文档内容
14.2.1 平方差公式
夯实基础篇
一、单选题：
1．计算 的结果为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：
=
=
= ，
故答案为：B.
【分析】根据平方差公式，用完全相同的项的平方减去互为相反数的项的平方可得结果.
2．下列各式不能用平方差公式计算的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：A、 可以用平方差公式；
B、 ，可以用平方差公式；
C、 ，可以用平方差公式；D、 ，不能用平方差公式；
故答案为：D.
【分析】平方差公式：（a+b）（a-b）=a2-b2；其中a是完全相同项，b是互为相反项，根据这个特征
逐一验证即可判断求解.
3．在下列各式中，运算结果是 的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】平方差公式及应用
【解析】解答： ,
， ，
，
故选D．
分析：根据平方差公式将各式展开．
4．下列运用平方差公式计算，错误的是（ ）
A．（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2 B．（x+1）（x﹣1）=x2﹣1
C．（2x+1）（2x﹣1）=2x2﹣1 D．（﹣3x+2）（﹣3x﹣2）=9x2﹣4
【答案】C
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：（2x+1）（2x﹣1）=（2x）2﹣1，故C错误．
故选：C．
【分析】根据两数和乘以这两个数的差，等于这两个数的平方差，可得答案．
5． （ ）= 4a4-9b4，括号内应填（ ）
A．2a2+3b2 B．2a2-3b2 C．-2a2-3b2 D．-2a2+3b2【答案】C
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：∵ = 4a4-9b4，
故答案为：C．
【分析】根据平方差公式求解即可．
6．从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形 如图1所示 ，然后将剩余部分拼成一个
长方形 如图2所示 根据图形的变化过程，写出的一个正确的等式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：第一个图形阴影部分的面积是 ，
第二个图形的面积是 ，
则 .
故答案为：D.
【分析】利用正方形的面积公式和长方形的面积公式分别表示出阴影部分的面积，然后根据面积相等
列出等式即可.7．若a2﹣b2= ，a+b= ，则a﹣b的值为（ ）
A．﹣ B． C．1 D．2
【答案】B
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：∵a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）= ，a+b= ，
∴a﹣b= ÷ = ，
故答案为：B
【分析】利用平方差公式进行拆分，计算出a-b的值。
二、填空题：
8．计算： = .
【答案】 m2-n2
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：原式= -n2= m2-n2。
故答案为： m2-n2。
【分析】根据平方差公式去括号，再根据积的乘方法则计算乘方即可。
9．(x+1)(x-1)-(x-2)(x+2)=
【答案】3
【知识点】平方差公式及应用【解析】【解答】原示=(x -1)-(x -4)=3
【分析】本题考查了平方差公式，掌握运算法则是解答本题的关键.
10．若 ， 互为相反数，则 .
【答案】0
【知识点】相反数及有理数的相反数；平方差公式及应用
【解析】【解答】∵ ， 互为相反数，
∴a+b=0
∴ ，
故答案为：0.
【分析】由于互为相反数的两个数的和为0，可得a+b=0，利用平方差公式将原式变形为
，然后代入计算即可.
11．如图，在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形（a＞b），把剩下的部分拼成一个梯
形，分别计算这两个图形阴影部分的面积，验证了公式 .
【答案】a2-b2=(a+b)(a-b)
【知识点】平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：因为左图阴影部分的面积是由大正方形的面积减去小正方形的面积，即为
，
右图阴影部分的面积可利用梯形的面积公式可得： .
故答案为： .【分析】易得左图面积为a2-b2，右图面积为 (2b+2a)×(a-b)=(a+b)(a-b)，然后根据两图面积相等即可
得到等式.
12．计算：2008×2010﹣20092= ．
【答案】﹣1
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】2008×2010﹣20092=(2009-1)*(2009+1)=20092-1-20092=-1
【分析】运用平方差公式a2-b2=(a+b)(a-b)计算即可.
13．若（―x²―4y²)·A＝16y4―x4,则A＝ .
【答案】-4y²+x²
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：
∴A=-（ ）=-4y²+x²
故答案为：-4y²+x².
