y的方程组í ，无解，则a+b的取值范围是______ îx+by =1 ______． 第3页 | 共15页【答案】（2，+¥） 【解析】试题分析： 将方程组中上面的式子化简得y=1ax，代入下面的式子整理得(1ab)x =1b，方程 组无解应该满足1ab=0且1b¹0，所以ab=1且b¹1，所以由基本不等式得 a+b2 ab =2，即a+b的取值范围是（2，+¥）. 考点：方程组的思想以及基本不等式的应用. 11．无穷数列  a  由k个不同的数组成，S 为  a  的前n项和.若对任意nN*，S   2,3  n n n n ，则k的最大值为________. 【答案】4 考点：数列的项与和. 12．在平面直角坐标系中，已知A（1,0），B（0，- 1），P是曲线y = 1x2 上一个动点，则BPBA的取值范围是_____________. 【答案】[0,1+ 2] 【解析】试题分析： uuur P(cosa,sina) a[0,π] uuur BA=(1,1) 由题意设 , ，则BP=(cosa,1+sina)，又 ，所以 uuur uuur π BPBA=cosa+sina+1= 2sin(a+ )+1[0,1+ 2]. 4 考点：1.数量积的运算；2.数形结合的思想.  p 13.设a,bR,c0,2π .若对任意实数x都有2sin3x =asinbx+c ，则满足条件  3   的有序实数组 a,b,c 的组数为 . 【答案】4 第4页 | 共15页【解析】试题分析： π π 5π 5π 当a=2时，sin(3x )=sin(3x +2π)=sin(3x+ )，(b,c)=(3, )，又 3 3 3 3 π π 4π 4π sin(3x )=sin[π(3x )]=sin(3x+ )，(b,c)=(3, )，注意到c[0,2π) 3 3 3 3 5π 4π ，所以只有2组：(2，3, ), (2，3, )满足题意；当a=2时，同理可得出满足题意的 3 3   a,b,c 也有2组，故共有4组. 考点：三角函数   14.如图，在平面直角坐标系xOy中，O为正八边形AA A 的中心，A 1,0 .任取不同 1 2 8 1 的两点A,A ，点P满足OP+OA +OA =0，则点P落在第一象限的概率是____________ i j i j _. 5 【答案】 28 【解析】试题分析： 共有C2 =28种基本事件，其中使点P落在第一象限的情况有C2 +2=5种，故所求概率为 8 3 5 . 28 考点：古典概型 二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的 相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得五分，否则一律得零分. 15.设aR，则“a 1”是“a2 1”的（ ）. （A）充分非必要条件 （B）必要非充分条件 （C）充要条件 （D）既非充分也非必要条件 【答案】A 【解析】试题分析： 第5页 | 共15页a1Þa2 1,a2 1Þa1或a1，所以“a 1”是“a2 1”的充分非必要条件，选A. 考点：充要条件 16.下列极坐标方程中，对应的曲线为如图的是（ ）. （A）=6+5cos （B）=6+5sin （C）=65cos （D）=65sin 【答案】D 【解析】试题分析： p 3p 依次取=0, ,p, ，结合图形可知只有=65sin满足，选D. 2 2 考点：极坐标方程   17.已知无穷等比数列 a 的公比为q，前n项和为S ，且limS =S .下列条件中，使得 n n n n¥ 2S S  nN* 恒成立的是（ ）. n （A）a 0,0.6q0.7 （B）a 0,0.7q0.6 1 1 （C）a 0,0.7q0.8 （D）a 0,0.8q0.7 1 1 【答案】B 考点：1.数列的极限；2.等比数列求和. 18．