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14.1.7 整式的除法 教学设计
一、教学目标：
1.理解并掌握同底数幂的除法法则.
2.探索整式除法的三个运算法则，能够运用其进行计算.
二、教学重、难点：
重点：理解并掌握同底数幂的除法法则.
难点：同底数幂的除法的运算中指数的运算.
四、教学过程：
问题引入
问题：木星的质量约是1.9×1024吨,地球的质量约是5.98×1021吨,你知道木星的质量约为地球质
量的多少倍吗?
木星的质量约为地球质量的 (1.90×1024)÷(5.98×1021)倍.
想一想：上面的式子该如何计算?
知识精讲
(1)根据同底数幂的乘法法则填空：
① ___·28=214；② ___·5=54；③ ___·b4=b12；④ ___·a4=a9.
(2)根据第(1)题所填的结果填空：
① 214÷28=___=2(____)；② 54÷5=___=5(____)；③ b12÷b4=___=b(____)；④ a9÷a4=___=a(____)；
⑤由所填的结果猜想 am÷an=a(____).
同底数幂的除法法则：
am÷an=am-n(a≠0，m，n都是正整数，并且m＞n)即 同底数幂相除，底数_____，指数_____.
同底数幂相除，如果被除式的指数等于除式的指数，例如am÷am，根据除法的意义可知所
得的商为1.另一方面，如果依照同底数幂的除法来计算，又有 am÷am = am-m = a0.
于是规定：a0=1(a≠0) 这就是说，任何不等于0的数的0次幂都等于1.(π) 0
2
例如：99990=1， =1.
典例解析
例1.计算：(1) x8÷x2 (2) (ab)5÷(ab)2
解：(1) x8÷x2=x8-2=x6
(2) (ab)5÷(ab)2=(ab)5-2=(ab)3=a3b3
【点睛】计算同底数幂的除法时，先判断底数是否相同或变形为相同，若底数为多项式，可
将其看作一个整体，再根据法则计算．
【针对练习】计算：
(1) x7÷x5 (2) m8÷m8 (3) (-a)10÷(-a)7 (4) (xy)5÷(xy)3
解：(1) x7÷x5=x7-5=x2
(2) m8÷m8=m8-8=m0=1
(3) (-a)10÷(-a)7=(-a)10-7=(-a)3=-a3
(4) (xy)5÷(xy)3=(xy)5-3=(xy)2=x2y2
例2.计算：
(1)(－xy)13÷(－xy)8；(2)(x－2y)3÷(2y－x)2；(3)(a2＋1)6÷(a2＋1)4÷(a2＋1)2.
解：(1)原式＝(－xy)13－8＝(－xy)5＝－x5y5；
(2)原式＝(x－2y)3÷(x－2y)2＝x－2y；
(3)原式＝(a2＋1)6－4－2＝(a2＋1)0＝1.
例3. 已知am＝12，an＝2，a＝3，求am－n－1的值．
解：∵am＝12，an＝2，a＝3，
∴am－n－1＝am÷an÷a＝12÷2÷3＝2.
【点睛】解此题的关键是逆用同底数幂的除法即 am－n =am÷an，对am－n－1进行变形，再代入数
值进行计算．
知识精讲
单项式除以单项式
例如，计算：12a3b2x3÷3ab2 (12a3b2x3÷3ab2是(12a3b2x3)÷(3ab2)的意思.)
∵ 4a2x3·3ab2 = 12a3b2x3
∴ 12a3b2x3÷3ab2 = 4a2x3
上面的商式 4a2x3 的系数 4=12÷3，a 的指数 2=3-1，b的指数 0=2-2，而 b0=1，x 的指数3=3-0.
单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，
则连同它的指数作为商的一个因式.
商式＝系数 • 同底的幂 • 被除式里单独有的幂
↑ ↓ ↓
被除式的系数 底数不变， 保留在商里
除式的系数 指数相减. 作为因式.
典例解析
例4.计算：
(1) 28x4y2÷7x3y (2) -5a5b3c÷15a4b (3) (2a2b2c)4z÷(－2ab2c2)2
解：(1)原式=(28÷7)·x4-3·y2-1=4xy
1
(2)原式=[(-5)÷15]·a5-4·b3-1·c=- ab2c
3
(3)原式=16a8b8c4z÷4a2b4c4=4a6b4z；
【点睛】掌握整式的除法的运算法则是解题的关键，注意在计算过程中，有乘方的先算乘方，
再算乘除．
【针对练习】计算：
(1) 10ab3÷(-5ab) (2) -8a2b3÷6ab2 (3) -21x2y4÷(-3x2y3)
(4) (6×108)÷(3×105)
解：(1)原式= [10÷(-5)]·a1-1·b3-1 =-2b2
4
(2)原式=(-8÷6)·a2-1·b3-2 =- ab
3
(3)原式=[(-21)÷(-3)]·x2-2·y4-3 =7y
(4)原式=(6÷3)×108-5 =2×103
知识精讲
多项式除以单项式
例如，计算：(am＋bm)÷m
∵ (a＋b)m = am＋bm
∴ (am＋bm)÷m = a＋b
又 am÷m＋bm÷m = a＋b
∴ (am＋bm)÷m = am÷m＋bm÷m把多项式除以单项式问题转化为单项式除以单项式问题来解决.
多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加.
典例解析
例5.计算：
(1)(12a3-6a2+3a)÷3a ； (2) (6x3y4z－4x2y3z＋2xy3)÷2xy3.