【分析】将等式的右边利用平方差公式分解因式，然后两边同时除以（x2+4y2），即可得到A的值。
14．若 ，则 .
【答案】16
【知识点】平方差公式及应用；积的乘方
【解析】【解答】 = ．
故答案为：16．
【分析】逆用积的乘方法则后，利用平方差公式进行变形，然后整体代入计算即可求出值．
三、计算题：
15．计算：（1）（x+y）（x﹣y）﹣（2x﹣y）（x+3y）
（2）（2a+5）（2a﹣5）﹣4a（a﹣2）；
（3）（3a+2b）（﹣3a+2b）（9a2+4b2）（结果用幂的形式表示）
【答案】（1）解：原式=x2﹣y2﹣（2x2+6xy﹣xy﹣3y2）=x2﹣y2﹣2x2﹣5xy+3y2
=﹣x2﹣5xy+2y2
（2）解：原式＝4a2﹣25﹣4a2+8a
＝8a﹣25；
（3）解：原式=（﹣9a2+4b2）（9a2+4b2）
=16b4﹣81a4．
16．用乘法公式简算
（1）199×201； （2）20132﹣2014×2012．
【答案】（1）解：原式=（200-1）×（200+1）
=2002-12
=40000-1
=39999；
（2）解：20132﹣（2013+1）×（2013-1）
=20132-20132+1
=1．
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【分析】利用平方差公式计算求解即可。
17．先化简，再求值(3a+2b)(2a﹣3b)﹣(a﹣2b)(2a﹣b)，其中 ．
【答案】解：(3a+2b)(2a﹣3b)﹣(a﹣2b)(2a﹣b)
=(6a2+4ab﹣9ab﹣6b2)﹣(2a2-4ab﹣ab+2b2)
=6a2+4ab﹣9ab﹣6b2﹣2a2+4ab+ab﹣2b2
=4a2﹣8b2，
当a=﹣1.5 ，b= 时，
原式=4×( )2﹣8×( )2
=9-= ．
【知识点】多项式乘多项式；平方差公式及应用
【解析】【分析】根据多项式乘多项式、平方差公式化简式子，代入a和b的值，得到答案即可。
四、解答题：
18．已知3既是x﹣4的算术平方根，又是x＋2y﹣10的立方根，求x2﹣y2的平方根.
【答案】解：∵3既是（x-4）的算术平方根，又是（x+2y-10）的立方根，
∴x-4=32=9，x+2y-10=33，
∴x=13，y=12，
x2-y2
=（x+y）（x-y）
=（13+12）×（13-12）
=25
∴x2-y2的平方根为±5.
【知识点】算术平方根；立方根及开立方；平方差公式及应用
【解析】【分析】根据算术平方根的平方可得被开方数x-4，根据立方根的立方可得被开方数x+2y-10
，联立求出x、y的值，然后根据平方差公式可得答案.
19．两个两位数的十位上的数字相同，其中一个两位数的个位上的数字是6，另一个两位数的个位上
的数字是4，它们的平方差是220，求这两位数..
【答案】解： 设这个两个数的十位上的数字是x,则这两个两位数是(10x+6)和(10x+4), 由题意得：
(10x+6)2-(10x+4)2=220 解这个方程得：x=5 答：这两个两位数分别是：56和54.
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【分析】根据题意列出方程，利用平方差公式将方程化为一元一次方程，解出既得．
20．大学生小李毕业后回乡自主创业投资办养猪场，分成成猪和仔猪两个互不相邻的正方形猪场，已
知成猪场的面积比仔猪场的面积大40m2，两个猪场围墙总长80m，求仔猪场的面积．
【答案】解：设小猪场的边长为xm，则大猪场的边长为ym，
可得：
由①得（x+y）（x﹣y）=40
由②得x+y=20∴x﹣y=2
∴
∴112=121，92=81
∴成猪场的面积为121m2，仔猪场的面积为81m2．
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【分析】设小猪场的边长为xm，则大猪场的边长为ym，于是小猪场的面积为x2，大猪场的
面积为y2，根据题意，得y2﹣x2=40，解此方程组即可．
能力提升篇
一、单选题:
1．已知 则 的值是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】A
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】∵a+b=2，
∴a2-b2+4b=（a-b）（a+b）+4b，
=2（a-b）+4b，
=2a-2b+4b，
=2（a+b），
=2×2，
=4.