设 f(x)、g(x)、h(x)是定义域为R的三个函数，对于命题：①若 f(x)+g(x)、 f(x)+h(x)、g(x)+h(x)均是增函数，则 f(x)、g(x)、h(x)中至少有一个增函数；② 若 f(x)+g(x)、 f(x)+h(x)、g(x)+h(x)均是以T 为周期的函数，则 f(x)、g(x)、 第6页 | 共15页h(x)均是以T 为周期的函数，下列判断正确的是（ ）. （A）①和②均为真命题 （B）①和②均为假命题 （C）①为真命题，②为假命题 （D）①为假命题，②为真命题 m] 【答案】D 【解析】 试题分析： [f(x)+g(x)]+[f(x)+h(x)][g(x)+h(x)] 因为 f(x)= ，所以 2 [f(x+T)+g(x+T)]+[f(x+T)+h(x+T)][g(x+T)+h(x+T)] f(x+T)= ,又 f(x)+g(x)、 2 f(x)+h(x)、g(x)+h(x)均是以T 为周期的函数，所以 [f(x)+g(x)]+[f(x)+h(x)][g(x)+h(x)] f(x+T)= =f(x)，所以 f(x)是周期为T 的函数 2 ，同理可得g(x)、h(x)均是以T 为周期的函数，②正确； f(x)、g(x)、h(x)中至少有 一个增函数包含一个增函数、两个减函数；两个增函数、一个减函数；三个增函数，其中 当三个函数中一个为增函数、另两个为减函数时，由于减函数加减函数一定为减函数，所 以①不正确.选D. 考点：1.抽象函数；2.函数的单调性；3.函数的周期性. 三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域 内写出必要的步骤. 19. （本题满分12分）本题共有2个小题，第一小题满分6分，第二小题满分6分. 将边长为1的正方形AAOO（及其内部）绕的OO 旋转一周形成圆柱，如图，AC长为 1 1 1 2 p p，AB 长为 ，其中B 与C在平面AAOO的同侧. 3 1 1 3 1 1 1 （1）求三棱锥CO AB 的体积； 1 1 1 （2）求异面直线BC与AA 所成的角的大小. 1 1 第7页 | 共15页3 π 【答案】（1） ；（2） . 12 4 【解析】 p 试题分析：（1）由题意可知，圆柱的高h=1，底面半径r =1，ÐA O B = ，再由三 1 1 1 3 角形面积公式计算S 后即得. OAB 1 1 1 （2）设过点B 的母线与下底面交于点 B，根据BB //AA ，知ÐCBB或其补角为直线 1 1 1 1 π π BC与AA 所成的角，再结合题设条件确定ÐCOB= ，CB=1．得出ÐCBB= 即 1 1 3 1 4 可． 试题解析：（1）由题意可知，圆柱的高h=1，底面半径r =1． π π 由AB 的长为 ，可知ÐA O B = ． 1 1 3 1 1 1 3 1 3 S = O A O B sinÐA O B = ， O 1 A 1 B 1 2 1 1 1 1 1 1 1 4 1 3 V = S h= ． CO 1 A 1 B 1 3 O 1 A 1 B 1 12 π 从而直线BC与AA 所成的角的大小为 ． 1 1 4 第8页 | 共15页考点：1.几何体的体积；2.空间角. [来 20．（本题满分14）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. 有一块正方形菜地EFGH ,EH 所在直线是一条小河.收获的蔬菜可送到F 点或河边运走. 于是，菜地分为两个区域S 和S ，其中S 中的蔬菜运到河边较近，S 中的蔬菜运到F 点 1 2 1 2 较近，而菜地内S 和S 的分界线C上的点到河边与到F 点的距离相等，现建立平面直角 1 2 坐标系，其中原点O为EF 的中点，点F 的坐标为（1,0），如图. （1）求菜地内的分界线C的方程; 8 （2）菜农从蔬菜运量估计出S 面积是S 面积的两倍，由此得到S 面积的“经验值”为 .设 1 2 1 3 M 是C上纵坐标为1的点，请计算以EH 为一边、另有一边过点M 的矩形的面积，及五 边形EOMGH 的面积，并判断哪一个更接近于S 面积的经验值. 1 5 11 【答案】（1）y2 =4x（0 y2）；（2）矩形面积为 ，五边形面积为 ，五边形 2 4 面积更接近于S 面积的“经验值”． 