解：(1)原式=12a3÷3a-6a2÷3a+3a÷3a
=4a2-2a+1；
(2)原式=6x3y4z÷2xy3－4x2y3z÷2xy3＋2xy3÷2xy3
=3x2yz－2xz＋1.
【针对练习】计算：
(1)(6ab+5a)÷a ; (2)(15x2y-10xy2)÷5xy; (3)(72x3y4-36x2y3＋9xy2)÷(-9xy2)．
解：(1)原式=6ab÷a+5a÷a=6b+5;
(2)原式=15x2y÷5xy-10xy2÷5xy=3x-2y;
(3)原式＝72x3y4÷(－9xy2)＋(－36x2y3)÷(－9xy2)＋9xy2÷(－9xy2)
＝－8x2y2＋4xy－1.
例6.先化简，后求值：[2x(x2y－xy2)＋xy(xy－x2)]÷x2y，其中x=2022，y=2021.
解：原式＝(2x3y－2x2y2＋x2y2－x3y)÷x2y
＝x－y.
把x＝2022，y＝2021代入上式，得
原式＝x－y＝2022－2021＝1.
课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
【设计意图】培养学生概括的能力。使知识形成体系，并渗透数学思想方法。
达标检测
1.下列计算正确的是( )
A. a6÷a2=a3 B. a5÷a5=a C. a3÷a=3 D. a5÷a2=a3
2.计算(-1)0+1的结果是( )
A. 0 B. -1 C.1 D.2
3.已知8a3bm+ 8an b2=b2，则m，n的取值分别为( )
A. m=4, n=3 B. m=4, n=1 C. m=1, n=3 D. m=2, n=34.3xy与一个多项式的积为6xy-3xy2,则这个多项式为( )
A.6x2-y B.2x2-y C.2x2+y D.2x2-xy
5. a12 + a5=_____,(ab)3+ (ab)2=_____.
6.8a2b2c + 4ab=_____，6a3b+ (-2a2b)=______.
7. (a+b)6+ (a+b)2=______，(a-c)8+ (c-a)2=______.
8.若8a3b2 + M=2ab2 ,则M=____.
9. (9×108)÷(-3×103)=____________.
10. (16x3-8x2+____ ) ÷ (-2x)=-8x2+4x-2
11.若2m=15，2n=5，则2m-n的值是_____.
12.若某长方形的面积为4a2-6ab+2a,它的长为2a，则它的宽是__________.
13.计算:
2 1
(1) a3b2c÷ a2b (2) (3x2)2·(4y3) ÷ (3xy)2
3 2
1 1
(3) (9x2y- 6xy2)÷3xy (4) (3x2y-xy2 + xy)÷(- xy）
2 2
14.木星的质量约是 1.9×1024吨,地球的质量约是 5.98×1021吨,你知道木星的质量约为地球质量
的多少倍吗?
15.先化简，再求值: (x+y) (x-y)-(4x3y- 8xy3) + 2xy, .其中x=1，y=-3.
16.已知am=9，an=27,求a3m-2n的值.
17.观察下列各式:
(x2-1)÷(x-1)=x+1;
(x3-1)÷(x-1)=x2+x+1;
(x4-1)÷(x-1)=x3+x2+x+1;
(x5-1)÷(x-1)=x4+x3+x2+x+1;
……
(1)你能得到一般情况下(xn-1)÷ (x-1)的结果吗?(n为不小于2的整数)
(2)根据这一结果计算: 1+2+22+23+···+262+263.
【参考答案】
1. D
2. D
3. A4. B
5.a7 ab
6.2abc -3a
7. (a+b)4 (a-c)6
8.4a2
9.-3×105
10.4x
11.3
12.2a-3b+1
4
13.解: (1) 原式= abc；
3
(2)原式= 9x4·4y3 ÷ 9x2y2 = 36x4y3 ÷ 9x2y2 =4x2y；
(3)原式= 9x2y ÷ 3xy-6xy2 ÷ 3xy= 3x-2y ；
1 1 1 1
(4)原式= 3x2y÷(- xy) -xy2÷(- xy)+ xy÷(- xy)= -6x+2y-1.
2 2 2 2
14.解：(1.90×1024)÷(5.98×1021)
=(1.9÷5.98)×(1024÷1021)
≈0.31×103
≈310
答：木星的质量约为地球质量的310倍.
15.解:原式=x2- xy+xy-y2- (2x2- 4y2)
=x2-y2-2x2+4y2
=-x2 + 3y2
当x=1，y=-3时，
原式=-12+3× (-3)2=-1+ 27= 26
16. 解:a3m -2n= a3m ÷a2n
= (am)3÷(an)2
=93÷272
=(32)3÷(33)2
=36÷36
=117. 解: (1) (xn-1) ÷ (x- 1)=1+x+x2+x3+...+xn-2+xn-1
(2)原式=(264-1)÷(2-1)=264-1
四、教学反思：
从计算具体的同底数幂的除法，逐步归纳出同底数幂除法的一般性质. 讲课时要多举几个具
体的例子，让学生计算出结果，最后，让学生自己归纳出同底数幂的除法法则. 性质归纳出
后，应注意：(1)要强调底数a不等于零，若a为零，则除数为零，除法就没有意义了；(2)本
节不讲零指数与负指数的概念，所以性质中必须规定指数m、n都是正整数，并且，要让学生
运用时予以注意.