故答案为：A.
【分析】利用平方差公式分解因式，可将代数式转化为2（a-b）+4b，再代入可转化为2（a+b），然
后代入求值。
2．(am-bn)(am+bn)等于( )
A．a2m-b2n B．am2-bm2 C．a2m+b2n D．b2n-a2m
【答案】A
【知识点】平方差公式及应用；幂的乘方
【解析】【解答】解：原式=（am）2-（bn）2
=a2m-b2n故答案为：A.
【分析】根据题意，由平方差公式以及幂的乘方，计算得到答案即可。
3． 的计算结果的个位数字是（ ）
A．8 B．6 C．2 D．0
【答案】D
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：
， ， ， ， ， ， ，
，
的个位是以指数1到4为一个周期，幂的个位数字重复出现，
，故 与 的个位数字相同即为1，
∴ 的个位数字为0，
∴ 的个位数字是0．
故答案为：D．
【分析】先将2变形为 （3-1） ，再根据平方差公式求出结果，根据规律得出答案即可．
二、填空题：
4．计算 ＝ ．
【答案】﹣1．
【知识点】平方差公式及应用；积的乘方【解析】【解答】解：原式＝
＝
＝
＝﹣1
故答案为：﹣1．
【分析】分子运用积的乘方的逆运算进行化简计算，分母按平方差公式运算，可计算得结果．
5．观察下列各式的规律：
……
可得到 ．
【答案】a2017-b2017
【知识点】多项式乘多项式；平方差公式及应用
【解析】【解答】(a−b)(a+b)=a²−b²；
(a−b)(a²+ab+b²)= − ；
(a−b)( +a²b+ab²+ )= ；
…
可得到(a−b)( b+…+a )= ，
故答案为： .
【分析】根据已知等式，归纳总结得出一般性的规律（两个多项式相乘，第一个多项式相同，第二个多项式的a的最高指数和式子的顺序数相同，且按降幂依次排列，b的指数与a刚好相反，结果为an-
bn，n等于式子的顺序数加1），写出所求式子的结果即可。
6．求值： .
【答案】
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：
=
=
=
故填 .
【分析】由题意平方差公式把每一项展开，然后直接约分运算即可得出答案.
三、解答题：
7．观察下列算式：39×41=402﹣12，48×52=502﹣22，65×75=702﹣52，83×97=902﹣72…，请你把发现的
规律用字母表示出来．（给定字母m，n）
【答案】【解答】解：∵39×41=（ ）2﹣（ ）2，
48×52=（ ）2﹣（ ）2，
∴m•n=（ ）2﹣（ ）2．【知识点】平方差公式及应用
【解析】【分析】观察不难发现，两个数的乘积等于这两个数的和的一半的平方减去这两个数的差的
一半的平方，然后写出即可．
8．阅读并完成下列各题：
通过学习，同学们已经体会到灵活运用整式乘法公式给计算和化简带来的方便、快捷．相信通过下
面材料的学习、探究，会使你大开眼界，并获得成功的喜悦．
【例】用简便方法计算995×1005．
解：995×1005
=（1000﹣5）（1000+5）①
=10002﹣52②
=999975．
（1）例题求解过程中，第②步变形是利用 （填乘法公式的名称）；
（2）用简便方法计算：
①9×11×101×10 001；
②（2+1）（22+1）（24+1）…（232+1）+1．
【答案】（1）平方差公式
（2）解：①9×11×101×10 001
=（10﹣1）（10+1）×101×10 001
=99×101×10 001
=（100﹣1）（100+1）×10 001
=9999×10 001
=（10000﹣1）（10000+1）
=99999999；
②（2+1）（22+1）（24+1）…（232+1）+1．
=（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）…（232+1）+1
=264﹣1+1
=264．
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：（1）例题求解过程中，第②步变形是利用平方差公式；
故答案为：平方差公式；
【分析】（1）通过观察，利用平方差公式进行化简。（2）利用平方差公式，进行拆分，通过观察规律，进行化简。