1 【解析】 试题分析：（1）由C上的点到直线EH与到点F的距离相等，知C是以F为焦点、以EH 为准线的抛物线在正方形EFGH内的部分． （2）通过计算矩形面积，五边形面积，以及计算矩形面积与“经验值”之差的绝对值，五边 形面积与“经验值”之差的绝对值，比较二者大小即可． 第9页 | 共15页试题解析：（1）因为C上的点到直线EH与到点F的距离相等，所以C是以F为焦点、 以 EH为准线的抛物线在正方形EFGH内的部分，其方程为y2 =4x（0 y2）． 1  （2）依题意，点M的坐标为 ,1 ． 4  5 11 所求的矩形面积为 ，而所求的五边形面积为 ． 2 4 5 8 1 矩形面积与“经验值”之差的绝对值为  = ，而五边形面积与“经验值”之差 2 3 6 11 8 1 的绝对值为  = ，所以五边形面积更接近于S 面积的“经验值”． 4 3 12 1 考点：1.抛物线的定义及其标准方程；2.面积计算. 21.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. y2 双曲线x2  =1(b0)的左、右焦点分别为F、F ，直线l过F 且与双曲线交于 b2 1 2 2 A、B两点. π （1）若l的倾斜角为 ，FAB是等边三角形，求双曲线的渐近线方程； 2 1 uuur uuur uuur （2）设b= 3，若l的斜率存在，且(FA+FB)AB =0，求l的斜率. 1 1 15 【答案】（1）y =± 2x；（2）± . 5 【解析】 试题分析：（1）设Ax ,y ，根据题设条件得到4  1+b2 =3b4，从而解得b2的值． A A （2）设Ax ,y ，Bx ,y ，直线l: y =kx2与双曲线方程联立，得到一元二次 1 1 2 2 方程，根据l与双曲线交于两点，可得k2 3¹0，且=36  1+k2 0．再设AB的中 点为Mx ,y ，由  F uu A ur +F uu B ur  u A u B ur =0即F uu M uur A uu B ur =0，从而得到k k =1，进而 M M 1 1 1 FM 1 构建关于k的方程求解即可． 试题解析：（1）设Ax ,y ． A A 第10页 | 共15页ì y2 ïx2  =1 由í 3 ，得  k2 3  x2 4k2x+4k2 +3=0． ï y =kx2 î 因为l与双曲线交于两点，所以k2 3¹0，且=36  1+k2 0． 设AB的中点为Mx ,y ． M M uuur uuur uuur uuuur uuur 由 FA+FB AB=0即FMAB=0，知FM ^AB，故k k =1． 1 1 1 1 FM 1 x +x 2k2 6k 3k 而x = 1 2 = ，y =kx 2= ，k = ， M 2 k2 3 M M k2 3 F 1 M 2k2 3 3k 3 15 所以 k =1，得k2 = ，故l的斜率为± ． 2k2 3 5 5 考点：1.双曲线的几何性质；2.直线与双曲线的位置关系；3.平面向量的数量积. 22.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分 6分. 1 已知aR，函数 f(x)=log ( +a). 2 x （1）当a =5时，解不等式 f(x)0； （2）若关于x的方程 f(x)log [(a4)x+2a5]=0的解集中恰好有一个元素，求a 2 的取值范围； 1 （3）设a  0，若对任意t[ ,1]，函数 f(x)在区间[t,t+1]上的最大值与最小值的差不 2 第11页 | 共15页超过1，求a 的取值范围.  1 é2  【答案】（1）x  ¥, U 0,+¥；（2）1,2 U 3,4；（3） ê ,+¥ ．  4 ë3  【解析】 1  1 试题分析：（1）由log  +5  0，得 +51，从而得解． 2  x  x （2）将其转化为a4x2 +a5x1=0，讨论当a=4、a=3时，以及a¹3且 a¹4时的情况即可． （3）讨论 f x在0,+¥上的单调性，再确定函数 f x在区间t,t+1上的最大值与最 é1 ù 小值之差，从而得到at2 +a+1t1³0，对任意t ,1 成立． ê ú ë2 û 1  1 试题解析：（1）由log  +5  0，得 +51， 2  x  x  1 解得x  ¥, U 0,+¥．  