文档内容
14.2.1 平方差公式 导学案
一、学习目标：
1.经历平方差公式的探索及推导过程，掌握平方差公式的结构特征.
2.灵活应用平方差公式进行计算和解决实际问题.
重点：平方差公式的推导和运用，以及对平方差公式的几何背景的了解.
典例解析
难点：平方差公式的应用.
例1.计算：
二、学习过程：
(1) (3x+2)
问题情境
(3x-2) (2)
从前，有位狡猾的地主把一边长为a米的正方形土地租给张老汉种植. 第二年，
(-x+2y)(-x-2y)
这地主对张老汉说：“我把你这块地一边减少 5米，另一边增加5米，租金不
变，再继续租给你，你也没吃亏，你看如何？”张老汉一听觉得也没吃亏，就
答应了. 回到家，就把这件事对邻居们一讲，大伙一听，都说：“张老汉，你
吃亏了！”张老汉很吃惊……那么同学们，你知道张老汉为什么吃亏吗？
【针对练习】
1.下面各式的
计算对不对？
如果不对，应
你的想法：_________________________________________________
当怎样改正？
合作探究
(1) (x+2)
探究：计算下列多项式的积，你能发现什么规律？
(1) (x+1)(x-1)=_______； (x-2)=x2-2
(2) (m+2)(m-2)=______； ( ) 改正：
(3) (2x+1)(2x-1)=_______. ____________
计算：(a+b)(a-b)=________________=________. _________.
【归纳】平方差公式： (2) (-3a-2)
__________________________________________________________________. (3a-2)=9a2-4 (
思考：根据下面的演示，你能通过求阴影部分的面积说明平方差公式吗？ ) 改 正 ：
分析：(1) 左图中阴影部分的面积为_______；(2) 将阴影部分拼成右图的一个
____________
长方形，这个长方形的长是____，宽是____，面积___________.
_________.
2.运用平方差
公式计算：(1) (a+3b)(a-3b) (2) (3+2a)(-3+2a)
观察思考 例4.对于任意
观察： 的正整数 n，
(1)计算下列各组算式，并观察它们的共同特点. 整式(3n＋1)
{7×9= ____ ¿¿¿¿ {11 × 13 = ____ ¿¿¿¿ {79 × 81 = ____ ¿¿¿¿ (3n－1)－(3－
n)(3＋n)的值
一定是 10 的
(2)从上的过程中，你发现了什么规律？
整数倍吗？
___________________________________________________________________
(3)这一规律用字母可表示为 ___________________，它的正确性可用
_____________说明.
典例解析
例2.计算：
例 5.如图 1，
(1) (y+2)(y-2)-(y-1)(y+5) (2) 102×98
将边长为a的
大正方形剪去
一个边长为 b
【针对练习】运用平方差公式计算： 的小正方形，
(1) 51×49 (2) (3x+4)(3x-4)-(2x+3)(3x-2) 然后将剩余部
分拼成图2所
示长方形．
例3.先化简，再求值：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x)，其中x＝1，y＝2.
【针对练习】先化简，再求值：(3a+1)(3a-1)-9a(a-1)，其中a=2． (1)上述操作能验证的等式是________． A ． (20x+4)
A. 平方米
a2-2ab+b2=(a-b) 2
B ． (20x-4)
B.
a2-b2=(a+b)(a-b)
平方米
C．4 平方米
C.
a2-ab=a(a-b)
(2)应用你从（1）中选出的等式，完成下列各题：
D．20x 平方
①已知x2-4 y2=18，x-2y=3，求x+2y．
米
7．在边长为
②计算：( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )．
1- × 1- × 1- ×⋯× 1- × 1-
22 32 42 20212 20222
a 的正方形中
剪去一个边长
为b的小正方
形（a>b，如
图 1），把余
下部分沿虚线
达标检测 剪开拼成一个
1．下列乘法中，不能运用平方差公式进行运算的是（ ）
长方形（如图
A．(a+b)(-a-b) B．(b+m)(m-b) C．(-x-b)(x-b) D．(x+a)(x-a)
2），根据两
2． ，括号内应填（ ）
(5a2+4b2)()=25a4-16b4 个图形中阴影
部分的面积相
A．5a2+4b2 B．5a2-4b2 C．-5a2-4b2 D．-5a2+4b2
等，可以验证
3．若(92-1)(112-1) ，则n的值是（ ）
=8×102 公式（ ）
n
A．12 B．10 C．8 D．8×9
4．计算2011×2013-20122的结果是（ ）
A．0 B．1 C．-1 D．3
5．已知a2-b2=8,b-a=2，则a+b等于（ ） A ．
A．-8 B．8 C．-4 D．4
(a+b) 2=a2+2ab+b2
6．小明家承包了一个长方形的鱼塘，原来长为 5x米，宽为(5x-4)米，现将这
个鱼塘的长和宽都增加2米，则其面积增加了（ ）B． ……
(a-b) 2=a2-2ab+b2
(1)验证第二
C． D．
a(a+b)=a2+ab (a+b)(a-b)=a2-b2 个等式成立；
(2)猜想规律
8．(2+1)(22+1)(24+1)…(216+1)的结果为（ ）
A．232-1 B．232+1 C．232 D．216
(x-1)(xn+xn-1+xn-2+⋯+x2+x+1)
9．若20202-4=2018m，则m=______．
=
10．已知 x+y-3=0，x2- y2=-12，则3x ⋅3y=______，x－y的值为______.
；
11．已知 ， ，则 ______.
m+n=3 m-n=12 (m-5) 2-(n+5) 2=
(3)由以上情
12．在平面直角坐标系中，已知A(﹣a，8)，B(﹣11，b)关于y轴对称，其中x 形，你能求出
＝a+b，y＝2，则式子(x+2y﹣3)(x﹣2y+3)的值为_____． 下面式子的结
1 果 吗 ？
13．先化简，再求值：(3x+ y)(3x- y)-3x(3x- y)，其中x=-2，y= ．
2
(x7-1)÷(x-1)
= ；
(4) 已 知
x3+x2+x+1=0
求x2021的值．
14．如图，大正方形与小正方形的边长分别为a、b，其面积之差是10，求阴
影部分的面积．
15．观察下列等式然后完成下面问题：
；
(x-1)(x+1)=x2-1
；
(x-1)(x2+x+1)=x3-1
；
(x-1)(x3+x2+x+1)=x4-1