4 1 （2） +a=a4x+2a5，a4x2 +a5x1=0， x 当a=4时，x=1，经检验，满足题意． 当a=3时，x = x =1，经检验，满足题意． 1 2 1 当a¹3且a¹4时，x = ，x =1，x ¹ x ． 1 a4 2 1 2 1 x 是原方程的解当且仅当 +a0，即a2； 1 x 1 1 x 是原方程的解当且仅当 +a0，即a1． 2 x 2 于是满足题意的a1,2． 综上，a的取值范围为1,2 3,4． U 第12页 | 共15页é1 ù 1 因为a0，所以函数y =at2 +a+1t1在区间 ,1 上单调递增，t = 时，y ê ú ë2 û 2 3 1 3 1 2 有最小值 a ，由 a ³0，得a³ ． 4 2 4 2 3 é2  故a的取值范围为 ê ,+¥ ． ë3  考点：1.对数函数的性质；2.函数与方程；3.二次函数的性质. 23.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分 8分. 若无穷数列{a }满足：只要a =a (p,qN*)，必有a =a ，则称{a }具有性 n p q p+1 q+1 n 质P. [ （1）若{a }具有性质P，且a =1,a =2,a =3,a =2，a +a +a =21，求a ； n 1 2 4 5 6 7 8 3 （2）若无穷数列{b }是等差数列，无穷数列{c }是公比为正数的等比数列，b =c =1， n n 1 5 b =c =81，a =b +c ，判断{a }是否具有性质P，并说明理由； 5 1 n n n n （3）设{b }是无穷数列，已知a =b +sina (nN*).求证：“对任意a ,{a }都具有性 n n+1 n n 1 n 质P”的充要条件为“{b }是常数列”. n 【答案】（1）16；（2）a 不具有性质R，理由见解析；（3）见解析． n 【解析】 第13页 | 共15页试题分析：（1）根据已知条件，得到a +a +a =a +3+2，结合a +a +a =21求 6 7 8 3 6 7 8 解即可． 1 （2）根据b 的公差为20，c 的公比为 ，写出通项公式，从而可得 n n 3 a =b +c =20n19+35n． n n n 304 通过计算a =a =82，a =48，a = ，a ¹a ，即知a 不具有性质R． 1 5 2 6 3 2 6 n （3）从充分性、必要性两方面加以证明，其中必要性用反证法证明． 试题解析：（1）因为a =a ，所以a =a ，a =a =3，a =a =2． 5 2 6 3 7 4 8 5 于是a +a +a =a +3+2，又因为a +a +a =21，解得a =16． 6 7 8 3 6 7 8 3 1 （2）b 的公差为20，c 的公比为 ， n n 3 n1 1 所以b =1+20n1=20n19，c =81   =35n． n n 3 a =b +c =20n19+35n． n n n 304 a =a =82，但a =48，a = ，a ¹a ， 1 5 2 6 3 2 6 所以a 不具有性质R． n [证]（3）充分性： 当b 为常数列时，a =b +sina ． n n+1 1 n 对任意给定的a ，只要a =a ，则由b +sina =b +sina ，必有a =a ． 1 p q 1 p 1 q p+1 q+1 充分性得证． [ 必要性： 用反证法证明．假设b 不是常数列，则存在kN*， n 使得b =b ==b =b，而b ¹b． 1 2 k k+1 下面证明存在满足a =b +sina 的a ，使得a =a ==a ，但a ¹a ． n+1 n n n 1 2 k+1 k+2 k+1 设 f x= xsinxb，取mN*，使得mπ b ，则 第14页 | 共15页f mp=mpb0， f mp=mpb0，故存在c使得 f c=0． 考点：1.等差数列、等比数列的通项公式；2.充要条件的证明；3.反证法. 第15页 | 共15页